Гамильтонов подход к квантовой хромодинамике на световом фронте Малышев Михаил Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Построение перенормированного гамильтониана на СФ в теории 4 скалярного поля с использованием регуляризации Паули-Вилларса 20

1.1 Введение 20

1.2 Регуляризация Паули-Вилларса 21

1.3 Построение гамильтониана на СФ 22

1.4 Учёт возможности спонтанного нарушения симметрии 24

1.5 Исследование теории возмущений 34

1.6 Заключение

2 Анализ отличий диаграмм теории возмущений на СФ и обычной теории возмущений в лоренцевых координатах на примере модели Юкавы. Роль регуляризации Паули-Вилларса в устранении этих отличий. 42

3 Применение регуляризации Паули-Вилларса для построения перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной теории Янга-Миллса 48

3.1 Введение 48

3.2 Возможные отличия теории возмущений на СФ и на поверхности постоянного времени в лоренцевых координатах для (2+1)-мерной теории Янга-Миллса 49

3.3 УФ перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-Миллса 60

3.4 Анализ ИК расходимостей для (2+1)-мерной теории Янга-Миллса 64

3.5 Построение перенормированного гамильтониана на световом фронте для (2+1)-мерной теории Янга-Миллса 68

3.6 Заключение 72

4 Построение полуфеноменологической модели учета нулевых мод для решеточно-регуляризованного гамильтониана на СФ (3+1)-мерной КХД 73

4.1 Введение 73

4.2 Гамильтониан КХД в координатах, близких к координатам СФ 77

4.3 Предельный переход к гамильтониану КХД на световом фронте 87

4.4 Заключение 91

Заключение

• Учёт возможности спонтанного нарушения симметрии
• Исследование теории возмущений
• Возможные отличия теории возмущений на СФ и на поверхности постоянного времени в лоренцевых координатах для (2+1)-мерной теории Янга-Миллса
• Предельный переход к гамильтониану КХД на световом фронте

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Темой данной диссертации является подход к квантовой теории поля, связанный с квантованием на световом фронте (СФ). В настоящее время ведутся активные исследования в этом направлении. Международная группа ведущих специалистов в области квантовой теории поля выделила эту тему как одну из наиболее актуальных, создав в 2008 году для ее поддержки специальный экспертный комитет, целью которого является продвижение соответствующих научных исследований и применение данного метода к различным физическим задачам. Обзор этого метода, основных достижений и перспективных задач в данном направлении изложен в работе этого комитета [].

Квантовая хромодинамика (КХД) достаточно хорошо описывает экспериментальные данные при высоких энергиях элементарных частиц, поскольку при этих энергиях эффективная константа взаимодействия мала и применима теория возмущений по этой константе. В области малых и средних энергий взаимодействие становится сильным, так что требуется непертурба-тивное описание. Адроны, рассматриваемые в КХД как связанные состояния кварковых и глюонных полей, отвечают этим энергиям и поэтому для их описания необходимы непертурбативные методы. Наиболее прямым является введение решетки в пространстве и времени. Это позволяет регуляризовать теорию как в ультрафиолетовой (УФ), так и в инфракрасной области, что дает возможность искать решения численно, не используя теорию возмущений по константе взаимодействия. Однако решеточный подход сталкивается с большими вычислительными трудностями, поэтому ищутся другие подходы к описанию непертурбативных физических эффектов. Подход к КХД, связанный с квантованием на СФ, является альтернативным к решеточному и носит название "Гамильтонов подход на СФ". Он подразумевает непертурба-тивное решение задачи на собственные значения гамильтониана, определенного на СФ. Аналогичная задача для обычного гамильтониана, получаемого при квантовании на поверхности постоянного времени сталкивается с чрезвычайно сложной проблемой описания вакуумного состояния. В гамильтоновом подходе на СФ эта проблема существенно упрощается.

Идея рассмотрения канонического формализма на поверхности, касательной к световому конусу, т.е. на СФ, была предложена П.А.М. Дираком в работе 1949 года []. В этом формализме вместо обычных лоренцевых координат ж⁰, х, х, х³ используются координаты СФ: х^± = ^f, х, х\ в которых х⁺ играет роль времени, х¹, х² — "поперечные" координаты, а СФ определяется уравнением х⁺ = 0. Соответственно, роль энергии играет компонента

импульса Р₊ = 1-³, а компоненты Р_ = "у-³, Pj_ = (Pi, Р2) являются аналогами трехмерных пространственных компонент импульса. В квантовой теории оператор Р₊ играет роль квантового гамильтониана. На подпространстве с заданными значениями импульсов Р_, Pj_ задача на собственные значения этого гамильтониана достаточно просто связана с задачей на спектр масс т:

Р+\р-,р±) = ^т +^р±\р-_}рЛ_} (1)

где квадрат массы в координатах СФ есть т² = 2р₊р_ — р\. Особенностью оператора Р_, играющего на СФ роль пространственной компоненты обычного импульса, является его неотрицательность Р_ ^ 0 (предполагается т² ^ 0). Состояние, отвечающее минимальному собственному значению (р- = 0) этого оператора, может рассматриваться как вакуумное (в случае отсутствия безмассовых частиц). Тем самым для описания вакуумного состояния может быть использован оператор импульса Р_.

Степень разработанности темы исследования. Наряду с вышеуказанными преимуществами гамильтонов подход на СФ сталкивается с трудностями описания тех эффектов, которые связывают со сложной структурой квантового вакуума при обычном квантовании на пространственно-подобной поверхности. Эти трудности связаны с особенностями регуляризации имеющейся в теории на СФ сингулярности для мод поля с р- = 0. Обычно применяются следующие способы трансляционно-инвариантной регуляризации: (а) обрезание значений импульса р_ снизу, р_ ^ є > 0, при котором фактически отбрасывается окрестность "нулевых" мод (мод полей, независящих от х~), (b) ограничение пространства по х~ с соответствующими периодическими граничными условиями для функций поля \х~\ ^ L.

Регуляризация сингулярности при р_ = 0 может породить трудности и в рамках теории возмущений по константе взаимодействия. А именно, теория возмущений, генерируемая каноническим гамильтонианом на СФ, может после регуляризации отличаться от обычной теории возмущений в лоренце-вых координатах. Так, если применять регуляризацию \р-\ ^ є > 0, то диаграммы теории возмущений на СФ могут отличаться от соответствующих диаграмм обычной теории возмущений в лоренцевых координатах даже в пределе є - 0. Тем не менее, как было обнаружено в работах [, ], указанных отличий диаграмм можно избежать, применяя УФ регуляризацию Паули-Вилларса (П-В) []. Однако такая УФ регуляризация не сохраняет калибровочную инвариантность, поэтому возникает задача восстановления этой инвариантности. В рамках теории возмущений был предложен [] способ решения этой задачи путем надлежащей перенормировки. Такая перенормировка требует добавки к гамильтониану конечного числа контрчленов,

т.е. членов, зависящих от произведений полей и их производных с коэффициентами, зависящими от исходных параметров теории и параметров регуляризации. Определение этих коэффициентов в (3+1)-мерных моделях обычно требует вычисления бесконечного числа диаграмм. Поэтому перенормированный таким образом гамильтониан на СФ будет содержать эти коэффициенты как новые параметры теории. Однако если применять этот подход к тем же моделям, но в (2+1)-мерном пространстве-времени, то возможны упрощения, связанные со свойством суперперенормируемости этих моделей. Это свойство заключается в наличии только конечного числа УФ расходящихся диаграмм. Учёт расходимости таких диаграмм позволяет точно определить вышеуказанные коэффициенты при контрчленах. Вычисление таких коэффициентов входит в число задач данной диссертации.

Проблема УФ регуляризации и перенормировки гамильтониана на СФ рассматривалась также вне рамок теории возмущений К.Г. Вильсоном и С.Д. Глазеком [, .

Также широко известен развитый С. Бродским и Г. де Терамоном полуфеноменологический подход к описанию спектра масс в КХД на СФ [, ].

Цели и задачи диссертационной работы:

построение квантового перенормированного гамильтониана на СФ, порождающего теорию возмущений, эквивалентную обычной теории возмущений в лоренцевых координатах;

исследование роли "нулевых" мод полей в непертурбативном описании эффектов, возможных в области низких энергий в КХД (конфайнмента кварков и глюонов, вакуумных конденсатов).

Научная новизна. Данная диссертационная работа является дальнейшей разработкой подхода к решению поставленных задач, предложенных ранее в работах С.А. Пастона, Е.В. Прохватилова и В.А. Франке. В отличие от этих работ в диссертации найдены примеры как калибровочных, так и некалибровочных теорий поля, в которых программа перенормировки гамильтониана на СФ может быть достаточно точно реализована. Кроме этого предложена новая калибровочно-инвариантная регуляризация КХД на СФ с применением решётки в пространстве поперечных координат. В рамках такой регуляризации предложен способ описания "нулевых" мод калибровочных полей и построен эффективный гамильтониан на СФ, включающий эти нулевые моды.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является вкладом в разработку такого непертурбативного подхода к КХД как гамильтонов подход на СФ. Полученные в диссертации результаты важны для практического решения задачи о спектре связанных состоя-

ний (в том числе их масс). Данные результаты могут быть использованы при подготовки курсов лекций по квантовой теории поля.

Методология и методы исследования. В диссертации используется и обобщается метод Паули-Вилларса [] для регуляризации ультрафиолетовых расходимостей. Использование этого метода позволяет устранить отличия между вычислением диаграмм в обычной теории возмущений и на СФ.

Для восстановления калибровочной инвариантности при перенормировке таким образом регуляризованной теории возмущений используется метод сравнения ее с размерно регуляризованной теорией возмущений. Также в диссертации используется метод предельного перехода к гамильтониану на СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных поверхностях, приближающихся к СФ.

Далее используется метод решеточной регуляризации, сохраняющей калибровочную инвариантность. В рамках решёточной регуляризации используется метод построения гамильтониана на решётке с помощью трансфер-матриц.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов обеспечивается использованием хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля, результаты работы докладывались и обсуждались на следующих международных научных конференциях:

III Международная конференция "Модели квантовой теории поля",
посвященная 70-летию со дня рождения А.Н. Васильева, Санкт-Петербург,
Россия, 18-22 октября 2010 г.,

;

Международная конференция "Конфайнмент кварков и спектр адро-
нов XI", Санкт-Петербург, Россия, 8-12 сентября 2014 г.,

;

Международная конференция по физике "В поисках фундаменталь
ных симметрии", посвященная 90-летию со дня рождения заслуженного дея
теля науки, почётного профессора СПбГУ Ю.В. Новожилова, Санкт-Петер
бург, Россия, 2-5 декабря 2014 г.,

;

V международная конференция "Модели квантовой теории поля", по
священная 75-летию со дня рождения А.Н. Васильева, Санкт-Петербург, Рос
сия, 21-25 сентября 2015 г.,

.

Положения, выносимые на защиту:

построение перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной теории Л(/9⁴ скалярного поля с учетом возможности спонтанного нарушения симметрии;

построение перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной SU(N) калибровочно-инвариантной теории Янга-Миллса;

построение полуфеноменологической модели учета нулевых мод для решеточно-регуляризованного гамильтониана на СФ (3+1)-мерной КХД.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных статей в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки России и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science или Scopus [-].

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, 4-х приложений и списка литературы из 36 наименований. Работа изложена на 112 страницах и содержит 7 рисунков.

Учёт возможности спонтанного нарушения симметрии

В знаменателе суммарного пропагатора старшая степень импульса равна четырём, в то время как в исходном пропагаторе она была равна двум. Этой четвёртой степени достаточно для сходимости интегралов, соответствующих фейнмановским диаграммам теории при конечном параметре т\. Заметим, что дополнительное поле tpi (духовое поле) входит в свободную часть лагранжиана (1.2) со знаком, противоположным знаку поля іро. Это приводит к необычным коммутационным соотношениям для операторов рождения и уничтожения и порождает состояния с индефинитной метрикой.

Таким образом видно, что введение духовых полей способом, предложенным В.Э. Паули и Ф.М.Г. Вилларсом, может дать УФ сходимость фей-нмановских интегралов, необходимую для их УФ регуляризации. Во второй главе будет дополнительно отмечено преимущество П-В регуляризации для теории поля при квантовании на СФ.

Вакуумное состояние можно определить как состояние, соответствующее минимальному собственному значению р- = 0 оператора импульса Р_. Операторы а/, а играют роль операторов уничтожения и рождения в пространстве Фока над этим вакуумом.

Лагранжиан (1.1) рассматриваемой модели обладает симметрией относительно изменения знака поля. В рамках обычного квантования в лорен-цевых координатах, как известно, эта симметрия может быть спонтанно нарушена за счёт изменения вакуума, в котором образуется ненулевое среднее значение поля (конденсат). При квантовании в координатах СФ в используемой нами регуляризации р_ є вакуумное состояние 0) определяется условием а/0) = 0 и среднее значение поля равно нулю. С целью надлежащего описания спонтанного нарушения симметрии вакуума рассмотрим предель 25 ный переход к СФ от теории, квантованной на пространственно-подобной поверхности, близкой к СФ.

Для корректного построения гамильтониана на СФ вначале рассматривается теория, квантованная на пространственно-подобной поверхности, близкой к СФ, а затем исследуется предельный переход к СФ. Для этого введём координаты у , близкие к координатам СФ: у = х+ + -х-} у1 = х , у± = х±} (1.8) где г] - малый параметр (г] 0). Так что метрический тензор имеет нижние ненулевые компоненты: д+_ = д_+ = 1, д = —if, д±± = —1, верхние ненулевые компоненты: д+ = д + = 1, д" = rf, gLL = -1. Плотность лагранжиана (1.1) скалярной теории поля со взаимодействи ем записывается в этих координатах следующим образом [18, 17]: L(y) = Ы51 Ы + ( Ы)2--(5 (1/))2- ( (1/))2-Л( (1/))4, (1.9) где была использована форма метрического тензора, тв — параметр массы (голая масса). Уравнение у0 = 0 определяет пространственно-подобную плоскость, при этом каноническое квантование на этой плоскости эквивалентно обычному квантованию на плоскости х= 0 в лоренцевых координатах. Из лагранжиана (1.9) получается следующая плотность гамильтониана: П = П у + 1 (3 + 2 + А„ , (1.10) где Щу) - импульс, канонически сопряженный полю р(у), Щу)=г]2до(р(у)+дМу). Далее рассматривается переход от теорий с гамильтонианами (1.10) с различными значениями параметра rj к гамильтониану на СФ в пределе г] — 0. Это позволяет учесть (до перехода на СФ) возможность существования двух различных вакуумов, отвечающих случаям сохранения либо нарушения симметрии вакуума. Пока rj 0 можно использовать обычный метод [19] для описания квантового вакуума. При этом можно применить вариационный подход для нахождения минимума вакуумной плотности гамильтониана [20, 21, 22]. Далее будем варьировать математические вакуумы, связанные преобразованием Боголюбова (этот метод соответствует вариационному приближению Гаусса к вакуумной волновой функции). Введем следующие выражения для (р и П при у0 = 0:

Эти операторы рождения и уничтожения определяют математический вакуум 0): а(к)\0)=0. (1.14) Такие математические вакуумы фактически параметризуются теми параметрами си(к) и р0, которые были использованы в формулах (1.11), (1.12). Вариация параметров и (к) и р0 эквивалентна линейным преобразованиям операторов а,а+ (преобразованиям Боголюбова), что эквивалентно вариации вакуумного вектора состояния 0) в данном приближении. Здесь неявно предполагается УФ регуляризация по импульсу к\: \к\\ Л, а также ИК регуляризация \кх\ е. Последняя из них связана с необходимостью получить в пределе 7 — 0 теорию на СФ, которая регуляризована обрезанием \к-\ е. Далее подстановка выражений (1.11) и (1.12) в гамильтониан (1.10) с использованием равенств (1.13) дает следующий результат:

Исследование теории возмущений

Начиная с этого гамильтониана, можно сгенерировать такой же набор диаграмм как в ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах. Действительно, в статье [23] было доказано, что каждый член в ковариантной теории возмущений (т. е. диаграмма Фейнмана) может быть написан как сумма членов в ж+-упорядоченной (так называемой "old-fashioned") теории возмущений. Тем не менее, в способе вычисления диаграмм содержится отличие: для теории возмущений на СФ интегрирование должно быть проведено сначала по импульсу к+ и условие \к-\ є должно быть введено как регуляризация полей в уравнении (1.41).

Заметим, что при таком способе вычисления все tadpole и tadpole-2 диаграммы равны нулю. Действительно, tadpole диаграммы отсутствуют, поскольку импульс внешней линии таких диаграмм равен нулю, а регуляризация полей на СФ (\к-\ є) запрещает такой внешний импульс. Tadpole-2 диаграммы равны нулю, потому что в таких диаграммах всегда есть замкнутый контур, который имеет одинаковый знак петлевого импульса д_ во всех его пропагаторах. В результате интеграл по вычетам по соответствующему петлевому импульсу q+ равен нулю, потому что все полюса, относящиеся к этим пропагаторам, лежат по одну сторону вещественной оси q+. Две расходящиеся tadpole-2 диаграммы, показанные на рис. 1.2 (d), (e) отсутствуют из-за нормального упорядочения гамильтониана (1.41). Таким образом, набор

3аметим, что члены взаимодействия в этом гамильтониане остаются нормально упорядоченными даже если убрать символ нормального упорядочения ": :" в уравнении (1.41). ненулевых диаграмм оказывается совпадающим в теории возмущений в ло-ренцевых координатах и теории возмущений, генерируемой гамильтонианом наСФ.

Однако известно, что соответствующие диаграммы, вычисленные в каждой из этих теорий возмущений, могут отличаться [7, 17, 24]. Можно использовать метод работ [7, 17] чтобы сравнить такие диаграммы во всех порядках теории возмущений. Идея этого метода заключается в следующем. Диаграммы, генерируемые гамильтонианом на СФ регуляризованы обрезанием \к-\ є, поэтому разница между результатом вычисления таких диаграмм и результатом вычисления соответствующих ковариантных диаграмм в ло-ренцевых координатах сводится к интегралам по области \к-\ є для каждого пропагатора. Если сделать для каждого петлевого импульса q (который всегда может быть отождествлен с некоторым пропагаторным импульсом) замену q_ — q_e, q+ — q+/e, то существенная зависимость от є в области интегрирования исчезнет, и можно исследовать поведение подынтегрального выражения при є — 0 для сколь угодно сложных диаграмм, используя только общие свойства теории (Лоренц-инвариантность, спин поля, структуру пропагатора и др.). С помощью этого метода можно доказать, что для рассматриваемой модели результаты вычисления любой диаграммы теории возмущений на СФ и в ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах совпадают в пределе є — 0 (учитывая отсутствие tadpole и tadpole-2 диаграмм). В приложении A.2 показано, как этот метод работает на примере однопетлевой диаграммы. Таким образом, теория с гамильтонианом на СФ (1.41) оказывается эквивалентной во всех порядках теории возмущений обычной ковариантной перенормированной теории возмущений в лоренцевых координатах в пределе є - 0 (и затем М - ос), поэтому уравнение (1.41) дает пертурбативно перенормированный гамильтониан на СФ. Заметим, что гамильтониан на СФ (1.41) при определенном выборе его параметров может быть рассмотрен в качестве одного из гамильтонианов на СФ (1.36), (1.37), соответственно регу-ляризованных и перенормированных. Константа связи д может быть отождествлена с 4А(/?о ( Л) = 0 или ifQ = ), а параметр т может быть отождествлен с ті или ГГІ2 для гамильтонианов на СФ (1.36) и (1.37) соответственно. Таким образом получаем перенормированные гамильтонианы на СФ для случаев с ненарушенной симметрией и со спонтанным нарушением симметрии. Параметры mi, rri2 и А удовлетворяют неравенствам (1.26) в гауссовом приближении. Тем не менее можно предположить, что эти неравенства примерно верны для перенормированных гамильтонианов на СФ в регуляризации Паули-Вилларса.

Возможные отличия теории возмущений на СФ и на поверхности постоянного времени в лоренцевых координатах для (2+1)-мерной теории Янга-Миллса

Таким образом, диаграмма на рис. 3.3а не требует перенормировки. Аналогично, с помощью аналитической компьютерной программы можно показать, что расходящаяся (в пределе снятия УФ регуляризации) часть диаграммы, изображённой на рис. 3.3г, равна нулю в рассматриваемой и в размерной регуляризациях при всех внешних индексах (+++, ++±, ...). Расходящиеся (в пределе снятия УФ регуляризации) части диаграмм 3.3б, 3.3в при внешних индексах ++, +_L, _L+ также равны нулю в рассматриваемой и в размерной регуляризации (это можно показать с помощью компьютерной программы). В настоящее время нет аналитического ответа для логарифмически расходящихся в пределе т\ — оо, тз — оо частей диаграмм 3.3б, 3.3в при внешних индексах _L_L, но эти расходящиеся части могут быть вычислены численно (этого достаточно для возможных непертурбативных вычислений с гамильтонианом на СФ). Как было сказано во введении к данной главе, определение контрчленов, компенсирующих логарифмически расходящиеся части указанных выше диаграмм 3.3б, 3.3в, необходимо согласовать с восстановлением калибровочной инвариантности в пределе снятия регуляризации. Для этого достаточно их выбрать таким образом, чтобы перенормированные диаграммы совпадали с перенормированными диаграммами в размерной регуляризации.

С этой целью перенормировочные контрчлены определяются путём вычисления разности выражений для этих диаграмм в рассматриваемой регуляризации и в размерной регуляризации (при этом диаграмма в размерной регуляризации должна быть перенормирована по схеме минимальных вычитаний). Использование таких контрчленов в лагранжиане (3.13) позволяет восстановить калибровочную и лоренцеву симметрии для наблюдаемых величин в пределе снятия регуляризации. Как будет показано в следующем параграфе, параметры тп\ и тз можно выразить через один параметр Л гп, а именно т\ = Л, а тз = Л2/ш. Из сказанного выше следует, что контрчлен в лагранжиане имеет вид С \п(А/т)А _А _, где константа С может быть определена в результате численных вычислений указанных диаграмм (рис. 3.3б, 3.3в). Такая форма контрчлена согласуется с остаточной лоренц-инвариантностью лагранжиана (3.13) относительно преобразований координат х+ ±. Вследствие этой инвариантности логарифмически расходящиеся диаграммы (рис. 3.3б, 3.3в), вычисляемые при внешнем импульсе, равном нулю (и при внешних лоренцевых индексах, отличных от индекса " —") обращаются в ноль, если содержат хотя бы один внешний лоренцев индекс " + ". Таким образом, вклад в контрчлен дают диаграммы, соответствующие только внешним лоренцевым индексам "_L". В приложении B.1 приводится выражение для диаграммы, изображённой на рис. 3.3а.

Используем полученный выше вариант регуляризации, при котором диаграммы теории возмущений на СФ в пределе є — 0 переходят в диа 65 граммы обычной ковариантной теории возмущений. Именно в такой форме будем анализировать расходимости диаграмм в пределе снятия регуляризации ml - 0, т\ - оо, ml - оо. Для простоты перейдём к евклидовой форме интегралов Фейнмана, сделав поворот Вика. Это возможно, поскольку структура полюсов при использовании предписания Мандельштама-Лейббрандта позволяет это сделать. Вариант пропагатора (3.14) после замены переменных Qo — Qo = —iQo, Qi — Q\ = Qi, Q± — Q± = Q± можно записать в следующем виде: ml = m2 + Q\, R = riM2(ml + m2) + г2МІ{т{ + m2) + r3Mf (m2 + m2,), Q± = \ Q± = Q±. Будем для произвольной диаграммы анализировать предел rri2 = /І — 0. Как видно из формы пропагатора (3.23), в этом пределе возможно появление в диаграммах существенных (т. е. возникающих при любых значениях внешних импульсов) ИК расходимостей показано, что для рассматриваемой теории ИК расходимость возникает только по Q\\ и может быть только логарифмической, причем только для вкладов в диаграммы поддиаграмм следующего вида (в диаграммы, показанные на рис. B.1): A+l/Gv,A,+ , (3.24) где GV1 — одна из заштрихованных на рисунке B.1 поддиаграмм, к которой присоединены два внешних пропагатора. Проанализируем вклад выражения (3.24), дающий ИК расходимость по Qw. Для этого рассмотрим в выражении (3.24) первый множитель, т.е. про-пагатор А+]/ и выделим в нём часть, в которой не происходит сокращение ИК особенности по Q. Вместе с множителем GV1 получаем (с точностью до несущественного общего множителя): V2(iQo + Q±l(Qv - im 5vl_)Gvl. (3.25) Перепишем величину 5vL в следующем виде: 5v± = Qv-Q+ -Q-6v- (32б) Q± где предполагается, что Q± ф 0. Здесь используется доказанный в приложении B.2 факт, что окрестность точки Qj_ = 0 не может дать ИК расходимости, несмотря на появление в формуле (3.26) импульса Q± в знаменателе. Снова отбрасывая слагаемые, в которых происходит сокращение особенности по Q, существенную часть (3.25) можно записать в видев точках импульсного пространства, в которых одновременно для нескольких пропагаторных импульсов величины Q2 = Qo + Qi обращаются в ноль. В приложении B.2

Предельный переход к гамильтониану КХД на световом фронте

Заметим также, что имея выражение (4.18) для гамильтониана на СФ, можно найти форму действия, которая порождает этот гамильтониан непосредственно в координатах СФ. Можно проверить, что такое действие совпадает с выражением (4.8) (т. е. модифицированным выражением (4.7)), но при г] = 0, плюс добавка тех членов из выражения (4.18), которые получены в результате процедуры исключения части мод полей в силу уравнений (4.17). Для ясности выпишем снова эти добавочные члены:

В данной главе представлено построение гамильтониана КХД на СФ, включающее описание вакуумных эффектов. Рассмотрение аналогичной задачи для КЭД(1+1) (массивной модели Швингера) показывает возможность полуфеноменологического подхода к решению этой задачи. Данный подход включает ограничение пространства по координате вдоль светового конуса (ж L) и периодические граничные условия на функции поля по х . Тогда нулевые и ненулевые моды Фурье по этой координате можно рассматривать отдельно и описывать вакуумные эффекты при помощи нулевых мод. Кроме того, в данном подходе теория на СФ получается предельным переходом от формулировки теории на пространственно-подобных плоскостях, близких к СФ. Рассматриваемый предельный переход при фиксированном значении L описывается с использованием параметра rj, характеризующего близость пространственно-подобной гиперплоскости к СФ (ту0). Чтобы нулевые моды остались независимыми динамическими переменными на СФ, предельный переход осуществляется по-разному для нулевых и ненулевых мод. Фактически предельный переход осуществляется только для ненулевых мод, пока параметр L конечен и фиксирован. Тогда нулевые моды могут моделировать вакуум и приводить к вакуумным эффектам в пределе L — оо.

Калибровочно-инвариантная регуляризация для КХД включает введение решетки в пространстве поперечных координат х1, х2 и калибровочно-инвариантный способ ограничения компоненты импульса р_. Вводится новое описание полевых переменных на решетке. Так для глюонных нулевых мод используются унитарные матрицы, относящиеся к ребрам решетки, а для ненулевых мод — эрмитовы матрицы, относящиеся к соответствующим узлам решетки.

Регуляризация и отделение нулевых мод от остальных мод нарушают лоренцеву симметрию в формулировке теории при конечных значениях параметра решетки и параметра L. Можно надеяться на восстановление этой симметрии в пределе снятия регуляризации. Однако это требует дополнительного исследования, которое включает также вопросы перенормировки теории и сравнения с формулировкой в лоренцевых координатах.

Разработанный полуфеноменологический подход был успешно применён к описанию кварк-антикваркового состояния в работе [36]. Заключение

В первой главе данной диссертации изложена идея П-В регуляризации на примере теории скалярного поля и приведено построение гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной теории 4 скалярного поля, регуляризованной с помощью поля Паули-Вилларса для случаев с ненарушенной симметрией и со спонтанным нарушением симметрии. Также получены ограничения (1.26) на параметры масс и константы связи для этих гамильтонианов. Во второй главе рассматривается модель типа Юкавы, а также роль регуляризации Паули-Вилларса в восстановлении эквивалентности между теориями возмущений, связанными с обычным квантованием и квантованием на СФ. В третьей главе описана перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-Миллса при квантовании на СФ. В четвёртой главе представлено построение гамильтониана КХД на СФ, включающее полуфеноменологическое описание вакуумных эффектов. В данном подходе теория на СФ получается предельным переходом от теории, сформулированной на пространственно-подобных плоскостях, близких к СФ.

Важность полученных результатов обусловлена необходимостью развития непертурбативного подхода к КХД и описания частиц, участвующих в сильных взаимодействиях. В рамках гамильтонова подхода на СФ можно просто описывать вакуумные состояния различных теорий, что в других под 94 ходах является чрезвычайно сложной задачей. Описание вакуумного состояния необходимо для дальнейшего рассмотрения частиц теорий, поскольку эти частицы представляют из себя суперпозиции состояний, полученных действием операторов рождения на вакуумное состояние.

При описании теории с помощью квантования на СФ особая роль уделяется нулевым модам Фурье по координате x-, эти моды моделируют вакуум на СФ и позволяют ввести полуфеноменологическое описание вакуумных эффектов. Дальнейшее применение полученных результатов связано с компьютерными вычислениями спектра полученного гамильтониана на СФ и волновых функций КХД. Автор диссертации надеется, что на этом пути удастся описать спектр масс адронов, а также структуру таких частиц, их взаимодействие друг с другом и взаимодействие между кварками, из которых они состоят, в частности, эффект конфайнмента кварков.