Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитическая модель тороидальной атмосферы 22
1.1 Исходные данные. Формулировка задачи 22
1.2 Аналитическое решение 24
1.3 Модель тороидальной атмосферы 33
1.4 Основные результаты 40
Глава 2. Образование тороидальной атмосферы. Численная модель ..43
2.1 Послеударная аккреция 43
2.2 Постановка задачи 45
2.3 Результаты численного моделирования 55
2.4 Основные выводы 75
Глава 3. Модель асимметричного взрыва в присутствии тороидальной атмосферы 78
3.1 Постановка задачи 78
3.2 Модель асимметричного взрыва сверхновой 89
3.3 Основные выводы 107
Приложение 110
Заключение 120
Список литературы ..127
- Аналитическое решение
- Постановка задачи
- Результаты численного моделирования
- Модель асимметричного взрыва сверхновой
Аналитическое решение
Исходные уравнения гидростатического равновесия; двумерной конфигурации г с центральным точечным или сферически-симметричным гравитирующим телом, заданной массы- и с заданным законом вращения: Q. = Cl(w), где со цилиндрический радиус, могут быть получены из: самой обшей гидродинамической -системы, нестационарной и трехмерной с самосогласованной- гравитацией,. например, приведенной в работе Аксенова; Имшенника [68]. Как известно, заданный закон вращения (без зависимости от координаты z) в случае баротропных уравнений состояния: вещества Р Р(р) является необходимым для і выполнения условий гидростатического равновесия (Тассуль [102]).
Однако; интересующие нас уравнения в аксиально-симметричном случае (3/3fj = 0)i можно, вывести, элементарным путем. Каждая, частица вещества находится под действием гравитационной силы точечного источника Fi= GMp/r2, направленной радиально, и; центробежной силы Ft = &lfo)t направленной перпендикулярно к оси вращения, принятой нами за ось z, от которой отсчитывается угол в сферической системы координат. Тогда в радиальном = направлении действует внешняя сила (на единицу массы), которую мы представим в правой части следующего соотношения: і ар „ . „ GM, &l GMB —- = Frsmd = -2- ,. (l.l) р or г г г а в меридиональном направлении по касательной к окружности радиуса г и с центром в начале координат действует внешняя сипа, также записанная справа; J-- Fcos0=— cos# = -г-ctgtf. (1.2) pr дв rsm0 r В левых частях соотношений (1.1) и (1.2) написаны уравновешивающие внешние силы г- и 0-компонента градиента давления. Система уравнений гидростатического равновесия для вещества с баротропным уравнением состояния р = Р(р) примет явный вид в сферической системе координат, если подставить в (І.І) и (1.2) соотношения для азимутальной скорости вращения Vp =(rsin#)Q, где Cl = l(rsm&) - произвольная функция единственного аргумента г sin в і 1 дР пі -2д GMP (\ -х\ — = гП sm в 5- , (1.3) р дг г і ЯР -—= /- fi2sin0cos0. (1.4) рдв Из этой системы, очевидно, может быть найдена плотность вещества р = р{г,в) если задать уравнение состояния и граничные условия. Сформулируем некоторые следствия, полученные в ходе более детального вывода уравнений из общей нестационарной и трехмерной системы гидродинамических уравнений. В приближении Роша система уравнений (1.3), (1.4) единственна для гидростатически равновесной (d/dt = 0) и аксиально-симметричной (5/5 = 0) атмосферы из вещества с баротропным уравнением состояния Р — Р(р). При этом, конечно, подразумевается, что удельная внутренняя энергия е определяется из термодинамического соотношения Р- р2 dejdp. Другие следствия формулируются следующим образом: а) сначала исключается сингулярный закон вращения Q ос аГ1 при ненулевых компонентах скоростей 0 потом исключается возможность ненулевых скоростей, т.е. полагается Зг=&в=0. Последнее следствие вытекает из такого неприемлемого свойства этих компонент скорости в стационарном и аксиально-симметричном случае: их результирующая в любой точке пространства направлена вдоль оси вращения, поскольку имеет место тождество (9rsm + 19ffcos = 0.
Легко проверить, что функции (1.6) и (1.7), как и должно быть, удовлетворяют термодинамическому соотношению Р = р1 dejdp, поскольку удельная энтропия вещества с уравнениями состояния (1.6) и (1.7) равна нулю. Но дальнейшие вычисления серьезно упрощаются, если воспользоваться простым представлением производных от давления, фигурирующих в уравнениях (1.3) и (1.4) с учетом (1.8): вполне соответствующую результатам расчетов коллапса в работе Имшенника, Надежина [89], если подставить в нее подходящие значения произвольных постоянных параметров & „ и r0. Отметим, что можно использовать любой другой правдоподобный, закон вращения, например такой, при котором угловая частота вращения убывает с ростом цилиндрического радиуса как \/сдк. Однако жесткое ограничение по массе приводит к тому, что для всех рассматриваемых вариантов закона вращения получаются практически одинаковые решения в виде торов, лишь незначительно отличающиеся распределением плотности.
В (1.16) входит произвольная постоянная интегрирования системы (1.11), (1.12), которая должна определяться из граничных условий.
При других значениях угла 90 я/2, как можно убедиться, в соотношении (1.17) в. показателе первой экспоненты только появится множитель sin20o. Однако выбор граничного условия не на экваторе при сохранении постоянным значения радиуса га, (особенно при малых значениях в0) приводит, как правило, к значительному увеличению полной массы атмосферы, что представляется неестественным. Запишем некоторые интегральные величины, представляющие интерес для физической интерпретации найденного решения (1.17), с учетом; экваториальной симметрии.
Постановка задачи
В качестве исходных данных для построения начальных условий данной задачи использовались распределения термодинамических величин, полученные в исследованиях эволюции массивных звезд (Боес и др. [12]). Из этой работы были взяты профили плотности и температуры, которые, в свою очередь, служат для определения начальных распределений, давления и внутренней энергии с помощью принятого уравнения состояния. Уравнение состояния, используемое в расчетах, конечно, несколько-отличается; от уравнения состояния, которое применялось при получении указанных профилей. Основное отличие заключается в: учете большого, количества; нуклидов химических, элементов, в. численных расчетах эволюции- звезд. Однако. детальное сравнение уравнений состояния [83] показывает, что количественно эти. отличия не очень велики,.и.-переход к более простому уравнению состояния в наших расчетах: существенно; пе сказывается на характеристиках профилей распределения термодинамических величии по радиусу звезды.
Размеры счетной; области выбирались таким образом, чтобы внутренняя граница равнялась радиусу (0,876-10 си), ограничивающему в исходном:профиле область с массой \MQ (за исключением контрольного расчета, в котором внутренняя граница располагалась примерно вдвое ближе по радиусу (0.40Ы0"си) К: центру). В выборе внешней границы по радиусу имеется некоторый произвол, Внешние слабо вращающиеся слои предсверхновой не оказывают принципиального влияния на полученный Q работе результат, а поэтому отсутствует необходимость включать их в рассмотрение. В грубом приближении ее можно даже считать сохраняющей гидростатическое равновесие начального состояния. Тем более, это относится к внешним слоям массивной звезды. В работе Имшенпика и др. [83] вопрос о гидродинамическом поведении внешней части железного ядра (второй этап его коллапса), а также других внешних слоев коллапсирующей звезды, был сведен к задаче их аккреции из гидростатически равновесного состояния па зародыш протонеїітронной звезды с массой, приблизительно равной 1А/0. Конец первого этапа коллапса железного ядра принят за начальный момент гидродинамического процесса послеударной аккреции, постановка задачи о которой приводится в работе Брауна и др. [13]. Это дополнительное упрощение позволяет, во-первых, исключить из рассмотрения сложные нейтринные процессы, т.е. ограничиться приближением идеальной гидродинамики и, во-вторых, включить в рассмотрение гидродинамические процессы в остальной "луковичной" структуре, окружающей железное ядро массивной звезды с полной массой Mlul 10MQ.
В работе [S3] рассматривались несколько возможных эффектов, способных воспрепятствовать процессу аккреции. Как было показано, ранее предполагаемое влияние снижения гравитационной массы протонейтронной звезды вследствие мощных нейтринных потерь энергии в процессе коллапса оказывается незначительным: оно не приводит к всплывапию внешних слоев звезды в широком интервале полиых масс (124-25)JW0. Другой эффект - имитация нуклонішх пузырей, встроенных в начальную
сферически-симметричную конфигурацию при условии равновесия, - также не препятствует аккреции внешних слоев, а его интерпретация из-за выделения энергии рекомбинации свободных нуклонов в железо вообще имеет смысл малой поправки для принятого уравнения состояния. Поэтому особый интерес представляет численное исследование послеударной аккреции с учетом эффектов вращения.
Основным результатом гравитационного коллапса достаточно быстро вращающегося железного ядра звезды могут стать двойная система нейтронных звезд (Имшенник [80]) и окружающая ее железная газообразная среда, которая не попала в состав вращающейся иротонсйтроипой звезды уже во втором этапе коллапса. При этом, как уміє было отмечено во введении, вращающаяся протонситронная звезда оказывается неустойчивой к процессу фрагментации и превращается в двойную систему нейтронных, звезд (Аксенов и др. [69]). В работе Имшсипика и Належиш [89] ранее в рамках квазнодномерной модели было показано, что при достаточно сильном начальном вращении железного ядра с MFt=2M0 и полном учёте нейтринных процессов в полости бывшего железного ядра образуется атмосфера с массой (0.14-0.2) Л/0, распределенной почти однородно по всей полости с начальным внешним радиусом RFt =4.38 Ю3си, т.е. со средней плотностью prFe s(S.6640i-bl,13-106)c/of1. Предполагаемое длительное время существования указанной двойной системы нейтронных звезд, возможно в течение нескольких часов (Имшенник, Попов [91]), делает актуальной задачу о стационарной аккреции железного газа на образовавшуюся двойную систему нейтронных звезд, а фактически на ее более массивный компонент, расположенный практически в центре звезды. В случае одномерной аккреции холодного (при нулевой температуре) железного газа с учётом эффекта вращения в квазиодномерном приближении удалось (Имшенник, Попов [94]) обобщить известное стационарное решение Бонди [II], благодаря исключительно простому виду удельной энтальпии вырожденного электронного газа железной атмосферы при полной ионизации атомов железа и произвольной степени релятивизма электронов. Применение этого решения к рассматриваемым физическим условиям в окрестности протонейтронных звёзд показало, что темп аккреции очень велик и составляет (20 4-30) Л/0/с при указанных выше типичных значениях плотности prFe а массе нейтронной звезды 1.8Л/0. С другой стороны, полученное стационарное решение аккреции не "помещается" в полости железного ядра. И, кроме того, времена установления этого решения слишком велики, иными словами, оно оказывается неприменимым к интересующей нас задаче о втором этапе коллапса - аккреции вещества внешней части железного ядра (Имшенник, Попов [94]). Эффекты вращения, учтенные в цитированной работе в квазиодномерном приближении, оказались незначительными из-за наличия серьезных ограничений на задаваемый вдобавок к плотности рт удельный угловой момент jn (на бесконечности). В то же время, в рамках идеальной двумерной гидродинамики, как было показано в первой главе, существует возможность аналитически: построить стационарное решение с тем же. уравнением состояния холодного железного газа в виде тороидальной атмосферы с заданным произвольным законом вращения.
Естественным продолжением исследований упомянутого аналитического решения является численное моделирование задачи о послеударной аккреции с вращением в окрестности протонейтронной звезды. При этом необходимо использовать полное уравнение состояние, учитывающее температурные эффекты (произвольную степень вырождения электронов, появление позитронов, наличие газа нуклидов и равновесного излучения), а также последовательно учитывать гравитационное взаимодействие, в том числе, двумерную самогравитацию аккрецирующего вещества, В качестве начального момента времени и начальных условий, описывающих постановку задачи о послеударной аккреции: (см. выше), можно воспользоваться, как это было сделано ранее в работе [83], гидростатически равновесными решениями, полученными в эволюционных расчетах (Боес и др. [12]), модифицировав их с учетом эффекта вращения в квазиодномерном приближении. Следует заметить, что точность гидростатического равновесия этих внешних слоев, вкшочающее действие центробежных сил, не имеет принципиального значения. Поскольку, по сути дела, неважно какой именно момент времени принимать за начальный в рассматриваемом нестационарном гидродинамическом моделировании поведения внешних слоев массивной звезды.
Результаты численного моделирования
Перейдем к описанию результатов численного решения системы дифференциальных уравнений; (2.1) - (2.5) с указанными выше начальными данными и граничными условиями. Во всех проведенных расчетах по моделированию послеударной аккреции вещества использовалась одна и:та же модель массивной звезды:с полной массой 25Л/0(Боес и др. [12]). Согласно сказанному, в основных гидродинамических расчетах внешняя счетная; граница располагалась в точности на радиусе: ],000168-109см, а внутренняя- на радиусе 8.764082-107см. При этом отличие вариантов заключалось в количестве зон, на которые разбивалась счетная-область. В расчете [1] полное число зон в радиальном направлении составило 100, а в направлении изменения полярного утла - 30, в расчете [2] - 150 и 45, соответственно. В качестве начального состояния, предсверхновой: использовался один и тот же набор исходных данных.. Для решения уравнения Пуассона: применялось, разложение: интегрального представления гравитационного потенциала: по полиномам Лежандра с максимальным номером І
Во всех выполненных расчетах наблюдалось идентичное поведение вещества. Первоначально "равновесные" внешняя часть железного ядра и включенные в счетную область внешние слои предсверхновой начинают аккрецировать. В ходе этой аккреции происходит формирование атмосферы в виде тора или, точнее говоря, толстого диска в окрестности центральной: протонейтронной звезды. В результате аккреции часть вещества проходит сквозь прозрачную внутреннюю счетную границу. При этом к Рисунок 1. Зависимость от времени полной массы вещества (0 0 Я"): внутри счетной области -Мы; прошедшей через внутреннюю счетную границу при г = rmin - Mdgwn; прошедшей через внешнюю счетную границу при г = rmax - М ; полное значение массы при г rmin - Mgr. Все данные для варианта расчета [2]. моменту времени, когда тороидальную атмосферу можно считать сформированной, полная масса вещества, прошедшего внутрь, во всех выполненных расчетах совпадает с достаточно большой точностью и составляет величину - 0.93Мо (рис. 1) которая в основном определяется выбором исходного закона вращения вещества (2.10) (см. ниже параметры со0 и г0). За счет искусственного граничного условия, имитирующего вакуум, но главным образом благодаря наличию у некоторой части вещества избыточного удельного момента вращения, вещество также покидает счетную область через внешнюю границу по радиусу. Полная масса вещества, прошедшего наружу составляет 0.7Мо (рис. 1).
То же, что на рис. 2, по для варианта расчета Щ {tf— 9.678 С ). результатов численного решения. Как видно, в обоих случаях конечное состояние вещества имеет идентичную структуру. Образующаяся атмосфера протонейтроиной звезды имеет примерно одинаковую протяженность в экваториальном направлении и в перпендикулярном направлении вдоль оси вращения. Максимум плотности в обоих расчетах располагается в непосредственной близости от внутренней счетной границы. В этой:ситуации вполне уместно опасение об искусственном влиянии выбранного граничного условия на процесс формирования атмосферы. Это обстоятельство нуждается в следующем дополнительном комментарии.
В равновесно вращающейся атмосфере (в пылевом приближении) удельный момент вращения должен возрастать прямо пропорционально радиусу частицы вещества. Следовательно, если это утверждение справедливо (см. по этому поводу ниже,. обсуждение соотношения (2.27)), то у втгутрепней границы счетной области должны располагаться частицы с мшшмальным значением удельного момента вращения. Поэтому если перенести внутреннюю границу на меньший радиус, образовавшаяся область будет заполнена веществом с меньшим удельным моментом вращения, если оно существует. Таким образом, максимум плотности снова будет смещаться к внутренней границе. Этому также возможно способствует тот факт, что в использованных нами начальных данных угловая частота вращения изменяется достаточно плавно в пределах счетной области (й)0 =2с" , г0 =5 -10sсм, см. разд. 2.2), так что всегда присутствует заметное количество вещества с малым значением удельного момента вращения. В реальных же массивных звездах, вращение, по всей вероятности, сконцентрировано преимущественно в области железного ядра, на границе которого удельный момент вращения заметно падает, оставаясь при этом отличным от нуля. Кроме того, концентрация вещества в окрестности внутренней границы, возможно, также отчасти обусловлена следующим обстоятельством.
В результате чего удельный момент вращения частиц вещества в процессе их преимущественно меридионального течения может уменьшаться. Для проверки указанных опасений был проведен вспомогательный расчета [3].
В варианте [3], который следует сопоставлять с вариантом [I], внутренняя счетная граница находилась в точности на радиусе 4.010748-107см, а расстояние до радиуса 8.764082-107см покрывалось дополнительными 20 зонами (всего по радиусу счетная область разбивалась на 120 ячеек). Так что в остальной части счетной области (от радиуса 8.764082-107 см до внешней границы) разбиение на счетные ячейки в точности совпадало с разностной сеткой из варианта [1]. Минимальная величина удельного момента вращения вещества из расчета [1], определенная а конечный момент времени, принималось в качестве минимально допустимого значения. Для вещества, обладающего удельным моментом вращения меньшим указанного, он в варианте [3] принимался тождественно равным нулю. Данные этого расчета приведены на рис. 4. Линии уровня плотности, если их внимательно сравнить с данными рис. 2, демонстрируют, что координаты максимума плотности остались практически неизменными. Как видно из этого сравнения максимум плотности, расположенный на рис. 2 около радиуса г = 0.95, устанавливается при значении радиуса г = 0.8 на рис. 4 для контрольного варианта расчета. Это обстоятельство снимает упомянутые опасения о решающем влиянии на ПРОЦЕСС формирования атмосферы граничного условия, заданного на внутренней границе. Кроме того, полученные в вариантах [1] и [2] результаты следует интерпретировать следующим образом. Пусть /т1Д - минимальное значение удельного момента вращения вещества атмосферы в установившемся-равновесном состоянии. Тогда полученная в результате моделирования стационарная вращающаяся атмосфера есть результат послеударной аккрещш внешних слоев массивном звезды, большая часть вращающегося вещества в которых. в начальный момент времени обладала удельными моментами, вращения,, превышающими указанное значение Утіп. В вариантах [1] и [2] полная масса вещества, оставшегося внутри счетной области к моменту установления стационарного состояния, составляет величину 0.13Л/о. Как видно из графиков, представляющих зависимость полной массы от времени (см. рис. 1), стационарная конфигурация формируется приблизительно за время 6 секунд, после чего истечение вещества из счетной области практически прекращается, хотя: незначительный его отток все же сохраняется, что, по-видимому, связано с возможным нарушением, закона, сохранения удельного момента вращения. Темп этих искусственных аккреции и эжекции, обусловленных упомянутым обстоятельством, настолько низок, что они не оказывают никакого сколько-нибудь заметного влияния на окончательный результат расчетов.
Модель асимметричного взрыва сверхновой
Представленные: ниже три варианта расчета, но всей вероятности, наиболее полно представляют основные результаты численного моделирования. В вариантах расчета [1] и [2] в качестве начального состояния маломассивной нейтронной звезды используется набор величин из второго столбца табл. .1. В варианте [3] моделируется взрыв с существенно завышенным значением энерговыделения (третий столбец табл. 1). Во всех расчетах использовалась одна и та же разностная сетка. Внешняя граница счетной области находилась на безразмерном радиусе rmail = 10.00168, выбор которого обсуждался в предыдущей; главе: (см. также [84]). Внутренней:счетной: границе соответствовал безразмерный радиус. гтія =0.5, так что маломассивная нейтронная. звезда, моделируемая в виде.тора с круглым сечением (см. разд. 3.1), располагалась, полностью внутри счетной области. Сферический слой от радиуса г я до радиуса гЛа =0.876 разбивался на 40 равных зон в радиальном направлении, Разностная сетка в области от радиуса /Лп до радиуса гтлх в точности заимствовалась из основного расчета (вариант [1]) предыдущей главы (100 зон в радиальном направлении), что избавляло от необходимости пересчитывать пространственное распределение термодинамических.величин равновесной тороидальной атмосферы для новой задачи (см. [84]). Полное число ЗОН; в направлении изменения полярного угла: во всех расчетах равнялось 30. Отличительной особенностью варианта расчета [2] является замена равновесной тороидальной атмосферы атмосферой с однородным распределением плотности и температуры при сохранении неизменными значений интегральных характеристик вещества: полных массы и внутренней энергии.
Численное решение во всех вариантах расчета ([1] - [3]) проводилось до момента времени 1.3с, т.е. было нродолясительнее, чем расчеты в [70] и [81]. На рис..2 - 4 приведены распределения плотности вещества в последовательные моменты времени, демонстрирующие картину прохождения ударной волны. На рис, 5 - 7 представлены результаты этих расчетов для некоторого характерного момента времени f = 0.4с, выбор которого оправдан удобством сравнения с предыдущими расчетами. ([70] и [81]), В указанных работах, точнее говоря, основные результаты приводятся для момента времени t = 0.43с. Рис. 5-7 демонстрируют линии уровня логарифма безразмерной плотности вещества для вариантов расчета \Х\ - \Ъ\, соответственно.
Следует отметить, что в основном расчете [81] (см, там рис. 4) с соответствующей начальной внутренней энергией = 0.675-1031 эрг (второй вариант табл. 1 указанной работы) к рассматриваемому моменту времени ударный фронт в лидирующем направлении достиг радиуса r+ = z « 12, тогда как в отстающем: направлении соответствующее значение г =-minj «3.0, так что средний радиус расходящегося и почти сферического по форме ударного фронта составлял rs,y =(r +rJ/2 я:7.5. В основном расчете [70] (см. там рис. 8) получалось несколько увеличенное значение rstir и 8.2, но в нем уравнение состояния вещества существенно отличалось от принятого в. представленных численных расчетах- ив [81], хотя окончательные энерговыделения (0.9-10s эрг) в этих расчетах приблизительно совпадали между собой и с вариантами [1] и.[2]. Представляется естественным, что сравниваемые радиусы из предыдущих работ наиболее близко количественно совпали с вариантом [2], в котором было принято однородное распределение плотности вещества, а не с вариантом1 [1],. для неоднородного распределения плотности тороидальной атмосферы, В последнем случае, однако, можно констатировать близкое согласие с моделью слабого взрыва в работе Забродиной, Имшешшка [77], где уменьшенная начальная-внутренняя энергия ( = 0.38-10"зрт) соответствовала уменьшению ровно вдвое- окончательного энерговыделения (0.45-10 эрг). Действительно, согласно рис. 2 (Забродина, Ымшенник [77]) находим г+ «12, а г_ 2.2 и, следовательно,. rsw к 7.1.
Во всех трех расчетах ударный фронт достигает радиуса гтм в экваториальной плоскости примерно в одно и то же время — 0.6 -з- 0.7с, с небольшим отставанием в 0.1 секунды для расчета [1]. В отличие от вариантов [1] и [3], в которых за фронтом ударной волны образуется достаточно обширная область с почти постоянным распределением плотности и температуры, в варианте [2] формируется сферический слой плотного: нагретого вещества. На рис. 8 представлено распределение температуры вещества для варианта [1] в момент времени / - 0.4с, которое, как видно из рисунка, во многом напоминает распределение плотности с тем лишь отличием, что позади фронта ударной волны линии уровня постоянной температуры направлены преимущественно вдоль оси: вращения (температура меняется: в основном в экваториальном направлении), в то время как линии уровня плотности скорее параллельны экваториальной плоскости.
В данной работе кинетическая энергия маломассивной нейтронной звезды (Ек = 3.5-1050эрг) в начальный момент времени полностью содержится в азимутальной компоненте скорости V , которая задается в начальных данных таким образом, чтобы уравновесить, взрывающий тор в гравитационном поле пульсара. Напротив, в гидродинамической модели асимметричного взрыва ([70] и [81]) кинетическая энергия орбитального движения мхюмассивного компонента двойной системы, по существу, являлась заметным вкладом в полное энерговыделение. Кроме того, в предыдущих работах отсутствовал учет гравитационного взаимодействия с пульсаром, которое в некоторой мере препятствовало развитию взрыва (по оценкам не очень существенно). Тогда, вероятно, следует признать, что в той модели имело место определенное завышение энергии взрыва, скорее всего незначительное. Полученное же в данной работе значение ctal =2.3-1050эрг следует рассматривать в качестве нижнего предела на величину полной энергии асимметричного взрыва сверхновой при заданном значении начального энерговыделения (в рамках ротационного механизма).
