Содержание к диссертации
Введение
1 Релятивистское течение 9
1.1 Основные уравнения 9
1.2 Постановка задачи 12
1.3 Решение одномерных уравнений 15
1.4 Ускорение плазмы 20
1.5 Регуляризация автомодельных решений вблизи оси и одномерные решения с автомдельными интегралами 22
1.6 Возможность анализа эволюции течения вдоль струйного выброса в одномерном приближении 26
1.7 Пример течения в параболическом поле 27
1.8 Модель течения в параболическом магнитном поле с непостоянной функией угловой скорости вращения . 36
1.9 Быстрая магнитозвуковая поверхность и дозвуковое течение. Случай произвольных интегралов движения . 38
2 Нерелятивистское течение 41
2.1 Основные уравнения 41
2.2 Постановка задачи 42
2.3 Доальвеновское течение 48
2.4 Сверхальвеновское течение 51
2.5 Слабо замагниченное течение 54
2.6 Регуляризация автомодельного решения вблизи оси. 55
2.7 Оценка кинетической энергии плазмы на быстрой маг-нитозвуковой поверхности 57
2.8 Невозможность многокомпонентного нерелятивистского течения 58
2.9 Влияние тепловых членов 60
2.10 Положение косой ударной волны у основания нерелятивистского струйного выброса 61
2.11 Модель струйного выброса из молодых звёзд . 65
Заключение 68
Литература 70
- Регуляризация автомодельных решений вблизи оси и одномерные решения с автомдельными интегралами
- Быстрая магнитозвуковая поверхность и дозвуковое течение. Случай произвольных интегралов движения
- Регуляризация автомодельного решения вблизи оси.
- Положение косой ударной волны у основания нерелятивистского струйного выброса
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Активность многих компактных объектов — активных галактических ядер, молодых звёзд, микроквазаров — связана с хорошо сколлимиро-ванными струйными выбросами. Общепринято, что огромную роль в таких течениях играет магнитное поле, а сами течения моделируются в рамках магнитной гидродинамики (МГД) [Blandford 1976, Lovelace 1976, Blandford & Payne 1982, Pelletier & Pudritz 1992, Heyvaerts 1996]. В окрестности активных молодых звёзд типа Т Tauri толщина струйных выбросоы составляет 10 — 100 а.е., а продольные скорости достигают нескольких сотен километров в секунду. При этом на поверхности звёзд измеряемая величина магнитного поля достигает нескольких килогаусс [Johns-Krull et al. 2004]- Кроме того, наблюдения с высоким разрешением [Bacciotti et al. 2004, Bacciotti et al. 2007] показывают систематическую асимметрию в допплеровском сдвиге поперёк джета, объясняемую тороидальной скоростью вещества в выбросе порядка 10 — 30 км/с. Все эти факты подтверждают, что механизм запуска этих джетов является магнито-гидродинамическим. При этом коллимация джета происходит довольно быстро, и уже на расстоянии примерно 50 а.е. от центральной звезды угол раскрытия джета составляет всего несколько градусов [Burrows et al. 1996].
Релятивистские джеты характеризуются также высокой степенью коллимации, а также очень большими значениями лоренц-фактора плазмы в них. Одним из вопросов в моделях релятивистских струйных выбросов является ускорение плазмы в течениях до таких высоких значений. Предполагается, что энергия, переносившаяся у основания джетов в основном электро-магнитным полем, должна трансформироваться в кинетическую энергию частиц. Несмотря на отсутствие наблюдений в непосредственной близости от нейтронной звезды, теоретические модели предсказывают в этой области существенное преобладание энергии магнитного поля над энергией частиц [Kennel & Coroniti 1984]- То же самое можно сказать и об активных галактических ядрах [Beskin et al. 2004]. С другой стороны, вдали от пульсаров наблюдения вместе с теоретическими моделями позволяют оценить величину отношения энергии плазмы к энергии электро-магнитного поля как ~ 10~3 [Gaensler 2003]. Наблюдения квазаров и активных галактических ядер также показывают, что это отношение меньше единицы [Sikora et al. 2005].
Предлагаются различные модели МГД течений для объяснения характеристик релятивистских и нерелятивистских струйных выбросов — как аналитические, так и численные [Komissarov 2007]. Трудности ана-
литического рассмотрения стационарных конфигураций магнитного поля и ускорения частиц в идеальной МГД связаны с решением нелинейного уравнения в частных производных Грэда-Шафранова на функцию магнитного потока Ф, имеющего, кроме того, в случае холодного течения, две особые поверхности. Существуют разные упрощающие рассмотрение этой задачи подходы. Например, рассматриваются автомодельные решения [Contopoulos 1995, Vlahakis 2004], когда удается разделить переменные, свести уравнение Грэда-Шафранова к обыкновенному дифференциальному уравнению и решать задачу численно. Однако, в этом подходе приходится жертвовать выбором функции угловой скорости вращения магнитных поверхностей Qp и, для многих автомодельных решений, регулярным поведением вблизи оси.
В качестве возможного механизма ускорения частиц рассматриваются, например, процессы перезамыкания магнитных линий [Coroniti 1990, Lyubarsky & Kirk 2001, Kirk & Lyubarsky 2001], которые, впрочем, могут объяснить только трансформацию неосесимметричной части потока вектора Пойнтинга в энергию частиц. Другой возможный процесс ускорения связан с ограничением тока, и, следовательно, появлением световой поверхности |Е| = |В| на конечном расстоянии (порядка светового цилиндра) от центрального объекта. В этом случае эффективная передача энергии и замыкание токов происходит вблизи световой поверхности [Beskin et al. 1993, Beskin & Rafikov 2000]. Для случая монопольного магнитного поля в рамках подхода осесимметричной идеальной стационарной МГД было получено неэффективное ускорение частиц за быстрой магнитозвуковой поверхностью [Beskin et al. 1998, Bogovalov 2001, Lyubarsky & Eichler 2002], на которой основной вклад в энергию даёт электро-магнитное поле. Однако, судя по всему, отсутствие ускорения в этих работах связано именно с монопольной структурой магнитного поля.
Внутренняя структура цилиндрических течений исследовалась как для нерелятивистских [Contopoulos & Lovelace 1994, Heyvaerts & Norman 2003], так и для релятивистских [Chiueh et al. 1991, Appl & Camen-zind 1993, Eichler 1993, Bogovalov 1996, Istomin & Pariev 1996, Beskin 1997, Lery et al. 1999] течений. В частности, было показано, что для постоянной угловой скорости вращения плазмы Qp невозможно получить разумное решение с нулевым полным током [Appl & Camenzind 1993], но решение может быть построено, если угловая скорость исчезает на внешней границе течения, и если давление внешней среды не нулевое [Fendt 1993, Beskin 1997]. Ещё один результат, полученный как для не-релятивистких, так и для релятивистских течений [Chiueh et al. 1991, Eichler 1993, Bogovalov 1995, Heyvaerts & Norman 2003] заключается
в том, что полоидальное магнитное поле Вр, как для релятивисткого, так и для нерелятивистского случаев, имеет следующую зависимость от расстояния от оси:
в в
" 1 I /у*< Т
' ' _1_/ ' core
Здесь
_ ^п
^core — Tin ^-. 1
a Vm — скорость вещества вдоль оси джета (7in — соответствующий лоренц-фактор). Однако в этом случае магнитный поток слишком медленно (логарифмически) растет с удалением от оси вращения, и поэтому такие решения не могут быть реализованы в присутствии внешней среды с конечным давлением.
Целью диссертационной работы является построение модели внутренней структуры релятивистских и нерелятивистских струйных выбросов в области, где коллимация уже произошла, с учетом внешней среды с конечным давлением.
Основные задачи, решаемые в диссертационной работе.
Формулировка в самом общем виде задачи о внутренней структуре релятивистских и нерелятивистских струйных выбросов и классификация их решений.
Исследование решения системы одномерных релятивистских МГД уравнений при ненулевом давлении внешней среды в применении к задаче о внутренней структуре джетов из активных галактических ядер. Определение условий, при которых в центре джета образуется более плотная сердцевина. Определение структуры магнитного поля, анализ эффективности ускорения, оценка максимального лоренц-фактора, достигаемого течением.
Исследование релятивистского сильно замагниченного МГД течения, слабо отличающегося от бессилового течения в параболическом магнитном поле. Оценка членов, связанных с полоидальной кривизной магнитных силовых линий, в уравнении баланса сил для двумерной задачи в параболическом поле.
Регуляризация релятивистских и нерелятивистских автомодельных решений вблизи оси.
Исследование решения системы одномерных нерелятивистских МГД уравнений в применении к струйным выбросам из молодых
звёзд. Определение внутренней структуры струйного выброса для нулевой температуры. Исследование возможности многокомпонентного (дозвукового в центре и сверхзвукового на периферии) цилиндрического течения. Оценка влияния тепловых членов на решение.
Построение модельной ударной волны у основания струйного вы
броса. Исследование возможности удержания нерелятивистского
струйного в выброса с параметрами, характерными для молодых
звёзд, внешним давлением порядка давления среднего галактичес
кого магнитного поля. Построение модели внутреннего строения
джета, позволяющего провести сравнение предсказаний теории с
наблюдениями.
Научная новизна работы.
В диссертации получены следующие новые результаты:
В рамках идеальной магнитной гидродинамики для релятивистского случая исследовано решение уравнений одномерной МГД для линейной зависимости интегралов движения от магнитного потока в случае слабого внешнего магнитного поля Bext < Вт[п, где Вт[п зависит от параметров задачи. Получена оценка величины магнитного потока, заключённого в центральной области течения, где магнитное поле почти постоянно. Получен закон роста лоренц-фактора плазмы с расстоянием от оси и сформулированы условия, при которых становится возможным полная трансформация энергии электро-магнитного поля в кинетическую энергию частиц. Показано, что одномерный подход позволяет исследовать эволюцию течения вдоль оси при условии, что в уравнении баланса сил членами, связанными с полоидальной кривизной магнитных поверхностей, можно пренебречь.
Решена задача о сильно замагниченном течении в параболическом магнитном поле. Найдено положение быстрой магнитозвуковой поверхности и значение лоренц-фактора плазмы на ней. Показано, что в области сверхзвукового течения в уравнении баланса сил членами, связанными с кривизной магнитных поверхностей, можно пренебречь. Для сверхзвукового течения в параболическом магнитном поле применено решение, полученной в рамках одномерной МГД, и получен закон роста лоренц-фактора плазмы в зависимости от расстояния вдоль струйного выброса.
Как в релятивистском, так и в нерелятивистском случае впервые построена простая аналитическая регуляризация автомодельных решений вблизи оси.
Получены решения уравнений МГД для цилиндрических нерелятивистских струйных выбросов в случае нулевой температуры. Показано, что в нерелятивистском случае не существует многокомпонентного (дозвукового в центре и сверхзвукового на периферии) течения. Получена точная оценка отношения кинетической энергии плазмы к энергии электро-магнитного поля на быстрой магнитозву-ковой поверхности.
Для нерелятивистских цилиндрических струйных выбросов исследован случай ненулевой температуры. Построена модель ударной волны у основания нерелятивистского струйного выброса, в которой может происходить дополнительный нагрев истекающего вещества. Показано, что нерелятивистское течение с параметрами, характерными для струйных выбросов из молодых звёзд, может быть удержано на наблюдаемых масштабах средним галактическим магнитным полем. Построена модель внутреннего строения джета, параметры которой хорошо согласуются с наблюдениями.
В диссертационной работе защищаются следующие положения:
Для сильно сколлимир о ванных течений показана возможность эффективного ускорения плазмы до практически полной трансформации энергии электро-магнитного поля в энергию частиц.
В релятивистском случае сформулированы условия существования плотной сердцевины в струйных выбросах. Определена минимальная величина продольного магнитного поля в такой сердцевине, а таксисе величина внешнего давления, при которых начинается формирование такой сердцевины.
Аналитически решена модельная задача об ускорении частиц в параболическом магнитном поле, найдена поправка к функции магнитного потока в дозвуковой области, а таксисе полосисение быстрой магнитозвуковой поверхности. Показано, что в сверхзвуковой области энергия частиц пропорциональна корню из расстояния от экватора: 7 ск л/z вплоть до достисисения максимального значения, соответствующего полной трансформации энергии электромагнитного поля в энергию частиц.
Построена модель одномерного нерелятивистского МГД течения при наличии косой ударной волны у основании дснсета. Показано, что учет нагрева плазмы в такой ударной волне позволяет построить цилиндрическую модель струйных выбросов из молодых звёзд, хорошо согласующуюся с наблюдениями.
Научная и практическая ценность работы.
В рамках идеальной МГД построена модель релятивистского струйного выброса, в которой энергия электро-магнитного поля эффективно трансформируется в кинетическую энергию плазмы. Это позволяет объяснять наблюдаемые высокие значения лоренц-фактора течений в окрестности активных галактических ядер и блазаров. Показано, что среднее галактическое магнитное поле порядка 10~6 Гс способно удерживать нерелятивистское течение с характерными для молодых звёзд параметрами на наблюдаемых масштабах. Предложенная модель нерелятивистского цилиндрического течения хорошо объясняет такие наблюдательные данные, как полоидальные и тороидальные скорости в струйных выбросах из молодых звёзд, радиус выброса и его температуру. Кроме того, предложенная модельная ударная волна в основании течения способна объяснить наблюдаемые запрещённые линии излучения, а область наблюдаемого рентгеновского излучения в джете совпадает с предсказанным положением такой ударной волны.
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на астрофизическом семинаре отделения теоретической физики ФИАН под руководством академика РАН А.В.Гуревича и на конференциях:
XLVII научная конференция МФТИ (ГУ) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, ФИАН, 26-27 ноября 2004 года, доклад "Об МГД-эффектах в бессиловом течении с параболической структурой магнитного поля".
"Astrophysical sources of high energy particles and radiation", Торунь, Польша, 20-24 июня 2005 года, стендовый доклад "Effective particle acceleration in the parabolic magnetic field".
"Физика нейтронных звёзд", Санкт-Петербург, 27-29 июня 2005 года, стендовый доклад "Эффективное ускорение частиц в параболическом магнитном поле".
"Isolated Neutron Stars: From the Interior to the Surface", London, England, 24-28 апреля 2006, доклад "The example of effective plasma acceleration in a magnetosphere".
"Challenges of Relativistic Jets", Краков, Польша, 25 июня-1 июля 2006, стендовый доклад "The example of effective plasma acceleration in a magnetosphere".
IAU Symposium 243 Star-disk interaction in young stars, Grenoble,
France, 21-25 мая 2007, стендовый доклад "The internal structure of a non-relativistic jet".
7) 51-ая научная конференция МФТИ (ГУ), Москва, ФИ АН, 29 ноября 2008 года, доклад "Ударная волна в нерелятивистском струйном выбросе".
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве в шести статьях, приведенных в конце автореферата.
Личный вклад автора.
Автор внесла решающий вклад в результативную часть диссертационной работы. Автором получено аналитическое решение для функции Л^2Ф в промежуточной области значения параметра альвеновского числа Маха на оси Л^о ~ Tin- Это решение обеспечивает линейный рост лоренц-фактора плазмы в зависимости от рсстояния от оси 7 = t_l/-Rl- Решена задача о дозвуковом сильнозамагниченном течении в параболическом магнитном поле и найдено положение быстрой магнитозвуковой поверхности. Показано, что на этой поверхности в уравнении баланса сил члены, связанные с полоидальной кривизной магнитных поверхностей, малы по сравнению с другими членами, что и позволило рассматривать задачу в сверхзвуковой области в рамках одномерного приближения. Автором показано, что в сверхзвуковой области лоренц-фактор плазмы растёт линейно с расстоянием от оси, пока не достигает почти своего максимального значения. Автором показано, что в нерелятивистском течении для широкого класса интегралов движения одномерное многокомпонентное течение не существует. Получено аналитическое решение для одномерной задачи с ненулевой температурой и логарифмической зависимостью энтропии от магнитного потока. Предложена модель ударной волны у основания струйного выброса. С учётом этой ударной волны построена модель внутренней структуры нерелятивистских выбросов из молодых звёзд, хорошо объясняющей такие наблюдательные данные, как полоидальные и тороидальные скорости, радиус выброса и температуру в нём.
Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 86 страницах, состоит из введения, двух глав и заключения, содержит 19 рисунков, одну таблицу и список цитируемой литературы из 64 наименований.
Регуляризация автомодельных решений вблизи оси и одномерные решения с автомдельными интегралами
Наш подход одномерной холодной МГД позволяет регуляризовать автомодельные решнеия вблизи оси в случае Л4$ С Ть- В самом деле, для автомодельных интегралов [47, 24] где /3 — это автомодельная постоянная, можно искать решение двумерного уравнения Грэда-Шафранова вне центрального потока Ф Фь в виде где R это сферический радиус. Таким образом, для в С 1 мы можем записать где Л = const, так что цилиндрический радиус границы Ф = Фь может быть записан в виде С другой стороны, автомодельное решение не может быть использовано для внутренней части осесимметричного течения Ф Фь, так как автомодельные интегралы расходятся вблизи оси вращения. Для простоты мы полагаем Qp = о = const и г] = щ = const для Ф Фь- Тогда вдали от экваториальной плоскости, где z г ( 1) можно интегрировать одномерные уравнения (43) и (44), рассматривая 2;ЙЛВ качестве параметра, в результате, используя решения (45) и (47), мы получаем для M. (z) = М.2(гъ) два различных решения для случая Фь ФСоге (сильно замагниченное течение) и Фь ФСОге (слабо замагничеыное течение). В случае сильно замагниченного течения, то есть когда Фь ФСоге или, что то же самое, гъ 7m L (#ь Tin)» мы имеем Подставляя в (99) решение (98) и предположение (88) получаем Решение (98) показывает, что полоидальное магнитное поле остаётся постоянным: Вр « const. Подставляя теперь в (88) г = R9, а также определения (84) и (87), мы видим, что для Ф Фь где множитель не зависит от R для (101) в полном согласии с требованиями автомодель-ности. Для слабо замагниченных течений (когда выполнено: Фь С ФСоге5 или, что то же самое, г& С 7іп ь) находим Снова будем искать степенные решения для области автомодельных интегралов Ф Фь в виде (88). Из уравнения (89), аналогично оценивая члены в правой части, вновь находим
Оставляя только лидирующие члены в уравнении (90), получаем откуда имеем Это решение также обеспечивает независимость множителя С от R. Результаты численного интегрирования системы (89) и (90) для холодного течения представлены на Рис. 5 и 6. Мы видим очень хорошее соответствие численного и аналитического решений (98), (101), (105) и (107). Хотя формально одномерное приближение позволяет рассматривать только поперечный r-профиль струйного выброса, тем не менее, можно анализировать свойства течения (например, рост лоренц-фактора частиц) вдоль струйного выброса при условии, что в уравнении баланса сил поперёк магнитных поверхностей можно пренебречь членами, связанными с полоидальной кривизной магнитных силовых линий. Если это условие выполнено, можно вводить зависимость от -компоненты, меняя внешнее давление на границе струйного выброса. В этом случае для различных значений z условие Р(г ) = Pext( ) выполняется для различных значений начального числа Маха Л4д на оси В бессиловом приближении в предположении нулевой полоидальной кривизны силовых линий для лоренц-фактора плазмы можно получить Это выражение верно также и в магнито-гидродинамической задаче пока кинетическая энергия частиц меньше, чем энергия электромагнитного поля. В этом случае и для г г? лидирующие члены двумерного уравнения Грэда-Шафранова п [/эеЕ + j х В/с] могут быть записаны как [13] Здесь Rc это радиус полоидальной кривизны магнитных поверхностей, Rc — единичный вектор в направлении роста радиуса полоидальной кривизны, a n = \7Ф/УФ. Пренебрегая теперь членом, связанным с полоидальной кривизной, и пользуясь примерными равенствами Bv ж Врг/Я и S2 — Е2 и By/j2, следующими из (6) и (18), мы получаем (108). С другой стороны, если полоидальная кривизна важна, можно пренебречь первым членом в (109), и получить [12] В частности, именно это выражение верно для квази-монопольной геометрии магнитных поверхностей вне быстрой магнито-звуковой поверхности. Вдали от оси вращения выражение (110) приводит к логарифмически медленному росту лоренц-фактора в этой задаче [8] Здесь г? радиус быстрой поверхности. Заметим, что для г г? всегда верно линейное ускорение плазмы (108).
Для бессилового течения было численно показано в работе [53], что параболическая форма магнитных поверхностей (смотри ниже) является граничным случаем между двумя этими решениями. Если магнитная поверхность имеем форму z ос rfc, то для к 2 (когда коллимация сильнее, чем в параболическом случае) можно пользоваться выражением 7 r/RL. Для 1 к 2 на больших расстояниях от оси верно 7 (3-Rc/V)1/2 [51]. Так как Rc « (z )3/z" для z1 1, где z = dz/dr, то для лоренц-фактора частицы, движущейся вдоль силовой линии z = z{r) получаем в полном согласии со случаями к = 2 (110) и к = 1 (111) рассмотренными выше. Соответственно, полная трансформация энергии от электромагнитного поля в частицы может быть достигнута если радиус струйного выброса Для к = 3/2 эта зависимость была подтверждена численно в работе [4], и для к = 2 она была подтверждена аналитически в [13].
Быстрая магнитозвуковая поверхность и дозвуковое течение. Случай произвольных интегралов движения
Покажем, что для сильно замагниченного течения W art Wem и Для произвольных интегралов движения верны следующие утверждения: 1) в дозвуковой области выполнено у = х; 2) на быстрой магнито-звуковой поверхности TF 0"1 , 3) быстрая поверхность лежит внутри цилиндра радиуса R a1 3. Последнее утверждение является следствием первых двух. В общем случае естественно определить параметр замагниченности Майкеля как Здесь ЕА — это максимальное значение функции потока энергии. В этом случае интергал энергии может быть записан в виде E(ty) = afir)h($), где Л(Ф)Є[0;1]. Будем искать положение быстрой магнитозвуковой поверхности. Для этого перепишем уравнение Бернулли (18) в виде Легко показать, что для бессилового течения Например, = 0 для бессилового монопольного решения Майкеля. Снова воспользуемся тем, что для сильно замагниченного течения q «С 1. Мы предполагаем, что на быстрой магнитозвуковой поверхности течение всё ещё остаётся сильно замагниченным. В результате, уравнение (169) можно переписать в виде Здесь мы пренебрегли членами д4 и g по сравнению с 2q3 и 1 соответственно. Условие реализации быстрой магнитозвуковой поверхности соответствует пересечению двух корней уравнения (171) [8]. Это эквивалентно равенству нулю дискриминанта этого уравнения Q. Условия гладкого пересечения быстрой магнитозвуковой поверхности могут быть записаны [8] как VQ = 0. Для уравнения (171) дискриминант Q равен
Здесь мы пренебрегли членом (е)2Д2г2 по сравнению с fi2r]2/E2 вне области Фс. Условие пересечения корней Q = 0 может быть записано как Величины Q(RF) и TF = T(R-F) В силу условия Q = 0 не зависят от суммы (+1/2рГ2) и на быстрой магнитозвуковой поверхности они равны F Так как max /І(Ф) = 1 по определению, то максимальный лоренц-фактор ФЄ[0;Фо] на быстрой поверхности равен т1//3. Чтобы определить положение быстрой магнитозвуковой поверхности, нам необходимо одно из критических соотношений, которое мы запишем как dQ/da = О, где а — это одна из координат ортогональной системы {Ф, си, }, УФ Va = 0. Из этого условия получаем = -І- (176) Оценивая примерно д /да /а, мы получаем из (173) и (176) ф = #іУ/3/г1/3(Ф), (177) что приводит к результату r\F Дь т1/3. (178) Для того, чтобы определить q, и, следовательно, у в дозвуковом течении, мы сделаем естественное предположние, что # и растут монотонно от а г и 0 у основания течения до (цг]/Е) и 1/Г2г2 на быстрой магнитозвуковой поверхности. Таким образом, в уравнении (171) можно пренебречь членами д3 и q2 по сравнению с (цт]/Е)2 и q2/(Qpr)2 соответственно. После этого мы находим решение уравнения (171) 9 = 7Щ- (179) Для лоренц-фактора получаем Е г 7 = — q = —.. (180) Таким образом, для сильно замагниченного течения лоренц-фактор плазмы растёт линейно в зависимости от безразмерного расстояния от оси вращения. 2 Нерелятивистское течение 2.1 Основные уравнения
В нерелятивистском приближении электрическое и магнитное поля определяются как (6)-(7). Уравнение (8) записывается в виде v = -B + firre., (181) Рт где рт = трп — плотность, а т/п(Ф) — нерелятивистское отношение потока частиц к потоку магнитного поля. Нерелятивистские потоки энергии Еп и -г-компоненты углового момента Ln записываются как [36] L w = sfe+v" (ш) где w — нерелятивистская энтальпия. Алгебраические отношения (19), (21) записываются в виде [63] SF = ТЗЖ (184) 1 Пг2 - LnM2 v = r 1-М2 (185) где M2 = . (186) Pm Нерелятивистское уравнение Бернулли переписывается в виде М4 J T (Пг2 - LnM2)2 п 2о Ln - nFr2 - a Qp Г , (188) (1 - Л 2)2 г 1 - .М2
Регуляризация автомодельного решения вблизи оси.
Мы показываем, что холодное нерелятивистское сильно замагниченное у основания течение может гладко пересечь быструю магнито-звуковую поверхность только если поток кинетической энергии частиц в окрестности поверхности J-Vpart становится сравнимым с потоком элктро-магнитной энергии Wem: Для сильно замагниченного у основания течения и не в непосредственной близости от оси выполняется Е v?n/2. Для такого течения можно примерно положить Е = QL + v2n/2. Уравнение (291) после пренебрежения величиной 2 (є — І) = 1 по сравнению с х2 имеет точное решение для числа Маха Л42 как функцию интегралов о;, Z, и положения быстрой магнито-звуковой поверхности Xf Так как е Z, отношение энергий на быстрой магнито-звуковой поверхности является функцией переменной q = l/шх2. Отметим, что так как быстрая поверхность расположена вне альвеновской (q = 1), то параметр q принимает значения в интервале 0 q 1. Значения же функции g(q) при этом лежат в интервале [1/3; 1/2]. Минимальное значение 1/3 достигается при q = 0, то есть если радиус быстрой магнитозвуковой поверхности существенно больше альвеновского радиуса. Максимальное значение 1/2 соответствует случаю, когда быстрая и альвеновская поверхности расположены вблизи друг от друга. Таким образом, исследование значений функции g(q) приводит нас к выводу (288) — кинетическая энергия частиц должна составлять по крайней мере половину от энергии Пойтин-га.
Эта теорема накладывает строгие ограничения на баланс энергии на быстрой поверхности, но не даёт информации о положении последней. В работе [56] численно показано, что радиус быстрой поверхности составляет несколько радиусов альвеновской. Холодное многокомпонентное (то есть, например, сверхальвеновское в центре и доальвеновское на перефирии) течение не существует ни для линей ных (192), (193), (200) и (201), ни для автомодельных интегралов (213), (214), (216) и (217), если полный ток / не замыкается в точности на альвеновской поверхности. Мы предполагаем, что производная dA42/dr остаётся конечной на альвеновской поверхности, т.е. Предположим, что в центре течение до-альвеновское, и существует радиус го такой, что полоидальная скорость близка к альвеновской скорости, то есть течение близко к пересечению особой поверхности. В этом случае можно записать где є 0, 5 0. В этом случае главные члены уравнения (189) записываются как } 77d Члены в круглых скобках правой части уравнения равны нулю для линейных интегралов и отрицательны для автомодельных интегралов. Если ток не замыкается в точности на альвеновской поверхности, то верно Ь;" У = (т 2, - const ф 0, (299) 1-М2 e(Ln + nFr2) AS то есть, 8 = О (є). В этом случае мы можем пренебречь первым членом в правой части уравнения (298) по сравнению со вторым. Таким образом мы получаем, что производная d.M2/dr отрицательна в сколь угодно малой левой окрестности альвеновской поверхности. Но, в соответствии с теоремой Лагранжа, должна существовать точка г\ из (TQ, Г AS) такая, что ал п) = 1-А О) 0 dx г AS - го Мы пришли к противоречию, таким образом существование областей с доальвеновским и трансальвеновским течениями невозможно. Аналогично можно провести доказательство для случая, когда течение в центре сверх-альвеновское. Исследуем влияние температурных членов на решение в центральной части течения.
Для ненулевой температуры и интегралов (192), (193), (200) и (201) уравнения (188) и (189) в безразмерной форме записываются как = 2хМ2+ ds dy dydx + М ж3 (1 - М2) м /cv2 da; dMJ М2 + ЯГ + da; V. T-l Г + 1 Г-1 М2-1 (M4i2y2 - хА) + \М - + + -жЬу. (301) (302) х іоуМ 1-М2 -2х 2г0у - Xі М2 В (301) второй член в правой части уравнения равен A4.2(v!p/vin)(x2 + іьуМ.2)/х2, и, так как v p С v-m, им можно пренебречь по сравнению с первым членом. Уравнение (303) для сверх-альвеновского течения Л42 1 можно переписать как 2с: s.in v, р V in М dy\ dx) 2ar М2 х + + 2ж3 М А 4(Г - 1) + Зіоуа? М2 "s.in. 2 2 ЧУ + (303) Так как v p С v-m и і0у С ж2 (последнее условие верно для сверхальве-новского течения), то последними четырьмя слагаемыми в правой части уравнения (303) можно пренебречь по сравнению с первым членом. Кроме того, так как мы предполагаем, что у основания течения вклад энтальпии мал по сравнению с другими членами в энергии, то есть Сддп С v-m, то получаем окончательно систему
Положение косой ударной волны у основания нерелятивистского струйного выброса
В качестве параметров для модели были использовали следующие величины: темп эжекции М = 6 Ю-10 М/год, период вращения звезды Р = 10 дней, радиус звезды ЯІП = 5 108 м, магнитное поле на поверхности звезды В-т = 500 Гс, температура в области эжекции Т\п = 2000 К и внешнее магнитное поле 5ext = 10_6 Гс. Показатель политропы равен Г = 1.2 и показатель автомодельных интегралов /3 = 4/3 [16]. Мы выбрали постоянную V[n и значение звукового числа Маха М.2 перед ударной волной так, чтобы полоидальная скорость в струйном выбросе и температура соответствовали наблюдаемым данным. В частности, v-m = 6- 104 м/с и Л4 = 105. Для выбранных величин параметр замагниченности а = 10. Результаты вычислений представлены на Рис. 15-19. Внешняя граница струйного выброса находится в равновесии с внешним давлением, создаваемым средним галактическим магнитным полем: полоидальное поле на границе джета равно 10_6 Гс, тороидальное поле равно нулю, а газовое давление существенно меньше магнитного давления Вр/8тг. Полоидальная и тороидальная скорости находятся в хорошем соответствии с наблюдаемыми данными. Температура в джете растёт от оси к внешней границе, достигая величины порядка 4 104 К. Такая температура необходима для излучения наблюдаемых линий в спектре струйних выбросов в окрестности молодых звёзд. Профиль тока показывает, что основной ток течёт в малой окрестности от оси вращения, тогда как в основном объёме струйного выброса суммарный ток составляет около 15% от максимального. Замыкание происходит в пограничном слое. Для этой модели энергия, переносимая центральной частью выброса Ф Фо примерно равна энергии, переносимой ветром, связанным с диском Ф Ф0:
Параметр Л = А/ГО — квадрат отношения радиуса альвеновской поверхности к начальному радиусу — для центральной части течения равен Для выбранных нами параметров это выражение даёт очень большое значение « 1200. Хотя обычно [31] значение Л принимается порядка 10, в рамках нашей модели значение для Л может быть ограничено снизу. В самом деле, оценивая максимальное возможное значение полоидальной скорости из уравнения Бернулли для сильно замагниченного течения как получаем, используя (326): Поскольку ОоДп 4 км/с, то для объяснения наблюдаемой полоидальной скорости в выбросе порядка 100 км/с необходимо значение параметра Л порядка 103 — 104, используемое нами. В общем случае сильно замагниченного течения, когда можно принять для интегралов движения Е(Ч?) и Ор(Ф)іу(Ф), выражение (327) сохраняется. В самом деле, из условия гладкого прохождения альвеновской поверхности получаем ГА = L/SIY, И оценивая vp V%E, мы приходим к выражению (327). В рамках идеальной осесимметричной МГД в цилиндрическом случае показано, что для линейных интегралов энергии и углового момента лоренц-фактор плазмы растет как 7 — r/Rh, и такое эффективное ускорение продолжается до практически полной трансформации энергии электромагнитного поля в кинетическую энергию плазмы. Показано, что течение с сердцевиной, в которой полоидальной магнитное поле почти постоянно, существует, если внешнее магнитное поле -Bext ДПІП- Получена оценка величины потока в сердцевине ФСоге ФоТт/с- Построена регуляризация автомодельных решений вблизи оси. При этом показано, что число Маха падает степенным образом ЛЛ2 ос гь, и показатель степени связан с автомодельним параметром следующим образом: 6 = 2 — 4/3 для слабо замагниченного и Ь — 3 — 6/3 для сильно замагниченного течения. Найдено решение для дозвукового сильно замагниченного течения в параболическом магнитном поле. В рамках этой задачи найдено положение быстрой магнитозвуковой поверхности TF = Ri,\J(j/6. Лоренц-фактор частиц на ней принимает значения от ут до сг1/3 в рассматриваемой области течения вблизи оси.
Показано, что в данной задаче в двумерном уравнении баланса сил члены, связанные с полоидальной кривизной магнитных силовых линий, малы, и в сверхзвуковой области можно пользоваться цилиндрической моделью. В этом случае плазма ускоряется как 7 = \JZ/RL пока почти вся энергия электромагнитного поля не трансформируется в кинетическую энергию плазмы. В рамках нерелятивистской задачи предложена цилиндрическая МГД модель для описания поперечной структуры выбросов из молодых звёзд. Показано, что холодное сильно замагниченное течение с линейными интегралами не может описывать наблюдаемые струйные выбросы из молодых звёзд. В самом деле, решение для доальвеновского течения представляет собой однородное полоидальное магнитное поле Bv = Д . Это решение существует только для jBext В\ Ю-1 Гс и не может быть удержано внешним галактическим полем. При Л42 1 реализуется течение с сердцевиной с размером rcore = v-m/Q и магнитным потоком ФСоге Фо/2сгп. Вне сердцевины полоидальное магнитное поле падает как г-2, и оказывается, что граница джета расположена экспоненциально далеко от оси, что противоречит наблюдениям. Многокомпонентное течение — то есть течение сверхальвеновское в центре и доальвеновское на периферии — в одномерном приближении не существует для широкого класса интегралов движения. Показано, что модель с конечной температурой и переменным интегралом энтропии s решает проблему логарифмически медленного роста функции потока для сверх-альвеновского течения. Таким образом, мы предлагаем модельное положение ударной волны, которая и обеспечивает существование физического решения в области, где течение уже сколлимировано, и применимы уравнения цилиндрической МГД. Разумеется, предложенная модель ударной волны не описывает истинного процесса коллимации в джете. Действительно, видно, что как минимум область ударной волны, за которой течение становится дозвуковым и продолжает расширение, нуждается в дальнейшем анализе. Тем не менее, для неэкваториальных линий, подобная ударная волна может играть роль в коллимации. Тем более, что полученное из простых оценок положение волны соответствует областям рентгеновского излучения, наблюдаемого вне центрального источника в джетах [3, 33]. В рамках этой модели получены параметры нерелятивистских течений, хорошо согласующихся с наблюдениями. В рамках цилиндрической модели построена регуляризация для слабо замагниченных автомодельных течений вблизи оси. Показано, что при этом число Маха ведёт себя степенным образом как Л42 ос г2_4/3. В заключение я хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Василию Семёновичу Бескину за огромную помощь, поддержку и постоянное внимание к работе.