Электронные свойства планарных гетероструктур на основе графена Ратников Павел Вячеславович

Содержание к диссертации

Введение

1 Модельное описание графена 11

1.1 Кристаллическая решётка и зона Бриллюэна 11

1.2 Математический формализм

1.2.1 Модель сильной связи 13

1.2.2 Приближение эффективной массы 15

1.2.3 Обращение времени и оператор спиральности 20

1.2.4 Топологическая сингулярность и фаза Берри 21

1.2.5 Графен в магнитном поле 23

1.2.6 Оператор псевдочётности 29

1.3 Зонная структура щелевой модификации графена 32

2 Клейновское туннелирование 34

2.1 Прохождение через барьеры с конечными энергетическими щелями 36

2.1.1 Прохождение через одну область в виде полоски с конечной энергетической щелью 36

2.1.2 Прохождение через две области с конечными энергетическими щелями в виде двух параллельных полосок 45

2.2 Прохождение через область с конечной энергетической щелью и область

магнитного поля 52

3 Приграничные состояния в графеновых гетеропереходах 62

3.1 Постановка задачи и модельное описание 63

3.2 Анализ решения 65

3.3 Численное решение 68

4 Планарная квантовая яма на основе графена 70

4.1 Модельное описание квантовой ямы 72

4.2 Размерное квантование 75

4.3 Приграничные состояния 78

4.4 Экситон в графеновой планарной квантовой яме 80

4.5 Влияние электрического поля на уровни экситона 84

4.6 Возможные экспериментальные исследования 86

Энергетический спектр сверхрешёток на основе графена 88

5.1 Графеновая СР с модуляцией энергетической щели 88

5.1.1 Модельное описание СР 90

5.1.2 Вывод дисперсионного соотношения 92

5.1.3 Результаты численного расчёта 94

5.1.4 Возможные приложения СР 95

5.2 Графеновая СР с чередующейся скоростью Ферми 96

5.2.1 Возможные варианты СР 97

5.2.2 Модель 99

5.2.3 Дисперсионное соотношение 101

5.2.4 Численный расчёт энергетического спектра 102

5.2.5 Вольт-амперная характеристика 103

5.3 Политипные графеновые сверхрешётки 106

5.3.1 Модель 107

5.3.2 Матрица переноса и дисперсионное соотношение 109

5.3.3 Численные расчёты 112

6 Коллективные возбуждения в сверхрешётке на основе графена 113

6.1 Плазмоны в планарной СР на основе графена 114

6.1.1 Эффективное модельное описание СР 115

6.1.2 Плазмоны 117

6.1.3 Интенсивность поглощения электромагнитного излучения 122

6.2 Магнитоплазмоны в планарной графеновой СР 124

6.2.1 Волновые функции и энергетический спектр носителей тока 125

6.2.2 Функция Грина 131

6.2.3 Поляризационный оператор 135

6.2.4 Закон дисперсии магнитоплазмонов 137

6.2.5 Численные расчёты частот магнитоплазмонов 138

Заключение 140

Благодарности 145

Приложение А. Волновые функции носителей тока в графене с определённой проекцией

псевдоспина на направление магнитного поля 146

Приложение Б. Вычисление поляризационного оператора в рамках эффективного опи

сания носителей тока в планарных сверхрешётках на основе графена 148

Список работ автора диссертации 177

Литература

• Приближение эффективной массы
• Прохождение через две области с конечными энергетическими щелями в виде двух параллельных полосок
• Численное решение
• Графеновая СР с чередующейся скоростью Ферми

Введение к работе

Актуальность темы диссертации

В настоящее время микроэлектроника переходит на качественно новый уровень — в наноэлектронику: размеры мельчайших объектов варьируются от нескольких до одного-двух десятков нанометров. В последнее время область применения нанотехнологий связывают с новым материалом — графеном и с теми перспективами, которые сулит его использование в наноэлектронике.

Теоретически графен был давно исследован как составная часть графита [1-3]. Однако впервые он был получен только в 2004 году К. С. Новосёловым, А. К. Геймом, СВ. Морозовым и их коллегами методом микромеханического отщепления от графита [4-6].

Данная диссертация посвящена теоретическому исследованию гетерострук-тур на основе графена. Хорошо известно, что для функционирования приборов электроники нужна энергетическая щель в спектре носителей тока, а в чистом достаточно большого размера образце графена энергетическая щель равна нулю. Следовательно, нужно искать способы её открытия. Щелевые модификации графена получаются либо за счёт взаимодействия листа графена с материалом подложки, либо при напылении на лист графена определённых атомов или молекул.

В предлагаемых в настоящей диссертации планарных гетероструктурах на основе бесщелевого графена и его щелевых модификаций значительно расширяются возможности зонной технологии. Становится возможным изготовление гетероструктур с заданным энергетическим спектром (зонной структурой), что даёт более широкие возможности для применения графена и материалов на его основе.

Использование двумерных материалов таких, как бесщелевой графен и его щелевые модификации, особенно привлекательно для наноэлектроники. Наиболее естественным кажется развитие планарной технологии на основе графена для интегральных схем (НС) нового поколения. В этом ключевую роль могут сыграть создание и экспериментальное изучение планарных гетероструктур на основе графена, теоретическое исследование которых проведено в настоящей диссертации.

Цели и задачи работы:

1. Главной целью данного диссертационного исследования было изучение электронных свойств планарных гетероструктур на основе графена, разработка теоретических моделей для описания как одночастичных, так и многочастичных электронных свойств, проведение соответствующих аналитических и численных расчётов.

2. Исследование аномального прохождения носителей тока через области щелевой модификации графена (потенциальные барьеры), а также через области наложения магнитного поля (магнитные барьеры).

3. Исследование приграничных состояний как в отдельном гетеропереходе, так и в квантовой яме на основе графена и его щелевых модификаций.

4. Нахождение энергии связи экситона в планарной квантовой яме на основе графена. Нахождение поправок к ней за счёт приложенного внешнего электрического поля.

5. Получение дисперсионного соотношения для носителей тока в различных планарных сверхрешётках (СР) на основе графена. Исследование таммов-ских минизон в них.

6. Исследование коллективных возбуждений — плазмонов и магнитоплазмо-нов — в СР. Получение дисперсионной зависимости для них.

Положения, выносимые на защиту:

1) Если скорость Ферми в щелевой модификации графена больше, чем скорость Ферми в бесщелевом графене, то возникает эффект фильтрования носителей тока по углу падения — носители тока проходят над потенциальным барьером с вероятностью, близкой к единице вблизи нормального падения, но при углах падения, больших определённого значения, вероятность туннелирования экспоненциально мала. Этот эффект также проявляется и в случае двух одинаковых барьеров. Решена задача о прохождении носителей тока в планарной гетероструктуре с двумя потенциальными барьерами, один из которых — запрещённая зона щелевой модификации графена, а второй — магнитный.

2. В одиночном планарном гетеропереходе между областями бесщелевого графена и его щелевой модификации могут возникать приграничные состояния носителей тока. Условием их возникновения является пересечение дисперсионных кривых. Имеется «долинная» поляризация приграничных состояний: электроны, движущиеся вдоль границы гетероперехода с к_у > 0 (ось у направлена вдоль границ раздела), находятся в окрестности /С-точки, а электроны с к_у < 0 — в окрестности /С'-точки, и наоборот для дырок.

3. В несимметричной квантовой яме, составленной из различных модификаций графена, энергетический спектр носителей тока расщеплён по псевдоспину: экстремумы дисперсионных кривых смещаются от дираковских точек в разных долинах в разные стороны. В симметричной квантовой яме такого эффекта нет.

4. Получено дисперсионное соотношение как для планарной СР с одномерной модуляцией энергетической щели, так и для СР с одномерной модуляцией скорости Ферми. В последней эффективным квантовым барьером является область с большей скоростью Ферми.

5. В политипных планарных СР, сверхъячейки которых представляют собой несимметричные квантовые ямы, возникает псевдоспиновое расщепление энергетического спектра.

6. Получен в аналитическом виде закон дисперсии плазмонов в планарных СР. Для магнитоплазмонов в планарных СР получено дисперсионное соотношение, учитывающее помимо вклада внутризонных виртуальных переходов носителей тока вклад межзонных виртуальных переходов.

Научная значимость работы состоит в разработке моделей для описания электронных свойств планарных гетероструктур на основе графена. Расчётами с использованием этих моделей удалось предсказать ряд новых эффектов, указанных выше. Опираясь на полученные результаты, можно решить серию задач физической кинетики.

Практическая значимость работы связана с перспективами применения исследованных планарных гетероструктур на основе графена для разработки приборов нового поколения, использующих, в частности, долинные

свойства графена. Это позволит создать принципиально новые ИС, что открывает широкие перспективы для применения полученных в диссертации результатов на практике.

Достоверность результатов диссертации определяется строгостью вывода эффективного уравнения на огибающую волновую функцию носителей тока в графене. Граничные условия сформулированы в наиболее простом виде и обеспечивают непрерывность потока частиц через границы раздела.

Апробация результатов и публикации

Представленные в диссертации результаты докладывались на 4 научных конференциях и 2 научных школах: 51 научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (ФИАН, Москва, ноябрь 2008), XII Школе молодых учёных «Актуальные проблемы физики» (ФИАН, Звенигород, ноябрь 2008), Одиннадцатой всероссийской молодёжной конференции по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковых опто- и наноэлектронике (ФТИ, Санкт-Петербург, декабрь 2009), The 6th Windsor Summer School 'Low-Dimensional Materials, Strong Correlations, and Quantum Technologies' (Windsor, UK, August 2012), Graphene Conference: From Research to Application (NPL, London, UK, October 2012), VI Всероссийской молодёжной конференции по фундаментальным и инновационным вопросам современной физики (ФИАН, Москва, ноябрь 2015).

Результаты диссертации содержатся в 17 публикациях, из которых 5 написаны единолично автором диссертации, а остальные — в соавторстве с научным руководителем. Личный вклад соискателя во все работы, выполненные в соавторстве, был существенным, а во многих случаях — основным. 10 статей напечатаны в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации. Написана глава в коллективной монографии.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из 6 глав, а также введения, заключения, благодарностей, двух приложений, списка работ автора диссертации и списка цитированной литературы, содержащего 212 наименований. В работе содержится 41 рисунок, 1 вкладка и 1 таблица. Общий объём диссертации составляет 193 страницы.

Приближение эффективной массы

Иными словами, эти уравнения описывают состояния носителей тока графена в двух долинах независимо друг от друга (под долинами подразумеваются части энергетической зоны вблизи К- и Х -точек). В таком случае говорят, что состояния носителей тока из разных долин не «перемешиваются». Напомним, что уравнение (1-20) и эквивалентные ему уравнения (1.15) и (1.19) были выведены в предположении отсутствия переходов носителей тока между К- и Х -точками, то есть пренебрегались процессы междолинного рассеяния. Принадлежность носителей тока к одной из двух долин сохраняется и её можно характеризовать некоторым квантовым числом (см. подраздел 1.2.6). Система обладает долинной степенью свободы. Каждый блок на диагонали в гамильтониане Но, записанный в виде (1.24), действует в пространстве двух долин. Такую блочно-диагональную структуру можно записать в виде прямого произведения матриц. Тогда уравнение (1-20) запишется в виде: [VFTO 0 (тхрх + VFTZ 0 (Туру] Ф(г) = ЯФ(г), (1.28) где матрицы Паули ох и ау по-прежнему действуют в пространстве двух подрешёток А и В в соответствии с определением огибающих волновых функций (1.23), а матрица TQ, являющаяся единичной матрицей 2 х 2, и матрица rz, которая определяется также, как матрица Паули az: (і о Tz = \ -1, действуют в пространстве двух долин. Знак 0 означает прямое произведение матриц: _ ( тх 0\ т0 0 ах = I , rz 0 а у \0 crxJ Отметим, что гамильтониан Но, записанный в виде (1.24), является гамильтонианом Дирака, а уравнение (1.28) — уравнением Дирака для безмассовых частиц [35-40]. По этой причине носители тока в графене называют безмассовыми дираковскими фермионами. Действительно, подвергнем гамильтониан (1.24) унитарному преобразованию такому, чтобы получился гамильтониан Дирака для безмассовых частиц в стандартном представлении: Н 0 = UHQW = vFa р, где использована унитарная матрица U и «-матрицы Дирака: а = / — единичная матрица 2x2. При этом огибающая волновая функция преобразуется следующим образом: Ф (г) = С/Ф(г).

В дальнейшем зачастую будем пользоваться блочно-диагональным гамильтонианом Но- Такое предпочтение связано с тем, что при одинаковом поведении носителей тока в обеих долинах (в отсутствии эффектов, «различающих» состояния в одной долине от состояний в другой долине) можно перейти от матричного гамильтониана 4 х 4 к описанию носителей тока только в одной из двух долин посредством гамильтониана 2x2, являющимся соответствующим блоком в (1.24) — уравнение (1.26) или уравнение (1.27). Последнее обстоятельство, очевидно, несколько упрощает вычисления. С другой стороны, огибающая волновая функция Ф(г) по построению (её компоненты связаны с наличием двух долин К и К и двух подрешёток А и В) имеет более наглядный смысл, чем Ф (г) — её компоненты, являющиеся линейными комбинациями компонент Ф(г), нельзя напрямую сопоставить двум долинам и двум подрешёткам.

Запишем гамильтонианы (1.26) и (1.27) в к-пространстве: е (Ю о J К (к) = W к = Ф1 [е- О J (L29) а соответствующие волновые функции даются выражениями: v f (k) = 71 (W J " « = 71 %-,ш) L30 с тем же собственным значением (энергетическим спектром) -Ё"?(к) = 7/к; РО ) — полярный угол вектора к. Видно, что волновые функции (1.30) комплексно сопряжены: Vf (k) = (Vf (к)) - Соглас но квантовой механике это обстоятельство означает, что состояние вблизи Х-точки связано со состоянием вблизи Х -точки преобразованием обращения времени. Действительно, положим начало отсчёта k-вектора в М-точку первой зоны Бриллюэна (см. рис. 2), тогда переход от Х-точки к Х -точке и преобразование обращения времени осуществляются отражением относительно оси кх: (кх, ку) — (кх, — ку).

Другой важной величиной, характеризующей состояния носителей тока в бесщелевом графене, является их спиральность. Она определяется как проекция оператора импульса на направление псевдоспина. Оператор спиральности имеет вид [33] h=- . (1.31) 2 ІРІ У Ясно, что волновые функции ф {т) и ф (г) являются собственными функциями оператора спиральности h [33] Hf (г) = \яф? (г), і (L32) Wf(r) = -- f(r). Из соотношений (1.32) видно, что спиральность, собственное число оператора спиральности (1.31), І = + Уг для электронов в окрестности Х-точки и для дырок в окрестности Х -точки, а І = — Уг соответствует электронам в окрестности Х -точки и дыркам в окрестности Х-точки. Другими словами, проекция псевдоспина а на направление импульса выделяет два вида состояний: частицы с положительной проекцией (ff-) и частицы с отрицательной проекцией (JJ-). Но тип носителей тока определяется, если известно, к какой долине принадлежит данное состояние. Ясно, что необходим оператор, собственное число которого являлось бы квантовым числом и «различало» долины между собой. Такой оператор введён в разделе 1.2.6 и называется оператором псевдочётности.

Собственные волновые функции гамильтониана в (1.26) в отсутствии магнитного поля можно записать в виде плоских волн: й(г) = 7 k rV- (1-33) В общем виде можно записать собственный вектор ф . как ф?к = ег їі-1МЩя), (1.34) где фя(к) — произвольная фаза; /?(к) — полярный угол вектора к: кх + гку = ke k); R[ p] — оператор вращения спина (в случае графена подразумевается оператор вращения псевдоспина): ДМ = exp (if аг) =у о e_ /2J (1.35) с матрицей Паули az и вектором \q) — собственным вектором для состояния с кх О (собственным вектором матрицы Паули ох с собственным значением q, причём я2 = 1): = Н (L36) Напомним, что оператор вращения спина обладает следующими свойствами: R[tpi]R[tp2] = RVPi + Ы, R[-V] = R-lM (1-37) Д[ ±2тг] = -R[(p]. Последнее соотношение в (1.37) выражает суть оператора вращения спина: при вращении спина на 2п волновая функция меняет свой знак. Также, в частности, имеет место соотношение R[—7г] = — Д[+7г]. Однако, для к = 0 значение фазы /?(к) оказывается неопределённым; изменение знака при обходе вокруг точки к = 0 сохраняется. Это и есть топологическая сингулярность.

Наличие этой сингулярности может быть понято более ясно через фазу Берри [41-44]. Рассмотрим случай, когда гамильтониан содержит параметр q. Пусть этот параметр изменяется от с(0) до я(т) как функция времени от = 0до = ти положим Н[я(т)] = H[s(0)]. Отметим, что при этом совсем необязательно совпадение значений параметра я(т) и с(0). Когда нет вырождения, состояние при t = г в точности является тем же, что и при t = 0 за исключением фазового множителя ег( . Эта дополнительная фаза называется фазой Берри и определяется выражением [32] dt ф = г dt(ip[s{t)] о Рассмотрим волновую функцию следующего вида: ;і.з8) /р- (к)\ W4 = ( ) (139) Это — спиновая часть собственной функции с учётом (1.34)—(1.36), в которой выбрана фаза 0?(к) = — /?(к)/2, так что волновая функция становится непрерывной функцией с/?(к). Когда волновой вектор к вращается против часовой стрелки в течение временного интервала 0 t т, волновая функция меняется на фазовый множитель: (k)e , где фаза Берри согласно (1.38) даётся выражением: = i/ ( Mt)]pf9!)=ir. (1.40) о Из выражения (1.40) видно, что вращение в k-пространстве на 2п приводит к изменению фазы на 7г, то есть к изменению знака волновой функции. Отметим, что комбинация i?_1[(/?(k)] j) получается из (1.39) непрерывным изменением направления вектора к, включая фазу Берри. Заметим также, что изменение знака возникает только тогда, когда внутри области, ограничиваемой замкнутым контуром, по которому производится обход, содержит точку к = 0. Однако, если эта точка не лежит там, то изменения знака нет. Это свойство и указывает на наличие сингулярности при к =

Прохождение через две области с конечными энергетическими щелями в виде двух параллельных полосок

Этот подраздел базируется на работах автора настоящей диссертации [I, II]. Чтобы описать туннелирование через область с конечной энергетической щелью (следовательно, и конечной эффективной массой), рассмотрим планарную гетероструктуру, состоящую двух областей бесщелевого графена, между которыми вставлена полоска щелевой модификации графена ширины D (примеры таких гетероструктур представлены на рис. 4а и б). Туннелирование в этом случае мы также называем клейновским туннели-рованием, несмотря на то, что утрачивается свойство туннелирования носителей тока с вероятностью единица при нормальном падении и речь идёт о надбарьерном прохождении, но, как показано ниже, сохраняется свойство туннелирования с вероятностью единица при выделенных углах падения, значения которых определяются так же, как и в случае туннелирования через область бесщелевого графена.

Ясно, что туннелирование не «различает» носители тока из разных долин — эффект одинаков безотносительно к долинной принадлежности носителей тока. По этой причине удобно пользоваться 2x2 матричным представлением, выбрав состояния, например, в окрестности Х-точки. Огибающая волновой функции носителей тока в планарной гетеро-структуре, в которой присутствует щелевая модификация графена, удовлетворяет уравнению Дирака в матричном представлении 2x2 [vFja- р + A3az + Vj\ Ф,-(ж, у) = ЕЧ 3(х, у). (2.1)

Здесь индексы j = 1 и j = 3 относятся к областям бесщелевого графена: Ai = A3 = О и V\ = V3 = 0, vp\ = vps] индекс j = 2 относится к щелевой модификации графена: А2 ф 0 и в общем случае vp2 Ф VFI, а середина запрещённой зоны смещена по энергии относительно дираковских точек в бесщелевом графене на V2, которую считаем в общем случае отличной от нуля. Кроме того, мы считаем контакты между бесщелевым графеном и его щелевой модификацией контактами I рода (классификация контактов приведена, например, в монографии [86]), то есть дираковские точки бесщелевого графена по энергии попадают в запрещённую зону вставленной полоски щелевой модификаций графена, что накладывает ограничения на величину V . IV2I Аг- Это необходимо для того, чтобы избежать спонтанного рождения электронно-дырочных пар, что привело бы к шунтированию приборов углеродной наноэлектроники на основе графена таких, например, как полевой транзистор.

Примеры планарных гетероструктур на основе графена, в которых осуществляется туннелирование через полоску щелевой модификации графена: (а) щелевая модификация образуется за счёт взаимодействия графена с подложкой из гексагонального нитрида бора (h - BN); (б) щелевая модификация образуется после осаждения водорода с образованием графана (атомы водорода показаны незакрашенными кружками). Волновая функция является двухкомпонентным спинором: (2.2) Рассмотрим сначала случай надбарьерного прохождения носителей тока, когда значение энергии Е попадает в зону проводимости Е Д2 + Vi (для электронов) или в валентную зону Е — А2 + Vi (для дырок). Пусть носители тока проходят в область 2 из области 1 (вдоль положительного направления оси ж, как показано на рис. 4а и б). Обе компоненты спинора пропорциональны осциллирущим функциям: ipf 2\x, y)oce±ik x+ik y1 (2.3) где kXj и kyj — компоненты волнового вектора в j-й области (знак «+» перед ikXjX относится к плоской волне, распространяющейся слева направо; знак «—» — к плоской волне, -E = Рис. 5. Энергетическая диаграмма рассматриваемой гетероструктуры. За начало отсчёта энергии (Е = 0) принято положение дираковских точек в бесщелевом графене, энергетическая поверхность вблизи которых представляет собой конуса. В щелевой модификации графена энергетическая щель Ед = 2Д2. Её середина смещена в общем случае относительно положения дираковских точек в бесщелевом графене на величину У2? 2 А2. распространяющейся справа налево). Уравнение (2.1) с учётом (2.3) является системой двух уравнений на ф- и ф (2) и ранее г = ±1( г = +1 для электронов; ; = - 1 для дырок). Для бесщелевого графена Е = ;hvpiki (отсюда определяется к±, энергию носителей тока Е считаем заданной). Для щелевой модификации Е = У2 + Яу Д2 + {hvp2)2k\. Из общих соображений (компонента тока вдоль границы раздела одинакова по обеим сторонам) ясно, что продольная компонента волнового вектора должна оставаться неизменной, то есть ку\ = кУ2 = куз = ку (в дальнейшем опустим индексы 1,2,3 при ку), тогда получаем соотношение между полярными углами волновых векторов в областях 1 и 3 и в области 2: где угол ф задан как угол падения частиц на барьер; угол в — полярный угол волнового вектора в области 2. Также в дальнейшем считаем кх\ = кхз = кх и /сх2 = qx.

Численное решение

Энергетическая диаграмма рассматриваемой гетероструктуры. За начало отсчёта энергии (Е = 0) принято положение дираковских точек в бесщелевом графене, энергетическая поверхность вблизи которых представляет собой конуса. В щелевых модификациях графена энергетическая щель принимает значения Ед2 = 2А2 и Ед± = 2Д4. Её середина смещена в общем случае относительно положения дираковских точек в бесщелевом графене соответственно на величину V2 и V . Компоненты волновых векторов определяются аналогично предыдущему подразделу: кх = к\ cos ф, ку = к\ sin ф, к\ = hvpi qxl = к2со8вг = L Ц- ((Е - V2f - А2) - Щ- sin2 ф, к2 = T —J(E - V2f - А2, h у vF2 vF1 hvF2 v qx2 = hcos62 = LЦ- ((E - VAf - A2) - 4f sin2 / , kA = T —J(E - V4)2 - Aj, п у vFA vFA hvFA v При этом -компоненты волновых векторов одинаковы во всех областях, откуда получаем соотношения аналогичные (2.5) \Е\ а кг v F2 VFI yJ(E - V2)2 - A2 ІЯІ sin d\ = — sin ф = &2 sm y2 = — sin0 = 4 VFI /{E - VAf - A sm sm (2.34) Введены обозначения: с — нормировочная постоянная; а, 6, сі, с2, д, / — неизвестные постоянные; г и — коэффициенты отражения и прохождения, соответственно; = sign(1); «і = i E-V2- А2 - У2 + Д2 , =sign(-V2 + A2), 2Vfctr!? = sign( -y4 + A4), Проведя сшивание решений (2.29)-(2.33) с граничным условием (2.9), получим систему уравнений на постоянные а, Ь, С\, с2, д, f и коэффициенты г, t:

Значение min{0i, ф2} от энергии E падающей частицы. Считается, что VFI VF2 И vp\ VFA- Можно определить предельное значение (Е $ Д2, А4) границы между осциллирующим и затухающим решениями как . (v Fi v Fi\ ( sm0o = mm , } (2.41; I vF2 VFA J Таким образом, и для двойного барьера с щелевыми модификациями графена имеется эффект фильтрования, причём угол фильтрования определяется меньшим углом из двух возможных углов фильтрования ф\ И 02 В случае VF2 VFI VF4 фильтрование по углу падения определяется областью 4:

На рис. 9 представлены графики зависимости вероятности надбарьерного прохождения электронов в гетероструктуре с двумя областями с полушириной запрещённой зоны А2 = 100 мэВ и А4 = 200 мэВ и V2 = V4 = 50 мэВ, скорость Ферми соответственно равна VF2 = 1Д 108 см/с и VF4 = 1,2-108 см/с. Таким образом в данной гетероструктуре имеется два различных по своим параметрам потенциальных барьера. Как следствие этого на графиках появляются очень узкие пики, большинство из которых не достигают единицы, так как углы аномального прохождения для одного и для второго барьера не совпадают — если даже через один барьер частица прошла с вероятностью единица, то через второй барьер она не сможет пройти с вероятностью единица. С увеличением расстояния между полосками щелевых модификаций d (ср. красные и синие кривые на графиках) пики несущественно отклоняются друг от друга за исключением области вблизи 0 = 0, где воз

Вероятности прохождения электронов Т = \t\2 через двойной барьер (см. рис. 8). (а) Е = 400 мэВ, синяя кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = D2 = d = = 24, 6 нм, красная кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = D2 = 24, 6 им и d = 49, 2 нм. (б) Е = 400 мэВ, синяя кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = = d = 24, 6 нм и D2 = 49, 2 нм, красная кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = 24, 6 нм, D2 = d = 49, 2 нм. (в) Е = 500 мэВ, синяя кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = D2 = rf = 24, 6 нм, красная кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = D2 = 24, 6 нм и d = 49, 2 нм. (г) ? = 500 мэВ, синяя кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = d = 24, 6 нм и D2 = 49, 2 нм, красная кривая для гетероструктуры с параметрами D\ = 24, 6 нм и D2 = rf = 49, 2 нм. Рис. 10. Вероятности прохождения электронов Т = \t\2 через два одинаковых барьера с параметрами: 2 = 4 = 100 мэВ, V2 = V4 = 50 мэВ, vp2 = VFA = 1,2 108 см/с, d = 24, 6 им. (а) Е = 200 мэВ, синяя кривая для гетероструктуры с D\ = D2 = 24, 6 им, красная кривая для гетероструктуры с D\ = D2 = 49,2 нм. (б) і = 300 мэВ, синяя кривая для гетероструктуры с D\ = D2 = 24, 6 нм, красная кривая для гетероструктуры с і = 2 = 49, 2 нм. можно существенное изменение формы и величины пика, но также появляются новые пики. С увеличением энергии увеличивается число пиков, как и в случае одного барьера. Чтобы проверить высказанное утверждение о появлении резких пиков как следствие различия параметров барьеров, представим графики для случая двух одинаковых барьеров (см. рис. 10). Однако, видно, что пики всё же становятся более узкими (ср. с рис. 6). Это происходит вследствие умножения вероятностей прохождения через два барьера: если Ті — вероятность прохождения одного барьера, то вероятность пройти через два барьера Т2 Ті, поэтому при значениях Ті 1 вероятность Т2 становится заметно меньше по сравнению с Ті и пики становятся более узкими. 2.2 Прохождение через область с конечной энергетической щелью и область магнитного поля

Теперь рассмотрим гетероструктуру, схожую с той, которая была исследована в подразделе 2.1.1, но с приложенным перпендикулярно плоскости гетероструктуры постоянным магнитным полем В(ж) = B(x)ez = (0, 0, В{х)) и \в для 0 ж А, I 0 для х 0 и х Di. D і — ширина области магнитного поля. Соответственно векторный потенциал можно взять в виде А(х) = А(х)еу = (0,А(х),0) и Область щелевой модификации отделена от области магнитного поля на расстояние d, а её ширина равна 2 (на рис. 11 приведены два варианта с щелевой модификацией гра-фена на поверхности полоски из гексагонального нитрида бора и с графаном).

Для начала найдём волновые функции в области магнитного поля в нужных нам обозначениях, а затем выпишем волновые функции во всех областях и произведём их сшивание.

Графеновая СР с чередующейся скоростью Ферми

Данная глава основана на работах автора настоящей диссертации [III-V]. Приграничные состояния были предсказаны И.Е. Таммом в 1932 году [90] и интенсивно исследуются в различных системах, например, в полупроводниковых СР [91, 92]. Выполнены теоретические исследования краевых состояний носителей тока в графеновых полосках1. Задолго до получения графена было показано, что на краях графеновых полосок типа «зигзаг» (zigzag edge) всегда возникают состояния с бесщелевым законом дисперсии [93]. Причём таких сильно локализованных состояний на краях типа «кресла» (armchair edge) не возникает. Это наводило на мысль, что должна проявляться зависимость электронных свойств графеновых полосок наноразмерной ширины (нанополосок) от типа их краёв. Анализ показал, что даже в нанополосках графена с перемежающимся типом краёв такие состояния присутствуют. Особенные их характеристики играют большую роль в определении плотности состояний вблизи уровня Ферми.

В рамках приближения слабой связи было разработано описание краевых состояний на языке калибровочных полей [94]. Были объяснены такие свойства краевых состояний, как их возникновение только вблизи краёв типа «зигзаг» и в определённых интервалах импульса, их положение около дираковских точек графена.

Здесь развивается предложенная в предыдущей главе модель для описания электронных свойств планарных гетероструктур на основе графена. В данной главе основное внимание уделяется приграничным состояниям в отдельно взятом гетеропереходе между бесщелевым графеном и его щелевой модификацией. В рамках приближения слабой связи носители тока описываются огибающей волновой функции. Накладываемые граничные условия таковы, что обеспечивается непрерывность потока через границу. Вопрос о типе краёв в такой постановке оказывается несущественным. Это упрощение в дальнейшем нами будет неоднократно использоваться.

Рассмотрим планарный гетеропереход графен — щелевая модификация графена. Считаем, что энергетическая щель в щелевых модификациях графена открывается в точках К и К первой зоны Бриллюэна, которые соответствуют дираковским точкам бесщелевого графена. Примеры гетеропереходов показаны на рис. 13.

Направим ось х в плоскости гетероперехода перпендикулярно границе раздела графена и его щелевой модификации, а ось у — вдоль неё. Ось z направлена перпендикулярно плоскости гетероперехода. Полуплоскость х 0 занимает бесщелевой графен, а полуплоскость х 0 — щелевая модификация графена.

Уравнение на огибающую волновой функции, описывающую носители тока в рассматриваемом планарном гетероконтакте на основе графена, запишем в матричном 4x4 представлении: Здесь параметры с j = 1 относятся к бесщелевому графену, а параметры с j = 2 — к щелевой модификации графена: vpi и Vp2 скорости Ферми (в общем случае Vp2 ф РЪ причём vpi Ю8 см/с); А і = 0 и А2 ф 0 — величины полуширины энергетической щели; V\ и У2 — работы выхода (У2 определяет положение середины запрещённой зоны щелевой модификации графена по отношению к дираковским точкам бесщелевого графена, V\ = О

Рис. 13. Два варианта рассматриваемой системы: (а) слой графена на подложке, составленной из h-BN и Si02; (б) неоднородно гидрогенизированный графен на подложке из Si02, где незакрашенные кружки — атомы водорода, располагающиеся так, что с одной стороны графенового листа они соединены с атомами углерода одной подрешётки, а с другой стороны — с атомами углерода другой подрешётки. E

Энергетическая диаграмма рассматриваемого гетероперехода па основе графепа. выбрано для начала отсчёта — см. рис. 14). Матрицы Паули аХ1 ayi az и единичная матрица 2 х 2 сто действуют в пространстве подрешёток (А и В подрешётки гексагональной решётки графепа). Матрицы Паули тж, тУ1 rz и единичная матрица 2 х 2 TQ действуют в пространстве долин (К- и _ЙГ7-точки первой зоны Бриллюэпа).

Чтобы избежать спонтанного рождения электронно-дырочных пар, мы считаем, что рассматриваемый гетерокоптакт является контактом I рода, то есть дираковские точки бесщелевого графепа попадают по энергии в запрещённую зону его щелевой модификации. Это накладывает ограничение па величину работу выхода 1/2І Дг Движение носителей тока вдоль оси у является свободным: (х,у) = (х)егкуУ. (3.2) Волновая функция Ф(х) представляет собой биспипор: Ф(ж) = где спиноры Ф_к(х) и Фк (х) описывают носители тока соответственно в долине К и К!\ 4fK(x) Оператор псевдочётпости ФКА(Х , Фк (х) іркв(х II K A(X. фк в(х\ Р = т9 0, (3.3) является произведением оператора инверсии гуА = irzaz и оператора вращения па угол 7Г вокруг оси z Az = —іто az. Очевидно, что оператор (3.3) коммутирует с гамильтонианом в уравнении (3.1). Будем решать уравнение (3.1) в классе собственных волновых функций Фд(ж) оператора псевдочётности (3.3) РФл(ж) = ЛФА(ж), Л = ±1, Уравнение (3.1) представляем в виде двух матричных уравнений 2x2 d \ -ivFjax— + vFjkyay + \AJ(TZ + Vj J ФЛк(ж) = ЕхЧ хк(х), (3.5a) -ivFjax- vFjky(jy - \Ajaz + Vj J ФЛк (ж) = лФлк (ж)- (3.56) Причём в уравнении (3.5а) Л = +1, а в уравнении (3.56) Л = —1. Тогда пару уравнений (3.5а) и (3.56) можно записать в виде одного матричного уравнения 2x2 d \ -ivFjax— + XvFjkyay + Ajaz + Vj J Фл(ж) = ЕхФ\(х). (3.6) Здесь и далее мы опускаем индекс К или X у волновых функций, поскольку собственное число оператора псевдочётности и так обладает свойством «различать» состояния из разных долин. Легко видеть, что при А : = 0 и Vj= 0 мы возвращаемся к спинорным волновым функциям, описывающим киральные состояния либо в К-, либо в Х -точке. В этом случае можно ввести оператор спиральности h = а р/(2р). Его собственное число (спираль-ность) определяет принадлежность носителей тока к одной из двух долин [33]. Однако, при Д / 0 киральная симметрия нарушается, поэтому вместо спиральности вводится квантовое число Л (псевдочётность), которое определяет принадлежность носителей тока к одной из двух долин.