Введение к работе
Актуальность темы диссертации.
Объектом исследования настоящей работы являются небольшие кластеры атомов гелия - связанные состояния Нег и Ноз- Количество работ, посвященных таким кластерам, быстро растет в последние годы. Сделанные в в начале 80-х годов [1] предсказания существования кластеров Нег и Нез получили в начале 90-х годов экспериментальное подтверждение [2, 3] в наблюдении этих кластеров независимыми группами. С другой стороны, наметился существенный прогресс в создании построенных на основе первопринципов потенциалов межатомного взаимодействия [4, 5]. Оценка точности теоретического описания взаимодействия атомов гелия на сегодняшний день столь высока, что было предложено использовать теоретические результаты для калибровки экспериментального оборудования [6]. Таким образом, в настоящий момент теоретическое исследование малых гелиевых кластеров представляется наиболее точным методом исследования этих объектов. Для физики нескольких тел кластеры гелия представляют собой уникальный пример системы, особенности взаимодействия в которой (большая длина рассеяния, исключительно малая энергия связи в двухчастичной системе) позволяют рассматривать кластер Нез (тример) с точки зрения наблюдения в нем эффекта Ефимова [7, 8, 9, 22).
В технике исследования квантовых состояний нескольких частиц в последние годы наблюдается существенный прогресс. В значительной мере он связан с развитием техники численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. На сегодняшний день уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве нашли широкое применение в исследовании систем нескольких нуклонов, в моделировании многих атомных ядер, ядерных реакций, в исследовании систем заряженных частиц.
Несмотря на широкое распространение уравнений Фаддеева в качестве инструмента теоретического исследования и численного моделирования систем нуклонов, легких ядер и систем заряженных частиц, применение уравнений Фаддеева в численном моделировании молекулярных систем ограничивается лишь отдельными редкими работами. Одной из причин редкого использования уравнений Фаддеева в исследованиях молекулярных систем можно назвать необходимость учитывать не только s-волновой вклад во взаимодействие в системе, что часто оказывается достаточным в ядерных задачах, но и вклады от взаимодействия частиц в состояниях с более высокими угловыми моментами. Основой для решения этой проблемы могут служить результаты работы [11], в которой разработан метод парциального анализа, позволяющий легко учесть вклады всех парциальных волн. Другой причиной, сдерживавшей применение уравнений Фаддеева в задачах молекулярной и химической физики, были отмеченные в литературе [22, 32] сложности использования разработанных на сегодняшний день численных методов решения уравнений Фаддеева к системам нескольких атомов. Эти сложности связывают с характерными особенностями модельных потенциалов межатомного взаимодействия. В качестве таких осо-
бенностей называют медленное, степенное убывание потенциалов на больших меж атомных расстояниях, что приводит к необходимости построения аппроксимации рс їдений в больших областях конфигурационного пространства, и исключительно снль иое короткодействующее отталкивание, приводящее к потере стабильности широке используемых сегодня методов численного решения уравнений Фаддесва. Преодоле нию трудностей, связанных с указанными обстоятельствами посвящена настоящаі работа.
Цели и задачи работы
Целью настоящей работы была разработка методов решения уравнений Фаддсева пригодных для использования в численном моделировании систем грех атомов, і применение разработанных методов для расчета характеристик связанных состоянш трехчастичного кластера гелия. Будучи интересным объектом физического исследо вания сам по себе, тример гелия является также исключительно привлекательны-, объектом с точки зрения отработки вычислительных методов решения задачи трс: тел. Для этой системы существуют надежные модели межатомного взаимодействия показана высокая реалистичность аппроксимации потенциала системы суммой пар ных потенциалов, что позволяет рассчитывать на высокую физическую достовер ность результатов моделирования системы. С другой стороны, наличие сильного ко роткодеііствующего отталкивания и большая по сравнению с эффективным радиуссл взаимодействия длина рассеяния в двухчастичной системе создают существенны! трудности для численных расчетов, что и делает тример гелия привлекательны;, объектом с точки зрения отработки численных методов.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
анализ применимости существующих численных методов для нсследовани; гримера гелия;
реализация наиболее перспективных схем в виде компьютерной программы;
анализ трудностей, возникающих при использовании избранных вычислительных схем;
модификация существующих методов, позволяющая избежать возникающих і стандартных схемах проблем;
реатизация предлагаемых модификаций в компьютерной программе:
выполнение численных расчетов тримера гелия.
Научная новизна
Следующие результаты, полученные в ходе работы, представляются автору новым] или не нашедшими достаточного отражения в существующей литературе:
одновременное использование представления полного момента и декартовых координат для уравнений Фаддеева в дифференциальной форме допускает построение высокоэффективной численной схемы решения этих уравнений методом тензорноіі факторизации:
предложенная в работе реализация метода тензорной факторизации позволяет заметно повысить скорость стандартного алгоритма при некоторых конфигурациях используемых сеток;
» впервые разработаны модификации метода тензорной факторизации, существенные при исследовании систем с сильным короткодействующим отталкиванием:
достигнута наибольшая на сегодняшний день точность исследования моделей
гримера гелия.
Положения, выносимые на защиту
Разработан и реализован алгоритм численного решения уравнений Фаддеева в представлении полного момента в декартовых координатах методом тензорной факторизации;
проанализированы особенности реализации метода тензорной факторизации, существенные для построения эффективного алгоритма;
разработаны модификации метода тензорной факторизации, существенные при исследовании систем с сильным короткодействующим отталкиванием:
достигнута наибольшая на сегодняшний день точность исследования моделей тримера гелия.
Практическая ценность работы
Разработанные и реализованные в работе методы имеют значительные перспективы дальнейшего применения. Среди них - использование методов, развитых для расчета связанных состояний тримера гелня к расчетам рассеяния в системе Не-Нег, расчет связанных состояний трехатомных молекул, в частности Оз и NOa, расчет реакций в системах атом + двухатомная молекула, обобщение предложенных методов численного решения уравнений Фаддеева для решения уравнений Якубовского. В этом, последнем случае метод может быть использован и самостоятельно, и на этапе расчета базиса в рамках метода кластерной редукции. Применение предложенного метода в дальнейшем исследовании трехчастпчных кластеров гелия также имеет перспективы. Существующие на сегодняшний день возможности экспериментальной техники не позволяют выполнить измерения характеристик трехчастнчных кластеров гелия
с точностью, с которой могут быть исследованы соответствующие теоретические модели. Однако, с развитием экспериментальной техники может приобрести большую актуальность вопрос оценки вклада релятивистских поправок в дисперсионные коэффициенты для системы Не-Не |33]. Предложенная и апробированная в настоящей работе техника может дать существенный вклад в исследование этого вопроса.
Апробация работы
Результаты работы были представлены в докладах на конференциях XVth Internatior Conference on Few-Body Problems in Physics, Groningen, Netherlands, July 22-26, 1997 (28j; 1st Intcrnatinal conference on Modern Trends in Computational Physics MTCP 98, Dubna, Russia, 15-20 June 1998 [29|, докладах на семинарах кафедры вычислительной физики СПбГУ, на семинаре Института Высокопроизводительных Вычислений и Баз Данных МН РФ, на семинаре группы теоретической физики факультета физики Freie Universitat, Berlin. Основные результаты работы опубликованы в статьях [30, 31].
Структура работы
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. В первой главе описан формализм дифференциальных уравнений Фаддеева для решения задачи на связанные состояния, представление полного момента для уравнений Фаддеева, обсуждаются симметрии входящих в уравнение операторов и решений уравнения. Во второй главе обсуждаются численные методы решения уравнений Фаддеева, приведено описание метода тензорной факторизации и метода декартовых координат, дано обоснование выбора эффективного метода решения задачи на связанные состояния, обсуждаются особенности применения предложенного метода для систем с сильным короткодействующим отталкиванием, предложены модификации рассмотренного метода. В третьей главе обсуждаются результаты численных расчетов тримера гелия. Основные результаты работы суммированы в заключении. Текст работы содержит 15 рисунков, 14 таблиц. Общий объем диссертации составляет 101 страницу, библиографический список содержит 50 наименований.