Содержание к диссертации
Введение
Глава I Управление движением атомов с помощью электромагнитного поля: обзор литературы 5
Глава II Гамильтонова динамика атомно-полевой системы 18
1 Уравнения движения 18
2 Динамика системы при точном атомно-полевом резонансе 23
3 Осцилляции Раби вне резонанса и резонанс Доплера-Раби 32
4 Хаос и фрактальные свойства механического движения атома 36
4.1 Хаотическое блуждание атома и полёты Леви 36
4.2 Исследование хаотического движения методом отображения Пуанкаре 42
4.3 Фрактальные свойства движения атома 48
Глава III Диссипативная динамика атомно-полевой системы: уравнения движения и механические эффекты 62
1 Уравнения движения 62
2 Движение атома под действием силы трения 65
3 Хаос и фрактальные свойства в механическом движении атома 70
3.1 Диссипативное хаотическое блуждание атома 70
3.2 Диссипативные фракталы 74
Глава IV Диссипативная динамика атомно-полевой системы: синхрониза ция, аттракторы, бифуркации 80
1 Синхронизация 80
2 Приближённые аналитические решения 85
3 Структура бассейнов притяжения аттракторов 87
4 Бифуркации при изменении параметров 91
5 Спектры флуоресценции 96
Заключение 100
- Динамика системы при точном атомно-полевом резонансе
- Хаотическое блуждание атома и полёты Леви
- Движение атома под действием силы трения
- Структура бассейнов притяжения аттракторов
Введение к работе
Данная работа находится на стыке двух быстро развивающихся научных дисциплин: физики взаимодействия атомов с когерентным электромагнитным излучением и теории нелинейных колебаний.
Теоретическое и экспериментальное исследование взаимодействия атомов с лазерным полем, помимо чисто академического интереса, имеет сегодня большое практическое значение. Если первоначально основным приложением было создание сверхнизких температур атомного движения, то сейчас большой интерес представляет непосредственное управление движением атомов, атомный лазер, излучающий когерентные пучки атомов, квантовый компьютер на плененных атомах и ионах. Особую важность приобрела проблема одновременного управления как внешними (механическими), так и внутренними степенями свободы атомов, когда требуется учёт эффектов, связанных как с механическим движением, так и с динамикой внутренней энергии и дипольного момента атома.
Взаимодействие атомов с полем излучения и лазерная оптика представляют интересное поле исследования для нелинейной динамики. Помимо успехов в лазерной технике и в экспериментах с холодными атомами, последние деся-тиления были ознаменованы быстрым развитием вычислительной техники. Стало возможным широкое применение численных методов анализа нелинейных уравнений, позволяющих выявлять закономерности, не допускающие точного аналитического описания.
Существование неинтегрируемых систем дифференциальных уравнений было открыто в конце 19 века. Принципиальное значение для этого имели работы А. Ляпунова и А. Пуанкаре. Исследование проблем устойчивости, из начально рассматривавшееся математиками как чисто техническая задача, привело в 1892 году к фундаментальному открытию. В работе [1] Пуанкаре доказал, что в задаче трех тел могут возникать неустойчивые орбиты с чрезвычайно сложным поведением. Новое явление, вноследствие названное динамическим или детерминированным хаосом, заключалось в том, что совершенно детерминированная система из малого числа уравнений может в отсутствие какого-либо случайного возмущения иметь решения со стохастическими свойствами (см., напр., [2, 3, 4, 5]). Такие решения не являются ни периодическими, ни квазииериодическими, и, как правило, не могут быть описаны аналитическим выражением. На больших временных масштабах детерминированное хаотическое движение практически не отличается от случайного, так как из-за неустойчивости ошибка предсказания экспоненциально растёт.
Развитие теории нелинейных колебаний в 20 веке (в значительной степени связанное с именами отечественных ученых Мандельштама, Андронова, Витта, Боголюбова, Колмогорова, Понтрягина, Чирикова, Арнольда и др.) позволило, помимо явления динамического хаоса, выявить "обратную сторону" нелинейного мира — возможность самоорганизации. Первым, наиболее простым и фундаментальным её проявлением стали автоколебания [6] устойчивые периодические процессы, самостоятельно возвращающиеся к своему выделенному ритму после воздействия внешнего возмущения. В работах отечественных и зарубежных учёных конца 20-х - начала 30-х гг., фактически, был заложен фундамент таких междисциплинарных направлений, как теория катастроф, синергетика, теория диссипативных систем. В 30-х гг. советскими учёными был проведён ряд оригинальных радиотехнических экспериментов, призванных на практике проиллюстрировать новые теоретические достижения (см. напр. [7, 8]). Начиная с этого времени, теория нелинейных колебаний перестаёт быть исключительно разделом математики. Помимо механических явлений, она находит приложения в электронике, химии, биоло- гии, экологии и даже в гуманитарных науках.
Динамика системы при точном атомно-полевом резонансе
При точном резонансе происходит эффективное разделение эволюции различных степеней свободы. В резонансной системе І = оср\ р = -Щ sin і; (і8) v = 2Nzcos; z = —2v cos трансляционное движение зависит только от значения щ. При щ — О потенциальное поле отсутствует, хотя структура стоячей волны сохраняется. В таком случае атом, влетающий в резонатор с некоторым начальным импульсом ро5 продолжит равномерное и прямолинейное движение с прежней скоростью. При этом при любых начальных значениях переменных v и г, кроме VQ = zo — О, возникнут осцилляции Раби, промодулированные стоячей волной. Состояния с щ = Щ = о = 0 являются стационарными в полуклассической теории. Если щ ф 0, то атом движется в периодическом потенциальном поле UR(), посредством которого связываются его внутренние и внешние степени свободы с полем в резонаторе.
Из выражения для энергии движения атома (16) можно найти аналитическую зависимость импульса от координаты р= J-{HR + uocos) (19) V ос и построить фазовый портрет на плоскости (,р) (рис. 1а). Это фазовый
Типичные фазовые портреты системы при регулярном движении: (а) в непосредственной близости резонанса (6 = 0,002); (б) при умеренно больших расстройках (S = 2). Здесь пространство замкнуто по координате . Фазовые траектории выходят из точек с одинаковой координатой (о = 0 и различными значениями начального импульса ро- Замкнутые кривые соответствуют финитным траекториям, незамкнутые — инфинитным. Самопересечённые кривые составляют сепаратрисы, го = 0, UQ — VQ = 2, 17945. портрет нелинейного маятника с тремя типами траекторий, отвечающими: 1. Финитным колебаниям атома в потенциальных ямах при Нц щ; 2. Инфинитному движению атома при Нц щ; 3. Сепаратрисе при Нц = щ. Уравнение движения нелинейного маятника + ащ sin — 0, (20) полученное из первых двух уравнений (18), имеет, как известно, решение в терминах эллиптических функций Якоби. С начальными условиями (0) = 0, (0) = аро решения для импульса и координаты имеют вид Отсюда следует выражение для критического значения безразмерного импульса рст = 2у/щ/а. (24) hQoUQ
В зависимости от соотношения начального атомного импульса / и критического значения рсг атом либо колеблется в потенциальной яме (эффект, впервые рассмотренный в работе [10]), либо баллистически летит с переменной скоростью сквозь резонатор. В размерных единицах критическая скорость атома равна (25) Jcr mn Уст — 2 Можно получить общее выражение для периода колебаний импульса (а при финитном движении — и координаты): где F [...] — эллиптический интеграл первого рода. Для амплитуды колебаний атома при финитном движении получим простое выражение Л = Стах - Стіп = 4 arcsin К. (27)
На рис. 2-4 приведены временные зависимости координаты, потенциальной и внутренней энергий атома. Начальные условия на рис. 2-4 равны щ = v$ = 2,17945, ZQ = 0. Выбранные значения параметров и начальных условий соответствуют в размерных единицах критической скорости атома 7. 1 м/с. В контексте рассмотрения внешних степеней свободы нас будет интересовать координата и потенциальная энергия. Как мы видим, они находятся между собой в строгом соответствии. При финитном движении атом колеблется в потенциальной яме. Период изменения эффективной потенциальной энергии вдвое меньше периода колебаний координаты (и импульса). На сепаратрисе (ро = Per) атом бесконечно долго движется к вершине потенциального барьера, которой соответствует координата = п. При инфинит-ном движении атом пролетает сквозь резонатор со скоростью, переменной по величине, но без изменения знака. Максимум скорости достигается при наименьшем значении потенциальной энергии (на дне ям), минимум при наибольшем. Периоды изменения энергии и скорости здесь равны.
Учитывая (15), из основных уравнений (10) с учётом интеграла движения (12) нетрудно получить уравнение для внутренней энергии z. Электронно-полевая динамика описывается двумя последними уравнениями резонансной системы (18), которые, однако, зависят от координаты атома.
Хаотическое блуждание атома и полёты Леви
В случае ненулевой расстройки S система (10) неинтегрируема. Мерой неустойчивости движения является показатель Ляпунова Л. Уравнения (10) с двумя интегралами движениями являются гамильтоновой автономной системой с двумя степенями свободы с движением на трёхмерной гиперповерх ности с заданным значением энергии Н. У такой системы, вообще говоря, имеется положительный показатель Ляпунова Л, равный ему но модулю отрицательный и два нулевых. Сумма всех показателей Ляпунова гамильтоно-вой системы равна нулю [3]. В связи с этим, в таких системах, в частности, невозможны притягивающие и отталкивающие множества (аттракторы и репеллеры), а также самоорганизация. Максимальный показатель Ляпунова характеризует среднюю скорость экспоненциального разбегания изначально близких траекторий и служит количественной мерой динамического хаоса в системе. Здесь А(т) расстояние (в эвклидовом смысле) в момент времени г между двумя траекториями, близкими в начальный момент времени г = 0. Зависимость максимального показателя Ляпунова от расстройки 5 приведена на рис. 7 [89]. Здесь ро = 50, no = VQ = 0, ZQ — 1. Для случая z = 0, щ — VQ = 2,17945, который будет исследоваться ниже, соответствующие зависимости от 5 имеют качественно аналогичный вид и здесь не приводятся.
Как видно из рисунка, устойчивое движение возможно при точном резонансе и при умеренно больших расстройках. Незначительное отклонение от резонанса влечёт неустойчивость, которая особенно сильно проявляется при J Й 0,5. В этих областях временные зависимости координаты и импульса имеют хаотический характер (рис. 9а). Наблюдаемый эффект хаотического блуждания атома в резонаторе интересен тем, что порождается совершенно детерминированной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой не учтены квантовые или какие-либо иные случайные флуктуации. Наглядное представление о характере хаотического блуждания можно получить с помощью модели "двух потенциалов", заключающейся в следующем.
Вблизи резонанса оптический потенциал С/ повторяет структуру стоячей волны в резонаторе с периодом 2-7Г, а его амплитуда равна щ (рис. 8а). Вдали от резонанса, при \6\ 1,7, потенциал имеет период 7г, и при \5\ 3 1 приближённо описывается функцией (37) (рис. 8д, и соответствующий фазовый портрет рис. 16). Будем называть эти потенциалы, соответственно, резонансным и нерезонансным. Вычисляя динамические переменные и, и г в каждый момент времени т, можно по формуле (14) построить зависимость U от (т) для любого значения расстройки. Однако там, где максимальный показатель Ляпунова больше нуля, полученная функция U() аиериодична (рис. 86, в, г) и, вообще говоря, неоднозначна для определённых значений ро, так как зависит не только от положения атома, но от всех динамических переменных задачи. Можно сказать, что при хаотическом движении в резонаторе в каждый момент времени "виртуально" сосуществуют резонансный и нерезонансный потенциалы, показанные на рис. 8а и 8д. Глубина ям в обеих струк (a) 5 турах со временем эволюционирует, а атом при каждом пересечении узла стоячей световой волны случайным образом попадает то на одну, то на другую структуры. Вероятность попадания на резонансный или нерезонансный потенциал зависит от расстройки. В частности, на рис. 86 и 8г атом почти всё время находится в одном и том же потенциале, лишь изредка на короткое время попадая в другой. Иная ситуация наблюдается на рис. 8в. Такая модель, разумеется, является только упрощением, введённым из соображений наглядности. Реальная динамика описывается системой (10), которая лишь в частных случаях строго соответствует какому-либо наглядному образу.
Движение атома под действием силы трения
Обратимся сначала к рис. 10. Первая слева колонка отображений для 6 — 2 есть, фактически, разложенный на отдельные траектории регулярный фазовый портрет, изображённый на рис. 16 (исключая финитные траектории). Для устойчивого движения отображение Пуанкаре отличается от простой проекции фазового портрета на плоскость лишь тем, что траектории показаны не непрерывными, а пунктирными линиями. Тот факт, что все траектории здесь инфинитные, говорит о том, что критический импульс рсг 60.
Уменьшая расстройку до S = 1, мы обнаруживаем ряд изменений. Во-первых, критический импульс теперь превышает 60. что следует из финит-ности первой траектории. Это легко объясняется увеличением интенсивности взаимодействия атома с полем по мере приближения к резонансу. Во-вторых, начиная с ро — 66 движение становится нерегулярным, что уже хорошо заметно при ро — 70. В-третьих, увеличение неустойчивости с ростом ро приводит к тому, что, начиная с некоторого значения ро Per движение перестаёт быть чисто инфинитным. Вид отображений Пуанкаре1, подобный тому, что соответствует ро = 80, означает, что атом хаотически блуждает в фазовом пространстве. Малые области, в которых захватывается атом, координатно соответствуют расположению потенциальных ям в регулярном случае, однако о статической пространственно периодичной структуре потенциальных ям здесь говорить нельзя. Таким образом, мы наблюдаем парадоксальный эффект, когда медленные атомы свободно пролетают через резонатор, а более быстрые хаотически блуждают в нём. Начиная с ро 93 движение вновь становится инфинитным, хотя и остаётся нерегулярным.
При расстройке 6 = 0,4 критический импульс рсг попадает в хаотиче скую область начальных условий и соответствующая ему сепаратриса разрушается, что мы наблюдаем на отображении для ро = 65. Здесь также, как и в рассмотренном выше случае, отмечается хаотическое блуждание атома, однако доступная область фазового пространства имеет существенно иную геометрию. Будем назвать это сепаратрисным хаотическим блужданием. Далее, "поднимаясь"над разрушенной сепаратрисой, мы попадаем в область нерегулярного инфинитного движения, а начиная с ро 70 движение вновь приобретает характер хаотического блуждания, как это было при 6 = 1. В противоположность сепаратрисному, будем называть такое движение собственно хаотическим блужданием. Также, как и в предыдущем случае, начиная с некоторого ро движение вновь становится чисто инфинитным. Таким образом, здесь мы наблюдаем по мере увеличения ро следующую последовательность сменяющих друг друга типов движения. 1. Регулярное финитное движение. 2. Сепаратрисное хаотическое блуждание. 3. Нерегулярное инфинитное движение. 4. Собственно хаотическое блуждание. 5. Нерегулярное инфинитное движение. Иной оказывается аналогичная последовательность для случая 8 = 0, 004. 1. Регулярное финитное движение. 2. Сепаратрисное хаотическое блуждание. 3. Нерегулярное финитное движение. 4. Сепаратрисное хаотическое блуждание. 5. Нерегулярное инфинитное движение.
Этот случай особенно интересен тем, что в нём, фактически, наблюдаются две сепаратрисы, что абсолютно невозможно в регулярном случае. Это хо рошо согласуется с моделью двух сосуществующих потенциалов, обсуждавшейся в предыдущем параграфе. Относительно быстрые атомы движутся исключительно в резонансном потенциале, тогда как медленные иногда ещё попадают на нерезонансный.
При 6 = 0,002, движение регулярно почти для всех ро, за исключением узкого диапазона вблизи ро = 70 (что приблизительно соответствует р . для нерезонансного потенциала). Сеиаратрисного движения здесь уже не наблюдается, однако осталась неустойчивость, всегда наблюдающаяся вблизи сепаратрис.
Рассмотрим теперь вторую таблицу отображений, ZQ = 1, щ = VQ — 0 (рис. 11). Из графиков видно, что неустойчивые траектории начинают появляться для некоторых значений 5 уже при ро — 15. Финитные траектории соответствуют меньшим значениям ро (ямы менее глубокие), чем это было в предыдущем случае. В отличие от предыдущего случая, здесь по мере приближения к резонансу глубина нерезонансных ям уменьшается, о чём свидетельствует последовательность отображений для ро = 15; 6 = 2; 1; 0,4. Вблизи резонанса захвата атома вообще не происходит. Это объясняется тем, что при 6 = 0 глубина потенциальных ям однозначно определяется величиной uo, и если tio = 0, глубина резонансных потенциальных ям также равна нулю. Отсутствие резонансного потенциала при 6 = 0 имеет ещё одно следствие: даже при столь малой расстройке, как 5 = 0, 002, собственно хаотическое блуждание наблюдается при всех приведённых значениях ро кроме 80 и 95. Случай с ро = 45, несмотря на кажущуюся инфинитность приведённой траектории, также соответствует хаотическому блужданию, но с очень большим характерным временем
Структура бассейнов притяжения аттракторов
Несмотря на то, что релаксация входит в уравнения (48) только для внутриатомных неременных, её существование сказывается и на трансляционном движении атома. Если в гамильтоновой задаче устойчивое движение атома возможно лишь в форме колебания в потенциальной яме или пролёта сквозь резонатор с периодически осциллирующей скоростью, то учёт диссипации позволяет обнаружить такие практически значимые эффекты устойчивого движения, как необратимое замедление и ускорение атома. На рис. 17 приведены типичные зависимости импульса атома от безразмерного времени т. Как мы видим, в зависимости от расстройки и начального импульса атом движется, замедляясь или ускоряясь. Механическое движение атома происходит под действием силы р, действующей на него со стороны ноля. Эта сила состоит из двух компонент, одна из которых связана с пространственной неоднородностью ноля, вызывая при баллистическом движении относительно быстрые осцилляции импульса (как это было и в гамильтоновом случае), а вторая имеет исключительно диссииативный характер, создавая необратимый медленный тренд на рис. 17. Диссипативную составляющую силы, которую мы будем называть силой трения, можно определить, как скорость изменения модуля импульса, усреднённого но пространственному периоду стоячей волны, или, точнее, по времени пролёта между двумя соседними узлами стоячей волны
Усреднение мы проводим для того, чтобы исключить компоненту силы, связанную с неоднородностью поля, а знак минус перед выражением выбран в связи с тем, что положительная сила трения, но самому смыслу этого слова, должна действовать против движения атома. Поле может как замедлять, так и разгонять атом. Замедлению атома соответствуют положительные значения F, а ускорению — отрицательные. При заданных значениях параметров, сила трения определяется не начальным, а текущим значением модуля среднего импульса \р\. Однако, в отличие от линейных систем, где трение 400
Зависимости атомного импульса р от времени г для различных начальных условий и расстроек, (а) 5 = —24, (б) S — 24. Везде п = 3000. пропорционально импульсу, в нашем случае соответствующая зависимость существенно нелинейна. На рис. 18 мы приводим зависимости силы трения F от модуля среднего импульса \р\ для двух противоположных значений расстройки, 6 = 24 и 6 = —24. Графики построены для р р , где средний критический импульс pa- есть в данном случае минимальный средний импульс, при котором ещё возможно баллистическое движение атома. Средний же импульс атома, захваченного в потенциальной яме, очевидно, равен нулю.
Как видно из рисунка, сила трения в зависимости от импульса атома зна-копеременна и имеет нули — результат, согласующийся с описанным в работе [12] для сходной задачи. Обозначим импульс в первом нуле силы как ра, а в последнем, как рь. Участки графика между двумя соседними нулями могут рассматриваться как фазовые траектории в пространстве скорости и ускорения. По траекториям, где сила трения положительна, атом движется влево, в сторону уменьшения \р\. Аналогично, по траекториям, где сила трения отрицательна, атом движется вправо, и его импульс растёт. Таким образом, нули функции F(p), для которых dF/d\p\ О, являются аттракторами, и малое отклонение от них приводит к появлению силы трения, которая возвращает атом к прежнему значению импульса. К таким устойчивым значениям импульса могут стремиться атомы, имеющие изначально различные скорости - эффект, известный как группирование но скоростям [12]. Квазистационарные импульсы, соответствующие притягивающим нулям функции F(p), называются импульсами группирования. Нули силы трения, для которых dFJd\p\ 0, являются репеллерами, и соответствующие состояния неустойчивы. Как мы видим из рис. 18, при прочих равных условиях изменение знака расстройки 6 приводит к тому, что устойчивые и неустойчивые нули силы
