Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Трёхчастичные системы 11
1.1. Введение 11
1.2. Уравнение Шредингера 16
1.3. Уравнения Фаддеева 18
1.4. Угловой анализ уравнений Фаддеева 20
1.5. Асимптотика компоненты Фаддеева 32
1.6. Асимптотики парциальных компонент Фаддеева 33
Глава 2. Асимптотический подход к решению задачи рассея ния 35
2.1. Введение 35
2.2. Постановка задачи 36
2.3. Постановка модельной задачи 40
2.4. Асимптотический подход 41
2.5. Асимптотический гиперсферический подход 46
2.6. Выводы к данной главе 48
Глава 3. Модельная задача 50
3.1. Модельное уравнение 50
3.2. Амплитуды и амплитудные функции 52
3.3. Асимптотики амплитудных функций 54
3.4. Выводы к данной главе 57
Глава 4. Численная схема 59
4.1. Краевая задача для уравнений в декартовых координатах 59
4.2. Краевая задача для уравнений в гиперсферических координатах 61
4.3. Определение амплитуд рассеяния 66
4.4. Выводы к данной главе 70
Глава 5. Стреловидная декомпозиция для блочно-трёхдиаго нальной СЛАУ 71
5.1. Введение 71
5.2. Метод стреловидной декомпозиции 74
5.3. Метод матричной прогонки 76
5.4. Вычислительное ускорение 78
5.5. Практические результаты 81
5.6. Выводы к данной главе 84
Глава 6. Результаты вычислений 86
6.1. Результаты решения модельной задачи 86
6.2. Результаты вычислений для s-волнового уравнения Фаддеева 99
6.3. Выводы к данной главе 113
Заключение 114
Литература
- Уравнения Фаддеева
- Постановка модельной задачи
- Асимптотики амплитудных функций
- Краевая задача для уравнений в гиперсферических координатах
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Интенсивные исследования процессов рассеяния элементарных частиц начались в первой четверти двадцатого века. В настоящее время, эксперименты по рассеянию частиц являются основным инструментом проверки новых теорий и моделей. Описание процессов рассеяния в системе трёх нерелятивистских частиц в рамках формализма уравнения Липпманна-Швингера затруднено из-за неединственности решения данного уравнения [1,2] и трудности задания асимптотических граничных условий для волновой функции. Использование формализма интегральных уравнений Фад-деева [3] для компонент волновой функции позволяет поставить корректную, однозначно решаемую задачу рассеяния. Более простые асимптотические краевые условия на компоненту волновой функции для дифференциальных уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве делают возможным эффективное численное решение поставленной задачи. Применение дифференциальных уравнений Фаддеева [4] для исследования процессов трёхчастичного рассеяния позволяет определить параметры нейтрон-дейтронных (nd) столкновений как с модельными потенциалами [5], так и с реалистичным нуклон-нуклонным взаимодействием [6,7]. Недавние исследования нейтрон-нейтронного взаимодействия в конечном состоянии и характеристик нейтрон-нейтронного рассеяния в nd реакциях основаны на теоретических результатах, полученных в формализме Фаддеева [8,9]. Отработка вычислительных методов и алгоритмов ъnd рассеянии открывает хорошие перспективы для точного описания современных данных по протон-дейтронному рассеянию [10].
Цели и задачи диссертационной работы: Одним из открытых вопросов при описании рассеяния в системе трёх нерелятивистских частиц при энергиях выше порога развала является вопрос о корректном учёте развальной составляющей асимптотики решения задачи рассеяния и се влияния на бинарную составляющую. Целью диссертационной работы является построение но-
вого представления для асимптотик компонент волновой функции, в котором в явном виде произведена ортогонализация бинарного канала и канала развала. На этой основе в диссертации разработан новый метод решения граничных задач для рассеяния выше порога трёхчастичного развала. Правильность разработанного метода подтверждается аналитическими результатами для амплитудных функций бинарного канала и канала развала в случае модельной задачи. В диссертации показано, что амплитудные функции, полученные как предложенным методом, так и методом функции Грина, медленно сходятся к амплитудам рассеяния. Сходимость достигается, вообще говоря, на бесконечности. Применительно к методу определения амплитуд рассеяния, это приводит к необходимости задавать граничные условия задачи рассеяния на большом расстоянии от начала координат.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются оригинальными и новыми. Аналитические результаты для модельной задачи, а также новое представление для асимптотик компонент волновой функции получены впервые. Граничная задача для проблемы рассеяния в данном виде ставится в первый раз, хотя общая формулировка задачи является классической [4]. Проекционный метод для нахождения амплитуд рассеяния предложен и используется впервые. Разработанный численный метод для параллельного решения блочно-трёхдиагональной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является оригинальным обобщением известного метода декомпозиции для трёхдиагональных систем.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей диссертации, могут быть использованы для оценки точности получаемых амплитуд бинарного канала и канала развала в трёхчастичном рассеянии, для анализа экспериментальных данных измерения характеристик нейтрон-нейтронного рассеяния в nd столкновениях. Разработанные методы могут послужить базой для описания четырехчастичного рассеяния и для рассеяния в системе протон-дейтрон. Численные методы, использованные в данной дис-
сертации, могут применяться для решения аналогичных граничных задач, возникающих в квантовой физике и прикладной математике, а также для параллельного решения блочно-трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений независимо от их происхождения. Положения, выносимые на защиту:
-
Новое представление для асимптотики компоненты волновой функции, в котором в явном виде произведена ортогонализация бинарного канала и канала развала.
-
Новый метод решения граничной задачи для проблемы рассеяния выше порога трёхчастичного развала.
-
Аналитически полученные асимптотики амплитудных функций бинарного канала и канала развала модельной задачи медленно сходятся к соответствующим амплитудам.
-
Численная демонстрация медленной сходимости амплитудных функций в случае оригинальной задачи нейтрон-дейтронного рассеяния на базе s-волновых уравнений Фаддеева.
-
Численный метод для эффективного параллельного решения блочно-трёх-диагональной СЛАУ, возникающей после дискретизации граничной задачи для s-волнового уравнения Фаддеева.
Степень достоверности и апробация результатов. Изложенные в диссертации результаты неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры Вычислительной физики СПбГУ и на международных семинарах и конференциях: на 61 Международной конференции по ядерной физике "Ядро 2011. Ядерные данные в современных технологиях" (Саров, Россия, октябрь 2011), на семинарах "Russian-ukrainian seminar on few-body problems with strong and coulomb interactions" (Киев, Украина, май 2012) и "Nuclear Theory in the
Supercomputing Era" (Хабаровск, Россия, июнь 2012), на международной конференции "20th International conference on Mathematical Modelling and Analysis" (Сигулда, Латвия, май 2015), на 65 Международной конференции по ядерной физике "Ядро 2015. Новые горизонты в области ядерной физики, атомной, фемто- и нанотехнологий" (Санкт-Петербург, Россия, июнь-июль 2015), на первой объединенной суперкомпьютерной конференции "Суперкомпьютерные дни в России" (Москва, Россия, сентябрь 2015), на 58 научной конференции МФТИ с международным участием (Москва, Россия, ноябрь 2015), на международной сессии-конференции Секции Ядерной Физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" (Дубна, Россия, апрель 2016).
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 5 статьях [А1,А2,АЗ,А4,А5] в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, а также в 2 сборниках трудов конференций [В1,В2]. Четыре научных журнала из пяти индексируются в международных базах Web of Science или SCOPUS, а сборники трудов конференций включены в РИНЦ.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации, 127 страниц, содержит 25 рисунков и 4 таблицы. Список использованной литературы включает 114 наименований на 12 страницах.
Уравнения Фаддеева
Несмотря на существенный прогресс в интерпретации данных трёхча-стичного рассеяния, аппроксимации, необходимые для численного описания двухчастичной /-матрицы, и сингулярность трёхчастичных ядер интегральных уравнений требовали более точного подхода. Этим подходом стали дифференциальные уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве. Хотя впервые они появились в работе [22] и использовались для расчета энергий связи ядер 3Н и 3Не [23], полное исследование трёхчастичного рассеяния на базе этих уравнений было проведено С. П. Меркурьевым [24]. В частности, были найдены асимптотики компоненты Фаддеева волновой функции в конфигурационном пространстве для случая короткодействующих потенциалов. Таким образом, Меркурьеву удалось математически корректно поставить задачу рассеяния для системы трёх частиц. Разложение компоненты Фаддеева по парциальным волнам, ограничиваясь потенциалом действующим в s-волне, например, Malflietjon I-III [25, 26] или s-волновым приближением более сложного потенциала Рида [27, 28], позволило с хорошей, на тот момент, точностью получить параметры нейтрон-дейтронного рассеяния. Были вычислены бинарная амплитуда и амплитуда развала при энергии выше порога трёхчастичного развала. Расчет параметров нейтрон-дейтронного рассеяния с использованием дифференциальных уравнений Фаддеева с реалистичным нуклон-нуклонным взаимодействием впервые представлен в работе [29]. Последующие работы, посвященные ядерным системам, включали рассмотрение уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве для более высоких парциальных волн [30-34] ниже порога трёхчастиного развала. Достаточно надежные результаты теоретического исследования нейтрон-дейтронного рассеяния выше порога трёхчастиного развала были получены только в девяностые годы [35-37] благодаря развитию вычислительной техники. В последние годы наметился интерес к численному исследованию rid рассеяния [38], в том числе с использованием метода комплексного скейлинга [39, 40].
Дальнейшее развитие теоретического формализма дифференциальных уравнений Фаддеева включало обобщение на случай системы трёх заряженных частиц [41-44]. В работах [42, 43] был предложен формализм, описывающий рассеяние с дальнодействующими потенциалами, и задача протон-дейтронного рассеяния была численно решена [44]. Также было построено разложение компонент Фаддеева, альтернативное парциальному, не требующее учета большого количества парциальных волн [45] для точного описания рассеяния.
В практических расчетах для нахождения амплитуд рассеяния используются вычислительные алгоритмы, основанные на решении граничных задач для уравнений Фаддеева и извлечении амплитуд из сравнения решения с асимптотикой [46, 47]. Эти алгоритмы не требуют восстановления полного решения граничной задачи и поэтому могут быть использованы для решения задач с двумерными уравнениями. Хорошо известно [24, 48], что хотя разбиение волновой функции трёхчастичной системы на компоненты Фаддеева позволяет асимптотически расцепить двухчастичные каналы, при энергиях выше трёхчастичного порога развала каждый двухчастичный канал пересекается с каналом развала. Это выражается в том, что в асимптотической области конфигурационного пространства, где частицы связанной пары находятся на не очень больших расстояниях, вклады двухчастичного канала и канала развала в асимптотику компоненты волновой функции имеют одинаковый порядок. Последнее обстоятельство приводит к невозможности нахождения амплитуд упругого рассеяния и развала без использования тех или иных приближений.
В настоящей диссертации решается задача построения альтернативного [24] представления для асимптотик компонент волновой функции. Найденное представление асимптотически эквивалентно представлению предложенному Меркурьевым в работе [46]. В полученном в данной диссертации представлении вклады двухчастичного и трёхчастичного каналов ортогона-лизуются. Это позволяет находить амплитуды упругого рассеяния и развала без привлечения каких-либо приближений. Для достижения требуемой структуры асимптотик компонент волновой функции предлагается использовать ортонормированный базис [110], состоящий из собственных функций двухчастичной части полного гамильтониана, задаваемого в гиперсферических координатах [49]. Показано, что данный базис позволяет ортогонализовать вклады упругого канала и канала развала. Использование данного разложения в уравнениях Фаддеева позволяет выразить асимптотику компоненты волновой функции в терминах известных функций. Описанный алгоритм применяется для вычисления амплитуды бинарного рассеяния и развала в системе нейтрон-дейтрон nd). Для амплитуд развала вычисляются как допредельные значения, полученные при большом, но конечном значении гиперрадиуса, так и предельные при стремлении гиперрадиуса к бесконечности. Результаты вычислений бинарной амплитуды aо совпадают с результатами других групп исследователей, а результаты вычисления предельной амплитуды развала не имеют возмущений, характерных для поведения амплитуд развала работ [37, 50] в области малых расстояний между нуклонами, образующими дейтрон. Сходимость результатов для бинарной амплитуды, полученная в рамках предложенного подхода, для случая модельной задачи подтверждается найденной аналитически асимптотикой амплитудной функции. Дополнительно рассмотрены альтернативные методы нахождения амплитуд рассеяния. Показано, что результаты использования рассмотренных методов хорошо согласуются между собой. Представлена численная схема, которая обеспечивает эффективное параллельное решение дискретизованной граничной задачи.
Постановка модельной задачи
В настоящей главе решается задача построения нового представления для асимптотики компоненты волновой функции. Найденное представление асимптотически эквивалентно представлению предложенному С. П. Меркурьевым в работе [46]. В полученном представлении вклады двухчастичного и трёхчастичного каналов ортогонализуются. Это позволяет находить амплитуды упругого рассеяния и развала без привлечения каких-либо приближений. Для достижения требуемой структуры асимптотики компонент волновой функции предлагается использовать ортонормированный базис [110], состоящий из собственных функций двухчастичной части полного гамильтониана, задаваемого в гиперсферических координатах. Показано, что данный базис позволяет ортогонализовать вклады упругого канала и канала развала. Использование разложения компоненты волновой функции по данному базису в уравнениях Фаддеева позволяет выразить асимптотику данной компоненты в терминах известных функций. В рамках данного разложения амплитуда развала представляется линейной комбинацией базисных функций с неизвест ными коэффициентами. Базисные функции зависят от значения гиперрадиуса параметрически. Пределы этих функций при бесконечном значении гиперрадиуса известны аналитически. Коэффициенты данного разложения являются коэффициентами ряда Фурье и вычисляются из сравнения решения граничной задачи с асимптотикой компоненты волновой функции в асимптотическом регионе. Амплитуда бинарного канала 2о соответствует первому коэффициенту ряда и вычисляется вместе с другими коэффициентами.
В данной главе рассматривается рассеяние в системе, состоящей из трёх тождественных нсрслятивистских частиц, взаимодействующих попарно. В методе уравнений Фаддеева вводятся компоненты трёхчастичной волновой функции (компоненты Фаддеева) Uaj такие что
Здесь X - сокращенная запись координат Якоби {ха,уа}, которые выражаются через радиус-векторы частиц га и их массы та по формулам (1.4-1.5). Компоненты волновой функции подчиняются системе дифференциальных уравнений (1.14). Тождественность частиц приводит к простой связи между компонентами Uaj которая может быть описана с помощью операторов циклической и антициклической перестановок частиц Р±, см. (1.7). В таком представлении разложение волновой функции на компоненты принимает вид Ф(Х)= (/ + Р+ + Р-)С7(Х), где U = U\, а / - единичный оператор. Система уравнений (1.14) сводится к одному уравнению для функции U: (-Ах - Ау + У(х) - Е) U(X) = -У(х) (Р+ + Р ) U(X). (2.1) Спин-изоспин-угловой анализ (см. раздел 1.4) уравнения (2.1) позволяет получить систему интегро-дифференциальных уравнений Фаддеева, описывающих рассеяние в системе rid. Для случая нулевого полного орбитального момента L = 0 и потенциала взаимодействия V, действующего лишь в состоянии с / = О, нетривиальный вклад в уравнение (2.1) дает лишь одно слагаемое разложения функции U(X.) по бисферическим гармоникам где х = х, у = у. С учетом спин-изоспиновых множителей в (1.23), уравнение (2.1) принимает вид [47] и называется s-волновым уравнением Фаддеева: і дг д + VJ(x) - Е UJ{x, у) = -VJ(x дх2 ду2 d BJUJ{x ,y ). (2.2) х у Здесь индекс J отвечает состояниям с различным полным моментом, который в данном случае совпадает со значением полного спина системы, S. Для J = S = 3/2 (квартет) U3 2 является скаляром, для J = S = 1/2 (дублет) — (
Энергия Е1 и относительный импульс нейтрона g связаны с энергией основного состояния дейтрона є соотношением q2 = Е-є. Соответствующая волновая функция дейтрона (р(х) удовлетворяет уравнению - + У"(х)ф) = еф), (2.3) с нулевыми граничными условиями в нуле и на бесконечности. Решение уравнения (2.2), соответствующее п і-рассеянию при энергиях выше порога развала, при р — оо должно удовлетворять следующим асимптотическим граничным условиям [24]: U11/2(x,y) (р(х) [smqy + a10/2(q)expiqy) +А11/2(в,Е) — , (2.4) т1/2( ч л/2(а ехріл/Ер . иг (ж, у) А1 (0, Е) ——, г = 2,3, (2.5) и3/2(х,у) ф) (singy + a302{q) expiqy) + А3/2(О, E) lJ_EP, (2.6) где р = \/х2 +у2, tg# = у/х7 а также условиям, обеспечивающим регулярность волновой функции в нуле U(x,0) = U(0,у) = 0. Асимптотические граничные условия (2.4-2.6) непосредственно следуют из асимптотики парциальной компоненты Фаддеева (1.49). Функции CL0(C[) И А{(6,Е) ЯВЛЯЮТСЯ амплитудами бинарного рассеяния и компонентами Фаддеева амплитуды развала соответственно. Далее, для краткости, компоненту Фаддеева амплитуды развала будем также называть амплитудой развала. Амплитуда бинарного рассеяния связана с фазой 6 и коэффициентом неупругости г\ формулой o0(q) = J— l (2-7) Связь между амплитудами определяется оптической теоремой, которая является выражением свойства унитарности в терминах амплитуд. Эта связь дается соотношением [46] Л = 1, где
Наряду с поставленной задачей мы рассмотрим модельную задачу для неоднородного дифференциального уравнения. Данное уравнение отличается от (2.2) (J = S = 3/2) использованием в правой части скалярной функции [50] функции позволяет разделить переменные интегрирования и, как будет показано далее, исследовать аналитически асимптотику компоненты Фаддеева. Эта асимптотика, в данном случае, определяется формулой (2.6). Интегральное представление для амплитуды рассеяния (io(q) выглядит следующим образом: о о Граничные условия для решения в координатах {р, в}, UQ(P, в) = у/р?7д(ж, у)7 даются формулами UQ(p}0)=UQ(p}7r/2) = 0} UQ(P, в) л/р(р{х) [sin (qy) + ao(q) ехр (iqy)} + А(в, Е) ехр (іл/Ер) при р — оо, где как и прежде ж = pcos9} у = psin.9. 2.4. Асимптотический подход
Теперь мы получим новые асимптотические граничные условия ДЛЯЙ-ВОЛ-новых уравнений Фаддеева (2.8)—(2.10), которые являются следствием разложения искомого решения по базису двухчастичной подсистемы по координате в. Данный базис зависит от потенциала, поэтому мы детально рассмотрим случай s-волнового уравнения Фаддеева (2.8) для J = 3/2 и приведем окончательные формулы для случая J = 1/2.
Под гиперсферическим адиабатическим представлением понимается разложение решения вдоль углового базиса функций зависящих не только от угловой переменной в: но также и от гиперрадиуса р как от параметра [55]. В качестве базиса для разложения искомого решения мы выбираем набор собственных функций оператора h{p) fid2 \ Кр)Фк{0\р) = ( —2 2 + У(рсо8в)) фк(в\р) = Хк(р)фк(в\р) (2.13) на интервале [0,7г/2] с нулевыми граничными условиями ф(0\р) = ф(тг/2\р) = 0. Необходимо отметить, что р - это параметр оператора h(p) и, как следствие, его собственные функции и собственные значения наследуют параметрическую зависимость от р. Спектральные свойства оператора h(p) при р — оо связаны со свойствами двухчастичного гамильтониана из (2.3) определенным на интервале [0, оо). Основные спектральные свойства, которые играют ключевую роль в наших построениях сформулированы ниже для собственных функций и собственных значений основного состояния:
Асимптотики амплитудных функций
В данной главе рассматривается граничная задача для уравнения, моделирующего s-волновое уравнение Фаддеева. В модельном уравнении интеграл в правой части оригинального уравнения заменен известной функцией, имеющей тоже асимптотическое поведение, что и данный интеграл. Для модельной задачи асимптотические формулы для амплитудных функций, сходящихся к амплитудам рассеяния, получены аналитически методом функции Грина. Использование модельного уравнения и двухчастичного потенциала, для которого собственные функции связанного и рассеянных состояний известны аналитически, позволяет разделить переменные в интегральном представлении для амплитудных функций и найти асимптотики интегралов. В результате, асимптотика амплитудной функции бинарного канала с точностью до членов порядка у-3 2 включительно получена аналитически.
В качестве проверки предложенного в диссертации асимптотического представления для компоненты волновой функции и результатов полученных при решении граничной задачи с такой асимптотикой, мы рассмотрим граничную задачу с упрощенным уравнением, моделирующим s-волновое уравнение Фаддеева (2.2). Если, для простоты допустить, что множитель В = 1, то правая часть s-волнового уравнения Фаддеева (J = 3/2) / д2 д2 \ дх2 ду2 J запишется в виде і Q(x,y) = -V(x) + V(x)-E)U(x,y) = Q(x,y) (З.Г d U(x ,y ). (3.2) -і 50 ту Уравнение (3.1) с Q(x,y) в правой части описывает рассеяние трёх тождественных бозонов. Радиальные части координат х : у связаны с ж, у соотношениями (2.2)-(2.2). Данные соотношения позволяют оценить поведение асимптотики Q(x,y) при конечных значениях х1 короткодействующем потенциале V(х) и у = \]р2 — х2 — оо. б -волновое уравнение Фаддеева (3.1) можно записать в виде
Переходя к пределу р = \/х2 + у2 — оо и учитывая ограниченность волновой функции U(p,6), получем в пределе Q(oo,6) = 0. Таким образом, в пределе р — оо асимптотика волновой функции U(p, в) дается формулой U(p, в) = А(Е, 0)—е±г р, (3.4) VР что, в свою очередь, ведет к асимптотическому поведению правой части Q(x,y) xV(x)0(y 3/2) при у - оо. (3.5) Более детальный анализ асимптотики решения неоднородного уравнения (3.1) может быть проведен на основе метода функции Грина [73]. Предполагая, что потенциал V(х) дает единственную волновую функцию связанного состояния (р(х) с энергией є дискретного спектра, функция Грина для рассматриваемой задачи представляется формулой [74] где q = у/Е — є, q{k) = у/Е — к2. Волновая функция двухчастичного рассеяния (р(к} х) = sin (кх + S(k)): при х — оо. Решение модельного неоднородного уравнения (3.1), т.е. аналог компоненты Фаддеева, явлется суммой общего решения (р(х) sin qy однородного уравнения и частного решения неоднородного. Таким образом, искомое решение дается формулой dy о о Исследование асимптотики данного решения при у — оо позволяет получить асимптотику амплитудной функции бинарного канала, которая в пределе равна бинарной амплитуде (io(q). Аналогично исследуется амплитудная функция для канала развала. Бинарная амплитудная функция связана с первым слагаемым функции Грина (3.6), соответствующим бинарному каналу, а амплитуда развала — со вторым слагаемым, каналом развала. Интегрируемость подынтегральной функции в правой части (3.7) определяется поведением Q(x,y) (3.5) при у — оо и короткодействующим потенциалом V(x). В явном виде, волновая функция бинарного канала дается падающей волной и суммой двух интегралов
Асимптотики первых интегралов в (3.8-3.9) при у — оо определяют соответственно асимптотики амплитудных функций бинарного канала и канала развала. Вторые интегралы в данных формулах убывают при у — оо и в пределе исчезают совсем [74]. Амплитудная функция бинарного канала дается формулой У оо sin qy dy і J„ / (3.10) ao{q,y) (p(x )Q(x ,y )dx . QJ Амплитудная функция канала развала и, как следствие, амплитуда развала может быть получена из первого интеграла в (3.9), а именно dy 7Г Е dkip{k,x)eiqWy ,sin q(k)y q(k) (p(k,xr)Q(xf\y )dx . (3.1Ґ Следует отметить, что данный интеграл по энергии имеет верхним пределом л/Е, а оставшийся интеграл от л/Е до оо экспоненциально убывает при у — оо. Главный член асимптотики интеграла по энергии (3.11) при у — оо, х — оо и постоянным у/х можно получить методом стационарной фазы [75]. Учитывая, что (р(к} х) = sin (кх + 6(к)) при х — оо, и делая замену переменной & = videos а, данный интеграл приводится к виду Интеграл от экспоненты с положительным показателем степени имеет невырожденную стационарную точку а = в и имеет асимптотику порядка О (р 1 2). Второй интеграл имеет вклады только от граничных точек а = 0 и а = 7г/2. Данные вклады равны нулю: а = 0 ведет к sin а = 0, a а = 7г/2 приводит к sin (л/Ecos ax + 7г) = 0. В итоге, асимптотика интеграла (3.11) при р — оо при у — оо. Очевидно, что полученные формулы (3.10) и (3.14) верны и в случае s-волнового уравнения Фаддеева, если в качестве Q(ж, у) взять исходный интеграл (3.2). Таким образом, асимптотика волновой функции U(x,y) при р — оо (иг/ч оо) будет совпадать с асимптотикой компоненты Фаддеева
Анализ асимптотического поведения амплитуд рассеяния (3.10) и (3.14) при у — оо может быть проведен, если функция 5(ж, у) известна явно. При этом, чтобы моделировать поведение правой части s-волнового уравнения Фаддеева, Q(x,y) должна вести себя как 0(у 3 2) при у — оо [см. (3.5)]. В работе [50] была предложена функция Q(x,y) в виде
где с, уо - отличные от нуля постоянные. Экспонента ехр (іл/Еу) в данной формуле соответствует развальной компоненте асимптотики (3.15), т.е. позволяет моделировать вклад в амплитуды рассеяния от развальной компоненты асимптотики. Несомненным достоинством функции данного вида явля ется возможность явного разделения переменных в вычисляемых интегралах (3.10) и их сходимость.
Краевая задача для уравнений в гиперсферических координатах
Данная глава посвящена численному методу решения граничной задачи и методам определения амплитуд рассеяния. Численная схема решения граничной задачи включает разложение искомого решения по базису эрмитовых кубических сплайнов по одной переменной и использование конечно-разностной аппроксимации второй производной по другой переменной. Дополнительно обсуждаются возможности повышения точности численной схемы. Для определения амплитуд бинарного рассеяния и развала используется разработанный проекционный метод, метод определения амплитуд на двух дугах, а также их комбинация.
Уравнения для радиальных частей компонент Фаддеева (2.2) в декартовых координатах (ж, у) вместе с подходящими граничными условиями составляют краевую задачу, которая решается численно. В декартовых координатах, как правило, решается задача на поиск связанных состояний или же задача рассеяния ниже порога развала [47]. При этом, краевая задача рассматривается на некоторой прямоугольной области [0,жтах] х [0,г/тах]. В случае задачи на поиск связанных состояний, на границах прямоугольника задаются нулевые граничные условия. Для задачи рассеяния ниже порога развала граничные условия (2.4) состоят из падающей волны и асимптотики одного бинарного канала U(x, у) (р(х)[sin (qy) + а exp (iqy)} при у — оо, которая и определяет отличное от нуля граничное условие вида U(x,y) = (р(х) exp (iqy) на границе у = утах. На границе х = хтах нулевое краевое условие определяется экспоненциальным убыванием волновой функции связанного состояния двухчастичной подсистемы, (р(х): при сравнительно больших X.
Вне зависимости от того, решается ли задача на поиск связанных состояний системы или же задача рассеяния, дискретизация задачи обычно выполняется одним и тем же методом. Для этого могут использоваться конечно-разностная аппроксимация [77], конечно-элементное представление [78] или разложение по базису сплайнов. В данной диссертации компонента Фаддеева представляется линейной комбинацией эрмитовых кубических сплайнов [79], Н: по переменным х и у: Nx Ny U(x,y) = J2H )J2H i=0 j=0 Cij. Данное представление позволяет вычислить производные от кубических сплайнов в левой части уравнения Фаддеева (2.2), а интеграл d, U(x\y ) (4.1) х у -1 в правой части аппроксимировать методом трапеций или методом Симпсо на. Дискретизация задачи осуществляется методом ортогональных коллока ций [79].
Достоинством метода, по сравнению с часто используемой конечно-разностной аппроксимацией второй производной для аналогичных задач [80], является возможность использования неравномерных сеток и повышенная точность аппроксимации. На равномерной сетке по переменной х с шагом Ах погрешность решения будет 0(Аж4).
Недостатком данного подхода является неструктурированность матрицы СЛАУ, получаемой после дискретизации задачи. Хотя левая часть урав нения (2.2) дает ленточную структуру матрицы системы, наличие интеграла (4.1) в правой части уравнения Фаддеева приводит к нерегулярному расположению ненулевых элементов в матрице. Данное обстоятельство существенно затрудняет диагонализацию матрицы или же решение СЛАУ с отличной от нуля правой частью. Стандартные методы нахождения собственных значений, такие как метод обратных итераций со сдвигом и Q-R-разложение [81], становятся неэффективными уже при необходимости решать задачу с требуемой точностью при 2/max 100 фм. Решение задачи рассеяния на современных вычислительных системах с необходимой точностью затруднительно уже при утах « 200 фм.
Более эффективным является способ решения задачи рассеяния для уравнений Фаддеева в гиперсферических, или, что тоже самое в данном случае, полярных, координатах. Для решения s-волнового уравнения Фаддеева в гиперсферических (полярных) координатах (р, в) с асимптотическими условиями (2.31), (2.33) формировалась краевая задача для уравнений (2.8) и (2.9)—(2.10) с данными асимптотическими условиями, взятыми в качестве граничных при р = ртах + р, где р — шаг равномерной сетки по р. Амплитудная функция бинарного канала, CL 0 (q, pmax), и коэффициенты разложения afk(E,pmscx) амплитудной функции канала развала А{(6,Е,ртах) были найдены из сравнения решения данной краевой задачи при р = ртах и соответствующей асимптотики при том же значении р. Полученные коэффициенты позволяют определить допредельную амплитудную функцию канала развала по формуле