Содержание к диссертации
Введение
1 Задача о форме капли при учете силы тяжести и гидродинамических эффектов 15
1.1 Форма капли на плоской подложке 15
1.2 Формулировка основных уравнений и граничных условий к ним в криволинейных координатах, связанных с геометрией границы раздела жидкость-газ 19
1.3 Моделирование формы поверхности с учетом влияния сил тяжести и гидродинамических движений 28
2 Диффузионная модель испарения капли 32
2.1 Некоторые аналитические решения и роль нестационарных поправок 32
2.2 Оценка времени испарения 37
2.3 Оценка скорости установления насыщенных паров 38
2.4 Динамика скорости испарения капли 40
2.5 Контактные углы 42
3 Конвекция Марангони и вихревые структуры в испаряющейся капле 44
3.1 Конвекция Марангони 44
3.2 Уравнения гидродинамики 46
3.3 Граничные условия для завихренности и функции тока 48
3.4 Динамика вихревой структуры 49
3.5 Распределение температуры в капле 54
4. Численные методы, развитые и использованные для решения задачи об испарении капли 57
4.1 Краткий обзор метода решения задачи 57
4.2 Явная схема для температур в капле 58
4.3. Граничная интерполяция для температур в капле 59
4.4 Неявный метод с переменой направлений для плотности пара . 60
4.5 Граничная интерполяция для плотности пара 62
4.6 Неявный метод с переменой направлений для функции тока . 64
4.7 Граничная интерполяция для функции тока 65
4.8 Явный метод для завихренности 66
4.9 Граничная интерполяция для завихренности 67
4.10 Вычисление поверхности капли по массе капли 68
Заключение 69
Литература 71
- Формулировка основных уравнений и граничных условий к ним в криволинейных координатах, связанных с геометрией границы раздела жидкость-газ
- Моделирование формы поверхности с учетом влияния сил тяжести и гидродинамических движений
- Динамика вихревой структуры
- Неявный метод с переменой направлений для плотности пара
Введение к работе
Актуальность темы
Задача об испарении капли в окружающий газ, начиная с работ Максвелла, рассматривалась в основном как диффузия пара с поверхности капли. Классическая квазистационарная теория испарения капли не включает в себя эффекты динамики жидкости в капле, и лишь частично учитывает простейшие элементы теплообмена. В последние годы задача об испарении капель вновь привлекла к себе значительное внимание в связи с новыми приложениями. Речь идет о приготовлении наноматериалов, изучении растяжения молекул ДНК и метода изображений ДНК [1, 2], методах кристаллографии протеинов [3], разработке современных методов печати для струйных принтеров [4] и ряде других направлений. Особый интерес представляет исследование образования наноструктур при испарении капли, содержащей коллоидный раствор наночастиц [5, 6]. Одна из характерных постановок эксперимента состоит в наблюдении лежащей на подложке капле, испаряющейся в режиме пиннинга контактной линии. При этом структуры из наночастиц могут возникать на поверхности капли в процессе испарения, а также оставаться на подложке после высыхания. Важный пример представляет самосборка наночастиц в однослойные упорядоченные суперрешетки [5, 6]. Другим примером, в котором проявляется также депишшнг контактной линии, является так называемый эффект кофейных колец [7-10]. Все это вместе обусловило интерес к проблеме и значительную активность экспериментаторов и теоретиков в этой области в последние годы.
Для теоретического изучения такого рода задач известная до недавнего времени теория испарения капель оказалась недостаточной, слишком упрощенной и не учитывающей целый ряд важных процессов. Так,
возникли вопросы о роли пиннинга контактной линии при испарении, а также и о характере гидродинамических явлений, протекающих в испаряющейся капле капиллярного размера. Изучение гидродинамических процессов важно, поскольку структура гидродинамических течений в испаряющейся капле сказывается на формировании и геометрии возникающих при испарении наноструктур. В результате в последнее время произошло существенное развитие в экспериментальных исследованиях и были поняты и описаны теоретически некоторые важные и не рассматривавшиеся ранее свойства основных физических процессов, происходящих в испаряющейся капле [7, 8, 11-13].
В частности, было показано, что плотность потока испарения неоднородно распределена вдоль поверхности капли, а в режиме пиннинга эта величина увеличивается с приближением к контактной линии и имеет на ней интегрируемую особенность [7, 8]. Поток массы при испарении и соответствующий теплообмен изменяют распределение температуры вдоль поверхности капли и, вследствие зависящего от температуры поверхностного натяжения, приводят к возникновению сил Марангони. Эти силы вызывают конвекцию внутри капли [12-15], которая качественно отличается от классической конвекции Марангони, изученной в системах с простой плоской геометрией. Было также показано, что при определенных условиях величина теплопроводности подложки определяет знак тангенциальной компоненты градиента температуры на поверхности капли вблизи контактной линии, и, вследствие этого, влияет на направление конвекции внутри капли [11].
Недавно в литературе появились попытки развить более полную теорию процесса испарения, включающую как диффузию пара в воздухе так и эффекты гидродинамики и теплообмена. В имеющихся в литературе работах рассматривается квазистационарная задача (см., например,
[12,13]), а полное динамическое описание испарения и динамики жидкой капли до сих пор отсутствует. В предлагаемой диссертации развит теоретический подход, позволяющий более полно учитывать существенные компоненты процесса испарения, именно, гидродинамику, диффузию пара в воздухе и пространственное распределение температур в испаряющейся лежащей на подложке капле. Это позволяет, в частности, проследить временную эволюцию конвективных процессов и образования вихревых структур при испарении. Цель диссертационной работы
Развитие теоретического описания и численного расчета процесса испарения и гидродинамики лежащей на подложке капли на основе совместного расчета уравнений Навье-Стокса для жидкости в капле, уравнения диффузии для пара, которое определяет процесс испарения, и уравнения теплопроводности, которое определяет пространственное распределение температуры в капле.
Изучение с помощью развитого метода образования и динамики вихревых структур в испаряющейся капле капиллярного размера вследствие действия сил Марангони на поверхности капли. Анализ роли инерционных членов в уравнении Навье-стокса и членов описывающих конвективный теплообмен.
Изучение изменения формы поверхности капли с учетом влияния гидродинамических эффектов и сил тяжести. Выяснение степени отклонения формы лежащей капли от сферической.
Основные результаты
1. Проведен численный расчет и получено теоретическое описание процесса испарения и гидродинамики лежащей на подложке кап-
ли в режиме пиннинга контактной линии. На основе совместного решения уравнений Навье-Стокса для жидкости в капле, уравнения диффузии для пара и уравнения теплопроводности, найдены изменяющиеся со временем пространственные распределения температуры и гидродинамических скоростей и локальные скорости испарения.
Найдены несколько стадий динамики обусловленной силами Ма-рангони конвекции, характеризующихся числом вихрей в капле и их пространственным расположением в ней. На ранней стадии образуются приповерхностные вихри, которые индуцируют немонотонное пространственное распределение температуры вдоль поверхности капли. Максимальное число приповерхностных вихрей в капле определяется размером ячейки Марангони, который можно оценить аналогично случаю плоского жидкого слоя. Число вихрей быстро уменьшается со временем, а вихревые структуры захватывают объем капли, эволюционируя в состояние с тремя вихрями, а в конечном счете - в квазистационарное состояние с одним вихрем, существующее более половины времени испарения.
Уравнения Навье-Стокса и граничные условия к ним для вязкой жидкости капиллярного размера сформулированы в криволинейных координатах, отвечающих геометрии поверхности. Это позволяет описать гидродинамику капель и менисков и учесть влияние гидродинамики и сил тяжести на изменение формы поверхности. Эти результаты использованы для численных расчетов и для оценок.
Проведено моделирование локального потока испарения капли с
учетом нестационарных эффектов в диффузии пара. Численные результаты но зависящей от времени скорости испарения хорошо согласуются с экспериментальными данными.
5. Вычисленная временная зависимость контактного угла хорошо совпадает с экспериментальной зависимостью наклона упорядоченной решетки из наночастиц от времени.
Научная новизна и достоверность
Результаты диссертационной работы получены впервые, ее выводы обоснованы надежностью применявшихся при исследовании современных методов теоретической и вычислительной физики и подтверждаются результатами апробации работы. Научная и практическая ценность
Полученные новые результаты позволяют понять динамику физических процессов, происходящих при испарении капли, процесс образования вихревых конвективных структур в капле и их эволюцию со временем. В дальнейшем полученные результаты могут быть применены для исследований образования наноструктур при испарении капли.
Создана теоретическая основа для численного моделирования и описания динамики конвекции и формы поверхности в каплях и менисках капиллярного размера. Апробация работы
Основные результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на всероссийской конференции «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях», 2008, на семинаре по вычислительным технологиям в естественных науках «Методы численного моделирования актуальных задач», ИКИ РАН, 2009, и на семинарах в ИТФ им. Л.Д. Ландау.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано три печатных работы. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.
Формулировка основных уравнений и граничных условий к ним в криволинейных координатах, связанных с геометрией границы раздела жидкость-газ
Результаты проведенных в диссертации расчетов показывают, что учет неоднородного распределения локального потока важен при количественном рассмотрении задачи. Проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными по зависящей от времени скорости испарения лежащей капли. Полученная в диссертации теоретическая зависимость контактного угла лежащей на подложке капли от времени находится в хорошем согласии с данными о контакных углах, экспериментально найденными в работе [18] методом малоуглового рассеяния рентгеновских лучей, исходя из временной зависимости наклона находящейся на поверхности капли упорядоченной решетки из наночастиц.
Количественное сравнение решений стационарного и нестационарного уравнения диффузии, с зависящей от времени формой поверхности капли капиллярного размера в качестве граничных условий, показывает, что нестационарные поправки заметны и могут достигать 5% от величины скорости испарения. Если же рассматривать решение с фиксированными граничными условиями, то зависящие от времени поправки к полной скорости испарения описываются выражением J(r,t) = J(r, со) (і + Аг0/(2л/Ш,)) с очень хорошей точностью. Даже в конце процесса испарения приведенная нестационарная поправка еще может превышать 1%. Затухание ос 1/y/t было известно ранее в литературе для однородного испарения с поверхности, и подтверждается в диссертации при учете неоднородной локальной плотности испарения.
Одна из основных проблем численного моделирования нестационарной задачи диффузии состоит в оптимальном выборе узлов сетки, позволяющем детально описать наиболее важную область испарения вблизи поверхности капли, и в то же время охватить по возможности больший объем, на границе которого накладываются асимптотические условия на бесконечности. С этой целью в диссертации предложено использовать сетку с неравномерным шагом, достаточно мелким вблизи поверхности и экспоненциально увеличивающимся при удалении от капли. В развитом подходе увеличение шага согласовано с экпоненциальной асимптотикой спада плотности пара вдали от капли. Для решения сеточной задачи используется неявный метод с переменой направлений, а также граничная интерполяция на каждом граничном узле вблизи поверхности капли. Проведенные в диссертации расчеты показывают эффективность предложенного метода.
Эта глава является центральной в диссертационной работе. Для решения поставленной задачи учитываются практически все аспекты процесса испарения. Расчитанные во второй главе неоднородно распределенные локальные потоки испарения приводят к неоднородному распределению температуры на поверхности капли. Возникающие вследствие этого силы Марангони индуцируют конвекцию в капле.
Важное значение в проведенном исследовании имеет метод численного моделирования, в котором изучаемые процессы рассматриваются самосогласованно, поскольку они взаимозависимы. Соответствующая схема вычислений имеет следующий вид. 1. Поскольку при вычислении локальной скорости испарения капли будет учтено влияние вызванных гравитацией отклонений формы капли от формы сферической чаши, мы используем уравнения для формы капли достаточно общего цилиндрически симметричного вида. 2. Решается нестационарное уравнение диффузии, описывающее эволюцию плотности пара в воздухе, и вычисляется локальный и полный потоки испарения с поверхности капли и их зависимость от времени. При этом в каждый новый момент времени форма поверхности капли определяется заново с учетом потери ее массы и полученного на предшествующем шаге распределения гидродинамического давления. 3. Решается уравнение теплопроводности и находится пространственное распределение температуры в капле. 4. На основе решения уравнений Навье-Стокса находится соответствующее поле скоростей конвективного движения жидкости в капле. 5. В результате дано описание временной эволюции температуры и конвекции жидкости в капле и выявлены характерные стадии термокапиллярной конвекции.
Проведенные в третьей главе расчеты позволяют изучить образование и динамику вихревых структур в испаряющейся капле капиллярного размера. Для совместного решения уравнений гидродинамики и теплопроводности в осесимметричной задаче сформулированы уравнения и граничные условия для функции тока, для завихренности и для температуры. Расчеты проводятся с учетом инерциальных членов в уравнениях Навье-Стокса, включая временные производные. Профили температуры, локальные скорости испарения и распределения гидродинамических скоростей получены для каждой стадии конвекции.
Граничные условия при описании динамики жидкости в капле включают изменение температуры вдоль поверхности капли вследствие зависимости поверхностного натяжения от температуры. Влияние гидродинамических движений на теплообмен в жидкости учитывается в конвективных членах уравнения теплопроводности. Учтено также, что локальный поток испарения связан с переносом тепла и, в частности, с градиентом температуры на поверхности капли.
Можно выделить три основных стадии динамики конвекции Марангони при испарении капли. Проведенное моделирование показывает наличие характерной ранней стадии динамики конвекции Марангони в испаряющейся лежащей на подложке капле. Для разных жидкостей и капель разного размера, вихри в капле первоначально возникают около ее поверхности. Этот режим быстро появляется и эволюционирует в течение довольно короткого времени, но достаточного для возможности экспериментального наблюдения найденных приповерхностных вихрей. Со временем размер вихрей увеличивается, их число уменьшается и конвекция Марангони охватывает объем капли. Экстремумы поверхностной температуры соответствуют изменению знака тангенциальной компоненты скорости на поверхности. Это объясняется тем, что жидкость движется на поверхности от более горячих областей к более холодным, поскольку поверхностное натяжение уменьшается с увеличением температуры. Движение жидкости приводит к перераспределению температуры вследствие конвективного переноса тепла. Соответственно, при наличии нескольких вихрей распределение температуры оказывается немонотонным вдоль поверхности капли.
Моделирование формы поверхности с учетом влияния сил тяжести и гидродинамических движений
Рассматриваем каплю на плоской подложке. Концентрация пара над каплей неоднородна в пространстве, и, вообще говоря, зависит от времени в процессе испарения. Поскольку диффузионный поток молекул пара в воздухе на много порядков меньше, чем плотность потока молекул с поверхности жидкости, концентрацию пара у поверхности капли можно считать отвечающей концентрации насыщенного пара щ (оценки см. в разделе 2.3). Концентрация пара вдали от капли как правило пренебрежимо мала. Исключение составляет капля воды, для которой концентрация пара вдали от нее определяется влажностью воздуха. Динамика плотности пара в атмосфере описывается уравнением диффузии
Наряду с численным рассмотрением нестационарного процесса диффузии при весьма общих условиях (см. разд. 2.4 и А), целесообразно начать обсуждение задачи с более простого случая, допускающего аналитическое описание. В нестационарном уравнении диффузии (2.1) обычно пренебрегают временной производной, если изменение формы капли при испарении можно рассматривать как адиабатически медленный процесс. Для этого необходимо выполнение условия tp = TQ/D С tf, т.е. характерное время, tp, за которое броуновская частица проходит характерный размер капли го, должно быть много меньше времени испарения tj. Для экспериментальных условий, указанных в табл. 1, данное условие с хорошей точностью выполняется: tp 0.2 с. и і/ « 500 с.
Нестационарность диффузии определяется, однако, не только скоростью изменения формы капли от времени, но и неустановившимся неоднородным профилем пара в некоторой окрестности капли. Поэтому даже очень медленное изменение формы капли еще не исключает все эффекты нестационарности. Представляет интерес рассмотреть конкретную временную зависимость локальной скорости испарения от времени при фиксированной форме капли. Наши численные результаты, основанные на решении нестационарного уравнения (2.1) для лежащей на подложке капли с фиксированной поверхностью, можно аппроксимировать степенной временной зависимостью вида погрешность которой оказывается менее 1% для t 0.5 с и \VQ — г\ 0.01см. (см рис. 2.1). Здесь J(r,t) = \DVu\ есть локальный поток испарения с поверхности капли, а постоянная А = 0.966 есть единственный фитирующий параметр. В частном случае, когда поверхность капли имеет форму сферической чаши, асимпотическое значение потока испарения J(r, со) может быть взято из /(,#) в формуле (2.7). Выражение (2.2) и рис. 2.1 в целом подтверждают сделанное выше утверждение, что концентрация пара становится стационарной при условии t r\fD. В то же время, даже в конечный момент испарения t = t/ второй член в (2.2) все еще первышает 1% от первого члена. Это связано с тем, что нестационарная поправка в (2.2) к диффузионному потоку спадает не экспоненциально, а довольно медленно, степенным образом. Временная зависимость J(r,t) — J(r, оо) ос 1/л/ї в (2.2) известна для случая изотропной диффузии, когда концентрация насыщенных паров поддерживается на сфере фиксированного радиуса [3]. Такая же временная зависимость имеет место при диффузии с плоской поверхности [47]. Приведенные результаты подтверждают такую зависимость для неоднородной диффузии с фиксированной поверхности капли, лежащей на подложке.
Анализ наших численных расчетов (см. также рис. 2.3), учитывающих временную зависимость формы капли, показывает, в частности, что поправки для скорости испарения из-за нестационарных эффектов при t tp, могут достигать 5% от стационарного результата.
Локальная плотность потока испарения J(r,t) (г см-2 с-1) с фиксированной поверхности как функция г (см) для = 1,2,3,5,10,50,100,500,1000,4000 с процесса испарения, сверху вниз, соответственно (черные кривые). Учитывается временная зависимость концентрации пара, в то время как поверхность капли с массой т0 = 8.7 мг фиксирована. На левом рисунке поверхность берется в виде сферической чаши, а на правом - в форме, полученной численным расчетом. Синяя (нижняя) кривая на левом рисунке представляет J(r, оо), отвечающую точному решению (2.7). Зеленая (нижняя) кривая на правом рисунке есть вычисленный для лежащей капли J (г, оо).
Не так давно Дееган и др. [21] нашли аналитическое решение для пространственного стационарного распределения концентрации пара для капли с формой сферической чаши. Задача оказывается математически эквивалентной решенной в [51] задаче об электростатическом потенциале заряженного проводника. Форма проводника образуется сферической чашей и ее отражением через плоскость подложки.
Динамика вихревой структуры
Быстрое падение скорости испарения капли на стадии высыхания обусловлено несколькими дополнительными факторами. Основным из них является депиннинг контактной линии, когда площадь контакта с подложкой уменьшается со временем. Стадию высыхания капли естественно разделить на два временных этапа. Скорость испарения в течение первого этапа, который отвечает временному интервалу t=400-510 секунд на рисунке 2.3, описывается формулой dm/dt ос (to — i)a. Эта формула хорошо аппроксимирует экспериментальные данные при выборе параметров to = 550(2), а = 0.41(2) для испарения капли чистого толуола, и to = 522(3), а = 0.28(8) для испарения коллоидного раствора. Скорость испарения на последней стадии высыхания затухает экспоненциально: dm/dt ос ехр(—t/td), где td = 20.5(3) для испарения коллоидного раствора. Это экспоненциальное поведение объясняется тем, что скорость испарения определяется па этом этапе изменением площади А контакта почти плоской капли с подложкой: dA/dt ос dm/dt ос А. Вставка на рисунке 2.3 показывает экспериментальную зависимость массы капли от времени в течение стадии высыхания.
Процесс испарения в режиме пиннинга контактной линии сопровождается увеличением сплюснутости формы капли. На рисунке 2.4 представлены наши результаты для зависимости контактного угла лежащей на подложке капли от времени. Полученная теоретическая зависимость находится в хорошем согласии с данными о контакных углах, экспериментально найденными в работе [18] для капли коллоидного раствора золотых частиц в толуоле с идентичными параметрами. В работе [18] было обнаружено, что упорядоченные структуры из наночастиц образуются на поверхности капли. По этой причине, угол ориентации кристаллической структуры, который был измерен в работе [18] при помощи малоуглового рассеяния рентгеновских лучей, сопа-дает с контактным углом капли.
Конвекция жидкости в капле индуцируется зависящим от температуры коэффициентом поверхностного натяжения, и оказывается довольно интенсивной в течение всех стадий процесса испарения. Такая конвекция называется конвекцией Марангони. Она впервые была наблюдена в своей классической форме Бенаром, описавшим образование гексагональной ячеечной конвективной структуры в плоских жидких пленках. Наблюденный в этих опытах эффект более полувека считался обусловленным связанной с плавучестью неустойчивостью, описанной Рэлеем (конвекция Рэлея-Бенара). Теоретические результаты Пирсона [41] показали, однако, что в конкретных условиях опытов Бенара в действительности реализуется конкурирующая неустойчивость, обусловленная силами Марангони.
Число Марангони Ма (см. ниже (3.1)) характеризует относительную важность сил поверхностного натяжения связанных с изменением температуры вдоль поверхности и вязких сил. Неустойчивость Бенара-Марангони реализуется, если Ма превышает критическое значение Мс. Для плоской жидкой пленки, Мс « 83 [41]. Для оценки числа Марангони в капле будем основываться на результатах для плоского жидкого слоя. Для разности температур между плоской подложкой и вершиной капли приведенные в диссертации результаты моделирования для капли толуола дают AT 1 К. Высота капли h, теплопроводность к, кинематическая вязкость и, теплоемкость су, и производная коэффициента поверхностного натяжения по температуре —da/dT, приведены в таблице 1. Соответствующее значение числа Марангони в начале процесса испарения есть
Эксперименты показывают, что турбулентный режим в каплях возникает при значительно больших значениях числа Марангони. Например, в капле воды турбулентность появляется при Ма 22000 [52]. Поскольку число Рей-нольдса для рассматриваемой капли толуола Re 62 также сравнительно мало, в изучаемой задаче движение жидкости имеет ламинарный характер.
Конкуренция между связанной с плавучестью конвекцией и термокапиллярной конвекцией характеризуется безразмерным числом В = pgh2/3/(7.14а7) [41]. В нашем случае В « 0.02 С 1, и, таким образом, конвекция Рэлея-Бенара оказывается пренебрежимо малой.
Для плоского жидкого слоя высота ячейки Марангони совпадает с толщиной слоя h, в то время как поперечный размер ячеек определяется характерной длиной волны Л. ЕСЛИ ЧИСЛО Марангони значительно превышает критическое значение, то Л = 2irh/a и а —8 [41].
Результаты моделирования для капли показывают, что на ранней стадии испарения образуются приповерхностные вихри (см. разд. 3.4). Размер вихрей hd (т.е. расстояние на которое они распространяются вглубь капли), составляет заметную долю высоты капли h. Предполагая, что длина волны Л и число Марангони можно описать аналогично случаю плоского слоя, можно взять величину hd в качестве эффективной высоты слоя и получить Л = 2iry/hhd/a, где а по-прежнему связана с высотой h.
Неявный метод с переменой направлений для плотности пара
Проведенное моделирование показывает наличие характерной ранней стадии динамики конвекции Марангони в испаряющейся лежащей на подложке капле. Для разных жидкостей и капель разного размера, вихри в капле первоначально возникают около ее поверхности. Например, для капли толуола объемом 10 мкл этот режим быстро появляется и эволюционирует в течение первых « 0.3 с. Хотя по сравнению с полным временем испарения « это очень короткий временной интервал, этого достаточно для возможности экспериментального наблюдения найденных приповерхностных вихрей. Со временем размер вихрей увеличивается, их число уменьшается и конвекция Марангони охватывает объем капли. Приповерхностные вихри изображены на рисунках 3.1 и 3.2, где вихревая структура содержит 4 пары приповерхностных вихрей и угловой вихрь. При этом распределение температуры оказывается немонотонным вдоль поверхности и имеет ровно 9 экстремумов. Как показано в разделе 3.1, максимальное число приповерхностных вихрей в капле определяется характерным размером ячейки Марангони, если оценку провести аналогично способу Пирсона для плоского жидкого слоя [41]. Существование приповерхностных вихрей и соответствующих экстремумов в профиле приповерхностной температуры становится более выраженным при уменьшении вязкости жидкости. Приповерхностные вихри исчезают при слишком больших значениях вязкости, например когда вязкость увеличивается более чем в 4 раза при сохранении других приведенных в таблице 1 параметров.
Как видно из рисунка 3.2, экстремумы поверхностной температуры соответствуют изменению знака тангенциальной компоненты скорости на поверхности. Дело здесь в том, что жидкость движется на поверхности от более горячих областей к более холодным, поскольку поверхностное натяжение уменьшается с увеличением температуры. Движение жидкости приводит к перераспределению температуры вследствие конвективного переноса тепла.
В начальный момент времени распределение скоростей в лежащей капле может быть сильно возмущено, например сразу после ее падения на подложку или по другим экспериментальным причинам. Эта возможность была изучена при моделировании со случайным распределением начальных скоростей в объеме капли, выбранным с учетом уравнения непрерывности. Результаты показывают, что сильное возмущение скоростей может существенно изменить раннюю стадию конвекции в капле. При этом основная стадия динамики конвекции остается практически неизменной. Если харатерные для случайного распределения в начальный момент скорости составляют 5 см/с (что существенно превышает характерные скорости конвекции), то разница между динамиками такой возбужденной капли и капли, изначально покоящейся, исчезает при t 0.5 с. Аналогичным образом рассматривалось влияние случайного мелкомасштабного распределения начальных температуры и скорости на поверхности капли. Такое возмущение изменяет поведение приповерхностных вихрей лишь на самой ранней стадии. Затем вихревая структура становится такой же, как у изначально покоящейся капли. Все это показывает устойчивость основных стадий конвекции к возмущениям начальных температуры и скорости, если пиннинг контактной линии не разрушается.
С увеличением размера приповерхностных вихрей и развитием конвекции в объеме капли, на промежуточном этапе возникает состояние с тремя вихрями, которое контролирует распределение скорости и температуры. Это показано на рисунках 3.3 и 3.4 слева для t « 0.45 с. В процессе существова-ния трех вихрей, угловой вихрь начинает расти за счет двух других вихрей, и в конечном счете при t » 2 с, он занимает весь объем капли. Такая устойчивость углового вихря объясняется высокой теплопроводностью подложки и большим потоком испарения вблизи контактной линии. Пространственная зависимость температуры вдоль поверхности капли немонотонна, если капля содержит более одного вихря (см. рис. 3.4). На рисунках 3.3 и 3.4 справа показано, что в режиме одного вихря силы Марангони вызывают движение жидкости вдоль поверхности к вершине капли, где далее жидкость движется вдоль оси симметрии в глубину капли.
Конвекция с одним объемным вихрем представляет собой одну из основных стадий конвективной динамики жидкости в испаряющейся капле. В течение этого периода, который длится до t ю 250 с, испаряется более половины массы капли. Для начальных значений массы, высоты и контактного угла капли, равных т = 8.7 мг, h = 0.1314 см, в = 1.2045, для момента t = 250 с. находим т = 4.0 мг, h = 0.0685 см, 9 = 0.716. При этом, в частности, /г/(2го) 0.17, т.е. форма капли становится заметно более сплюснутой, как и должно быть при испарении капли в режиме пиннинга контактной линии. Для полного времени испарения находим 508 с.
