Введение к работе
1.1 Актуальность темы исследования
С открытием асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях (теории Янга-Миллса) в 1973 году, квантовая хромодинамика (КХД) стала общепризнанной теорией сильных взаимодействий.
Естественно пытаться исследовать свойства сильных взаимодействий при очень высокой температуре по следующим причинам. Во-первых, высокие температуры могут наблюдаться в нейтронных звёздах и в экспериментах по столкновению тяжёлых ионов. Во-вторых, теории с высокой температурой хорошо исследованы решёточными методами. И в-третьих, КХД при высокой температуре может рассматриваться как теоретический полигон для исследования калибровочных теорий. Дело в том, что при высокой температуре эффективная константа взаимодействия становится малой, что даёт возможность пользоваться разложением по константе связи.
Однако, не все явления описываются стандартной теорией возмущений. Теория возмущений не описывает фазовый переход из фазы кварк-глюонной плазмы в адронную фазу (деконфайнмент - конфайнмент) и для его описания следует учитывать непертурбативные вклады в статистическую сумму КХД. При понижении температуры считается, что непертурбативные эффекты начинают доминировать и приводят к переходу в фазу конфайнмента (адронную фазу).
1.2 Цель работы и постановка задачи
Целью диссертационной работы было исследование непертурбативных эффектов в чистой глюодинамике и КХД при конечной температуре.
В теории с конечной температурой появляется новая величина — голоно-мия (или петля Полякова). Выбирая калибровочное поле в фундаментальном представлении, определим петлю Полякова как
L = Pexp I / dtAA. (1)
Все собственные значения голономии калибровочно инвариантны. Среднее от следа голономии является параметром порядка для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент в чистой глюодинамике (теории без динамических кварков). Голономию называют тривиальной, если петля Полякова принимает значения в центре калибровочной группы. При этом trL =
Ne2mk/N^ к= І5_5ДГ.
В фазе конфайнмента < trL >= 0, поэтому можно предположить, что tr L ~ 0 на полевых конфигурациях, дающих доминирующий вклад в функциональный интеграл. Такие конфигурации полей называют полями с максимально нетривиальной голономией.
Если эффективная константа связи в теории мала, то предполагается, что непертурбативные вклады сосредоточены вблизи локальных нетривиальных минимумов классического действия, т.е. классических решений уравнений поля. В частности, поля, удовлетворяющие условию самодуальности (или антисамодуальности) F^ = F^ = ^n^sF^s являются классическими решениями с конечным действием. Для вычисления вклада в статистическую сумму КХД от полей, лежащих вблизи классических решений, следует разложить действие в ряд по константе связи вблизи соответствующего решения и далее использовать теорию возмущений. Главный вклад соответствует величине действия на классическом решении и суммированию (интегрированию) по семейству решений ^решения Fe~s. Однопетлевая поправка сводится к вычислению функционального детерминанта для оператора квадратичных флуктуации действия вблизи классического решения. Функциональный детерминант и мера на пространстве классических решений определяют пред-экспоненциальный множитель F.
Простейшим классическим решением с тривиальной голономией на пространственной бесконечности является периодический инстантон Харрингтона-Шепарда, также называемый калороном. Вклад таких решений в статистическую сумму в однопетлевом приближении был вычислен в работе Гросса, Писарского и Яффе.
Однако ниже температуры деконфайнмента в адронной фазе < tr L >= 0. Это означает, что в статистической сумме могут начать доминировать кон-
фигурации полей с нетривиальной голономией. Одна из целей работы - исследовать эту возможность, предполагая, что адекватные низкоэнергетические степени свободы соответствуют классическим решениям с нетривиальной асимптотикой А±.
Простейшим классическим решением с нетривиальной голономией на пространственной бесконечности является монополь BPS (Богомольный, Прасад, Соммерфильд) или дион. Дионы - это самодуальные решения уравнений движения Янга-Миллса с независящей от времени плотностью действия, имеющие и магнитное, и электрическое поля, затухающие как 1/г2 на пространственной бесконечности. Таким образом, эти объекты несут и электрический и магнитный заряды.
Для вычисления вклада дионов в статистическую сумму требуется вычислить функциональный детерминант (т.е. детерминант оператора квадратичной флуктуации действия) в поле диона. Из-за того, что поле А^ у диона затухает медленно (как 1/г), детерминант инфракрасно расходится, и поэтому нельзя просто перемножить детерминанты нескольких дионов. Следовательно, математически хорошо поставленной задачей является рассмотрение не единичного диона, а классического решения, "состоящего" из нескольких дионов, имеющего в целом нулевой электрический и магнитный заряды и целочисленный топологический заряд, т.е. инстантона.
Инстантонное решение с нетривиальной голономией было построено в 1998 году Крааном и ван Баалем, а также Ли и Лу; оно было названо калорон с нетривиальной голономией^ т.к. голономия для этой конфигурации не лежит в центре группы. Для краткости будем называть его KvBLL калороном. Он, как и калорон Харрингтона-Шепарда, является периодическим самодуальным решением классических уравнений поля Янга-Миллса с единичным топологическим зарядом. В предельном случае тривиальной голономии, он сводится к калорону Харрингтона-Шепарда. Замечательной чертой конструкции KvBLL является то, что калорон с единичным топологическим зарядом можно рассматривать как "сделанный" из N монополей Богомольного-Прасада-Зоммерфельда (BPS) или дионов. Из точного решения уравнений самодуальности видно, что когда "размер инстантона" р ^> [3 = 1/Т, реше-
ниє с нетривиальной голономией приближённо совпадает с суперпозицией N дионов, находящихся на пространственном расстоянии р2//3.
Калороны с нетривиальной голономией изучаются в работах многих авторов. Однако, функциональные детерминанты в поле KvBLL калорона ранее не изучались. Это явилось основной целью работы.
В диссертации ставились следующие основные задачи:
Аналитически вычислить детерминант для малых флуктуации поля Янга-Миллса вблизи калорона с нетривиальной голономией, т.е. вычислить статистический вес, с которым KvBLL калорон и составляющие его дионы входят в статистическую сумму теории Янга-Миллса при ненулевой температуре.
Оценить вклад ансамбля KvBLL калоронов в статистическую сумму чистой глюодинамики и проверить важность вклада KvBLL калоронов для объяснения фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент. Оценить температуру фазового перехода для калибровочной группы 577(2).
Вычислить детерминант для фермионов в фундаментальном представлении группы SU(2).
Обобщить результаты на случай калибровочной группы SU(N) в глюо-динамике и КХД.
1.3 Научная новизна и практическое значение результатов
Проблема вычисления эффектов от квантовых флуктуации около калорона с нетривиальной голономией является проблемой того же типа что и вычисление для обычных инстантонов (решенная 'т Хофтом) и для стандартного калорона Харрингтона-Шепарда (решенная Гроссом, Писарским и Яффе). Однако эта задача является значительно более сложной, так как калорон с нетривиальной голономией не обладает никакой симметрией, кроме того, что это поле самодуально. Ранее эта задача никем не рассматривалась.
Вычисление функциональных детерминантов необходимо для учёта вкладов KvBLL калоронов с нетривиальной голономией в статистическую сумму.
Кроме того, в силу электрической и магнитной нейтральности KvBLL кало-рона, именно вопрос о квантовом детерминанте KvBLL калорона является правильно поставленной задачей о квантовом детерминанте для BPS дионов. В работе предложен новый механизм для фазового перехода конфайнмент-деконфайнмент и оценена температура фазового перехода. Вычислены фер-мионные детерминанты, что даёт возможность последующего обобщения на
кхд.
Детерминанты в полях калоронов можно использовать для построения калоронных или дионных моделей вакуума как в чистой глюодинамике, так и в КХД.
1.4 Достоверность результатов и апробация работы.
Достоверность сформулированных результатов обеспечивается применением современного теоретического и математического аппарата, а также совпадением предельных случаев полученного результата с известными ранее. Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на международных конференциях SUSSP58, Св.Андрюс, Шотландия ; Quarks 2006, Санкт-Петербург; ISSP, Эриче, Италия 2007 ; и докладах на семинарах ПИЯФ, Гатчина и ИТЭФ, Москва, НИИФ им.В.А.Фока, С-Петербург. По материалам диссертации опубликовано 5 работ.
1.5 Структура и объем диссертации.