Содержание к диссертации
Введение
1. Условия, механизмы и особенности формирования лапласовских структур 18
1.1 Формирование лапласовских структур, как феномен самоорганизации 18
1.2 Роль неустойчивости при формировании лапласовских структур 25
1.3 Фрактальность лапласовских структур 33
1.4. Выводы 41
2. Теоретические модели формирования лапласовских структур 42
2.1 Детерминистические модели 46
2.2 Стохастические модели 57
2.3 Стохастически-детерминистический подход к построению моделей роста лапласовских структур 74
2.4 Выводы 78
3. Развитие разряда в конденсированных диэлектриках 79
3.1. Феноменология и физико-математические модели развития разряда..81
3.2. Самосогласованная стохастически-детерминистическая модель развития разряда 88
3.3. Пространственно-временные и токовые характеристики формирования разрядных структур 96
3.3.1. Развитие разряда в жидкой изоляции в неоднородном поле 97
3.3.2. Рост разрядных структур в неоднородных диэлектриках 103
3.3.3. Формирование разрядных структур в объемно-заряженных диэлектриках 111
3.4. Выводы 118
4. Молниевый разряд 121
4.1 Феноменология и физико-математические модели развития молниевого разряда 123
4.2 Самосогласованная стохастически-детерминистическая модель развития молниевого разряда 129
4.3. Закономерности формирования структуры разрядных каналов молнии 139
I 4.4. Выводы 151
5. Электрический триинг 153
5.1. Феноменология и физика электрического триинга 154
5.1.1. Частичные разряды в газонаполненных каналах 154
5.1.2 Формирование структуры каналов при электрическом триинге 173
5.2 Самосогласованная стохастически-детерминистическая модель электрического триинга 178
5.3. Пространственно временные и зарядовые характеристики формирования лапласовских структур при электрическом триинге 190
5.4 Самоорганизованная критичность при электрическом триинге 206
5.5. Выводы 215
6. Неизотермическая фильтрация смешивающихся жидкостей 218
6.1 Феноменология и физико-математические модели образования вязких пальцев при неизотермической многокомпонентной фильтрации 219
6.2 Стохастически-детерминистическая модель однофазной фильтрации 226
6.3. Закономерности формирования вязких пальцев при вытеснении смешивающихся жидкостей 231
6.3.1. Вытеснение менее вязкой жидкостью более вязкую жидкость 231
6.3.2. Вытеснение горячей жидкостью холодную жидкость 235
6.4. Выводы 241
7. Двухфазная неизотермическая фильтрация 243
7.1 Феноменология и физико-математические модели образования вязких пальцев при двухфазной фильтрации 244
7.2 Стохастически-детерминистическая модель двухфазной неизотермической фильтрации 250
7.3. Закономерности формирования лапласовских структур при вытеснении несмешивающихся жидкостей 256
7.3.1. Вытеснение жидкостью с меньшей вязкой более вязкую жидкость 256
7.3.2. Вытеснение горячей жидкостью холодную жидкость с большей вязкостью 262
7.4. Выводы 268
Заключение 270
Список литературных источников 274
Приложения
- Роль неустойчивости при формировании лапласовских структур
- Стохастически-детерминистический подход к построению моделей роста лапласовских структур
- Формирование разрядных структур в объемно-заряженных диэлектриках
- Самосогласованная стохастически-детерминистическая модель развития молниевого разряда
Введение к работе
Актуальность проблемы. Установление законов формирования пространственных, временных и пространственно-временных структур в неравновесных условиях является одной из важных проблем современной физики. Систематическое изучение самоорганизации в неравновесных системах началось во второй половине прошлого века. Направление в науке, объединяющее данные исследования, сформировалось в 70-ые годы XX века и получило название «синергетика» (для обозначения данного раздела физики используются также такие названия, как нелинейная неравновесная термодинамика, теория самоорганизации). Основное внимание исследователей было сосредоточено на изучении формирования упорядоченных в пространстве и времени структур, связанных со стационарными или периодическими состояниями неравновесных систем (диссипативные структуры, автоколебания, волны переключений и др.). Менее изученными остаются явления неравновесного роста неупорядоченных структур в открытых системах под действием интенсивного внешнего воздействия.
Одним из наиболее интересных, с научной точки зрения, и важным для практических приложений видом неравновесного роста является формирование неупорядоченных структур под действием поля, удовлетворяющего уравнению Лапласа. Примерами такого роста служат: формирование разрядных каналов при электрическом пробое твердых, жидких и газообразных диэлектриков; образование вязких пальцев при совместной фильтрации смешивающихся и несмешиваю-щихся жидкостей с различными вязкостями; развитие колоний бактерий на поверхности питательной среды; образование дендритов твердой фазы при электроосаждении металлов из электролитов, агрегации частиц в газе, кристаллизации переохлажденных растворов и т.д. Несмотря на то, что рост определяется разными физическими процессами, формирование структур в различных системах имеет много общих черт, а форма структур подобна и, во многих случаях, фракталь-на. Имеющееся сходство неслучайно и обусловлено общностью законов, описывающих формирование структур, и, в первую очередь, тем, что их рост связан с развитием неустойчивости границы структуры в поле, удовлетворяющем уравнению Лапласа (неустойчивость Муллинса-Секерки). В связи с этим представляется целесообразным выделение данного вида неупорядоченных нестационарных структур в отдельный класс и использование для его обозначения термина «лап-ласовские структуры».
Интенсивные исследования роста лапласовских структур начались в 80-е годы XX века. К настоящему времени накоплен достаточно обширный экспериментальный материал по росту лапласовских структур в различных открытых системах, но его теоретическое обобщение с единой точки зрения до сих пор не было сделано. Вследствие неустойчивости, нелокальности и нелинейности процессов, приводящих к формированию структур, а также стохастичности и неравновесности их роста, применение аналитических методов ограничено изучением отдельных аспектов роста с помощью упрощенных моделей. Численные методы позволяют исследовать более сложные модели роста, рассматривать все стадии формирования структур при различных внешних условиях и параметрах среды.
Численные исследования формирования лапласовских структур проводятся как с помощью детерминистических, так и стохастических моделей. Детерминистические модели позволяют детально описывать физические процессы, однако не учитывают стохастичность роста лапласовских структур. Динамика формирования структур однозначно определяется распределением начальных и граничных условий. В реальных физических системах рост лапласовских структур связан с перманентным и стохастическим инициированием неустойчивостей в различных точках. Стохастическое инициирование неустойчивости описывается в рамках стохастических моделей роста. С помощью стохастических моделей удалось описать на качественном уровне многие наблюдаемые в экспериментах пространственно-временные особенности формирования лапласовских структур в открытых системах. Однако модели, основанные исключительно на стохастических принципах, являются формальными и могут применяться только к простым системам. Существенные упрощения, используемые в стохастических моделях, не позволяют использовать их для исследования роста лапласовских структур, когда существенную роль играют взаимосвязанные и нелинейные процессы переноса (энергии, вещества, заряда и т.д.) и взаимодействия различных физических полей.
Таким образом, является актуальным создание адекватного теоретического метода исследования закономерностей формирования лапласовских структур в сложных неравновесных системах, который свободен от недостатков детерминистических и стохастических методов и сочетает их достоинства.
Целью работы является создание общего теоретического подхода к изучению роста лапласовских структур, применение его для разработки математических моделей и установления закономерностей формирования структур в неравновесных системах.
На основании анализа современного состояния проблемы и в соответствии с целью работы были определены следующие основные задачи исследований:
изучение условий, механизмов и особенностей формирования лапласовских структур в различных неравновесных системах;
разработка самосогласованного стохастически-детерминистического подхода к построению моделей формирования лапласовских структур на основе анализа детерминистических и стохастических методов;
создание физико-математических моделей роста лапласовских структур при различных видах пробоя твердых, жидких и газообразных диэлектриков, а также фильтрации жидкостей;
разработка вычислительных алгоритмов и проблемно-ориентированного программного обеспечения, позволяющих исследовать рост лапласовских структур с помощью компьютерных экспериментов;
количественное моделирование формирования лапласовских структур при импульсном пробое конденсированных диэлектриков, молниевом разряде, электрическом триинге, фильтрации смешивающихся и несмешивающихся жидкостей в пористой среде;
установление закономерностей роста лапласовских структур, изучение влияния внешних условий на их формирование, нахождение связей между физическими процессами и динамическими характеристиками роста структур.
Предметом исследования является рост лапласовских структур в неравновесных условиях. Общие и специфические закономерности формирования структур и методы построения математических моделей рассматривались на примерах развития электрического разряда в конденсированных диэлектриках, роста разрядных каналов молнии, электрического триинга, образования вязких пальцев при вытеснении смешивающихся и несмешивающихся жидкостей.
Методы исследования включают в себя анализ феноменологии и физических процессов, ответственных за рост лапласовских структур, построение теоретических моделей, создание комплекса вычислительных алгоритмов и проблемно-ориентированного программного обеспечения, проведение численных исследований роста структур в различных неравновесных системах, установление закономерностей формирования лапласовских структур на основе анализа результатов моделирования и сопоставления с экспериментальными данными.
Научная новизна работы:
Разработан новый самосогласованный стохастически-детерминистический подход к построению моделей роста лапласовских структур в неравновесных условиях, сочетающий в себе достоинства стохастических и детерминистических методов.
Созданы оригинальные физико-математические модели, вычислительные алгоритмы и программное обеспечение, позволяющие количественно описывать формирование лапласовских структур при различных видах разряда в твердых, жидких и газообразных диэлектриках, фильтрации жидкостей в пористых средах.
Установлены новые, а также интерпретированы известные ранее закономерности роста неупорядоченных структур при импульсном пробое конденсированных диэлектриков, молниевом разряде, электрическом триинге, вытеснении смешивающихся и несмешивающихся жидкостей в пористой среде.
Автор защищает:
Обоснование выделения из многообразия пространственно-временных структур класса лапласовских структур, условия и механизмы их формирования.
Разработанные на основе стохастически-детерминистического подхода принципы построения теоретических моделей формирования лапласовских структур в неравновесных условиях.
Созданные самосогласованные физико-математические модели роста разрядных структур при импульсном пробое конденсированных диэлектриков, молниевом разряде, электрическом триинге.
Установленные пространственно-временные, полевые и токовые характеристики формирования лапласовских структур при импульсном пробое конденсированных диэлектриков, молниевом разряде и электрическом триинге в зависимости от распределения и величины напряженности поля, неоднородности среды, присутствия объемных зарядов.
Созданные физико-математические модели развития гидродинамических неустойчивостей одно- и двухфазной многокомпонентной неизотермической фильтрации в неоднородной пористой среде.
6. Установленные закономерности формирования лапласовских структур при вытеснении смешивающихся и несмешивающихся жидкостей в зависимости от их свойств, параметров среды и характеристик тепло- и массообмена.
Научная ценность полученных результатов заключается в комплексности исследований формирования лапласовских структур в неравновесных условиях и разработке общего подхода к построению теоретических моделей роста таких структур. Установленные закономерности развития электрического разряда в жидких и твердых диэлектриках, молниевого разряда, электрического триинга в полимерах, формирования вязких пальцев при одно- и двухфазной фильтрации способствуют более глубокому пониманию природы этих процессов и развивают соответствующие области физики.
Практическая значимость работы. Результаты исследований развития разряда в конденсированных диэлектриках могут быть использованы при разработке методов расчета электрической прочности высоковольтной изоляции; оптимизации работы электроразрядных установок, предназначенных для селективного разрушения композитных материалов, дробления горных пород и искусственных материалов; прогнозировании разрядных явлений в диэлектрических деталях аппаратов, подверженных воздействию пучков заряженных частиц.
Результаты исследований роста дендритов и частичных разрядов при электрическом триинге могут быть использованы при создании методов прогноза деградации полимерной изоляции, а также для диагностики её состояния по параметрам частичных разрядов.
Результаты исследований распространения нисходящего ступенчатого лидера молнии могут найти применение при создании методов расчета зоны защиты молниеотводов, оценки вероятности поражения наземных и воздушных объектов в зависимости от их геометрии и свойств подстилающей поверхности.
Результаты исследований развития гидродинамических неустойчивостей при одно- и двухфазной многокомпонентной неизотермической фильтрации имеют большое практическое значение для разработки методов прогнозирования распространения водных и органических растворов загрязняющих веществ в подземных водах; повышения эффективности заводнения нефтеносных пластов; оптимизации химико-технологических процессов, связанных с фильтрацией жидкостей через пористые среды.
Реализация работы. Результаты работы нашли применение при выполнении госбюджетных и хоздоговорных научно-исследовательских работ в НИИ Высоких напряжений при Томском политехническом университете и в Северском государственном технологическом институте. Исследования поддерживались программами Минобразования, Миннауки, Минатома, «Университеты России», 4-мя грантами РФФИ, а также грантами НАТО, Американского физического общества, Немецкого исследовательского общества, фонда Фольксваген.
Созданные модели и результаты исследований непосредственно применялись при разработке комбинированной высоковольтной изоляции (АО Камкабель, г. Пермь); для проведения прогнозных расчетов распространения водных и органических растворов в пласте-коллекторе полигона глубинного захоронения радиоактивных отходов (ФГУП Сибирский химический комбинат, г. Северск).
На основе созданных моделей разработаны компьютерные лабораторные работы, которые используются в учебном процессе ТПУ, АлтГТУ, ИркАЖТ, СГТИ для изучения разрядных явлений.
Достоверность полученных результатов обусловлена использованием общепризнанных теоретических представлений и законов, достаточной обоснованностью сделанных допущений, применением апробированных и надежных вычислительных алгоритмов, верификацией проблемно-ориентированного программного обеспечения и подтверждается сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также, в отдельных случаях, с аналитическими расчетами и результатами, полученными другими авторами.
Личный вклад автора. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором и группой сотрудников, руководимой автором, а также - в сотрудничестве с научными работниками НИИ Высоких напряжений Томского политехнического университета, Северского государственного технологического института, Томского государственного университета, Университета г.Карлсруэ (Германия), Массачуссетского технологического института (США). Личный вклад автора включает формулировку цели и задач исследований, разработку концептуальной основы нового подхода и физико-математических моделей, создание вычислительных алгоритмов и проблемно-ориентированных программ, анализ результатов исследований, обобщение представленного в диссертации материала, формулировку выводов и защищаемых положений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на XI, XII, XIII международных конференциях по проводимости и пробою жидких диэлектриков (Баден-Датвил, Швецария, 1993г., Рим, Италия, 1996г., Нара, Япония, 1999г.); Международной конференции по физике диэлектриков (Санкт-Петербург, 1993, 2000); Международной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы охраны окружающей среды» (г.Томск, 1995г.); IX и XI международных симпозиумах по высоковольтной технике (Грац, Австрия, 1995, Лондон, Великобритания, 1999г.); Международных конференциях по сопряженным задачам механики и экологии» (г.Томск, 1996, 1998, 2000, 2002 гг.); IV и VI Международных конференциях по современным проблемам электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков (Санкт-Петербург, 1996, 2000 гг.); X международной конференции по атмосферному электричеству (Осака, Япония, 1996г.); конференциях по электрической изоляции и диэлектрическим явлениям (Сан-Франциско, 1996, Остин, США, 1999, Виктория, Канада, 2000); XII международной конференции по газовым разрядам и их приложениям (Грифсвальд, Германия, 1997); Международной конференции «Всесибирские чтения по математике и механике» (г.Томск, 1997г.); VIII конференции ядерного общества России (Екатеринбург-Заречный, 1997г.); Всероссийской научной конференции «Обращение с радиоактивными отходами и отработавшими ядерными материалами, их утилизация и захоронение» (Челябинск, 1997г.); Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (г.Томск, 1998г.); VI и VII международных конференциях по проводимости и пробою твердых диэлектриков (Вас-терас, Швеция, 1998г., Эйндховен, Нидерланды, 2001г.); II, IV, и V Корейско-Российских симпозиумах по науке и технологиям (г.Томск, 1998, 2001гг., Ульсан,
Корея, 2000г.); Ill сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике «INPRIM-98» (г.Новосибирск, 1998г.); V, VI и VII научно-технических конференциях Сибирского Химического Комбината (г.Северск, 1998, 2000, 2002 гг.); Всероссийской научной конференции «Байкальские чтения по математическому моделированию процессов в синергетических системах» (г.Улан-Удэ, 1999 г.); Международном научном семинаре «Хаос и структуры в нелинейных системах» (Караганда, 1999); Международных конференциях по математическим моделям и методам их исследования (г.Красноярск, 1999, 2001 гг.); II и III международных конференциях по проблемам управления и моделирования в сложных системах (Самара, 2000, 2001 гг.); XXV международной конференции по молниезащите (Родос, Греция, 2000 г.); IV Международной конференции по математическому моделированию (Москва, 2000 г.); IV Минском международном форуме "Тепломассообмен ММФ-2000", (Минск, 2000 г.); III Всероссийском семинаре по моделированию неравновесных систем (г.Красноярск, 2000 г.); Международной научной конференции по фундаментальным проблемам воды и водных ресурсов (Томск, 2000 г.); IX международной конференции по электрическим зарядам в непроводящих материалах (Тур, Франция,2001 г.); Международной конференции по приложениям электроимпульсной технологии (Гельзенкирхен, Германия, 2001г.); Всероссийской научной школы «Математические методы в экологии» (Петрозаводск, 2001 г.); Всероссийской научной конференции «Теоретические и прикладные вопросы современных информационных технологий» (г.Улан-Удэ, 2002 г.); VIII Международной конференции по оптимизации электрического и электронного оборудования (Брашов, Румыния, 2002 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликованы: 39 статей в периодических изданиях, 51 статья в сборниках, 65 тезисов докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка используемой литературы из 445 наименований. Работа изложена на 309 страницах и содержит 137 рисунков и 5 таблиц.
Роль неустойчивости при формировании лапласовских структур
Изучение закономерностей формирования неоднородных пространственных, временных и пространственно-временных состояний в однородной диссипативнои среде в неравновесных условиях является одним из наиболее важных направлений современной физики. Начало исследований в этой области было положено работами группы, возглавляемой И. Пригожиным, выполненными в 60-ые годы XX века [1-3]. Неоднородные состояния были названы диссипативными структурами, а их спонтанное образование - самоорганизацией. Принципиальную роль в процессах самоорганизации играют коллективные (кооперативные) эффекты и взаимодействия различных процессов. Этим обусловлено то, что область науки, к которой относятся исследования самоорганизации, получила название «синергетика» [4, 5]. Термин «синергетика» был введен Г.Хакеном и происходит от греческого слова «synergetikos» - совместный, согласованный. Возникновение синергетики было подготовлено работами Л. Больцмана и А. Пуанкаре, связанными с изучением сложных статистических и динамических систем. Следует также отметить вклад A.M. Ляпунова, А.А. Андронова, Н.Н. Боголюбова, А.А. Витта, А.А. Власова, Я.Б. Зельдовича, А.Н. Колмогорова, Н.М. Крылова, Л.Д. Ландау, Л.И. Мандельштама, С.Э. Хайкина в изучение нелинейных динамических систем, чьи работы способствовали развитию конструктивного подхода к проблемам образования пространственно-временных структур.
Явление самоорганизации наблюдается в поведении неравновесных систем различной природы: физических (механические деформации, гидродинамические течения, неустойчивости плазмы, фазовые переходы, разряды в газах, электрические цепи, нелинейные оптические эффекты и др.), химических (распространение фронта горения, концентрационные волны при химических реакциях и др.), биологических (эволюция популяций, распространение возбуждения в ткани, морфогенез и т.д.). Однако несмотря на разную природу и различие механизмов самоорганизации, поведение различных систем имеет общие черты и может быть описано на основе единого теоретического подхода с помощью сходных математических моделей. Именно с этим связано развитие синергетики, как самостоятельного научного направления. Подробное изложение теоретических моделей и методов синергетики, а также детальное описание процессов самоорганизации в различных системах можно найти в многочисленных монографиях и обзорах, например [4-9].
Необходимыми условиями для самоорганизации являются [6]: открытость системы (обмен веществом и/или энергией со средой); нелинейность взаимодействий; сложность системы (наличие большого числа нетривиально связанных между собой элементов и процессов); кооперативность (согласованное протекание различных процессов). Как правило, самоорганизация происходит, когда уровень внешнего воздействия (величина термодинамической силы или потока) на систему превосходит некоторое критическое значение. При низкой интенсивности воздействия отклонение системы от равновесного состояния не сопровождается т формированием неоднородной структуры. Когда интенсивность внешнего воздействия достигнет критического значения, однородное неравновесное состояние становится неустойчивым, и происходит переход в новое неравновесное состояние, обладающее пространственной, временной или пространственно-временной структурой. Дальнейшее увеличение интенсивности воздействия может привести к потере устойчивости и переходу в новое стационарное состояние с другой структурой. Воздействие высокой интенсивности также может привести к возникновению нестационарного режима, характеризующегося стохастическим поведением системы в пространстве и/или времени. В настоящее время нет общепринятого разделения понятий упорядоченных стационарных диссипативных структур и нестационарных стохастических структур. Как правило, под диссипативными структурами подразумеваются упорядоченные стационарные структуры, а под самоорганизацией - формирование устойчивых регулярных структур [10]. Однако рост неупорядоченных (нерегулярных, стохастических) структур в сложных нелинейных неравновесных системах также можно рассматривать как процесс самоорганизации.
Во многих случаях форма неупорядоченных структур, образующихся в сильно неравновесных системах, может быть описана на основе фрактальной геометрии. Термин фрактал (от латинского "fractus" - изрезанный, изломанный) был предложен Б.Мандельбротом для обозначения самоподобных объектов с разветвленной или изрезанной структурой. В широком смысле, под фракталом понимают структуру, состоящую из частей, которые в некотором отношении подобны целому. Фракталы занимают промежуточное положение между совершенно случайными и регулярными структурами. Параметром порядка служит фрактальная размерность структуры D, имеющая, как правило, нецелое значение. Широкое распространение методы фрактальной геометрии получили в 80-ые годы XX века после публикации работ Б.Мандельброта [11-13], хотя объекты с нецелой размерностью рассматривались в математике еще в конце XIX века. Многочисленные примеры применения методов фрактальной геометрии для исследования формирования естественных и искусственных структур можно найти в сборниках и монографиях [14-23].
Одним из наиболее интересных, как с научной, так и с практической точки зрения, видов стохастического роста является формирование неупорядоченных структур под действием полей, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Примерами такого роста служат: формирование разрядных структур при пробое твердых, жидких и газообразных диэлектриков [24-29], образование структур при совместной фильтрации смешивающихся и несмешивающихся жидкостей с различной вязкостью [30-34], формирование каналов при растворении среды фильтрующейся жидкостью [35-36], образование дендритов при электроосаждении металлов из электролитов [37-40]. При определенных условиях подобные неупорядоченные структуры формируются под действием полей, удовлетворяющих уравнению диффузии (теплопроводности), например: при кристаллизации переохлажденных растворов [41-43], агрегации частиц из жидкости или газа [44], росте колоний бактерий на поверхности питательной среды [45-47]. Подобие структур связано с тем, что при медленном росте можно пренебречь членом с временной производной в уравнении диффузии. В результате чего уравнение диффузии переходит в уравнение Лапласа.
Стохастически-детерминистический подход к построению моделей роста лапласовских структур
Под неустойчивостью, как правило, понимается самопроизвольное нарастание отклонений от заданного стационарного состояния или движения, приводящее к качественному изменению поведения системы. Неустойчивость играет существенную роль в процессах самоорганизации [4-6]. Формирование диссипативной структуры происходит, когда, в результате изменения внешних условий, однородное в пространстве и/или времени состояние системы становится нестабильным. Неустойчивое состояние характеризуется нарастанием отклонений системы от исходного состояния, вызванных флуктуациями параметров системы или внешними воздействиями. В результате система переходит в новое устойчивое состояние. Таким образом, неустойчивости отводится ключевая роль в формировании регулярных стационарных диссипативных структур. Образование лапласовских структур при пробое диэлектриков, фильтрации жидкостей, электроосаждении, кристаллизации, агрегации частиц и росте колоний бактерий связано с развитием неустойчивости. При электрическом пробое разрядные каналы имеют проводимость много больше проводимости диэлектрика. Поэтому напряженность поля на концах каналов максимальна. Чем глубже канал прорастает в диэлектрик, тем выше напряженность поля перед его концом и больше скорость его роста. Изменение поля, в результате роста разрядной структуры, приводит к возникновению эффекта экранировки отстающих каналов и замедлению их роста. При вытеснении менее вязкой жидкостью более вязкую жидкость, максимальный градиент давления имеет место вблизи выступов фронта. Это приводит к их росту и дальнейшему увеличению градиента давления. Аналогичная ситуация имеет место при растворении пористой среды потоком жидкости. Градиент давления максимален вблизи концов высокопроницаемых каналов. Неустойчивость электрохимического осаждения связана с увеличением напряженности поля и потока ионов перед выступами на поверхности осажденного металла, и уменьшением потока во впадинах. При кристаллизации переохлажденного расплава температура расплава убывает по мере удаления от фронта кристаллизации. Случайно возникающие выступы фронта попадают в область большего переохлаждения и имеют лучшие условия для теплоотвода. В результате скорость кристаллизации на вершине выступа увеличивается, а во впадинах уменьшается. Неустойчивость агрегации связана с увеличением вероятности присоединения частиц к выступающим частям кластера, что обеспечивает их ускоренное продвижение. Неустойчивость роста колоний бактерий обусловлена увеличением потока питательных веществ к частям колонии, продвигающимся вглубь питательного раствора.
Развитие неустойчивости во всех описанных системах характеризуется общими закономерностями и может быть описано в рамках единого подхода. Во всех случаях рост структуры можно описать, как неустойчивое движение границы между двумя областями с различными свойствами. Скорость продвижения границы определяется градиентом поля. Неустойчивость границы относительно возмущений обусловлена увеличением градиента поля перед выступами границы и уменьшением его величины во впадинах. Основные закономерности развития неустойчивости можно установить с помощью простой теоретической модели. В данной модели рассматривается двухмерное движение границы между двумя фазами, рис 1.7. Движение происходит в направлении от второй фазы к первой. Скорость перемещения границы пропорциональна нормальной составляющей градиента потенциального поля Фв рассматриваемой точке границы: где аи - параметр роста. Поле Ф в области, занимаемой первой фазой, удовлетворяет уравнению Лапласа:
Граничные условия для поля Ф зависят от характера задачи. Простейшими граничными условиями являются заданное значение потенциала на границе между фазами Ф =Ф0 и постоянное значение градиента на бесконечном удалении от границы.
Формирование разрядных структур в объемно-заряженных диэлектриках
Геометрическая форма является одной из важнейших характеристик пространственной структуры. Геометрическая форма зависит от физических процессов, приводящих к формированию структуры. Кроме этого, характер процессов, происходящих в структуре (в особенности процессов переноса вещества, энергии, импульса и заряда), зависит от её геометрической формы. Для описания формы неупорядоченных самоподобных структур, формирующихся в неравновесных условиях, целесообразно использовать методы фрактальной геометрии [11-13]. Фрактальный подход оказался очень эффективным при изучении свойств многомасштабных стохастических структур и получил широкое распространение в различных областях науки: физике, химии, биологии, геологии и т.д. [14-23].
Основным понятием фрактальной геометрии является фрактальная размерность D; Фрактальная размерность является обобщением размерности известной из евклидовой геометрии. Но, если в евклидовой геометрии размерность принимает целые значения: точка имеет размерность ноль, линия - один, поверхность — два, объем — три, то фрактальная размерность, как правило, является дробной величиной. Методы описания объектов с дробной размерностью были разработаны в начале XX века математиками Ф.Хаусдорфом и А.Безиковичем. Именно размерность, введенная. Ф.Хаусдорфом и А.Безиковичем, чаще всего принимается за фрактальную размерность объекта. Размерность Хаусдорфа-Безиковича определяется с помощью покрытия структуры конечным или бесконечным числом шаров с радиусом г„ меньшим определенной величины є [13]. За разхмерность Хаусдорфа-Безиковича принимается такое число )#, для которого:
Размерность Хаусдорфа-Безиковича для линии 1, для поверхности 2, для объема 3. Часто под фракталом понимают структуру, размерность Хаусдорфа-Безиковича которой строго больше её топологической размерности. Размерность Хаусдорфа-Безиковича всегда меньше евклидовой размерности пространства, в котором находится фрактальная структура.
Отличительной особенностью фрактальных структур является самоподобие, т.е. подобие части целой структуре. Рассмотрение самоподобной структуры во все увеличивающихся масштабах ведет к выявлению все более тонких деталей её строения, а вновь выявленная структура будет подобна той, что можно видеть при более мелком масштабе рассмотрения. С самоподобием связано определение фрактальной размерности, как размерности подобия [13]. Одномерный объект - отрезок состоит из К своих копий, уменьшенных в К раз. Двумерный объект квадрат, состоит из К своих копий, уменьшенных в К раз. Трехмерный і куб состоит из К3 своих копий, уменьшенных в К раз. Таким образом, если D-мерный объект состоит из N(K) уменьшенных в К раз своих копий, то выполняется соотношение:
Структуру, имеющую дробную размерность, можно построить с помощью итерационной процедуры. Пусть на нулевом шаге п-0 имеется отрезок длиной LQ , рис. 1.10, а. На первом шаге заменяем исходный отрезок тремя отрезками длины Lj=L(/2, расположенными друг относительно друга, как показано на рис. 1.10, б. На втором шаге, каждый из новых отрезков длиной L] заменяется тремя отрезками длиной L2=L]/2, рис. 1.10, в. Аналогичным образом выполняются третий и четвертый шаги, рис. 1.10,г,д. При продолжении описанной процедуры до бесконечности получается самоподобная структура, которая состоит из трех своих копий, уменьшенных в два раза. Построенная структура имеет размерность самоподобия Ds равную /яЗ//и2«1,585. Размерность Хаусдорфа-Безиковича структур, построенных с помощью итерационной процедуры, подобной описанной выше, совпадает с размерностью самоподобия.
Геометрические фрактальные структуры, построенные с помощью подобной итерационной процедуры, являются абсолютно самоподобными. Реальные физические фрактальные структуры, формирующиеся, например, в неравновесных условиях, являются самоподобными только статистически. К тому же они всегда имеют некоторые минимальный и максимальный размеры, за пределами которых самоподобие не наблюдается. Поэтому, можно говорить о фрактальности реальных объектов только в определенном диапазоне масштабов: от некоторого минимального размера Lmm до максимального Lmax.
Фрактальная размерность реальных фрактальных структур можно определить, изучая зависимость числа элементов N/, составляющих фрактальную структуру, от ее размера /fy-[18]. Для фрактальной структуры с размерностью D выполняется соотношение:
Таким образом, чтобы определить размерность фрактальной структуры, необходимо построить в двойном логарифмическом масштабе график зависимости числа элементов N/„ составляющих фрактал, от его размера R/. Полученная зависимость аппроксимируется прямой линией, тангенс угла наклона а которой будет равен фрактальной размерности: D=tga. (1.12)
Другим часто используемым методом определения фрактальной размерности неупорядоченных структур является метод покрытия [13]. Данный метод основан на покрытии структуры одно-, двух- или трехмерной (в зависимости от размерности пространства, в котором находится структура) сетками с различными размерами ячеек /, рис. 1.11. Для каждого покрытия определяется число ячеек N(1), содержащих, по крайней мере, один элемент структуры (серые ячейки на рис 1.11). Данная процедура повторяется при различных значениях /. Для фрактальной структуры величина N(1) убывает с ростом / по обратному степенному закону, когда изменяется от минимального Lmin до максимального Lmax размера фрактала:
Самосогласованная стохастически-детерминистическая модель развития молниевого разряда
Другим часто используемым методом определения фрактальной размерности неупорядоченных структур является метод покрытия [13]. Данный метод основан на покрытии структуры одно-, двух- или трехмерной (в зависимости от размерности пространства, в котором находится структура) сетками с различными размерами ячеек /, рис. 1.11. Для каждого покрытия определяется число ячеек N(1), содержащих, по крайней мере, один элемент структуры (серые ячейки на рис 1.11). Данная процедура повторяется при различных значениях /. Для фрактальной структуры величина N(1) убывает с ростом / по обратному степенному закону, когда изменяется от минимального Lmin до максимального Lmax размера фрактала:
Таким образом, фрактальную размерность можно определить по абсолютной величине наклона прямой линии, аппроксимирующей график зависимости log N(l) от log I.
Эффективным методом изучения свойств фрактальных структур является исследование взаимодействия с ними волн различной длины. К настоящему времени выполнено большое число теоретических и экспериментальных работ, в которых исследовалась дифракция волн на фрактальных структурах [55, 56], отражение волн фрактальной поверхностью [57-59], излучение электромагнитных волн фракталами [60, 61], прохождение волн через фрактальную среду [62-64], малоугловое рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов [65-67]. Анализ характеристик отраженного, рассеянного или прошедшего сквозь структуру излучения позволяет, во многих случаях, определить величину её фрактальной размерности.
Фрактальность лапласовских структур, формирующихся в результате развития неустойчивости Муллинса-Секерки, обусловлена взаимовлиянием роста различных ветвей структуры, осуществляемого посредством изменения поля. В результате перераспределения поля возникает эффект экранировки -уменьшение поля во внутренних областях структуры (между ветвями). Эффект экранировки является следствием того, что поле удовлетворяет уравнению Лапласа. Увеличение градиента поля перед концами ветвей и уменьшение во внутренних областях приводит к подавлению роста отстающих ветвей. В результате формируется иерархическая самоподобная структура, состоящая из ветвей различных размеров. Лапласовские структуры являются фрактальными, когда влияние факторов подавляющих развитие неустойчивости несущественно. Если скорость роста пропорциональна і градиенту поля, граница структуры эквипотенциальна, распределение поля во внешней области определяется уравнением Лапласа, то структуры, формирующиеся в двумерном пространстве (на межфазной поверхности или в тонком слое), имеют фрактальную размерность Z «1,7, а образующиеся в трехмерном пространстве - D«2,5. Величины фрактальных размерностей лапласовских структур, формирующихся в реальных физических системах, зависят от особенностей физических процессов, приводящих к развитию неустойчивости, и условий формирования. К настоящему времени различными исследователями проведен большой объем работ по определению фрактальных размерностей лапласовских структур, формирующихся в неравновесных условиях, например, при пробое диэлектриков [24-29, 68-74], совместной фильтрации смешивающихся и несмешивающихся жидкостей [30-34, 75-77], электроосаждении металлов из электролитов [37-40], кристаллизации из переохлажденных растворов [42, 43], агрегации частиц из газа [44], росте колоний бактерий на поверхности питательной среды [45-47]. Когда влияние процессов, подавляющих развитие неустойчивости, усиливается, форму лапласовских структур становится невозможно описать с помощью одной фрактальной размерности, хотя такие особенности строения лапласовских структур, как многомасштабность, случайное ветвление, отсутствие петель сохраняются.
Фрактальная размерность характеризует геометрическую форму неупорядоченной самоподобной структуры. Для описания неоднородного распределения физической величины по структуре используется понятие мультифрактала. Понятие мультифрактала также может использоваться для описания формы иерархических структур, состоящих из фрактальных подмножеств с различными размерностями. Мультифрактальный подход был развит в работах [78-80], хотя лежащие в его основе идеи обсуждались Б. Мандельбротом ранее [81].
Рассмотрим мультифрактальный формализм на примере распределения аддитивной (экстенсивной) скалярной величины М (вероятность, масса, заряд и т.д.) по структуре, находящейся в d - мерном пространстве [78, 80]. Для« простоты будем считать величину М всей структуры равной единице (условие нормировки). Построим покрытие структуры, d - мерной гиперкубической сеткой с шагом /. Обозначим га, величину, приходящуюся на ячейку с номером / (объём ячейки равен Ґ). Очевидно, величина га, зависит от размера ячейки /. Для однородного распределения экстенсивной величины в d - мерном пространстве выполняется соотношение: га, Ґ. Когда скалярная величина распределена равномерно по фрактальной структуре размерностью D, имеем га, f. В общем случае, для неоднородного распределения, зависимость величины га, от размера ячейки / в разных точках будет различной:
Похожие диссертации на Формирование лапласовских структур в неравновесных условиях
