Интегрируемые системы, ассоциированные с геометрией экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий Орехов Кирилл Александрович

Содержание к диссертации

Введение

1 Геометрия экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий 12

1.1 Метрика Керра вблизи горизонта событий 12

1.2 Метрика Керра–Ньюмана–АдС вблизи горизонта событий 15

1.3 Метрика Мелвина–Керра вблизи горизонта событий 18

1.4 Метрика Майерса–Перри общего вида 21

1.5 Метрика экстремальной черной дыры Майерса–Перри вблизи горизонта событий

1.5.1 Случай D = 2n + 1 измерений 22

1.5.2 Случай D = 2n измерений 1.6 Метрика Майерса–Перри–АдС общего вида 25

1.7 Метрика экстремальной черной дыры Майерса–Перри–АдС вблизи горизонта событий

1.7.1 Случай D = 2n + 1 измерений 27

1.7.2 Случай D = 2n измерений 1.8 Метрика Майерса–Перри при несовпадающих параметрах вращения 30

1.9 Геометрия экстремальных черных дыр вблизи горизонта и конформные инварианты 35

1.9.1 Метрика Керра–НУТ вблизи горизонта событий и конформ ные инварианты 35

1.9.2 D = 5 метрика Майерса–Перри-НУТ вблизи горизонта событий и конформные инварианты 37

2 Интегрируемые системы, ассоциированные с геометрией экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий 46

2.1 Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Керра 47

2.2 Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС 50

2.3 Сферическая механика 53

2.4 Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Майерса–Перри в D = 2n + 1 56

2.5 Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Майерса–Перри в D = 2n 59

2.6 Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Майерса–Перри–АдС в D = 2n + 1 61

2.7 Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Майерса–Перри–АдС в D = 2n 63

2.8 Унитарная симметрия и интегрируемость сферической механики

2.8.1 Максимальная суперинтегрируемость редуцированной сферической механики 65

2.8.2 Суперинтегрируемость нередуцированной сферической механики 70

3 Геометрия экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий и суперсимметричная механика 75

3.1 Алгебра суперсимметрии AdS2 и N = 2 суперчастица 76

3.2 N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра 80 3.3 N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра-Ньюмана-АдС 82

3.4 N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Мелвина–Керра 85

Заключение 89

Список литературы

• Метрика экстремальной черной дыры Майерса–Перри–АдС вблизи горизонта событий
• Геометрия экстремальных черных дыр вблизи горизонта и конформные инварианты
• Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС
• N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра 80 3.3 N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра-Ньюмана-АдС

Введение к работе

Актуальность темы

Исследованию черных дыр посвящено одно из наиболее активно развивающихся направлений современной теоретической физики и наблюдательной астрофизики. С математической точки зрения, черная дыра описывается метрикой, доставляющей решение уравнениям Эйнштейна, которая характеризуется наличием горизонта событий. С последним связаны многие важные предсказанния теории черных дыр, включая энтропию Бекенштейна–Хокинга, излучение Хокинга и информационный парадокс.

В 1999 г. Бардиным и Горовицем было показано, что вблизи горизонта событий метрика экстремальной черной дыры Керра проявляет дополнительную симметрию, описываемую конформной группой SO(2, 1). Позже было установлено, что наличие такой симметрии характерно для широкого класса экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий. Как следствие симметрии пространства, динамические уравнения частиц и полей на таком искривленном фоне автоматически проявляют конформную инвариантность. Настоящий всплеск интереса к геометриям экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий последовал за работой Стромингера и сотрудников 2008 г., в которой была предложена конформная теория поля, дуальная геометрии экстремальной черной дыры Керра вблизи горизонта событий (так называемое Керр/КТП–соответствие). Активные исследования в данном направлении ведутся вплоть до настоящего времени.

Конформно–инвариантные механические системы активно изучаются на протяжении последних 15 лет. С одной стороны, интерес к такого рода моделям обусловлен развитием методов теории интегрируемых систем. В этом контексте стоит особо упомянуть модель Калоджеро и ее различные модификации, включая суперсимметричные расширения. С другой стороны, ожидается, что конформная механика многих частиц может быть использована для микроскопического квантового описания экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий, для объяснения различных аспектов дуальности между теорией струн в искривленном пространстве и конформной теорией поля на границе, а также для эффективного построения спиноров Киллинга на суперсимметричных искривленных многообразиях.

В настоящей диссертационной работе геометрия экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий применяется для построения и последовательного изучения новых интегрируемых систем и их суперсимметричных расширений. В основу рассмотрения положен теоретико–групповой подход, основанный на построении оператора Казимира конформной алгебры so(2, 1), редукции по циклическим переменным и анализе остаточных симметрий. При построении новых N = 2 суперсимметричных расширений используются структурные соотношения суперконформной алгебры su(1, 1|1), методы гамильто-новой механики и общая теория дифференциальных уравнений в частных производных.

Степень разработанности

Построению интегрируемых систем, ассоциированных с геометрией экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий, посвящено небольшое число работ. К настоящему моменту была исследована конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Мейерса-Перри вблизи горизонта событий для специального случая, когда все параметры вращения совпадают. С использованием редукции по радиальной переменной построена новая максимально суперинтегрируемая система. Детально исследована структура интегралов движения, отвечающих унитарной группе симметрий исходной фоновой метрики, и установлена их взаимосвязь с интегралами движения результирующей максимально суперинтегрируемой системы. При построении моделей суперсимметричных частиц, движущихся вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр, был детально изучен случай N = 4 суперчастицы в пространстве Райсснера–Нордстрема и N = 2 суперчастицы в пространстве Керра.

В рамках настоящего диссертационного исследования развитые ранее методы обобщаются на случай заряженных, вращающихся черных дыр и черных дыр в пространстве с космологической постоянной. Детально изучается вопрос об интегрируемости нередуцированных механических систем, ассоциированных с такими геометриями. Для всех рассматриваемых полевых конфигураций получены соответствующие им конфромные механики в гамильтоновом формализме. Для моделей массивных частиц, движущихся вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС и экстремальной

черной дыры Мельвина–Керра построены N = 2 суперсимметричные обобщения.

Цели и задачи работы Цели диссертационной работы:

1. Изучение геометрии экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий и разработка новых методов построения таких решений.

2. Построение новых интегрируемых систем, ассоциированных с геометрией экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий.

3. Построение новых моделей N = 2 суперчастиц, движущихся вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

4. Адаптировать процедуру построения метрики Майерса–Перри–АдС вблизи горизонта событий на случай совпадающих параметров вращения.

5. Развить метод описания геометрии экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий, основанный на использовании конформных инвариантов.

6. Разработать методику выявления скрытых симметрий фонового многообразия, основанную на анализе гамильтоновой механики пробной массивной частицы.

7. Применить методы теории групп для анализа интегрируемых систем многих частиц, ассоциированных с геометрией экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий.

8. Развить теоретико–групповой подход к построению моделей N = 2 суперчастиц, движущихся вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр.

Научная новизна

9. Впервые предложена процедура построения метрики экстремальной черной дыры вблизи горизонта событий в терминах конформных инвариантов.

10. Впервые построено решение вакуумных уравнений Эйнштейна, описывающее D = 5 вращающуюся черную дыру Майерса–Перри с ненулевым НУТ зарядом вблизи горизонта событий.

11. Для геометрии экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС вблизи горизонта событий впервые установлена приводимость тензора Кил-линга второго ранга.

12. Впервые построены интегрируемые системы многих частиц, ассоциированные с геометрией экстремальной черной дыры Майерса–Перри–АдС вблизи горизонта событий для специального случая, когда все параметры вращения совпадают.

13. Впервые развит теоретико-групповой подход к построению моделей N = 2 суперчастиц, движущихся вблизи горизонта событий экстремальных черных дыр.

Теоретическая и практическая значимость

14. Результаты диссертационной работы представляют интерес в контексте общего развития теории интегрируемых систем многих частиц и суперсимметричной квантовой механики.

15. Результаты диссертационной работы открывают новые возможности для описания геометрии экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий на теоретико–групповом языке.

16. Результаты диссертационной работы актуальны в контексте изучения Керр/КТП-соответствия и для построения микроскопического описания экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе использованы методы гамильтоновой механики, теории интегрируемых систем, теории групп, дифференциальной геометрии, общей теории относительности, теория дифференциальных уравнений в частных производных, и теория суперсимметрии.

Положения, выносимые на защиту

17. Построено новое решение вакуумных уравнений Эйнштейна, описывающее экстремальную черную дыру Майерса–Перри–АдС вблизи горизонта событий для специального случая, когда все параметры вращения совпадают. С использованием инвариантов конформной группы SO(2, 1) построено новое решение вакуумных уравнений Эйнштейна, которое определяет D = 5 метрику Майерса–Перри с ненулевым НУТ зарядом вблизи горизонта событий.

18. Для геометрии экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС вблизи горизонта событий доказана приводимость тензора Киллинга второго ранга. Построено явное выражение, связывающее компоненты тензора Киллинга и компоненты векторов Киллинга, отвечающих конформной группе SO(2, 1).

19. Построены новые суперинтегрируемые системы многих частиц, ассоциированные с геометрией экстремальной черной дыры Майерса–Перри– АдС вблизи горизонта событий для специального случая, когда все параметры вращения совпадают. Детально исследована структура интегралов движения, отвечающих унитарной группе симметрий исходной фоновой метрики.

20. Построено N = 2 суперсимметричное расширение модели массивной заряженной частицы, движущейся вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС. Показано, что N = 2 суперсимметричное расширение имеет теоретико–групповую природу и строится в терминах генераторов конформной подалгебры so(2,1) в суперконформной алгебре su(1, 1|1) и фермионных степеней свободы. Доказана единственность построенного N = 2 суперсимметричного расширения. Рассмотрение обобщено на случай экстремальной черной дыры

Мельвина Керра.

Степень достоверности

Для решения поставленных задач использованы стандартные методы теоретической и математической физики. Результаты диссертации опубликованы в рецензируемых журналах и прошли опробацию в виде докладов на научных конференциях. Следствия из полученных результатов для различных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими авторами.

Личный вклад автора

Совместно с научным руководителем осуществлена постановка задач, обсуждение результатов работы, формулировка выводов и положений, выносимых на защиту, написание научных статей по теме диссертации. Лично диссертантом произведены основные теоретические расчеты.

Апробация работы

Результаты, положенные в основу диссертации, докладывались на следующих конференциях:

21. Международная конференция «Dubna Armenia Workshop on Integrable Systems», г. Дубна, 2013 г.

22. Международная конференция «Quantum Field Theory and Gravity 2014», г. Томск, 2014 г.

23. Международная конференция «Workshop on Supersymmetry in Integrable Systems», г. Дубна, 2014 г.

24. Международная конференция «Tomsk School and Workshop on Mathematical Physics», г. Томск, 2015 г.

25. Международная конференция «Quantum Field Theory and Gravity 2016», г. Томск, 2014 г.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, из них 5 в журналах, входящих в перечень ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Метрика экстремальной черной дыры Майерса–Перри–АдС вблизи горизонта событий

Современные исследования геометрии экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий берут свое начало от работы Дж. Бардина и Г. Горовица [9], посвященной черной дыре Керра в D = 4. В данном разделе мы кратко изложим основные положения работы [9], необходимые для дальнейшего рассмотрения. В координатах Бойера-Линдквиста метрика Керра имеет вид: ds = —е xdt + е (dp — uodt) + р (А dr + d9 ), (1.1) где обозначено р = г + a cos в, А = г — 2Мг + а , (1.2) е2 = Р\ , 2 , e Asm2 "2 , с = е2 . (г + а ) — Аа sin в Ар2

Здесь М обозначает массу черной дыры. Параметр вращения а связан с угловым моментом посредством соотношения J = Ma. Условие экстремальности черной дыры, которое означает, что внешний и внутренний горизонты совпадают, приводит к ограничению а = М. При этом А = (r — М)2 и горизонт событий расположен на поверхности г = г о = М.

Для описания геометрии экстремальной черной дыры Керра вблизи горизонта событий представляется естественным применить преобразование: г — Го + ет (1.3) к метрике (1.1) и затем перейти к пределу є — 0. Для того, чтобы получить невырожденную и несингулярную метрику, в работе [9] было предложено дополнить (1.3) преобразованиями временной и азимутальной угловой переменных іи (/з: t t г — Го + єг, t — -, ip — ip -\ . (1.4) є 2MB о / 1 + cos \ \ r 2 Г0 2 2 л2І Г0 П ( T \ ds = — dt -\—dr + r0do -\ dp -\— dt , (1.5) TQ r2 1 + cos2 0 TQ где было введено обозначение Гд = 2М2. Прямыми вычислениями можно убедиться, что метрика (1.5) доставляет решение вакуумным уравнениям Эйнштейна.

Решение (1.5) обладает рядом интересных особенностей. Пространство не является асимптотически плоским. При в = 0 и t = 7Г метрика сводится к метрике двумерного пространства анти-де Ситтера. Метрика обладает дополнительными симметриями: к трансляциям времени t и азимутального угла ip, являющихся симметриями исходной метрики Керра (1.1), добавляется дилатация t =t + jt, г = г — jr, (1.6) и специальное конформное преобразование (1.7) і! = t -\—(t -\—W, г = г — tra, ф = ф а. 2 г2 г По аналогии с двумерным пространством анти де Ситтера несложно ввести глобальные координаты, в которых метрика принимает вид о / 1 + cos 2 @\ Г 2\ 2 dlj2 о! 2 Sin О 2 as = —(1 + у )ат -\ + do -\ (аф + уат) (1.8) 1 + у 1 +cos и убедиться, что пространство является геодезически полным. Полезно напомнить, что исходная геометрия Керра обладает скрытой симметрией, которая описывается тензором Киллинга второго ранга:

Как хорошо известно, каждому вектору Киллинга отвечает интеграл движения хъ д и уравнений геодезических. Аналогично, тензору Киллинга К и соответствует интеграл движения, квадратичный по скоростям K vx xv. В частности, наличие такого квадратичного интеграла позволило Картеру проинтегрировать уравнения движения массивной частицы в поле черной дыры Керра в квадратурах [72]. Отметим, что тензора Киллинга также позволяет разделить переменные в уравнениях Дирака и Клейна-Гордона на фоне метрики Керра [73]. Стоит заметить также, что в моделях суперчастиц в искривленном пространстве, допускающем тензоры Киллинга, могут быть построены дополнительные суперзаряды [74], скобки Пуассона которых дают тензоры Киллинга [75].

Применение преобразований (1.4) к тензору Киллинга (1.9) и последующий предел є — 0 приводят к следующему выражению: dt Н—dr г (1.10) С точностью до конформного множителя тензор Киллинга (1.10) совпадает с Аб -метрикой в координатах Пуанкаре. Как было установлено в работе [59], вблизи горизонта событий тензор Киллинга является приводимым (в терминологии [76]), покольку его можно построить из векторов Киллинга, отвечающих группе изометрий 5 0(2,1) х U(l).

Решением Керра-Ньюмана-АдС называется частное решение уравнений Эйнштейна-Максвелла с космологической постоянной [77]. Метрика и векторный потенциал имеют вид: Аг / а 2 \2 Р2 2 Р2 9 Аг а о У Р і 2 Р л2 as = — at — — sin в dip —— аг —— do — р2 Аг Ад о о \ 2 (1.11) Ад 2 / г -\- а \ sin в adt dip , Р " qer ( a sin в \ qm cos в ( г2 -\- а2 А = dt dip adt dip p " P " о о Г2 2 A fl2 2л Дг = (r + а ) 1 + — — 2Mr + g , Дд = 1 —— cos 9, J 2 ± /2 p2 = r2 + a2 cos2 (9, 5 = 1 ——, a = q„ + gm. (1.12) Параметры M,a,qe,qm связаны с массой, угловым моментом, электрическим и магнитным зарядами посредством соотношений [78]: м — — i— L п — qe/m (1 13) а / связано с космологической постоянной следующим образом: Л = — 3/7 2. Нули функции Дг, которые обозначим за г+ и г_, определяют внешний и внутренний горизонты, соответственно. Метрика и электромагнитное поле инвариантны относительно трансляций угловой координаты ip и времени t:

Менее очевидный факт заключается в том, что метрика (1.11) допускает тензор Киллинга второго ранга: Kij = Qij + г Qij, (1.15) где обозначено: Qij = —Ar О О о о О р4 Дг О о sin в О аАг 2 а Аг ,_, sin в 0 0 — sin в В экстремальном случае внешний и внутренний горизонты совпадают при г = г__. Тогда имеют место равенства: = О Ar\r = r+ A r\r = r+ = О, откуда находим условия экстремальности: 2 г\{1 — Ъг\ /12) — q2 г+((1 + г+/72)2 — q2/l2) 1 - гу/ а = , М = 1 — г\/12 (1.16) при этом 2 2 Аг = (г — г__) ((г + г__) + 2г+ + / + а )// (1.17) Для перехода к области вблизи горизонта событий используем преобразование координат [78]: ІГо trooE, (1.18) if — Г — Г+ + ЄГоГ, t — є є(г\ + а2) после чего переходим к пределу є — 0. Первое преобразование в (1.18) является естественным для описания геометрии вблизи горизонта событий, второе и третье нужны для того, чтобы в пределе метрика была несингулярной и невырожденной. Параметр г о выбирается из соображений удобства.

Геометрия экстремальных черных дыр вблизи горизонта и конформные инварианты

Как отмечалось во Введении, интерес к геометрии экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий мотивирован, в первую очередь, гипотезой [6] о существовании двумерной конформной теории поля, дуальной экстремальной черной дыре Керра вблизи горизонта событий (Керр/КТП-соответствие). Вместе с тем, наличие конформной симметрии, характеризующей такие геометрии, позволяет проанализировать ряд важных вопросов, относящихся к конформной механике [28, 30, 33, 39, 59, 86, 87, 88, 89, 90] и теории интегрируемых систем [66, 67].

В недавних работах [63, 64] был предложен метод построения новых интегрируемых систем из конформной механики общего вида посредством разделения динамики углового сектора и радиальной канонической пары. Вычисление оператора Казимира конформной алгебры показало, что он не зависит от радиальной переменной, и его можно использовать как гамильтониан редуцированной сферической механики. В данной главе конформная симметрия, характерная для широкого класса экстремальных черных дыр вблизи горизонта событий, будет использована для построения конформной механики. Последняя, в свою очередь, служит основой для построения новых интегрируемых систем, реализованных в виде сферической механики.

В этом отношении черная дыра Майерса-Перри с одинаковыми параметрами вращения представляет особый интерес, так как ее группа симметрий расширена до унитарной группы, дополненной конформным множителем вблизи горизонта. Сферическая механика в таком пространстве была построена в работах [66, 67]. Естественное обобщение геометрии Майерса–Перри можно получить включением космологической постоянной. В этом случае имеется дополнительный параметр, который на уровне сферической механики дает дополнительную константу связи. Важно подчеркнуть, что введение космологической постоянной не нарушает унитарную симметрию, и значит, возникает возможность построить суперинте-грируемые механические системы, аналогичные [66, 67].

Данная глава посвящена систематическому изучению конформной механики, ассоциированной с черными дырами Керра [59], Керра–Ньюмана–АдС [86], Майерса–Перри [67] и Майерса–Перри-АдС [68], и возникающими в этом контексте новыми интегрируемыми системами.

Функционал действия массивной релятивистской частицы, движущейся вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра имеет вид: f 1 + cos в f г \ / го \ . 0 ол 2гп sin 6і / . о = —т oft л — — ( — ) г2 — г2в2 ф + \ 2 го г 1 + cos в где га - масса частицы. Следуя работе [59], динамику этой механической системы будем анализировать в гамильтоновом формализме, для чего введем в рассмотрение импульсы (Рг,Ре,Рср), канонически сопряженные координатам (г, 9,ip). Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид: I 9 г I1 + cos2в „ l-\-cos2e . Н = — (гаго) + (трг) + pi + т. Р% Pv\ (2.2) Гд I 2 2 sin в v Гамильтониан является интегралом движения, отвечающим инвариантности метрики относительно трансляций времени. Прочие изометрии метрики Керра вблизи горизонта событий дают следующие сохраняющиеся величины: I 9 \ г I1 + cos2в 9 l-\-cos2e \ К = — (гаго) + \трг) +РЙ + т. Рю +Рш + г I 2 2sin0 1 (2.3) -\2H + 2trpr, D = tH + rpr, P = pip, которые отвечают, соответственно, специальным конформным преобразованиям, дилатациям и вращению вокруг оси z. Данные функции образуют алгебру so(2,1) и(1) относительно канонической скобки Пуассона {,}: {H,D} = H, {H,K} = 2D, {D,K} = K. (2.4) Кроме того, используя тензор Киллинга (1.10), получаем дополнительный интеграл движения: о 2 + COS в sin в 1 + COS в 2 / 1 + COS в 2 L = (тпго) + Ре + т, Рші (2.5) 2 2 sin в который, однако, оказывается приводимым так как его можно выразить через остальные интегралы движения. Вычисляя элемент Казимира алгебры so(2,1), получаем НК — D = L — Р . (2.6)

Следовательно, L является квадратичной комбинацией интегралов движения, отвечающих группе симметрий 5 0(2,1) х U(l). Несмотря на то, что вблизи горизонта событий группа симметрий метрики оказывается расширенной, тензор Киллинга является приводимым [59]. Проинтегрируем теперь канонические уравнения движения С" = {С\ Н}, (2.7) где (а = (г\в)ір) рГ) р0) рір). Сохраняющиеся величины (2.2), (2.3), (2.5) позволяют определить динамику радиальной пары канонических переменных: (V TQE а (І)(a{t)2 + L — P) r(t) = Pr(t) = 2 (2.8) , Pr\t) = 2 у a(t)2 + L — P T QE Здесь E = H - энергия, и было принято обозначение a(t) = D — tE = rpr. Нужно заметить, что r(t) пропорционален a(t) с положительным коэффициентом. В зависимости от начальных данных, частица либо летит прямо к горизонту событий, расположенному в точке г = 0, либо движется прочь от него в течение некоторого времени, а затем поворачивает в момент времени t = D/E и стремится к г = 0.

Перейдем теперь к канонической паре переменных (9,рв). Интеграл движения (2.5) позволяет ыразить рв через в: 1 + cos2 в fl-\-cos2e\ \ L (гаго) — у 2 2 sin в + COS t \o 1 + COS no Pe = L (гаго) — P , (2.9) 2 2 sin 0 где для определенности был выбран положительный знак корня. Если подставить это выражение в уравнение движения на координату в, то можно разделить переменные и найти решение в квадратурах, которое выражается через эллиптические функции.

Конформная механика, ассоциированная с геометрией экстремальной черной дыры Керра–Ньюмана–АдС

Из этой формулы видно, что алгебра и(п) является алгеброй генерирующей спектр системы. Это свойство особенно полезно в квантовом случае, поскольку существует хорошо разработанный математический аппарат теории групп для постороения собственных состояний и собственных значений квантованного гамильтониана (см., например, [99]).

Обсудим теперь вопрос суперинтегрируемости системы с гамильтонианом Нп, у которой имеется 2п — I степеней свободы. Обозначим за Ст(и(п)) элемент Казимира алгебры и(п) порядка т. Всего имеется п элементов Казимира первого порядка Ci(u(l)),... , Ci(u(n)), (2.111) которые вместе с п — 1 элементами Казимира второго порядка Сг(м(2)),..., 2(11(71)) (2.112) образуют набор 2п — 1 функционально-независимых интегралов движения в инволюции. Следовательно, данная динамическая система интегрируема по Лиувил-лю. Вопрос суперинтегрируемости сводится к подсчету функционально-независимых интегралов движения среди п2 генераторов Pij,,ij алгебры и(п). Будем использовать координаты (ХІ,УІ) (2.87), в которых pij и имеют вид: Pij = XiPy. — HjPxi + xjVyi УгРх-і ij = %іРх — xjPxt + Уі РУі — УуРуі- (2.113)

Данные выражения дают каноническую реализацию и(п). В общем случае число функционально-независимых интегралов движения равно рангу матрицы д а1ь, где (а обозначают координаты в фазовом пространстве, а Д - генераторы. Случай п = 1 тривиален: имеется одна степень свободы в конфигурационном пространстве и один интеграл движения. При п = 2 имеется восемь координат (а и четыре интеграла движения Д. Можно проверить, что гапк(д а1ь) = 4, (2.114) откуда следует, что все 1ь функционально-независимы. При п = 3 имется двенадцать координат в конфигурационном пространстве и девять интегралов движения. Однако, в этом случае гапк(д а1ь) = 8, (2.115) и следовательно, одна из сохраняющихся величин есть функция от остальных восьми. Оказывается, что соотношение между ними можно найти в явном виде: — (РщРгз + Ч2з) + Р22ІРіз + Сіз) + Рзз(Рі2 + SIT)) =

Стоит заметить, что это отношение третьего порядка по генераторам и оно не возникает в полностью редуцированном случае, поскольку его нельзя выразить только через величины Iij = pfj + г2-, і j, (см. [67]).

Итак, мы видим, что при п = 2 и п = 3 число функционально-независимых интегралов движения равно 4п — 4. Это утверждение оказывается верным для всех п 2, что можно доказать, используя метод математической индукции. Предположим, что для некоторого N = п — 1 имеется 4(гг — 1) — 4 функционально независимых интеграла движения, которые можно выбрать следующим образом: Pll, Pl2, l2, Р22, Ріг, li, Р2і, ,2і, (2.117) где г = 3,... , n — 1. Тогда для N = п добавляем дополнительные 2п—1 интегралов движения pin и jn при і = 1,... ,п— 1, а также ргага. Для каждой пары интегралов движения ріга и in, где і = 3,... ,п— 1, рассмотрим следующие столбцы в матрице Са{Рі1) Ріг, іг, Ргг, Pin, ln, Pin, m, Pnn}, (2.118) Ca {P2, P2i,,2i, Pii, P2n, ,2n, Pm, m Prara}

Эти стобцы имеют в точности такую же структуру, что и для п = 3, если произвести следующую подстановку индексов: (123) — (1ш), (123) — (2т). (2.119) Следовательно, из них получаем аналогичные соотношения между генераторами, что и в (2.116): 1 I ( 2 , 2 , ( 2 . Л , / 2 . t2 \ \Ркк [Pin Т q,in) -Г Pii\P і -\- Un) \ PriTl\Ph% і ki) 2 (2.120) Ріп(,кі,кп + РкіРкп) + ,іп(ркі,кп ,кіРкп), где к = 1,2. Для того, чтобы выразить рпп как функцию остальных генераторов, рассмотрим другой набор столбцов: Ca(Pll) Pl2, l2, Р22, Plra,lra, P2ra, 2n, Prara}, (2.121) что приводит к тем же соотношениям, что и в (2.120) при к = 1,г = 2. В итоге заключаем, что генераторы Pin,,in, Р2п,,2п являются функционально независимыми. Вместе с (2.117) они образуют набор 4п — 4 функционально-независимых интегралов движения, что завершает индукцию.

Из вышеприведенных рассуждений следует, что для D = 2п +1 в сферической механике не хватает одного интеграла движения для максимальной суперинтегрируемости.

Анализ случая четного числа измерений D = 2п, когда гамильтониан имеет вид (2.83) можно провести аналогичным образом. После обращения преобразования (1.89), приводим гамильтониан к следующему виду: и Д _! определен согласно формуле (2.109). У этой системы имеется всего 2п — 2 конфигурационных степеней свободы, и ее интегрируемость по Лиувиллю обеспечивается наличием 2п — 2 коммутирующих между собой независимых интегралов движения Н ,... , H _l,p(pi,... ,р1Рп х, Нп. (2.124) Ее алгебра симметрий та же, что и у Н _г, т. е. и(п — 1). Полный набор из An — 7 функционально-независимых интегралов движения включает в себя: Нп, рц, Pl2, l2j Р22) Pli) li P2i) 2i) (2.125) где г = 3,... , n — 1. Следовательно, у этой механической системы не хватает двух интегралов движения для максимальной суперинтегрируемости.

Таким образом, в второй главе диссертации нами построены новые супер интегрируемые системы многих частиц, ассоциированные с геометрией экстремальной черной дыры Майерса-Перри-АдС вблизи горизонта событий для специального случая, когда все параметры вращения совпадают и детально исследована структура интегралов движения, отвечающих унитарной группе симметрий исходной фоновой метрики.

N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра 80 3.3 N = 2 суперчастица вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра-Ньюмана-АдС

Уравнение (3.45) является неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Его частным решением является функция — arctan т= ). Тогда общее решение имеет вид: V С Грг о = — arctan —= + bhom, (3.46) л/С где bhcmi является общим решением однородного уравнения {я, 6} = 0. Это уравнение можно привести к виду я дхЬ — двядРвЬ + дРвядвЬ + др яд Ь = 0, где х = грг. Присоединенная система обыкновенных дифференциальных уравнений включает в себя: dx я = dp дРв я dp в двя dp дРіря d9 де я = dp др я и поскольку я не зависит от р, то первые интегралы входят в выражение для bhom(x, 0,Рв) как функции от р. Таким образом, bhom = bhom(p). Но Р = pv являлся интегралом движения в бозонной теории. Поэтому естественно потребовать, чтобы он сохранялся и в ее суперсимметричном обобщении. Следовательно, координата р должна быть циклической и bhom = 0. Окончательное выражение для функции b имеет вид: грг о = — arctan —=. (3.47) л/С Зная выражения для а и b (3.61, 3.47), можно теперь вычислить все генераторы супералгебры su(l, 11):

Поскольку по построению P = pv также является интегралом движения, то полная супергруппа симметрий есть bU(l, 11) х U(l). Отметим, что проведенное по-сторение не налагает ограничений на параметры частицы, в отличие от, например, случая экстремальной черной дыры Райсснера-Нордстрема [93].

Геометрия Мелвина-Керра [17] обобщает решение Керра на случай намагниченной черной дыры. Вблизи горизонта событий метрика имеет вид ([22], см. также Раздел 1.3): 2 тл/п\ ( 2 7 2 Г2 2 . 2\ as = 1 (в) —г at -\ + do + (в)(аср + krdt) , 3.49 r2 dr2 г2 где обозначено: Г((9) = М ( т + г cos в), 7(в) = г т. 9 ,9, к = —от. (3.50) ( т + т cos 0) Постоянные сиг связаны с массой М и магнитным зарядом В черной дыры следующим образом: а = 1 -\- В М , г = 1 — В М . (3.51) Один-форма, задающая векторный потенциал А, имеет вид: 2Сі тт cos в + С 2(т2 cos2 в — а2) А = j{0){krdt + аф), j{0) = , (3.52) а + т cos в где произвольные постоянные С\, С 2 удовлетворяют условию: 2 2 М2(т2 — а2) С1 + С2 = тг ) (3.53) от Изометрии метрики (3.49) описываются векторными полями Киллинга: dt, tdt — rdr, (t + r )dt — 2trdr cL (3.54) r образующими алгебру so(2,1). Еще одна симметрия связана с азимутальной симметрией dv. Гамильтониан конформной механики, ассоциированной с геометрией черной дырой Мелвина-Керра, можно построить, рассмотрев частицу с массой m и электрическим зарядом е, и разрешая уравнение массовой оболочки: gv (pi — eAi)(pj — eAj) = —m (3.55) относительно ро: U 2TV/A \2 , 2 , 1 ( tra Н = —ро = г m1 (и) + (грг) + Ра -\—77Г\ \Pv eJ\P)) kp f (3.56) т( ) Гамильтониан генерирует трансляции по времени, в то время как остальные векторные поля Киллинга дают следующие сохраняющиеся величины: (/ П/Л 9 1 / С/Л9 \ m2L (0) + \rpr)2 + pi-\ тж\Р р еї\У)) + кри 1 ow„ 9 1 с/л9 К = t Н -\— rn2i (0) + \rpr)2 + pi -\—тж\Р р еї\у)) + kpu + 2trpr, r 7v ) D = tH-\-rpr, P = рф. (3.57) Для построения N = 2 суперсимметричного расширения данной динамической системы, вводим в рассмотрение фермионные степени свободы ф,ф, которые являются комплексно сопряженными друг к другу и подчиняются канонической скобке:

Как и в предыдущем случае, генераторы суперсимметрии Q, Q выберем в наиболее общей форме: Q = аег ф, Q = ае г ф, (3.59) где а и b - вещественные функции переменных фазового пространства г, (9, р р р ,. Из соотношения {Q,Q} = — 2гН находим: Н =—а -\—{а ,Ь}фф, (3.60) 2 2 что определяет вид функции а: а = \/2Но- (3.61) Здесь Н0 - это бозонный предел гамильтониана Н0 = H\ = =0, который совпадает с гамильтонианом (3.56). В полной суперсимметричной модели он должен быть расширен фермионным вкладом, пропорциональным фф в (3.60). Нужно заметить, что в суперсимметричной теории интегралы движения D и К сохраняют свой общий вид (3.57), при этом Н необходимо заменить на полный суперсимметричный гамильтониан (3.60). Для нахождения вида функции Ь, рассмотрим скобку {D, Q} = —\Q, из которой следует, что: {rpr, Ь} = 0. (3.62) Это уравнение означает, что радиальная часть b зависит только от произведения rpr: b = b(rpr, в, р,ре,Р р). Скобка {S, S} = —2гК дает неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка: г м у/с () і х, b\ = , 3.63 где обозначено: 1 0„/Л 9 1 , с/л2 н = — т21 (0) + \rpr)2 + pi -\—TTv yPv eJ\v)) + kpv , г liy) С = т 1 [и) + рв -\ [Три, — ej\u)) — (к Ро?) . (3.64)

Следует отметить, что С является элементом Казимира алгебры so(2,1). Общее решение уравнения (3.63) является суммой частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Частное решение выбираем в виде: ( грг\ bpart = — arctan —=, (3.65) л/С а общее решение однородного уравнения, в соответствии с методом характеристик, дается соотношением: ( я Яд Яд \ bhom = bhom fPr Ф)Рв Н Ф, & f , (3.66) Vip Рф Vip где Яр = тр1 и яд = -т . Из (3.66) вытекает, что bhom зависит от азимутальной угловой переменной ip. Как следствие, то же самое имеет место для суперзарядов. Однако, они не могут зависеть от ip, поскольку pv является сохраняющейся величиной и значит ip должна быть циклической переменной. Таким образом, bhom должно быть постоянной величиной. Как следует из (3.59), произвол в выборе этой константы соответствует [/(І)-преобразованию, которое не влияет на динамику системы. Таким образом, заключаем, что без ограничения общности можно положить bhom = 0.

В итоге, однозначное N = 2 суперсимметричное расширение модели массивной релятивистской частицы, движущейся вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Мелвина-Керра, определяется следующим набором функций: Гп ( Гп\ Н = Но фф, Q = іл/2 -= ф, я Vх (3.67) S = —tQ + іл/2яф, J = —фф + vC, а также (3.57), где H обозначает полный суперсимметричный гамильтониан.

Таким образом, в третьей главе диссертации нами построено N = 2 суперсимметричное расширение модели массивной заряженной частицы, движущейся вблизи горизонта событий экстремальной черной дыры Керра-Ньюмана-АдС. Показано, что N = 2 суперсимметричное расширение имеет теоретико-групповую природу и строится в терминах генераторов конформной подалгебры so(2,1) в суперконформной алгебре six (1,11) и фермионных степеней свободы. Доказана единственность построенного N = 2 суперсимметричного расширения. Рассмотрение обобщено на случай экстремальной черной дыры Мелвина-Керра.