Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Оптика планарного холестерического слоя 14
I. Двухволновое приближение динамической теории дифракции 15
2. Поляризационные характеристики и дисперсия собственных волн в области селективного отражения 17
3. Оптические характеристики планарного слоя 22
ГЛАВА 2. Оптические свойства несовершенных холестериков 33
I. Методы расчета оптических характеристик несовершенных холестериков 34
2. Брегговское рассеяние и деполяризация света в несовершенных холестериках 42
ГЛАВА 3. Дифракционная оптика киральных смектиков с большим шагом спирали 51
1. Дифракция "вперед" в киральных смектиках (основная система уравнений) .52
2. Первый порядок дифракции 57
3. Второй порядок дифракции 61
4. Оптические свойства киральных смектиков с большим шагом спирали 63
ГЛАВА 4. Электрооптика холестериков с болышш шагом спирали 68
I. Дифракция "вперед" в холестеринах с болышш шагом спирали 69
2. Метод медленно меняющихся амплитуд 72
3. Оптические свойства планарного слоя холестерика с большим шагом спирали 77
ГЛАВА 5. Оптика голубой стазы холестерпческих жидких кристаллов 86
I. Симметрия и тензор диэлектрической проницаемости голубой фазы 87
2. Динамическая теория дифракции света в голубой фазе 94
3. Определение структуры голубой фазы по её оптическим характеристикам 98
Литература 105
- Поляризационные характеристики и дисперсия собственных волн в области селективного отражения
- Брегговское рассеяние и деполяризация света в несовершенных холестериках
- Первый порядок дифракции
- Метод медленно меняющихся амплитуд
Поляризационные характеристики и дисперсия собственных волн в области селективного отражения
Важное значение в описании оптических свойств холесте-риков имеют поляризационные свойства собственных решений. Они определяются свойствами холестерика и геометрией дифракции, и на их основании могут быть объяснены многие поляризационные зависимости селективного отражения.
В общем случае поляризация собственных волн оказывается эллиптической, зависит от направления распространения и существенно изменяется как в области селективного отражения (где корни уравнения (1.4) у. - комплексные), так и вне её. Полный анализ поляризационных характеристик достаточно сложен и фактически требует использования численных расчетов. Тем не менее удается выявить некоторые достаточно общие зависшлости поляризационных свойств.
Проанализируем поляризационные свойства собственных решений при различных углах между направлением распространения и холестерическои осью, в зависшлости от параметра отклонения от условия Брегга.
Вид приведенной зависимости от безразмерного параметра А определяется геометрией дифракции и не зависит от анизотропии и средней диэлектрической проницаемости холестерика. Для фиксированного направления распространения поляризационные характеристики с учетом конкретного значения Z и Г могут быть вы-J ражены с помощью графиков на рис.1Л л аналогичных графиков для других углов через отклонение от условия Брегга по частоте при постоянном 0 , или через отклонение от условия Брегга по углу при постоянной частоте по следующим формулам: (1.8) А 2(в -&s)S,n2&6 / ( +$ »%) , 5,»&g - Т/2 ге Вне области селективного отражения в собственных решениях, представляющих собой суперпозицию двух плоских волн, оказыва -j» _ . — - ется большой амплитуда только одной волны (\ оі\»(Ея\ І сг\»Ш)t причем её поляризация линейная (соответствующие параметры на рис.1.1 и рис. 1.2: o(cl , oZ , « , poz ). Вторая плоская волна в собственном решении обладает эллиптической поляризацией (ее параметры о(оъ, oColi , р03 , /Ц ), и оказывается относительно малой (\Т0$\« Fi3; luj« EjJ ) Таким образом, оптические свойства холестерика вне области селективного отражения определяются волнами с линейной поляризацией.
Следует отметить, что рассмотрение поведения поляризационных характеристик в области селективного отражения для направления распространения близкого к направлению холестери-ческой оси1-в показывает, что поляризация собственных волн оказывается круговой, и незначительно изменяется в области селективного отражения.
Анализ поляризационных свойств собственных решений в области селективного отражения упрощается в случае малых ут-лов 9 В этом случае область селективного отражения разделяется на три несвязанных участка, а поляризации волн оказываются практически линейными. В центральном участке (4 й 1/4) поляризациями собственных волн оказываются Я" и линейная поляризация под углом ot aicdflw к (Г . в крайних участках поляризация собственных волн (Ґ и Т . Как будет видно из дальнейшего знание поляризации собственных волн и их частотной дисперсии существенно облегчает исследование оптических характеристик холестериков. В частности, например, экспериментально наблюдаемая частотная зависимость коэффициентов отражения и прохождения света с фиксированной поляризацией в области селективного отражения обусловлена частотной зависимостью поляризаций собственных волн. Помимо этого, по частотной дисперсии собственных волн, которая в образцах клиновидной формы также наблюдается экспериментально, могут быть рас-читаны средняя диэлектрическая проницаемость а и анизотропия диэлектрической пронщаемости S" . Если свет распространяется вдоль холестерической оси (или под малыми углами к ней), то показатели преломления nOL , псг. циркулярно поляризованных собственных волн Еоі_ і Есг. связаны с и S" следующими отношениямию
Используя эти соотношения, в работе [99] по измеренной температурной зависимости r\oi , п02 и шага спирали были расчита-ны температурные зависимости и . Отметим, что анализ оптических характеристик планарного холестерического слоя, который проводится ниже, в существенной мере основывается на знании поляризационных свойств и дисперсии собственных волн.
Рассмотрим вначале планарный слой толщиной / , на который под углом (9е из среды с диэлектрической проницаемостью е& падает плоская монохроматическая волна. Записывая для каждой границы условия равенства тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей получим систему из восьми уравнений для определения прошедшей волны отраженной волны и коэффициентов Cj в (1.2). Общий анализ решения системы был проведен в [55].
Наиболее простым оказывается случай толстых слоев ( Я. SzZ I » 1 ). В этом случае в области селективного отра-жения происходит практически полное отражение света и с хорошей точностью оказываются применимыми результаты, относящиеся к полубесконечной среде. В полубесконечной среде из четырех решений возбуждаются только две затухающие вглубь образца волны ( J = 1,2), и анализ оптических характеристик сводится по существу к проведенному выше определению ширины области селективного отражения и определению поляризаций собственных волн ( / = 1,2) в этой области. Если слой оказывается дифракционно толстым только для одной поляризации (\%%zL\»l, ІЧДг/, І « і ) т.е. дифракционное затухание волн, возбуждаемых в холестерике значительно отличается, вклад в отражение вносит волна с большим затуханием. В этом случае максимальное селективное отражение испытывает волна, поляризация которой совпадает с поляризацией сильно затухающей волны. Если в кристалле возбуждаются все четыре собственных решения, анализ оптических характеристик усложняется и необходимо численное решение граничной задачи.
Далее приведен оптические характеристики планарного холестерического слоя, рассчитанные в двухволновом приближении динамической теории дифракции. Характеристики расчитаны для кристалла МВВА при /7 = 88С, с шагом спирали р = = 0,746 мкм, = 2.445, Ъ = 0.05. На рис.1.3 представлены зависимости коэффициентов отражения неполяризованного света и света, поляризация которого совпадает с поляризацией одной из поляризаций собственных волн EDl , f02, от частоты для различной толщины слоя. При толщине / = 15р кристалл оказывается дифракционно толстым для волны Е01 , вклад в отражение за счет волны Еог. относительно мал. Для I - 32.5/? волна также вносит вклад в отражение, благодаря чему в области полного селективного отражения появляется пик, максимальное значение которого при увеличении L стремится к единице. Осцилляции вне области селективного отражения связаны с конечной толщиной слоя.
Брегговское рассеяние и деполяризация света в несовершенных холестериках
Рассмотрим оптические свойства несовершенного холестерика на примере конкретной модели. Будем предполагать, что образец состоит из плоских монодоменных областей ориентированных преимущественно перпендикулярно, поверхности образца так, что отклонение холестерических осей в монодоменных областях от нормали к поверхности образца меньше, чем угловая ширина кривой дифракционного отражения совершенного кристалла.
Предположим также, что концентрация рассеивающих областей в слое мала, а поперечные размеры рассеивающих областей существенно меньше, чем среднее расстояние между их центрами, т.е. выполнено соотношение (2,13). В этом случае для расчета оптических свойств несовершенного холестерика можно воспользоваться методами, приведенными выше в I.
Проанализируем влияние несовершенства структуры холестерика на поляризационные характеристики прошедшего света. Наиболее сильно несовершенство структуры холестерика влияет на степень поляризации прошедшего света, графики частотных зависимостей которых приведены на рис.2.2, 2.3, 2.4, 2.5. Физическая причина деполяризации света состоит в следующем. Из-за наличия в холестерике линейного двулучепреломления поляризация как прямой, так и рассеянной волны изменяется по мере распространения в образце. А так как рассеянное и прошедшее излучение представляют собой некогерентную суперпозицию волн рассеянных (как однократно, так и многократно) на отдельных монодоменных областях холестерика, вышедший из образца луч оказывается деполяризованным, Отметим кратко качественные особенности характерные для деполяризации отраженного и прошедшего света. Деполяризация отраженного света в области селективного отражения обусловлена, по-существу, наличием в несовершенном холестерике линейного двулучепреломления. Многократное рассеивание для деполяризации отраженного света не так существенно, т.е. для деполяризации отраженного света достаточно наличия линейного двулучепреломления и однократного рассеяния. При нормальном падении света в силу отсутствия двулучепреломления деполяризация отраженного света отсутствует.
Доля многократно рассеянного света зависит от двух факторов: коэффициента отражения отдельной области и количества рассеивающих областей в образце. Как следует из проведенного выше рассмотрения, коэффициент отражения отдельной области определяется величинами % , / , A , In , оС - Если параметры холестерина S , а и угол фиксированы, то в частотных зависимостях степени поляризации отчетливо проявляется влияние несовершенства образца, т.е. размеров рассеивающих областей и их концентрации в образце. Это влияние показано на рис.2.2, 2.3, 2.4, 2.5. Графики, приведенные на этих рисунках расчитаны для различных размеров (толщины /; ) рассеивающих областей при условии, что объемное содержание холестерина в образце постоянно. Как следует из сравнения приведенных зависимостей, влияние несовершенства образца проявляется не только в количественных изменениях степени поляризации прошедшего света, но и в качественном виде частотной зависимости степени поляризации.
Объясняется это влияние следующим образом. В области значительных отклонений от условия Брегга как в случае малых, так и для больших рассеивающих областей приближение частоты к и)& увеличивает долю многократно рассеянного света в прошедшем луче, и, следовательно, .степень поляризащш прошедшего луча уменьшается. Однако, если толщина h рассеивающих областей велика, то при более точном выполнении условия Брегга, т.е. при дальнейшем приближении и) к еОв доля многократно рассеянного света в прошедшем луче уменьшается из-за увеличения коэффициента отражения и, следовательно, степень поляризации возрастает. В связи с этим, частотная зависимость степени поляризации прошедшего света для образцов с большими рассеивающими областями оказывается немонотонной. Асимметрия частотной зависимости степени поляризации относительно брег-говской частоты {и)-сдв- 0 на рисунках 2.2 - 2.5) вызвана асшлметриеи частотной зависимости поляризаций собственных волн в области селективного отражения (см.Гл.1).
В заключение отметим, что выявленные особенности оптических свойств несовершенных холестериков должны также наблюдаться в несовершенных смектиках, псевдокапсулированных холе-стерических пленках и в других поликристаллических образцах киральных кристаллов. Полученные результаты могут быть также полезны в экспериментальных исследованиях оптических свойств "фоговой фазы" холестериков и водно-солевых растворов ДНК. Причем в последнем случае, целесообразность пршленения данных методов оправдывается тем, что с одной стороны, существуют принципиальные трудности в получении совершенных структур в этих растворах, а с другой стороны, расчет оптических характеристик и тем более решение обратной задачи рассеяния не представляется возможным для произвольной -модели несовершенства получаемых структур. Поэтому сопоставление измеренных и рас-читанных оптических характеристик для растворов ДПК малой концентрации в условиях ориентирующего влияния внешнего электрического (или магнитного) поля позволило бы существенно прояснить происходящие там явления. До настоящего времени основное внимание в экспериментальных исследованиях несовершенных киральных кристаллов уделялось исследованию частотных и угловых зависшлостеи коэффициентов отражения несовершенных холестериков [ 24 - 25, 66 - 67] и псевдокапсулированных хо-лестерических пленок Г 69]. Деполяризация света в несовершенных киральных кристаллах экспериментально пока еще мало изучена.
Первый порядок дифракции
Рассмотрим решение системы (3.9) в условиях, когда реализуется первый порядок дифракции "вперед", т.е., когда частота падающего света to и угол между направлением распространения и оптической осью таковы, что условие (3.1) выполняется при И. = І. Б этом случае система (3.9) принимает вид: сів _ г, л -2 Ч/ (ЗЛІ) ГДЄ /і -=г і У — L ч - 58 кг = (it + U )/2. Система (3.II) представляет собой систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Решения этой системы имеют вид блоховских волн ЛАС t hf п Ає,і lmf IT А=Є ЪЛпе , В=е. Гпе. (3.13) /? Далее, используя различные приближения, рассмотрим решение системы (3.II) в случаях, когда угол наклона директора мал и величиной ъ\ -% монно пренебречь по сравнению с единицей и когда угол ) нельзя считать слишком малым и необходимо учитывать в решении члены порядка 5тг@ Малые утлы наклона директора Если угол наклона директора мал, то для амплитуд гармоник в (3.12) выполняются неравенства 1Я»1р 1Я»1#1 »+ (ЗЛ4) В этом случае высшие гармоники с п О в (3.13) также пренебрежимо малы по сравнению с А0 и В0 и, следовательно, справедливо двухволновое приближение. Подставляя (3.13) в (3.II) и пренебрегая при этом гармониками Ah , Bh , h. Ф О, получаем , (3.15) //їв Во в = Де є - 59 -Из условия разрешимости этой системы находим (во) _ АІ±УІ . t А __ „о 6 (ЗЛ6) Таким образом, поле в кристалле представляет суперпозицию собственных волн Коэффициент dL имеет смысл коэффициента дифракционного взаимодействия или,по аналогии с дифракцией рентгеновских лучей, амплитуда рассеяния. Если = 0 рассеяние отсутствует и собственные волны (3.17) соответствуют обыкновенной и необыкновенной волнам, распространяющимся в одноосном кристалле под углом к оптической оси. Параметр д± характеризует отклонение по частоте о или по углу U от точного условия дифракции первого порядка 1(Гь - / = 1/2. Зависимость us от частоты при фиксированном угле оС дается выражениями а зависимость от угла при фиксированной частоте « (-&пгЧ$зк+ ) (ЗЛ9) Проанализируем поляризационные свойства собственных волн (3.17). Поляризацию каждого из них можно представить в виде - 60 fi h , -fi-,/ = «
В области дифракции ( \Ai\ idej ) поляризация собственных волн оказывается зависящей от параметра А±. Эта зависимость сводится к изменению соотношения между (Г и т компонентами, т.е. к изменению f (рис.3.2). Вне области дифракции ( \Ai\» l i-l ) поляризация собственных волн приближается к линейной. В решение собственные волны (3.17) входят с различ-ними фазовыми множителями ( е 1 ). В силу этого поляризация произвольной волны, представляющей суперпозицию собственных волн, периодически меняется с координатой у из-за дифракционных биений между собственными решениями. В частности, например, если при = 0 поляризация волны « У.
Из (3.21) следует, что период дифракционных биений определяется величиной \/± (см. (3.16)) и шлеет резонансную зависимость от частоты и) и угла оС между направлением распространения и оптической осью. Дифракционные биения приводят к тому, что поляризация волны (3.21) оказывается эллиптической, причем отношение и угол поворота эллипса поляризации зависят от координаты ъ . В частности, при точном выполнении условия дифракции ( А± =0) для угла J- , определяющего отношение осей (-Л t = g/o ) и угла поворота осей эллипса поляризации у тлеем.
Отметим интересную особенность изменения поляризации волны (3.21) с координатой следующую из выражений (3.22). Б точках 2 = гц р , т.е. после прохождения волной целого числа
Гц витков спирали, поляризация волн оказывается линейной, а угол поворота плоскости поляризации относительно первоначального направления пропорционален числу витков спирали п,:
Большие углы наклона директора Выше, решая систему (3.II), мы ограничились в (3.13) двумя гармониками А0 и В0,и получили решение справедливое для малых углов Q , когда величиной sm2 по сравнению с единицей можно пренебречь. Для того, чтобы учесть в решении системы (3.IX) члены пропорциональные si п2 достаточно в первом порядке теорші возмущений учесть высшие гармоники ( Г( ф 0) в (3.13).
Рассмотрим подробнее, как дифракционное рассеяние "вперед" проявляется в оптических свойствах плоскопараллельного слоя кирального смектика с большим шагом спирали, в частности, в коэффициентах прохождения смектического слоя.
В общем случае, записывая условие равенства тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границах слоя, получаем систему из восьми уравнений, из которой находятся амплитуды отраженной и прошедшей волн. Не выписывая общих выражений для коэффициентов отражения и прохождения, проанализируем подробно частотные и угловые зависимости коэффициентов прохождения волн с различной поляризацией в случае, когда диэлектрическая пронщаемость внешней среды и средняя диэлектрическая проницаемость смектика совпадают, и, следовательно, отраженной волной можно пренебречь.
Метод медленно меняющихся амплитуд
Система (4.7) является системой связанных между собой уравнений Матье [105]. В рассматриваемом нами случае дифракционного взаимодействия волн, распространяющихся в одном направлении, при условии, что угол падения не слишком мал, т.е.
Таким образом, пренебрежение малой величиной 6 /ё позволяет свести задачу к решению систем дифференциальных уравнений (4.12), описывающих дифракционное рассеяние между волнами , Ег » фазы которых имеют периодическую зависимость от координаты вдоль оптической оси j . Учитывая, что в области дифракционного рассеяния Эе 1/2, решение системы (4.12) может быть получено по теории возмущений. Во втором порядке теории возмущений (т.е. пренебрегая третьей и более высокшли степенягли эе ) получаем собственные решения системы (4.12).
В частности, при 4-0 поляризация собственных решений близка к круговой, а при \л/ \ I - к линейной. В силу того, что фазовые множители ) , ) зависят от частоты, частотная зависимость коэффициента дифракционного взаимодействия м оказывается немонотонной. Начиная с некоторых частот, коэффициент дифракционного взаимодействия уменьшается, обращаясь в ноль на частоте и) 0 , определяемой только углом о( между направлением распространения и оптической осью. Как будет ясно из дальнейшего, именно эта область углов и частот сд , в которой коэффициент дифракционного взаимодействия мал, оказывается наиболее интересной для исследования. Подчеркнем, что, т.к. в интересующей нас области ей t 1/2, то в решении системы (4.12) можно ограничиваться вторыгл приближением теории возмущений по зе .. Если же g & 1/2, что имеет место при малом двулучепреломлении (т.е. когда угол о и величина двулучепреломления малы), то второго приближения может оказаться недостаточно. Однако, в этом случае из-за того, что коэффициенты м , А, и 6Н становятся большими, резонансные свойства решения слабо выражены и менее интересны для исследования.
Отметим некоторые общие свойства решения в предельных случаях. Переходя формально к пределу ц) « о в (4.14), получим решение вне области дифракционного рассеяния, которое, если разложить функции Бесселя в ряд по малому аргументу, с точностью до непоперечных компонент поля совпадает с полученным ранее flO, 62]. В пределе У» ti P » т.е. в пределе Мо-гена, как нетрудно убедиться, решением системы (4.II), (4.12) являются линейно поляризованные волны, плоскость поляризации которых следит за ориентацией директора. Однако решение (4.14) этот предельный переход не описывает, т.к. он осуществляется через последователь ность резонансных областей, определяемых условием - = /2Т , 7 = 2, 3... Подчеркнем, что в решении (4.14) высшие гармоники (Х , У , ГІ 4 0) в общем случае нельзя считать пренебрежимо малыми по сравнению с Х0, У0. Это является следствием периодической зависимости от координаты h фаз волн Ее иЕг , между которыми происходит рассеяние. Если же, как например, в пределе большого линейного двулучепреломления, такая зависимость отсутствует, т.е. \) = 0, 3. = 0 в (4.9), то в области резонансного рассеяния: Х 0і х0, 1УМ0«: 1 , и решение (4.14) аналогично решению, полученному в двухволновом приближении динамической теории дифракции для киральных смектиков с большим шагом спирали и с малым утлом наклона молекул к оптической оси [98].
Найдем выражение для коэффициентов прохождения линейно поляризованного света через планарный холестерический слой, проанализируем их частотную зависимость, а также рассмотрим влияние на эту зависимость внешнего электрического поля. Наиболее простыми выражениями оказываются, если средняя диэлектрическая проницаемость холестерика и внешней среды совпадают, а холестерический слой содержит целое (или полуцелое) число витков спирали (т.е. директор на границах слоя ориентирован одинаково, например, по X или по У, си.рис.3.1).
Общий вид зависимости коэффициента прохождения % . от приведенной частоты и) представляет собой асимметричную резонансную кривую (рис.4.2). Ширина огибающей резонансной кривой пропорщюнальна коэффициенту дифракционного взаимодействия н . Параметр д характеризует отклонение частоты и) от резонансной частоты сдР » определяемой из условия А (и) ) =0 (рис.4.1). Асимметрия огибающей определяется параметром / .
Подчеркнем, что формулы (4.16) и (4.17), а также входящие в них л, , 2 и 1 получены в рамках многоволновой теории дифракции, т.е. в собственных решениях (4.14), представляющих собой блоховские волны учитывается одновременно много волн, а не две, как это делается в двухволновом приближении динамической теории дифракции [50 - 57]. В связи с этим появляются новые качественные особенности. Как уже отмечалось выше, частотная зависимость коэффициента дифракционного взаимодействия р, оказывается немонотонной, и на некоторой частоте cdi : /t () = 0» Резонансная частота ц)р , найденная из условия Л(со ) 0, оказывается меньше, чем резонансная частота, найденная в двухволновом приближении. Наличие в (4.16) и (4.17) параметра так же является следствием решения задачи в рамках многоволновой теории. В двухволновом приближении -f = 0 и общий вид частотной зависимости коэффициента прохождения f аналогичен хорошо известным в теории дифракции рентгеновских лучей "маятниковым биениям" (решение Эвальда) [50].
Переходя к анализу частотной зависимости коэффициентов прохождения при различных углах х между направлением распространения и оптической осью и в электрическом поле перпендикулярном холестерической оси, заметим, что, как изменение угла о( , так и приложение внешнего поля прежде всего изменяют величину линейного двулучепреломления. В соответствии с этим резонансная частота сд смещается.