Эффекты несохранения чётности в процессах резонансной рекомбинации и рассеяния электронов на многозарядных ионах Зайцев Владимир Алексеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Поиск квазивырожденных состояний противоположной чётности в литиеподобных ионах 10

1.1 Слабое взаимодействие 10

1.2 Гелиеподобные ионы 14

1.3 Литиеподобные ионы

1.3.1 Поиск параметров

1.3.2 Вычисление разности энергий 22

1.3.3 Вычисление ширин состояний 24

2 Эффект несохранения чётности в диэлектронной рекомби нации поляризованного электрона и гелиеподобного иона 30

2.1 Основные формулы 31

2.2 Результаты расчётов и обсуждение 36

3 Эффект несохранения чётности в резонансном рассеянии электронов тяжёлыми гелиеподобными ионами 44

3.1 Основные формулы 45

3.2 Результаты расчётов и обсуждение 49

Заключение 65

Список сокращений

• Литиеподобные ионы
• Вычисление разности энергий
• Результаты расчётов и обсуждение
• Основные формулы

Введение к работе

Актуальность работы

Нарушение пространственной чётности означает, что физические явления и процессы не инвариантны относительно зеркального отражения. Такое нарушение возникает в результате слабого взаимодействия, переносчиками которого являются тяжёлые ^± и ⁰ бозоны. Исследование эффектов несохранения чётности (ЭНЧ) в атомных системах представляет собой фундаментальный интерес. Это обусловлено возможностью проведения высокоточных измерений ЭНЧ, позволяющих тестировать электрослабый сектор Стандартной Модели (СМ) в низкоэнергетическом режиме, а также сильной чувствительностью таких эффектов к различным расширениям СМ.

В атомных системах эффект несохранения чётности впервые был экспериментально обнаружен в 1978 году в Новосибирске []. С тех пор было проведено множество экспериментов, направленных на измерение пространственной асимметрии в различных нейтральных атомах (см., например, работы [–]). Наибольшая экспериментальная точность была достигнута для атома цезия ¹³³Cs [,]. Объединение этих экспериментальных данных с теоретическими вычислениями, проведенными на том же уровне точности (см. работы [–9]), обеспечило наилучшую на сегодняшний день проверку электрослабого сектора СМ в низко-энергетическом режиме. Однако, следует отметить, что, несмотря на значительный прогресс в теоретических вычислениях, точность экспериментального значения все еще выше точности теоретического. Это обусловлено сложностью проведения расчёта атомной структуры, а именно корреляционных эффектов, тяжёлого нейтрального атома. В тяжёлых многозарядных ионах, напротив, электрон-электронное взаимодействие подавлено по отношению к электрон-ядерному множителем 1/ ( – заряд ядра).

Такое подавление позволяет вычислять корреляционные эффекты с необходимой точностью в рамках теории возмущений по межэлектронному взаимодействию. Этим и обуславливается интерес к ЭНЧ в многозарядных ионах. С экспериментальной точки зрения обнаружение нарушения пространственной чётности в таких системах представляет собой одну из важнейших задач современной физики. Цель работы

Основными целями диссертации являлись:

1. Поиск квазивырожденных состояний противоположной пространственной чётности среди дваждывозбужденных уровней тяжёлых литиеподоб-ных ионов. Определение энергетической разности между найденными уровнями с точностью, достаточной для оценки эффектов несохранения чётности, индуцированных перемешиванием этих состояний посредством слабого взаимодействия.

2. Исследование эффекта несохранения чётности в процессе диэлектронной рекомбинации поляризованных электронов в квазивырожденные автоионизационные состояния противоположной пространственной чётности тяжёлых литиеподобных ионов.

3. Исследование эффекта несохранения чётности в процессе упругого резонансного рассеяния поляризованных электронов на тяжёлых гелиепо-добных ионах.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Вычислены разности энергий между состояниями [(1s2s)₀?m] и \( 1s2pi/o) 0riK] литиеподобных ионов при к, = ±1, 4 ^ п ^ 7 и

= 54 - 100. Обнаружены значения , и , при которых эти уровни становятся квазивырожденными. Для таких состояний вычислены радиационные и автоионизационные ширины.

2. Детально исследован эффект несохранения пространственной чётности,

индуцированный слабым взаимодействием, в процессе диэлектронной

рекомбинации поляризованного электрона в дваждывозбужденные со-
[( ) ]
стояния [(12)₀ ] и 12_{1/2 0} тяжёлого литиеподобного иона.

Вычисления были проведены для параметров , и , при которых ожидалось значительное усиление эффекта, обусловленное близостью соответствующих уровней по энергии. Обнаружено, что нарушение пространственной чётности становится наиболее ярко выраженным при

энергии налетающего электрона, настроенной в резонанс с состоянием
[( ) ]

12_{1/2 0} .

3. Исследовано нарушение пространственной чётности в процессе упругого
резонансного рассеяния поляризованных электронов на тяжёлых гелие-
подобных ионах, находящихся в основном состоянии. Было рассмотрено
два различных сценария. В первом сценарии предполагалось, что поля
ризация рассеянного электрона детектируется, в то время как во втором
она остается неизвестной. Было обнаружено, что в обоих случаях эф
фект несохранения чётности будет наиболее ярко выраженным при рас
сеянии на ионах с 62 и 92 и энергии налетающего электрона

вблизи резонанса, отвечающего одному из квазивырожденных состояний

[( ) ]

[(12)₀ ] или 12_{1/2 0} .

Теоретическая и практическая значимость работы

1. Найдены квазивырожденные дваждывозбужденные состояния противоположной пространственной чётности тяжёлых литиеподобных ионов в

которых может иметь место заметное усиление нарушения пространственной симметрии.

2. Найдены условия, при которых эффект несохранения чётности в процессе диэлектронной рекомбинации поляризованных электронов в автоионизационные состояния тяжёлых литиеподобных ионов является наиболее ярко выраженным.

3. Предложены принципиально возможные экспериментальные сценарии по обнаружению эффектов несохранения чётности в упругом резонансном рассеянии поляризованных электронов на тяжёлых гелиеподобных ионах.

Положения, выносимые на защиту

1. Найдены квазивырожденные состояния разной пространственной четности в литиеподобных ионах и вычислены разности энергий между ними.

2. Проведено исследование эффекта несохранения четности в процессе ди-электронной рекомбинации поляризованных электронов в квазивырожденные состояния литиеподобных ионов.

3. Проведено исследование эффекта несохранения четности в процессе резонансного рассеяния поляризованных электронов на гелиеподобных ионах, находящихся изначально в основном состоянии.

Апробация работы

Работа докладывалась на семинарах кафедры квантовой механики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Основные результаты были представлены на научных семинарах молодёжной школы «Вклад молодых учёных России в проект FAIR» (Москва, 2012

- 2014), на международных конференциях HCI: Physics of Highly Charged Ions (Гейдельберг, 2012), SPARC: Stored Particles Atomic Physics Research Collaboration (Вена, 2012; Йена, 2013; Вормс, 2014), ФАС: Фундаментальная Атомная Спектроскопия (Воронеж, 2013), PEARL: Physics at EBITs and other Advanced Research Light sources (Шанхай, 2014), ICPEAC: International Conference on Photonic, Electronic and Atomic Collisions (Толедо, 2015). Основные результаты диссертации представлены в трёх статьях, опубликованных в рецензируемых научных журналах (Physical Review A, Journal of Physics B и Physica Scripta), входящих в базы данных Web of Science или Scopus. Личный вклад автора

На основании результатов диссертации совместно с соавторами было подготовлено три статьи, опубликованных в индексируемых Web of Science журналах (Phys. Rev. A, J. Phys. B и Phys. Scr.). Персональный вклад автора в эти работы является определяющим. Диссертант также лично представил 10 (4 устных и 1 приглашённый) докладов на научных конференциях. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Литиеподобные ионы

Нарушение пространственной симметрии в системе индуцируется слабым взаимодействием, переносчиками которого являются тяжёлые ± и 0 бозоны, отвечающие, соответственно, заряженным и нейтральным токам. В атомных системах основной вклад в ЭНЧ происходит в результате обмена 0 бозоном между атомными электронами и нуклонами внутри ядра. Этот вклад состоит из зависящей и независящей от спина ядра частей. Ввиду того, что зависящая от спина ядра часть является малой в сравнении с независящей от спина частью, здесь и всюду далее рассматривается лишь та часть слабого взаимодействия, которая не зависит от спина ядра. Следует отметить, что электрон-электронное взаимодействие, обусловленное обменом 0 бозоном, является пренебрежимо малым в рамках приближений, используемых в этой работе, а потому также опускается. Таким образом, доминирующий вклад слабого взаимодействия, рассматриваемый в настоящей работе, описывается следующим гамильтонианом [2]:

Из-за матрицы 5 гамильтониан слабого взаимодействия (1.1) неинвариантен относительно пространственного отражения (инверсии) [11]. Таким образом, матричный элемент этого гамильтониана будет отличен от нуля лишь в том случае, когда в обкладках будут стоять волновые функции, описывающие состояния различной пространственной чётности. Отметим дополнительно, что N не равна нулю лишь на ядре, а значит, матричный элемент оператора (1.1) будет прямо пропорционален области перекрывания волновых функций с ядром.

В рамках настоящего исследования влияние слабого взаимодействия учитывается посредством теории возмущений. Такой подход является обоснованным ввиду малости слабого взаимодействия по отношению к кулоновскому электрон-электронному и электрон-нуклонному взаимодействиям. Поправки первого порядка к энергии и волновой функции состояния выражаются, соответственно, следующим образом [12]:

Здесь Ф и Е 0) обозначают невозмущённые слабым взаимодействием волновые функции и энергии, соответственно. Поправка первого порядка к энергии (1.4) тождественно равна нулю, ввиду того что в обкладках стоят волновые функции одинаковой пространственной чётности. Поправка на слабое взаимодействие второго порядка является пренебрежимо малой и не вносит качественных изменений в результаты, а потому опускается. Таким образом, эффекты, индуцированные слабым взаимодействием, с хорошей степенью точности могут быть описаны модификацией невозмущенной волновой функции посредством добавления к ней примеси, обладающей противоположной пространственной чётностью (1.5).

Приведём явное выражение для матричного элемента гамильтониана слабого взаимодействия (1.1). Здесь и всюду далее мы будем использовать приближение невзаимодействующих электронов. Оно является обоснованным, так как в рамках настоящей работы в качестве объектов исследования выступают тяжёлые многозарядные ионы, в которых электрон-электронное взаимодействие подавлено множителем 1/Z в сравнении с электростатическим электрон-ядерным взаимодействием. В приближении невзаимодействующих электронов многоэлектронная волновая функция выражается через одно-электронные волновые функции. Одноэлектронные волновые функции, являющиеся решениями уравнения Дирака в электростатическом потенциале

Вычисление разности энергий

В литературе представлено несколько работ, предлагающих использовать безрадиационный захват для обнаружения ЭНЧ. В работе [51] Пиндзола (Pindzola) исследовал ЭНЧ в процессе Оже распада (2s)2 и ( 2s2p1/2 ) 0 уровней гелиеподобного иона урана (Z = 92), перемешиваемых слабым взаимодействием. Разность энергий между этими состояниями составляет 20 эВ, из-за чего не возникает какого-либо значительного усиления пространственной асимметрии. ЭНЧ в процессе ДР в эти же состояния был изучен Грибакиным (Gribakin) и соавторами для ионов с Z 60 [52]. Следует отметить, что уровни (2s)2 и ( 2s2p1/2 ) 0 становятся квазивырожденными при Z = 48, усиливая, тем самым, пространственно-нечётную асимметрию. В обоих приведенных выше работах используется лишь один механизм усиления. В первой, усиление обусловлено большим зарядом ядра (Z = 92), а во второй - квазивырожденностью состояний противоположной пространственной чётности. В этой главе мы детально рассмотрим ЭНЧ в ДР поляризованных электронов в квазивырожденные состояния [(ls2s)0?m] и [(ls2p1/2 ) 0? ] тяжёлых (Z 60) литиеподобных ионов. В таком процессе задействованы оба механизма усиления коэффициента смешивания (1.9), что делает предложенный сценарий многообещающим для исследования эффектов, индуцированных слабым взаимодействием.

Перейдём к теоретическому описанию процесса ДР поляризованного электрона, обладающего четырех-импульсом рі = (є , Pi), и гелиеподобного иона в основном (Is)2 состоянии. Амплитуда такого процесса с учётом последующего однофотонного распада в конечное состояние / может быть записана в виде [37,44]:

Здесь Ed - энергия состояния d, ЕІ = E sy + ЄІ - полная энергия начального состояния системы. Элемент (Ф /ФІ) отвечает ДР в состояние d. Для усиления ЭНЧ предполагается, что энергия налетающего электрона ЄІ настроена в окрестности резонансов, отвечающих квазивырожденным состояниям rfi = [(ls2pi/2 ) ()пк\ и d i = [(ls2s)0?m]. Поэтому в рамках настоящего исследования в выражении (2.1) учитываются лишь резонансные d\ и d i слагаемые.

Как и ранее, для построения многоэлектронных волновых функций используется приближение невзаимодействующих электронов. В рамках этого приближения волновая функция начального состояния записывается в виде:

Данное выражение получается из приведенного ранее (1.20) простой заменой волновой функции вылетающего электрона щ на волновую функцию налетающего электрона (см. приложение B):

Для учёта слабого взаимодействия, нарушающего пространственную чётность, модифицируем волновые функции квазивырожденных состояний d\ и i2 следующим образом [см. формулы (1.5) и (1.9)]:

В результате такой замены состояния 1 и 2 приобретают малые примеси близлежащих состояний противоположной пространственной чётности 2 и 1, соответственно. Подставляя модифицированные волновые функции в выражение для амплитуды (2.1) и опуская вклады пропорциональные 2, получим: где в последнем слагаемом Md обозначает Mdl = М 2, ввиду того, что оператор слабого взаимодействия сохраняет проекцию полного момента. Именно это слагаемое и описывает нарушение пространственной симметрии в рассматриваемом процессе. Напомним, что пространственная асимметрия заключается в зависимости измеряемой физической величины от значения псевдоскаляра. В настоящей работе в качестве псевдоскаляра выступает спи-ральность (проекция спина на направление движения) налетающего электрона /ij, а измеряемой физической величиной является полное сечение рассеяния: (2.7) где – скорость налетающего электрона, и подразумевается, что суммирование ведётся по всем возможным квантовым числам конечного состояния. Для упрощения последнего выражения рассмотрим следующую конструк 35 цию, возникающую при раскрытии модуля V / (іш2тгш25 {uj + Ef- Е{) / rffir7ph)/;dT J.d/. (2.8) Она представляет собой матричный элемент между состояниями d и d! оператора

Этот оператор является сферически-симметричным, а значит его матричный элемент будет отличен от нуля лишь для состояний, обладающих одинаковыми угловыми квантовыми числами. Так как в амплитуде (2.6) фигурируют только состояния d\ и б?2, отличающиеся пространственной чётностью, то выражение (2.8) может быть записано в виде [44]: V / du}27ru}26 {UJ + EJ- ЕІ) / dSlr f-dT J.d,. = 5MrdRad). (2.10) Аналогичные рассуждения остаются верными и при учёте остальных возможных каналов распада. Таким образом, заменяя радиационную ширину, возникающую в результате упрощения выражения (2.7), полной, получим сечение ДР в следующем виде:

Результаты расчётов и обсуждение

Как уже отмечалось ранее, для усиления ЭНЧ энергия налетающего электрона должна быть настроена таким образом, чтобы получить резонанс с квазивырожденными дваждывозбуждёнными состояниями противополож [( ) ] ной пространственной чётности, 1 121/2 0 и 2 [(12)0 ], со ответствующих литиеподобных ионов. Квазивырожденность этих состояний для некоторых значений , и была обнаружена ранее (см. таблицу 1.1). В настоящей главе мы изучаем нарушение пространственной симметрии, индуцированное влиянием слабого взаимодействия, по изменению дифферен циального сечения рассеяния (ДСР): 12 (o"1/2-1/2 + сг-1/2 1/2 ) , отвечающие процессам с изменением и без изменения спиральностей, соответственно. В этих обозначениях полное ДСР будет выражаться как т0 = 7nsf + 7sf. Опираясь на правила (3.11), можно заключить, что слабое взаимодействие модифицирует сечение рассеяния лишь в том случае, когда спиральности налетающего и рассеянного электронов совпадают (/i = /І). Таким образом, нарушение пространственной симметрии проявляет себя в отклонении от нуля пространственно-нечётного вклада в сечение, OPNC = 12 iy1/2 1/2 - 7-1/2 -1/2 ) .

В настоящей главе мы рассматриваем два различных сценария. В первом сценарии (/), поляризация рассеянного электрона детектируется, и рассматриваются только вклады в ДСР без переворота спина. В этом случае величина ЭНЧ определяется коэффициентом асимметрии Л = C"PNC/c"nsf. В рамках второго сценария (II) поляризация вылетающего электрона остается ненаблюдаемой, и учитываются оба вклада 7nsf и jsf. Для этого сценария коэффициент асимметрии выражается как Л = OPNC/C0. Экспериментальная реализуемость рассматриваемого процесса связана с величиной минимальной требуемой светимости, выражаемой следующим образом [см. работы [25,52] и формулу (3.13)]:

Здесь a = 7nsf и а = т0, сг(B, отвечает фоновому сигналу, Т - время сбора данных и г] - требуемая точность измерения ЭНЧ. В настоящей главе мы полагаем а(B, ) = О, Т равное двум неделям и г] = 1%. На рисунке 3.2 изображена зависимость коэффициентов асимметрии A, и светимостей L,, соответствующих упругому РР электрона на гелиепо 52 добном ионе самария (Z = 62), от угла рассеяния в при энергиях налетающего электрона, настроенных в резонанс с состояниями [(1s2s)07s] и [( 1s2p1/2 ) 0 7s] . Случай иона урана представлен на рисунке 3.3. Ввиду того, что коэффициенты асимметрии напрямую связаны с величиной ЭНЧ, можно заключить, что в случае первого сценария нарушение пространственной симметрии становится наиболее ярко выраженным при больших углах рассеяния. Для неопределенной поляризации рассеянного электрона (второй сценарий) наиболее многообещающими кажутся углы рассеяния в 60, в то время как при больших углах наблюдается сильное подавление ЭНЧ. Это может быть объяснено тем фактом, что при больших углах рассеяния, доминирующий вклад в ДСР даёт пространственно-чётная амплитуда, отвечающая перевороту спина и не интерферирующая с нарушающей чётность амплитудой вследствие свойств (3.11). Отметим дополнительно, что резкие пики светимости (см. нижние графики на рисунках 3.2 и 3.3) соответствуют параметрам, при которых пространственная чётность сохраняется, т.е. OPNC обращается в ноль [см. также формулу (3.13)]. Такие параметры не представляют интереса для настоящего исследования, а потому не будут рассматриваться в дальнейшем.

Зависимость коэффициентов пространственно-нечётной асимметрии AIJI и светимостей, соответствующих упругому РР поляризованного электрона на гелиеподобном ионе самария (Z = 62), от энергии рассеиваемого электрона для трёх разных углов рассеяния (60, 110 и 175 градусов) изображена на рисунке 3.4. Случай иона урана (Z = 92) представлен на рисунке 3.5. Из рисунка 3.4 видно, что при рассеянии на ионе самария пространственно-нечётная асимметрия достигает своего максимального значения при энергии налетающего электрона, настроенной в окрестности резонанса, отвечающего состоянию [(1s2s)07s]. В случае иона урана (рисунок 3.5) резонанс с уров Коэффициенты асимметрии (верхние графики) и светимости (нижние графики) упругого РР электрона на гелиеподобном ионе самария ( = 62) для двух разных сценариев. В первом сценарии (левые графики) поляризация рассеянного электрона считается известной и неизвестной во втором (правые графики). Сплошная и пунктирная линии отвечают энергиям налетающего электрона, настроенным в резонанс с состояниями 121/2 0 7 и [(12)0 7] литиеподобного иона самария, соответственно.

Коэффициенты асимметрии (верхние графики) и светимости (нижние графики) упругого РР электрона на гелиеподобном ионе урана ( = 92) для двух разных сценариев. В первом сценарии (левые графики) поляризация рассеянного электрона считается известной и неизвестной во втором (правые графики). Сплошная и пунктирная линии отвечают энергиям налетающего электрона, настроенным в резонанс с состояниями [(12)0 6] и 121/2 0 6 литиеподобного иона урана, соответственно. нем [(1s2s)06s] даёт наибольшее значение ЭНЧ лишь для больших углов рассеяния (см. также рисунок 3.3). При рассеянии на угол около 110 градусов, наоборот, нарушение пространственной симметрии становиться наиболее ярко выраженным для энергии налетающего электрона, настроенной в резонанс с [( 1s2pi/2 )Q 6s] . Следует отметить, что параметры ЄІ и #, отвечающие максимальному значению пространственной асимметрии, не обязательно соответствуют наилучшему значению светимости и наоборот. Для того чтобы найти оптимальное соотношение, мы предлагаем следующую процедуру. Вначале для каждого угла рассеяния находим такое значение ЄІ, которое отвечает пиковому значению пространственной асимметрии. Затем отбираем углы рассеяния и энергии налетающего электрона, при которых пиковое значение пространственно-нечётной асимметрии совпадает (по порядку величины) с максимальным. Среди этих углов и энергий отвечать оптимальному балансу будут те, для которых минимальная требуемая светимость примет наименьшее значение. В качестве примера рассмотрим сценарий, в котором поляризация конечного электрона считается измеренной (первый сценарий). Для иона самария (рисунок 3.4) максимальное значение Лі ожидается для угла рассеяния 175 и равно 2.7 х 10-7, в то время как при этих же параметрах Lj равно 4.4 х 1033 см-2 с-1, что на три порядка превышает оптимальное значение. Оптимальное соотношение между Лі и Lj ожидается при в 55 где они, соответственно, принимают значения —1.3 х 10 7 и 3.5 х 1030 см-2 с-1. В таблицах 3.1 и 3.2 приведены результаты для параметров п, к и Z, которые кажутся наиболее многообещающими для измерения ЭНЧ в процессе упругого РР электронов на гелиеподобных ионах.

Основные формулы

Построим волновую функцию электрона p//Х(г), обладающую определённым (асимптотически) импульсом р и спиральность /І, во внешнем сферически-симметричном центральном поле с асимптотикой —aZ/г. Приведённое ниже построение отличается от представленного в книге [77] лишь тем, что направление оси z не является фиксированным. волна фp(л(г), обладающая Рассмотрим случай, когда асимптотика волновой функции на бесконечности представляет собой суперпозицию плоской и сферически расходящихся волн: где n = r/r, v = р/р и Gjj, {у,п) - некоторый биспинор, явный вид которого будет приведён ниже. Плоская импульсом р и спиральностью /І, имеет следующий вид:

Здесь Хі/2іл{и) является собственной функцией оператора -2{сг и) с собственным значением /І. Ввиду того, что волновая функция щи (г) обладает определённой энергией є, она может быть разложена по полному набору решений уравнения Дирака в центральном поле: где ifjKnij (г) являются волновыми функциями непрерывного спектра с фиксированной энергией є и асимптотикой [13]: фазовый сдвиг, обусловленный короткодействующей частью рассеивающего потенциала (см. приложение E). Коэффициенты актр фигурирующие в разложении (B.3), выбираются таким образом, чтобы в разности взятой на асимптотике, сокращались все слагаемые, содержащие е грг/г. Выбор этих коэффициентов становится наиболее прозрачным при использовании разложения плоской волны по волновым функциям свободной частицы с определённым моментом (по сферическим волнам):

Подставляя разложение (B.8) в (B.7) и используя вид волновых функций г[)єкт.(г) и фєкт.(г) на асимптотике (B.4) и (B.10), соответственно, получим (сокращая все слагаемые, содержащие

Окончательное выражение для волновой функции запишется в виде: Фpа (Г) = / / 10 1/2 i 2/ + ІЄ1 KDJm (z — р) єк/х(і"). (B.13) Аналогично можно построить волновую функцию фpИ (г), асимптотика которой представляет собой суперпозицию плоской и сферически сходящихся волн:

Амплитуда упругого рассеяния Приведём подробный вывод выражения для амплитуды упругого рассеяния в нулевом порядке по межэлектронному взаимодействию с учётом вклада прямого первого порядка (основные шаги вывода представлены в книге [77]). Удобнее всего этот вывод начать с построения сечения упругого рассеяния: где v и п единичные вектора в направлении налетающего р и рассеянного р/ электронов, соответственно. Знаменатель выражения (C.1) отвечает плотности потока падающих частиц и записывается в виде:

Эквивалетность двух этих форм легко показать путем прямой подстановки последнего выражения в (D.1) и упрощения. Здесь следует отметить, что биспинор Ga (i ,n) может быть получен из асимптотики волновой функции Ща (г), где (г - проекция спина на ось квантования z соноправленной с р. 1/2

Рассмотрим более подробно метод вычисления амплитуд (3.3) и (3.4), отвечающих упругому рассеянию дираковского электрона на потенциале V(r) = Kiuc( ) + VSCT(r), где VnUC - электростатический потенциал конечного ядра, обладающий асимптотикой —aZ/r, а VSCT - экранирующий потенциал (Is)2 оболочки (3.5) с асимптотикой 2а/г. Для дальнейшего рассмотрения рассеивающий потенциал V(r) удобно переписать в виде У {г) = Vc(r) + Vs(r), (E.1) где Vc(r) = —a(Z — 2)/г представляет собой чистый кулоновский потенциал, а короткодействующая часть Vs(r) выражается следующим образом: где Ас и Вс являются расходящимися кулоновскими амплитудами рассеяния в потенциале Vc(r). Процедура их регуляризации представлена в работах [58-61]. Амплитуды As и Ps, описывающие отклонение рассеивающего потенциала V(r) от чистого кулоновского, выражаются следующим образом:

Здесь c - кулоновский фазовый сдвиг, а 5s - фазовый сдвиг, обусловленный короткодействующей частью рассеивающего потенциала. Отметим, что иногда бывает удобно использовать следующую запись выражений (E.5) и (E.6): где ведется суммирование по дираковскому квантовому числу к. В отличие от Ас и Рс, амплитуды As и Ps являются быстро сходящимися выражениями по к. Фазовый сдвиг 6s может быть найден из асимптотики решений уравнения Дирака в потенциале V(r), например, с помощью пакета [78]. В качестве альтернативного метода выступает метод фазовых функций [79–81]. В рамках этого метода находится как асимптотика решения дифференциального уравнения первого порядка с граничным условием (0) = 0, – вронскиан, явный вид которого приведён ниже. Здесь являются, соответственно, большой и малой компонентами решения уравнения Дирака в чистом кулоновском потенциале . Нижний индекс reg соответствует регулярному на бесконечности решению, а irr – нерегулярному. Такие решения могут быть записаны в следующей форме [82,83]: