Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Задача Крамерса для газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения молекул 11
1.1. Вывод основных уравнений 11
1.2. Формулировка граничных условий 18
1.3. Включение граничных условий в кинетическое уравнение
1.4. Построение кинетического уравнения во второй и четвертой четвертях фазовой плоскости 22
1.5. Система характеристических уравнений 23
1.6. Разложение в ряд Неймана
1.6.1. Характеристики газа в нулевом приближении 26
1.6.2. Характеристики газа в первом приближении 28
1.6.3. Характеристики газа во втором приближении 31
1.6.4. Характеристики газа в высшем приближении 32
1.7. Сравнение решения задачи в нулевом, первом и втором
приближениях с точным решением. Скорость скольжения газа 34
1.8. Зависимость массовой скорости газа от координаты. Значение скорости газа у стенки 37
1.9. Приведение формул к виду с размерными параметрами 39
1.10. Анализ результатов 41
Глава II. Скачок химпотенциала при испарении газа Бозе в случае постоянной частоты столкновения молекул 45
2.1. Вывод основных уравнений 45
2.2. Формулировка граничных условий 49
2.3. Решение задачи 52
2.4. Вычисление коэффициента диффузии и массовой скорости газа
2.5. Скачок и профиль химпотенциала 60
2.6. Скачок и профиль концентрации 61
2.7. Анализ результатов 62
Глава III. Скачок химпотенциала при испарении газа Бозе в случае переменной частоты столкновения молекул
3.1. Постановка задачи 66
3.2. Решение задачи 69
3.3. Вычисление коэффициента диффузии и массовой скорости газа 71
3.4. Скачок и профиль химпотенциала 73
3.5. Скачок и профиль концентрации 74
3.6. Анализ результатов 75
Глава IV. Решение задачи Куэтта для газа Бозе 78
4.1. Вывод основных уравнений и формулировка граничных условий 78
4.2. Решение задачи Куэтта 81
4.3. Макропараметры газа в канале 87
4.4. Анализ макропараметров газа в канале 92
Заключение 95
Список литературы
- Построение кинетического уравнения во второй и четвертой четвертях фазовой плоскости
- Формулировка граничных условий
- Вычисление коэффициента диффузии и массовой скорости газа
- Макропараметры газа в канале
Построение кинетического уравнения во второй и четвертой четвертях фазовой плоскости
В работе [103] А.В. Латышев и А.А. Юшканов впервые для системы, состоящей из двух интегро-дифференциальных уравнений переноса, применили метод разложения решения по собственным функциям. За последнее время А.В.Латышевым и А.А. Юшкановым было опубликовано множество работ, в которых построены аналитические решения граничных задач с использованием разных модельных уравнений ([36–68]), а также разработаны методы решения задач с граничными условиями для квантовых газов ([50–55]). Эти методы в дальнейшем нашли применение в работах Н.Н. Любимовой ([69; 70]), А.А.Костикова ([31; 32]) и А.Ю. Квашнина ([22–28]).
В настоящей работе исследуется изотермическое скольжение для газа Бозе в случае постоянной частоты столкновения молекул, испарение газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул и течение газа Бозе в канале.
Первая глава работы является продолжением работ А.Ю. Квашнина, А.В.Латышева и А.А. Юшканова [22–28]. В этих работах рассматривается задача Крамерса в случае переменной частоты столкновения молекул. В диссертации исследуется задача Крамерса в случае постоянной частоты столкновения молекул, которая решается с помощью сведения к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-ого рода и последующему разложению его в ряды Неймана.
Вторая и третья главы диссертации опираются на исследования А.А.Костикова, А.В. Латышева, А.А. Юшканова, где изучается испарение газа Ферми с плоской поверхности [31]. В настоящей работе рассматривается испарение газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул.
В четвертой главе рассматривается задача о движении газа в канале, стенки которого образованы бесконечными параллельными плоскостями. Эта задача в последние годы привлекает к себе повышенный интерес. Течение Куэтта достаточно подробно исследовано при помощи численных методов [83; 100; 101; 107; 108]. Работы [58; 74] посвящены решению задачи Куэтта с почти зеркальными граничными условиями для классических газов.
Четвертая глава диссертации является продолжением этих работ [58; 74] и посвящена исследованию течения газа Бозе в канале. При этом рассматриваются почти зеркальные граничные условия, которые более адекватны, нежели зеркальные.
Цели и задачи работы. Целью диссертационной работы является построение математических моделей, которые позволяют исследовать поведение газа Бозе над плоской поверхностью и в канале. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
– вывод кинетического уравнения и формулировка граничных условий, – нахождение функции распределения газа,
– с помощью полученного аналитического решения нахождение макропараметров газа (массовой скорости газа, скачка химпотенциала при испарении газа, потока массы, тепла и силы вязкого трения газа в канале), – анализ результатов и сравнение с ранее известными результатами исследований. Предметом исследования является решение задач с граничными условиями, которые описывают поведение газа в полупространстве и в канале. Научная новизна и положения, выносимые на защиту. Найдено аналитическое решение задачи об изотермическом скольжении квантового газа Бозе с диффузно-зеркальными граничными условиями в случае постоянной частоты столкновения молекул. Выведена формула скорости изотермического скольжения и построен профиль скорости газа Бозе. Найдено аналитическое решение задачи об испарении с плоской поверхности газа Бозе в случае постоянной и переменной частоты столкновения молекул. Получены формулы для скачка и профиля химпотенциала газа Бозе, а также формулы для скачка и профиля концентрации газа. Найдено решение задачи Куэтта для газа Бозе с почти зеркальными граничными условиями. На основе полученной функции распределения, рассчитаны макропараметры газа Бозе в канале и дан их полный анализ.
Достоверность результатов исследования. Результаты, полученные в диссертации полностью достоверны, так как построенные математические модели соответствуют классическим представлениям в теоретической физике, используются апробированные методы теории краевых задач и теории функций комплексного переменного, а также полученные результаты в предельном переходе сравниваются с ранее полученными результатами для классических газов и с экспериментальными данными.
Практическая значимость результатов исследования. Можно рассмотреть два аспекта применения результатов исследования – это практический и методологический. Полученные результаты находят применение в криогенной технике [75], [76], в навигации [102], в авиации и космических исследованиях. Результаты исследований, проводимые в настоящей работе, могут быть применены для вычисления так называемого сопротивления Капицы [65; 66], а также для постановки граничных условий на стенке для уравнения Навье-Стокса. Скорость скольжения, определяемая в первой главе настоящей работы, необходима для постановки граничных условий уравнения Навье-Стокса. Методологическая значимость работы заключается в переносе методики решения задач с граничными условиями для классических газов на квантовые газы, в частности на газ Бозе. Таким образом, расширяется область применения методики решения и показывается, что ранее полученные методы решения применимы не только для классических газов, но и для квантовых.
Апробация работы. Результаты настоящей работы докладывались на следующих конференциях: 1. Научная сессия НИЯУ МИФИ – 2013. Москва, 30 января – 4 февраля 2013 г. 2. Конференция МГОУ посвященная профессору Юрию Ивановичу Яламову «Физика конденсированных сред и дисперсных систем». Москва 2013 г, 2014 г. 3. Научная сессия НИЯУ МИФИ – 2014. Москва, 30 января – 4 февраля 2014г. 4. VII Международной научно-практической конференции, «Наука и образование – 2014». Мюнхен, Германия, 27–28 июня 2014 г. 5. Научная сессия НИЯУ МИФИ – 2015. Москва, 16 февраля – 21 февраля 2015 г. 6. Международная конференция МГОУ «Физические свойства материалов и дисперсных сред для элементов информационных систем, наноэлектронных приборов и экологичных технологий». Москва, 12–24 апреля 2015 г. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах [3–14; 85–87]. Список этих работ приведен в конце диссертации. Из них 6 статей [3; 6; 7; 9; 10; 12] опубликованы в журналах, входящих в перечень высшей аттестационной комиссии. Вклад автора в совместных работах. Постановка задачи и взаимное обсуждение принадлежит авторам в равных долях. В диссертацию включены результаты, которые получены соискателем самостоятельно.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 107 страниц, в том числе 13 рисунков и 3 таблицы. Список литературы состоит из 109 наименований, включая работы диссертанта по теме исследования.
Формулировка граничных условий
Пусть имеется бинарная смесь квантовых газов. Рассмотрим задачу об испарении газа Бозе с плоской поверхности конденсированной фазы в эту смесь. Полагается, что концентрация испаряющегося газа щ много меньше, чем концентрация неконденсирующегося газа п2: щ « п2. Это случай разбавленной смеси. Данное условие имеет практическую ценность и выполняется для большинства наиболее важных приложений.
Рассмотрим уравнение Больцмана для смеси двух газов [73]: А + у JL = J + j і Ф j І І = 1,2, dt дг " ч где fi - функция распределения z-ой составляющей смеси, V,– скорость молекул /-ой составляющей смеси, J.-и Jц представляют собой интегралы столкновений молекул /-ой составляющей смеси между собой и с молекулами у-ой составляющей соответственно. Причем, J11 п12, а J12 щп2 (так как ft щ). Несложно заметить, что є = п1/п2 является малым параметром («1), так как щ «п2. Очевидно, что У11/У12 Є. Следовательно, в первом приближении по S интегралом столкновений J11 можно пренебречь по сравнению с J12. Кроме того, в первом приближении по S воздействие первой составляющей смеси на функцию распределения второй незначительно. Поэтому функция распределения второй составляющей смеси считается равновесной со средней нулевой скоростью и постоянными температурой Т2=Т и концентрацией п2.
Температура второй составляющей смеси Т в силу неравенства щ «п2 является равновесной температурой системы. Величину J12 можно аппроксимировать кинетической моделью типа БГК [82; 77]. Тогда для первой составляющей смеси кинетическое уравнение будет иметь вид: feq равновесная бозевская функция распределения для первой составляющей газовой смеси с равновесной температурой, fx - функция распределения первой составляющей смеси, V - скорость молекул 1-ой составляющей смеси, т - масса молекулы 1-ой составляющей смеси, к постоянная Больцмана, vx эффективная частота столкновений молекул первой составляющей с молекулами второй, которая является постоянной, //(г) - химпотенциал первой составляющей, Т - температура смеси - постоянная величина. Отметим, что статистика второй составляющей смеси несущественна. Из параметров, которые характеризуют вторую составляющую, лишь температура входит в уравнение (1.1). Выводимое ниже граничное условие также содержит температуру второй составляющей. Помимо этого, частота столкновений первой составляющей со второй также входит в уравнение (1.1). Таким образом, вторая составляющая оказывает влияние на весь процесс испарения, так как ее параметры v и Т, входят во все искомые величины.
Рассмотрим декартову систему координат, центр которой находится на поверхности испарения. Ось Охг направим перпендикулярно поверхности испарения. Вдали от поверхности имеется постоянный градиент концентрации первой составляющей смеси: где ns - концентрация насыщенного пара на поверхности испарения для первой составляющей смеси, соответствующая температуре поверхности TS =Т , / длина свободного пробега молекул.
В этих условиях задачу можно линеаризовать. Перейдем к безразмерной скорости C = v/vT, безразмерной координате x = xJlT и безразмерному химпотенциалу а(х) = ju(x)/(kT). Здесь ит = \Цр - тепловая скорость первой составляющей смеси, р = т/(2кТ), 1Т = итт - средняя длина пробега молекул с тепловой скоростью для первой составляющей смеси, т = \/у - среднее время между двумя последовательными столкновениями молекул первой составляющей с молекулами второй.
Теперь уравнение (1.1) может быть представлено в виде: Сх = /в(х,С)-Ш,C), (1.2) хдх в l где /в(х,С) - локально равновесная бозевская функция распределения: ЛСОф + ехр -амГ Линеаризацию задачи проведем относительно абсолютного бозеана: Д / (C,as) = [-l + exp(c2-as)]"1, где as - безразмерный химический потенциал, который соответствует температуре поверхности Ts =Т и концентрации ns. Линеаризуем безразмерный химпотенциал относительно величины as, то есть а(х) = as + Sa(x). Для этого линеаризуем локально равновесную бозевскую функцию распределения относительно функции fg . В результате получаем: Кроме того, граничные условия не зависят от модуля молекулярной скорости, что будет видно из постановки задачи, то есть h(x,Cx,C) = h(x,Cx).
Вычисление коэффициента диффузии и массовой скорости газа
Рассмотрим функцию: fas (х? С) = f (С, а) + g(C, a)has (х, ju), где has (x,/i) = Аа + Ga (х - ju). Эта функция называется функцией распределения Чепмена-Энскога [82; 77]. С помощью функции has{x,ju) вычислим коэффициент диффузии Dl2. Наличия в газе градиента плотности Vp вызывает диффузный поток i, поэтому при малых Vp получаем: i = -DnVp [34]. Таким образом, из постановки задачи следует: D
Сравнивая равенства (3.12) и (3.20), с учетом второго из равенств (2.8) находим коэффициент безразмерного химпотенциала:
Профиль химпотенциала в полупространстве х 0 (называемое распределением химпотенциала) задается равенством (1.6). Подставляя полученное разложение функции распределения (3.21) в формулу (1.6), находим профиль химпотенциала: Vdx)x= Из равенств (5.2) и (6.1) следует, что профили концентрации и химпотенциала пропорциональны с точностью до соответствующих градиентов. Исходя из того, что градиенты концентрации и химпотенциала пропорциональны с коэффициентом N0, следует, что градиент химического потенциала является градиентом логарифма концентрации: Несложно найти, что связь между отклонениями концентрации и химпотенциала от соответствующих значений у поверхности:
Анализ графиков на рисунке 2.1 показывает, что значения коэффициента скачка химпотенциала тем больше различаются, чем меньше значения коэффициента испарения. При стремлении q к единице эти различия сглаживаются.
График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от коэффициента испарения q при значениях а = -0.5 (1-ая кривая), а = -3 (3-я кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при а = -0.5. Значения коэффициента скачка химпотенциала для ферми-газа меньше соответствующих значений коэффициента для бозе-газа во всем диапазоне значений коэффициента испарения при любом фиксированном значении безразмерного химпотенциала. Этот факт можно показать и аналитически, сравнивая найденный в настоящей работе коэффициент для бозе-газа с соответствующим коэффициентом для ферми-газа из работы [31].
Рисунок 2.2 - График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от величины а при значениях q = 0.5 (1-ая кривая), q = 0.3 (3-я кривая), q = 0.2 (4-ая кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при q = 0.5 .
На рисунке 2.2 видно, что уже при а -1 значения коэффициента переходят на свою асимптотику, то есть квантовые свойства бозе-газа влияют на величину коэффициента скачка химпотенциала на сравнительно узком интервале значений безразмерного химпотенциала (-1 а 0). Значения коэффициента для ферми-газа во всем диапазоне значений меньше соответствующих значений коэффициента для бозе-газа. Значения коэффициента K(a,q) тем больше, чем меньше значения коэффициента испарения, что хорошо видно из рисунка 2.1. Рисунок 2.3 - График зависимости коэффициента скачка концентрации от коэффициента испарения q при а = -0.5 (1-ая кривая) и а = -Ъ (3-я кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при а = -0.5.
Поведение коэффициента скачка концентрации (6.2) показано на рисунке 2.3 и 2.4. На рисунке 2.3 видно, что значения коэффициента концентрации тем больше, чем больше значения безразмерного химпотенциала. При этом значения коэффициента для бозе-газа больше соответствующих значений коэффициента для ферми-газа [31] во всем диапазоне значений коэффициента испарения при любом фиксированном значении безразмерного химпотенциала. Рисунок 2.4 - График зависимости коэффициента скачка концентрации от величины а при значениях д = 0.5 (1-ая кривая), = 0.3 (3-я кривая), д = 0.2 (4-ая кривая). 2-ая кривая отвечает случаю ферми-газа при q = 0.5 .
Рисунок 2.4 показывает, что при а -1 все зависимости коэффициента выходят на свою асимптотику при всех значениях коэффициента испарения. И в этом случае квантовые эффекты сказываются в узком диапазоне значений -1 а 0. При этом значения коэффициента для ферми-газа во всем диапазоне меньше соответствующих значений коэффициента для газа Бозе. При постоянной концентрации газа с понижением температуры химпотенциал растет [33], причем с 0приГ 0. Глава III. Скачок химпотенциала при испарении газа Бозе в случае переменной частоты столкновения молекул
Рассмотрим смесь двух газов. Проводя рассуждения подобные тем, что описаны во второй главе в разделе 2.1 «Вывод основных уравнений», и, учитывая, что частота столкновения молекул газа является переменной величиной, уравнение для первого компонента газа будет иметь вид: f - аналог бозевской функции распределения для первого компонента, /j -функция распределения 1-го компонента смеси, //(г) - аналог химпотенциала 1-го компонента, Т - температура смеси - постоянная величина, к - постоянная Больцмана, m - масса молекулы 1-ого компонента смеси, V - скорость молекул 1-ого компонента смеси, w = v-u0(r)— модуль скорости молекулы в системе отсчета, относительно которой покоится газ, u0(r) - среднемассовая скорость в лабораторной системе координат, / - средняя длина свободного пробега молекул, v1(v) = — эффективная частота столкновений молекул 1-го компонента с / молекулами 2-го, которая является переменной величиной. Перейдем к безразмерной скорости C = v/vT, безразмерной координате x = xJl T и безразмерному аналогу химпотенциала a(x) = ju\x)/(kT) . Здесь ит = \/л[]3 - тепловая скорость первого компонента, /3 = т/(2кТ), 1Т = отт -средняя длина пробега молекул 1-го компонента с тепловой скоростью, т - среднее время между двумя последовательными столкновениями молекул 1-го компонента. Теперь уравнение (1.1) можно переписать в виде:
Макропараметры газа в канале
Сравнивая равенства (2.4) и (2.5), с учетом второго из равенств (1.12), находим коэффициент скачка безразмерного химпотенциала: Распределение химпотенциала в полупространстве х 0 задается равенством (1.10). Поставляя разложение функции распределения (2.3) в (1.10), находим профиль химпотенциала: G - безразмерный градиент концентрации газа, Vdx)x= Из равенств (4.1) и (5.1) следует, что профиль химпотенциала пропорционален профилю концентрации с точностью до соответствующих градиентов. Градиенты концентрации и химпотенциала тоже пропорциональны между собой с коэффициентом N0: GN = N0Ga. Следовательно, градиент химпотенциала является градиентом логарифма концентрации:
Анализ графиков на рисунках 3.1 и 3.2 показывает, что значение коэффициента скачка химпотенциала тем больше, чем меньше значение коэффициента испарения. Кроме того, при а -1 значения коэффициента скачка химпотенциала переходят на свою асимптотику, а при -1 а 0 коэффициент резко возрастает при а —» 0. Именно в этом диапазоне значений а сказываются квантовые эффекты.
График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от величины q, кривая 1 отвечает случаю переменной частоты столкновения молекул бозе-газ, кривая 2 отвечает случаю постоянной частоты столкновения молекул бозе-газ, а кривая 3 отвечает случаю постоянной частоты столкновения молекул ферми-газ. Рисунок 3.4 - График зависимости коэффициента скачка безразмерного химпотенциала от коэффициента испарения q при а = -0.1 (1-ая кривая), а = -0.3 (2-ая кривая), а = -1 (3-я кривая).
Из рисунка 3.4 видно, что значения коэффициента скачка химпотенциала тем больше различаются, чем меньше значения коэффициента испарения, но при стремлении q к единице эти различия сглаживаются.
Сравнение коэффициента скачка химпотенциала отвечающего случаю газа Бозе с переменной частотой столкновения молекул с коэффициентами, отвечающими случаям газа Бозе и газа Ферми с постоянной частотой столкновения [10; 31] показано на рисунке 3.3. При этом хорошо видно, что коэффициент скачка химпотенциала для газа Бозе с переменной частотой столкновения молекул больше соответствующих значений коэффициента для бозе-газа и ферми-газа с постоянной частотой столкновения молекул во всем диапазоне значений коэффициента испарения при любом фиксированном значении безразмерного химпотенциала. Глава IV. Решение задачи Куэтта для газа Бозе 4.1. Вывод основных уравнений и формулировка граничных условий
Пусть бозе-газ движется в плоском канале толщиной 2d (х d). Канал образован бесконечными параллельными стенками, которые движутся в своих плоскостях в противоположных направлениях со скоростями U и -U. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, центр которой находится в середине канала. Ось х проведем перпендикулярно стенкам канала. Ось z направим вдоль движения стенок канала. где /л - химпотенциал молекул [95], и- массовая скорость газа, m - масса молекулы, Т- температура газа - постоянная величина, к - постоянная Больцмана.
Предположим, что скорость, с которой движутся стенки канала много меньше, чем скорость звука в газе. Учитывая стационарность движение, линеаризуем задачу относительно равновесной функции распределения Бозе-Эйнштейна /в: /в химпотенциал a = — и безразмерную координату xY = xvjp. В этих переменных выражение (1.2) можно записать так:
Рассмотрим диффузно-зеркальные граничные условия на поверхности канала, то есть частицы газа отражаются от стенок канала с диффузно-зеркальным распределением [58]: f(x = 0,\) = qfB(y) + (l-q)f(x = 0-\x,\y,\z), vx 0. (1.11) В уравнении (1.11) параметр q является вероятностью того, что частица отразится от стенки диффузно (0 q 1), (1 q) - вероятностью того, что частица отразится от стенки зеркально. Параметр q характеризует долю тангенциального импульса, которая передается стенке летящими к ней молекулами.
Исходя из того, что газ движется в плоском канале, то диффузно-зеркальное отражение (1.11) от одной и от другой стенки канала можно описать следующими уравнениями: f(-d,v) = qlfeq(v) + (\-ql)f(-d-vx\ vx 0, (1.12) f(d,v) = q2feq(y) + (l-q2)f(d-\x), vx 0. (1.13) Здесь рассматриваем feq (v) - локально - равновесную функцию Бозе, поскольку стенки канала движутся в разных направлениях с массовыми скоростями U и -U. Учитывая функцию распределения (1.4) и уравнения (1.12) и (1.13), получаем граничное условие на стенках на функцию h(x, /л):