Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические методы 12
1.1. Введение 12
1.2. Представление полного углового момента для трёх частиц 17
1.3. Резонансные состояния и метод комплексного вращения
1.3.1. Внешнее комплексное вращение и теоремы о спектре 25
1.3.2. Представление трёхчастичного гамильтониана с комплексным вращением 28
1.4. Задача рассеяния для трёх частиц 31
1.4.1. Задача рассеяния для двух кулоновских частиц: метод расщепления потенциала 31
1.4.2. Граничная задача для трёхчастичного рассеяния 36
1.4.3. Метод расщепления потенциала 39
1.4.4. Уравнения рассеяния в представлении полного углового момента 42
1.4.5. Представления для амплитуд рассеяния 46
1.5. Выводы к первой главе 53
Глава 2. Вычислительные методы 56
2.1. Введение 56
2.2. Вариационное уравнение 57
2.3. Метод конечных элементов (МКЭ)
2.3.1. Одномерный МКЭ 60
2.3.2. Трёхмерный МКЭ 62
2.3.3. Метод Галёркина. Вычисление матричных элементов операторов
2.3.4. Спектральное разложение по угловой переменной 67
2.3.5. Вычисление матричных элементов потенциала 68
2.4. Оценки погрешности численного метода 70
2.4.1. Экстраполяционные формулы 71
2.4.2. Оценки погрешности и адаптивный подход
2.5. Особенности программной реализации 76
2.6. Выводы ко второй главе 79
Глава 3. Дискретный спектр некоторых трёхчастичных систем 81
3.1. Введение 81
3.2. Метастабильные состояния антипротонного гелия
3.2.1. Кулоновские уровни энергии 83
3.2.2. Численное решение 84
3.2.3. Нерелятивистские уровни энергии: результаты 87
3.2.4. Релятивистские и КЭД поправки к уровням энергии 91
3.2.5. Вероятности радиационных переходов 98
3.3. Связанные состояния тримеров благородных газов 102
3.3.1. Связанные состояния тримеров гелия 105
3.3.2. Связанные состояния тримера неона 108
3.3.3. Связанные состояния тримера аргона 118
3.4. Выводы к третьей главе 139
Глава 4. Резонансные состояния некоторых трёхчастичных систем 141
4.1. Введение 141
4.2. Двойные резонансы атома гелия 141
4.3. Резонансы ван-дер-Ваальсова комплекса NelCl
4.3.1. Численные расчёты 149
4.3.2. Результаты для нулевого момента J = 0 150
4.3.3. Результаты для ненулевого момента J = 0 153
4.4. Резонансы ядра углерода С 160
4.4.1. Модели взаимодействий в 12С 161
4.4.2. Матричные элементы нецентральных потенциалов 163
4.4.3. Связанные и узкие резонансные состояния 166
4.4.4. Широкие резонансные состояния 172
4.5. Выводы к четвёртой главе 175
Глава 5. Рассеяние в системах нескольких частиц 177
5.1. Введение 177
5.2. Двухчастичная модель сю-рассеяния 177
5.3. Рассеяние электрона на водороде и на водородоподобных ионах
5.3.1. Постановка задачи 182
5.3.2. Модель Темкина-Поэта 184
5.3.3. Рассеяние электрона на водороде и на положительном ионе гелия
5.4. Рассеяние позитрона на водороде и положительном ионе гелия 205
5.5. Выводы к пятой главе 210
Заключение 212
Список литературы
- Представление трёхчастичного гамильтониана с комплексным вращением
- Метод Галёркина. Вычисление матричных элементов операторов
- Релятивистские и КЭД поправки к уровням энергии
- Матричные элементы нецентральных потенциалов
Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Исследование поведения квантовых систем на микроскопическом уровне является одной из актуальных задач физики. Среди прочих значительный интерес представляют различные состояния - связанные, резонансные и состояния рассеяния — в ядерных, атомных и молекулярных системах, которые во многих случаях можно рассматривать, как состояния квантовой системы нескольких тел. Задачи исследования таких состояний занимают особое место, так как сравнительно небольшое число степеней свободы делает возможным их анализ без дополнительных, плохо контролируемых, приближений. Таким образом, в рамках рассматриваемой физической модели, задача решается математически точно. С вычислительной точки зрения, однако, сложность расчётов даже для таких систем оказывается весьма велика, что требует разработки новых эффективных подходов, особенно для изучения резонансных состояний и процессов рассеяния. В дальнейшем, разработанные методы и подходы могут использоваться в качестве базы для моделей при рассмотрении более сложных систем, точное изучение которых не представляется возможным, и в качестве тестовых средств для анализа приближённых методов, разрабатываемых для таких систем.
Степень разработанности темы исследования.
Исследование связанных состояний систем трёх тел началось уже на раннем этапе развития квантовой теории. Задача на собственные значения сформулирована корректно, так что вопрос состоял в методах вычисления энергий и волновых функций. Начиная с работ Хиллераса (см. обзор в работе ]), точность вычисления спектра атома гелия быстро росла, и через некоторое время стало возможно прецизионное сравнение теоретических и экспериментальных результатов для релятивистских и квантово-механических поправок , ]. Современные вариационные методы позволяют добиться высочайшей точности при расчётах спектра кулоновских систем -], хотя для произвольных потен-
циалов точность расчётов оказывается ниже.
Другой тип состояний, представляющий несомненный интерес при изучении квантовых систем - резонансные состояния. Такие состояния имеют конечное время жизни, и обычно ассоциируются с полюсами аналитического продолжения ^-матрицы или матричных элементов резольвенты. Подробный обзор разнообразных методов определения и исследования резонансов можно найти в работах -9]. Одним из хорошо разработанных и используемых методов для определения резонансных состояний является метод комплексных масштабных преобразований (вращений). Разработка теории масштабных преобразований, математически описывающей резонансы в квантовых системах, была начата в работах Агилара и Комба ] и Балслева и Комба ]. В работе Саймона [] этот подход был использован при определении квантовых резонансов. Сейчас этот метод используется не только для теоретического и вычислительного исследования резонансов ], но и как важное средство при решении задачи рассеяния.
Корректное описание процессов рассеяния в квантовой системе трёх частиц является одной из центральных проблем в физике систем нескольких частиц. В случае нейтральных частиц эта проблема была решена в работах Л. Д. Фаддеева [, ] и С. П. Меркурьева ]. В случае систем заряженных частиц, несмотря на значительные усилия и полученные важные результаты [-], теоретическая ситуация не достигла такой степени завершённости прежде всего потому, что до сих пор равномерная асимптотика волновой функции для системы трёх заряженных частиц в континууме не известна полностью. Несмотря на сложность учёта граничных условий, метод Л-матрицы [] и ССС-метод , ] позволяют достаточно аккуратно решать определённый круг задач рассеяния.
Поскольку главной проблемой при решении трёхчастичных уравнений является именно сложное асимптотическое поведение волновой функции в координатном пространстве ], появились методы, в которых решение задачи рассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шрединге-
pa с максимально простыми граничными условиями. Впервые такой способ решения задачи рассеяния, основанный на технике комплексных вращений координат, был предложен в работе ]. Этот метод был позднее расширен на потенциалы, убывающие степенным образом на больших расстояниях ]. Цикл работ, основанных на данном подходе, привёл к возможности безмодельного описания рассеяния электрона на атоме водорода ]. Поскольку метод комплексных вращений показал свою высокую эффективность, появились работы, где такая техника применяется и для решения уравнений Фаддеева [27], несмотря на более простые граничные условия для компонент.
Цели и задачи диссертационной работы: Целями настоящей работы являются разработка единого формализма для исследования связанных состояний, резонансных состояний и состояний рассеяния трёхчастичных квантовых систем с различными типами взаимодействий, включая дальнодействую-щие кулоновские силы, и применение этого формализма для изучения квантовых систем.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:
был разработан метод расщепления потенциала для решения задачи рассеяния в системах с асимптотически дальнодействующими потенциалами, в том числе в представлении полного углового момента, и найдены выражения для амплитуд рассеяния в рамках сформулированного метода;
был программно реализован метод конечных элементов для решения комплексной системы дифференциальных уравнений, возникающей при использовании представления полного углового момента для трёхчастич-ного уравнения Шредингера;
было проведено сравнение точности и стабильности получаемых результатов на примере некоторых хорошо изученных систем;
были вычислены релятивистские и квантово-электродинамические по-
правки к уровням энергии и длинам волн радиационных переходов антипротонного гелия;
был проведён квантово-механический расчёт колебательно-вращательных уровней тримеров неона и аргона, и установлена связь статистического распределения уровней тримера аргона с видом парного взаимодействия между атомами;
был проведён квантово-механический расчёт колебательно-вращательных резонансных уровней ван-дер-Ваальсова комплекса NelCl, анализ ширин резонансов и распределения вращательных компонент комплексно-повёрнутых волновых функций;
были вычислены положения широких резонансов ядра атома углерода в рамках потенциальной модели трёх альфа-частиц, и проведено сравнение известных модельных потенциалов в рамках единого подхода;
были проведены расчёты сечений рассеяния электрона и позитрона на атоме водорода и положительном ионе гелия в рамках метода расщепления потенциала, численно исследована возможность применения только главного уравнения метода расщепления потенциала.
Научная новизна. Все положения, выносимые на защиту, являются оригинальными и основаны на результатах, полученных впервые. Разработан единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел. С использованием этого подхода решён ряд задач, основные из которых перечислены в пунктах 1-7 положений, выносимых на защиту.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют высокую научную ценность и могут быть применены для исследования процессов рассеяния в квантовых системах нескольких частиц, в особенности с кулоновским взаимодействием, и их сопоставления с резонансными состояниями этих систем. Разработанные методы и алгоритмы
могут быть применены для изучения широкого набора квантово-механических систем в ядерной, атомной и молекулярной физике.
Методология и методы исследования. В работе используются в основном асимптотические методы исследования дифференциальных уравнений и результаты, полученные в рамках метода комплексных вращений. Вычислительные методы основаны на вариационных уравнениях и методе конечных элементов.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
полная замкнутая формулировка метода расщепления потенциала для использования совместно с методом комплексного вращения. Формулировка метода в представлении полного углового момента; Определение амплитуд рассеяния в рамках метода расщепления потенциала.
-
программная реализация метода конечных элементов для решения комплексной системы трёхмерных дифференциальных уравнений, возникающей в представлении полного углового момента для уравнения Шре-дингера;
-
совместное вычисление релятивистских и квантово-электродинамических (КЭД) поправок к уровням энергии и длинам волн радиационных переходов антипротонного гелия;
-
квантово-механический расчёт колебательно-вращательных уровней три-меров неона и аргона, установление связи статистического распределения уровней тримера аргона с видом парного взаимодействия между атомами;
-
квантово-механический расчёт колебательно-вращательных резонансных уровней ван-дер-Ваальсова комплекса NelCl, анализ ширин резонансов и распределения вращательных компонент комплексно-повёрнутых волновых функций;
-
надёжное определение широких резонансов ядра атома углерода в рамках потенциальной модели трёх альфа-частиц, сравнение известных потенциальных моделей в рамках единого подхода;
-
расчёты сечений рассеяния электрона и позитрона на атоме водорода и положительном ионе гелия в рамках метода расщепления потенциала. Численное исследование возможности применения только главного уравнения метода расщепления потенциала.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах в Санкт-Петербургском государственном университете, в Стокгольмском университете (Швеция), в Международном Сольвеевском институте физики и химии (Брюссель, Бельгия), а также представлялись на различных международных конференциях и совещаниях, среди которых: XV International Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, the Netherlands, 1997), 24 International Symposium on Free Radicals (Tallberg, Dalecarlia, Sweden, 1997), Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev (St. Petersburg, Russia, 2003), International Workshop on «Resonances - From Physics to Mathematics and back» (Dresden, Germany, 2004), Annual NordForsk Network Meeting 2006 (Fundamental Quantum Processes in Atomic and Molecular Systems) (Saint-Petersburg, Russia, 2006), Международная научная конференция «Параллельные вычислительные технологии» (ПаВТ 2008) (С.-Петербург, Россия, 2008), Annual International Conference Days on Diffraction (St. Petersburg, Russia, 2009), Symposium on Quantum Resonances in Nuclear, Molecular, and Solid State Physics (Pretoria, SAR, 2010), Mathematical Modeling and Computational Physics 2011 (Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia, 2011), Russian-Ukrainian Seminar on Few-Body Problems with Strong and Coulomb Interactions (Kiev, Ukraine, 2012), 22 European Conference on Few-Body Problems in Physics (Krakow, Poland, 2013), XII Зимняя Школа по Теоретической Физике «Малочастичные системы: теория и приложения» (Дубна, Россия, 2014), LXV International Conference
on Nuclear Physics «Nucleus 2015» (St.Petersburg, Russia, 2015), Mathematical Modeling and Computational Physics 2015 (Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia, 2015), International Workshop on Few-Body Systems, dedicated to the memory of Vladimir Belyaev (Dubna, Russia, 2016), 23 European Conference on Few-Body Problems in Physics (Aarhus, Denmark, 2016), International Conference «Nuclear Theory in the Supercomputing Era 2016» (Khabarovsk, Russia, 2016).
Публикации.
Материалы диссертации опубликованы в 39 печатных работах в рецензируемых журналах [А1-А39], из них 35 работ в изданиях, индексируемых базами данных "Web of Science" или "SCOPUS", и 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 248 страниц, из них 213 страниц текста, включая 48 рисунков. Библиография включает 302 наименования на 28 страницах.
Представление трёхчастичного гамильтониана с комплексным вращением
Особая роль разложения по D-функциям была понята и использована достаточно давно [70-72], однако недостаточные вычислительные ресурсы долгое время не позволяли непосредственно решать получающиеся уравнения. Применяемые же дополнительные аппроксимации делали преимущество конечности разложения не столь очевидным. В современных условиях, доступность вычислительных ресурсов позволяет удобно работать с получаемой конечной системой уравнений. Использование разложения исходного уравнения noD-функциям Вигнера позволяет аккуратно сформулировать и решить задачу на поиск связанных состояний трёхчастичных систем.
Однако, изучение свойств квантовых систем нескольких частиц не ограничивается изучением связанных состояний. Ещё один тип состояний, наблюдающийся в природе и эксперименте - резонансные состояния. Такие состояния возникают практически во всех областях квантовой физики: в атомной, молекулярной и ядерной физике, в физике элементарных частиц и физике твёрдого тела. Резонансные состояния подобны связанным состояниям, но имеют конечное время жизни, как правило, превосходящее характерные времена процессов, происходящих в рассматриваемой системе. Эти состояния обычно ассоциируются с полюсами аналитического продолжения б -матрицы или матричных элементов резольвенты. Физически мотивированная формула Брейта-Вигнера [74] связывает резонансное состояние с энергией Е с пиком в сечении рассеяния при той же энергии Е, однако дать корректное математическое описание резонанса на этом пути чрезвычайно сложно.
Необходимо подчеркнуть, что резонансы системы, описываемой гамильтонианом Н, не соответствуют непосредственно никаким спектральным свойствам самосопряжённого оператора Н. Однако известно [7, 75], что полюса аналитического продолжения матричных элементов резольвенты совпадают с собственными значениями некоторого несамосопряжённого оператора, полученного из Н, см. 1.3.1.
Подробный обзор разнообразных методов определения и исследования ре зонансов можно найти в работах [7-9]. Само количество этих подходов и методов говорит о том, что проблема ещё не имеет своего окончателвного, общепринятого решения. Однако, для отделвнвіх типов задач, еств методы, которвю не толвко обоснованві математически, но и зффективнві с прикладной точки зрения. Именно таким методом является метод комплекснвгх масштабнвіх преобразований (вращений).
Разработка теории масштабнвіх преобразований, математически описвіва-ющей резонансві в квантоввгх системах, бвіла начата в работах Агилара и Ком-ба [10] и Бал слева и Комба [11]. В этих работах метод комплекснвгх масштабнвіх преобразований бвіл применён для доказателвства отсутствия сингулярного спектра соответственно для двух- и TV-частичного операторов Шредингера. В работе Саймона [12] этот подход бвіл исполвзован при определении квантоввіх резонансов. Современное состояние теории комплекснвгх вращений позволяет не толвко получитв строгие математические резулвтатві о положении резонанс-НВІХ состояний квантовой системві для достаточно произволвнвгх отображений координат в комплексную областв, но и конструктивно исполвзоватв развитую теорию для осуществления ввічислений. Кроме того, метод комплекснвгх вращений может исполвзоватвся и для решения задачи рассеяния.
Собственно задача рассеяния является наиболее сложной, но одновременно и важной, задачей в нерелятивистской квантовой механике несколвких частиц. Разнообразие возможнвгх процессов позволяют изучитв взаимодействие частиц на разнвіх расстояниях (энергиях) и в различнвгх состояниях, предоставляя множество эксперименталвнвгх даннвіх. Оборотная сторона такого разнообразия -сложноств теоретического описания и численного моделирования соответствующих процессов. Особенно ярко все плюсві и минусві проявляются при наличии кулоновского взаимодействия, являющегося определяющим в атомнвгх и моле-кулярнвгх системах, и оченв важнвім - в ядернвгх.
Методві решения задачи рассеяния для системві двух частиц, в том числе с кулоновскими взаимодействиями, хорошо разработанві [76]. Однако, попвітки перенесения таких методов на системы трёх и большего числа частиц не всегда приводят к успеху. Впервые математически корректная постановка задачи рассеяния для трёх частиц с короткодействующими взаимодействиями была получена в работах Л. Д. Фаддеева [14, 15], открывших новое направление в теоретической и математической физике. Переформулировка уравнений Фаддеева из интегральных в дифференциальные уравнения в конфигурационном пространстве позволила СП. Меркурьеву описать задачу рассеяния, включая корректные граничные условия для компонент Фаддеева, и для системы заряженных частиц [16, 18-20]. Знание асимптотического поведения для компонент позволяет найти и существенно более сложное асимптотическое поведение для полной волновой функции системы.
Несмотря на корректную математическую постановку, главной проблемой при решении трёхчастичных уравнений является именно сложное асимптотическое поведение волновой функции в координатном пространстве [16]. По этой причине в последнее время возрос интерес к методам, в которых решение задачи рассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шредингера с упрощёнными граничными условиями (в идеале - тривиальными). Один из подобных подходов основан на отмеченном выше методе комплексных вращений [24, 25, 45], см. раздел 1.3. Это преобразование превращает расходящуюся волну в экспоненциально убывающую функцию. Тем самым, если задача рассеяния переформулирована таким образом, что асимптотическое граничное условие описывается расходящейся волной, то применение к ней преобразования комплексного вращения превратит эту задачу в задачу с нулевыми граничными условиями.
Метод Галёркина. Вычисление матричных элементов операторов
Правая часть уравнения (1.71) для Ч/f имеет структуру, совершенно аналогичную правой части только что рассмотренного уравнения. Отличие состоит в потенциале: вместо внутреннего потенциала VR используется обрезанный потенциал h(R - уа) (Уд(ха, Уа) - VcR(ya) ) , R R. (1.87) Этот потенциал тоже является финитным, но поскольку R R, то функция Фс(УаіРА0) требуется и в области yQ R, так что необходимо пользоваться обоими представлениями в разложении (1.69). Фактически, отличие состоит в замене функции aR j\(paya) в уравнении (1.84) на другую явно заданную функцию на интервале [R, R ]. Что касается правой части уравнения (1-74) дляФі, то она не требует дополнительного анализа, так как в правой части стоит функция Фд, которая определена как решение уравнения (1.71) и, тем самым, изначально задана в виде коэффициентов разложения по D-функциям.
Теперь, когда имеются представления в базисе симметризованных!)-функ-ций Т мм1 Для гамильтониана системы (1.22) и правых частей в уравнениях (1.74, 1.71), для которых выполнены условия применимости внешнего комплексного вращения, можно применить преобразование U (1.32) по коорди натам ха, уа. Вообще говоря, радиусы вращений могут различаться, однако в исследованных приложениях они были выбраны одинаковыми, так что в дальнейшем будет использоваться одно значение Q для обеих координат, причём требуется Q R для уравнений (1.74), и Q В! для уравнения (1.71). Эти три уравнения имеют одинаковую структуру оператора (отличие только в потенциале), но различаются правыми частями. Например, краевая задача для функции [0]м имеет вид Ем =0 {НмМ, - Е5мм ) U1 U [0] , = -U \VR [?ЦМ] , \ U [0]М ограничена во всём пространстве, (1.88) для всех М = 0,... , J. Последнее условие при переходе к численной аппроксимации записывается в виде [0]м (Яmax, Уа, 0 а) = [0]м (Xa,Rmax,Oa) = 0 при некотором выбранном параметре Лmax Q- Важно отметить, что выбранное комплексное вращение не изменяет функцию [0]м в области ха уа Q. Задача (1.88) является замкнутой и может быть решена без привлечения дополнительных соображений.
При использовании метода комплексного вращения для решения задачи рассеяния, полное решение задачи становится двухшаговой процедурой. На первом шаге, решаются неоднородные уравнения (1.88) и строится волновая функция (1-75) в области ха,уа Q. Решение уравнений осуществляется с помощью метода внешних комплексных вращений, т.е. используются нулевые граничные условия на бесконечности. Тем самым, знания амплитуд допустимых процессов рассеяния не требуется. На втором шаге, по уже построенной волновой функции в области ха,уа Q, находятся амплитуды рассеяния, отвечающие интересующим нас процессам.
Можно выделить два класса методов, позволяющих найти амплитуды про цессов рассеяния по построенной функции рассеяния: интегральные и асимптотические. Первые представляют амплитуды как линейные формы (интегралы) от волновой функций по всему конфигурационному пространству системы, или, по крайней мере, по его существенной части. Достоинством таких представлений является их более высокая точность и стабильность, а недостатком - большая трудоёмкость вычисления соответствующих форм. Кроме того, особенно в случае кулоновских взаимодействий, не для всех амплитуд можно получить сходящиеся интегральные представления. Асимптотические методы определения амплитуд строятся на сравнении построенной волновой функции и некоторой известной асимптотической функции (например, представления (1.54)). Такие функции, используемые сравнения, называют ещё пробными функциями [69]. Они, как правило, требуют знания волновой функции лишь на некотором подмножестве, положительной коразмерности, исходного конфигурационного пространства. Таким образом, достоинством этих методов является вычислительная эффективность. С другой стороны, точность и стабильность (по отношению к параметрам численной аппроксимации) такого подхода, как правило, оказывается ниже. Это часто приводит к необходимости определять волновую функцию в более далёкой, по сравнению с интегральными методами, области конфигурационного пространства. В развиваемом в данной работе подходе, это означает выбор больших значений Q.
Для двухчастичной задачи оба типа методов могут быть легко построены, в том числе для кулоновского взаимодействия. Соответствующие формулы и сравнение точности подходов можно найти в работах [45, 50, 56]. Для трёхча-стичного рассеяния, будут использоваться асимптотические методы. Поскольку волновая функция вычисляется в области ха,уа Q, а для применения таких методов необходимо её сравнение с асимптотическим поведением (1.54), Q должно быть достаточно велико для того, чтобы волновая функция хорошо описывалась своей асимптотикой на таких расстояниях.
Релятивистские и КЭД поправки к уровням энергии
Вычислительные эксперименты по исследованию связанных состояний различных квантовых систем показывают, что сходимость по угловой переменной приближенных решений к точным является недостаточно быстрой. Гибкость ко-нечноэлементного подхода, однако, позволяет создать комбинированный метод, совмещающий МКЭ по пространственным переменным ха, уа, и спектральный метод [126] по переменной ва.
Разложим компоненты волновой функции Ф , как функции угла 9а, в ряд по сферическим гармоникам с нулевым вторым аргументом: s+Ne-l s+Ne-l 1 FEM] T{ха,уа, ва) = 2 фр(х х,Уа)Урз{0а,О) = Ф {ха, ya)DpsPp(cosва). p=s p=s (2.22) В последнем уравнении использован факт пропорциональности таких сферических гармоник присоединённым полиномам Лежандра Ps(cos#a): 2p + l (p- s)\ 47Г (p + s)! ра(ва,0) = DpsP;(cos9a), Dps = J FA_ )F , []. (2.23)
При выборе такого разложения для компонент, граничное условие (1.26) выполняется автоматически. Нужно отметить, что количество элементов разложения для каждой из компонент одинаково, но разлагаются эти компоненты по разным наборам функций, т.е. базисные функции зависят от номера компоненты. При подстановке разложения (2.22) в уравнение (1.22), получается следу ющая бесконечная система двумерных дифференциальных уравнений:
Матричные элементы потенциалов V (х,у) могут быть просто вычислены для потенциалов, зависящих только от расстояний между частицами. Для этого разложим полный потенциал V{x y 9) в ряд по полиномам Лежандра от косинуса угла в: 2/ + 1 і d cos 0V(x, у, 6)Pi(cos в). (2.26) V{x,y,0) = 2Vi{x,y)Pi{cos0), где Vi{x,y) /=0 Тогда вычисление матричных элементов Vd (х,у) сводится к вычислению интегралов V (x,y) = 2w 2Vi(x,y) dcoseYks(e,0)Pl(cose)Yps(e,0). (2.27) 1=0 Для вычисления этих интегралов, воспользуемся дважды представлением для произведения сферических гармоник [79]: Yhmi(e,0)Yhm2(e,0) = J2 L (2/l + 1)(2/2 + 1) nL0 nLmi+m2V ґп гл\ УI-1OI2O Іі ГПіІ2 ГП2 4?r(2L + i; (2.28) Сумма в данном представлении конечна в силу треугольного свойства коэффициентов Клебша-Гордана.
Нужно отметить, что представление (2.28) приводит к обобщению хорошо известной формулы для произведения полиномов Лежандра [98] на присоединённые полиномы Лежандра: C(u)iT(u) = E A?iri" ""(и), L где hhL V 4TT(2L + 1) DhmiDhm2 b h iimihm2 Используя соотношение (2.28) для P/(cos#)l s(#,0), и свойство ортогональности, найдём для интеграла следующее значение: йсо8вка(в,0)Р1(со8в)ра(в,0) = і- ±іс СЙ,в. (2.29) -і Таким образом, матричный элемент (2.25) может быть записан в виде: Vip{x,y)= J2 Vi( y)\l CioPoC s. (2.30) i=\k-P\ Важно, что для фиксированных значений индексов s, к и р сумма в полученном выражении содержит конечное число слагаемых, следовательно, в вычисления не вносятся дополнительные погрешности. Если в разложении (2.22) используется NQ слагаемых, то для вычисления всех матричных элементов по формуле (2.25) требуется вычисление NQ(NQ + 1)/2 интегралов по угловой переменной для фиксированных ж, у для каждой компоненты s. При использовании представления (2.30), общее требуемое количество угловых интегралов равно 2{NQ + s) - 1, причём эти интегралы не зависят от номера компоненты. В реальных применения, NQ 1 И NQ s, в этом пределе количество вычислений угловых интегралов сокращается примерно в NQ/A раз, причём их можно вычислять один раз, а не для каждой компоненты волновой функции отдельно.
Для произвольного потенциала, разложение (2.26) должно быть получено с помощью численного интегрирования. Однако, для некоторых специальных типов потенциалов может быть найдено аналитическое представление коэффициентов Vi(x,y). Например, такое представление может быть получено для важного случая парного кулоновского взаимодействия, функциональная часть которого равна
Такое представление существенно увеличивает как скорость, так и точность вычисления матричных элементов кулоновского потенциала.
В рамках МКЭ доступны оценки погрешностей как для решений уравнений, так и для их производных [109]. Рассмотрим семейство регулярных аффинных конформных элементов с максимальным диаметром элемента h, включающее все произвольные полиномы степени не выше р. Предположим также, что каждая компонента точного решения Ф уравнения (2.1) обладает достаточной гладкостью, а именно принадлежит пространству Соболева Нр+ (Q). Тогда при выполнении некоторых дополнительных, естественных в рассматриваемом случае предположений [109], существует такая не зависящая от h постоянная С, что
Ф " ФгЕМІкп Chp+1-r\V\p+l г = 0,1. (2.32) Здесь FEM дискретное решение, \\r,n норма в векторном по индексу компонент пространстве НГ(Г2), а р+і,п - полунорма порядка р + 1 в таком же пространстве Ир+ (Q). Оценка (2.32) является априорной, то есть позволяет найти оценку погрешности без знания дискретного решения FEM- При этом она неконструктивна в том смысле, что вычислить (и даже оценить) её правую часть не представляется возможным. Однако на основе формул такого типа можно построить апостериорные оценки погрешностей [127], которые уже являются конструктивными.
Матричные элементы нецентральных потенциалов
Из-за присутствия сильного компенсационного эффекта, существенные поправки к уровням энергии могут возникнуть благодаря слагаемым, следующим по порядку постоянной тонкой структуры а. Основная такая поправка возникает из-за лэмбовского сдвига порядка о? log - [3]. В предположении независимости взаимодействия электрона с электростатическими полями, создаваемыми Не++ и р, полный лэмбовский сдвиг можно оценить как сумму двух слагаемых з \- /\ + s g% у (ЗЛ2) где, по аналогии с обычным атомом гелия [3], принято Ko/Z2=19.77 Ry. Точное значение может отличаться из-за отталкивания в р-е подсистеме, однако отличие оценено не более чем в 5% [3]. Это неопределённость дополнительно уменьшается за счёт того, что вычисления показывают (6(г 12)) ;[о( (г2з)) для всех уровней антипротонного гелия.
Вычисленные значения поправок AE j для обоих изотопов антипротонного гелия приведены в таблице А.7 приложения А, а поправки для (2, J) состояний р 4Не+ изображены также на рисунке 3.4. Сравнение AE j и AEJJ показывает, что для всех уровней AE j « \AE f\ Таким образом, с учетом достигнутой на момент исследования экспериментальной точности, рассмотрение обеих этих поправок стало необходимо для прецизионного сравнения теоретических и экспериментальных значений. Полученные значения релятивистских и КЭД поправок дают дополнительную возможность сравнить волновые функции двух изотопов. Известно [157], что интеграл перекрытия между волновыми функциями (г , J3) и (г , J4) состояний примерно равен единице. Однако, значения, определённые в (3.11) и (3.12) содержат более чувствительные матричные элементы, тестирующие структуру волновой функции лучше, чем просто интеграл по всему конфигурационному пространству. В таблице 3.2 можно видеть, что релятивистские и КЭД поправки хорошо согласуются для двух изотопов с соответствующими значениями.]% и J4. Несмотря на большой компенсационный эффект, итоговые значения различаются не более чем на 1-2%.
Длины волн радиационных переходов
В таблице 3.3 некоторые экспериментально известные длины волн главных радиационных переходов (г , J) — (г , J — 1), а также полученные здесь теоретические результаты и результаты других авторов. Приведены как кулоновские значения, так и значения с учётом релятивистских поправок. Кулоновские значения отличаются от экспериментальных на 0.02-0.03 нм, что делает релятивистские эффекты хорошо видимыми. В силу требуемой точности, в дальнейшем для сравнения релятивистских эффектов с экспериментальными данными использованы результаты для кулоновских значений из работы [5], как обладающие более высокой точностью. Добавление релятивистских поправок (3.11) (и некоторых других, не изменяющих результат в пределах показанной точности) к уровням энергии в работе [173] существенно улучшило согласованность теории и эксперимента, хотя и не устранило её полностью. Нужно, однако, отметить, что часть экспериментальных результатов, цитированных в [174], получена при ненулевом давлении гелиевого газа в мишени. Как было впервые отмечено в работе [154], наблюдается зависимость длин волн от давления газа мишени: 529.621 нм при 1.0 бар и 529.623 нм при 1.3 бар. Другие экспериментальные значения [147, 150, 155]) также подвержены этому эффекту, так что измеренные длины волн должны быть приведены к нулевому значению давления для сравнения с расчётами. Позднее точность некоторых измерений была существенно повышена [156], и разница между ними и расчётами с релятивистскими поправками оказалась идентифицируемой. Вычисленные здесь значения, в которых учтены релятивистские (3.11) и КЭД (3.12) поправки, совпадают с этими высокоточными измерениями в пределах единицы младшего разряда. На момент представления, эти значения длин волн были наиболее близки к правильным экспериментальным длинам. Дальнейшее уточнение теоретических расчётов потребовало систематического учёта следующих слагаемых гамильтониана Брей-та [3, 175] и КЭД поправок, как было проделано, например, в работе [6]. Такое исследование находится вне рамок данной работы.