Введение к работе
Актуальность. Задачи течения вязких жидкостей в тонких структурах возникают во многих областях науки и техники. Под «тонкими» подразумеваются такие геометрические конфигурации системы, в которых пространственный масштаб в одном направлении несоизмеримо мал с масштабом в другом направлении. К таким задачам можно отнести, например, геофизические проблемы описания движения литосферы, биологические вопросы динамики слёзной плёнки на поверхности глаза, технические аспекты процессов производства определённых продуктов из стекла и полимеров.
Эти столь разнообразные на первый взгляд задачи связывает то, что с точки зрения физики, при некоторых допущениях, они могут быть сведены к изучению динамики ньютоновской жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса. При этом, реальные системы довольно сложны не только геометрически, но и включают переменные в пространстве свойства материала (вязкость, плотность). Вследствие этого аналитическое решение таких задач практически невозможно. Благодаря росту и удешевлению вычислительных систем, численный анализ стал уже классическим подходом для изучения многих прикладных задач. Тем не менее, всё же встречаются классы задач, где «лобовое» применение столь сложных средств может оказаться неэффективным. Примером такого класса задач как раз и является течение жидкости в тонком слое. С вычислительной точки зрения «тонкость» расчётной области, то есть её протяжённость, является скорее проблемой, чем упрощением системы. Дело в том, что большинство современных подходов к решению уравнений динамики жидкости основаны на сеточных методах (метод конечных элементов, метод конечных объёмов), и построение качественной сетки на столь «узкой» расчётной области вызывает трудности. Дополнительной сложностью, возникающей в задачах со свободной границей, является отслеживание динамики этой свободной границы. Таким образом, задача усложняется тем, что сама расчётная область становится неизвестной величиной. Для решения таких задач существуют различные численные подходы, из которых наибольшую точность даёт метод движущихся сеток, но он же является и наиболее ресурсоёмким.
С другой стороны, из физических соображений понятно, что качественное описание по крайней мере достаточно простых систем может быть получено аналитически. Для анализа системы как раз и используется факт геометрической «вытянутости» системы: вводится малый параметр, являющийся отношением характерных пространственных масштабов. Такой подход используется в теории смазки и позволяет описать её динамику одним дифференциальным уравнением. Позже аналогичный подход был распространён и на задачи со свободной границей. Благодаря этому толщина, описывающая геометрию в изначальной, полной постановке, становится лишь расчётной переменной на фиксированной области.
Качественно, такой подход позволяет перейти от исходной системы к системе меньшей размерности, сохраняющей, тем не менее, всю нетривиальную динамику изначальной задачи. Например, это означает переход от пространственных уравнений к уравнениям на плоскости. С практической точки зрения, сведение трёхмерной задачи к двумерной позволяет сильно упростить систему уравнений и, если не решить её аналитически, то сделать пригодной для числен-
ного решения на сетке меньшей размерности. Также упрощение уравнений облегчает теоретический анализ процессов, происходящих в жидких плёнках.
Объектом исследования настоящей работы являются гидродинамические явления, связанные с динамикой жидкости в тонких структурах. Предмет исследования — математические модели, основанные на уравнениях динамики жидкости, описывающие поведение вязких плёнок.
Цель диссертационного исследования — разработка асимптотических и численных методов для изучения течений вязких жидкостей в тонких слоях при малых числах Рейнольдса.
Для достижения этой цели в диссертации:
-
Построено решение задачи о трансляции деформации одной из границ слоя вязкой жидкости на противоположную границу, являющуюся поверхностью раздела двух жидкостей, проведена проверка применимости построенного решения путём сравнения с результатами численного моделирования;
-
Разработан метод описания явления ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле, проведена проверка корректности метода сравнением с опубликованными результатами численного моделирования и экспериментальными данными;
-
Описано течение плёнки вязкой жидкости по поверхности наклонного вращающегося цилиндра в поле действия силы тяжести, проанализированы случай вертикальной ориентации цилиндра и случай малых колебаний оси цилиндра около вертикали, численно решена задача о цилиндре произвольного наклона;
-
Построено решение задачи динамики вязкой пластины, проанализированы вынужденные колебания вязкой пластины в линейном случае, нелинейные колебания изучены с помощью численных методов.
Теоретическая и практическая значимость работы.
В работе получены новые теоретические результаты, позволяющие строить и анализировать математические модели динамики вязких плёнок.
В ходе работы изучено распространение возмущения границы слоистой структуры на поверхность раздела двух сред и показана зависимость коэффициента затухания от отношения вязкостей двух сред.
Теоретически изучено явление ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле. Результаты построенной математической модели находятся в хорошем соответствии с экспериментальным данными, что позволяет применять эту модель для проектирования и построения транспортировочных систем, основанных на ультразвуковой левитации.
Проведённый анализ устойчивости течения вязкой плёнки по поверхности вращающегося цилиндра позволяет выявить параметры технологических процессов, при которых толщина плёнки будет оставаться максимально однородной. Такая задача возникает, например, при нанесении различных покрытий на кабели. Помимо этого, выявленный резонансный эффект говорит о возможном разрушении плёнки при колебании оси цилиндра с частотой, близкой к частоте вращения. Следовательно, в реальных процессах этого желательно избегать.
Наконец, понимание динамики плёнки со свободными границами важно при производстве полимеров и стекла. Помимо этого такой моделью можно качественно описывать и биологиче-4
ские структуры, например, клеточную мембрану. Проведённый в работе анализ колебаний вязкой пластины позволяет объяснить некоторые аспекты поведения мембраны в ультразвуковом поле.
Методы исследования. В работе использованы асимптотические методы теории возмущений. При построении и анализе асимптотического решения использован векторный анализ, теория уравнений в частных производных, теория рядов Фурье, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение уравнений Навье-Стокса, а также уравнений, полученных в ходе исследований, проводилось методом конечных элементов с использованием пакета COMSOL Multiphysics.
Научная новизна. В ходе работы получены новые теоретические результаты.
Изучено распространение возмущения границы системы, состоящей из слоя и прилегающего полупространства, заполненных жидкостями различных вязкостей. Найдено выражение, связывающее величину деформации границы с величиной деформации поверхности раздела сред.
Построена модель ультразвуковой левитации объекта в ближнем акустическом поле, позволяющая одновременно учесть действие как инерциальных, так и вязких сил. Реализована численная схема, позволяющая рассчитать профиль давления в воздушном зазоре и подъёмную силу, действующую на объект.
Изучена динамика плёнки жидкости на поверхности вращающегося наклонного цилиндра, предложена численная схема, позволяющая рассчитать толщину плёнки. Проведён анализ устойчивость плёнки на вертикальном цилиндре, а также на цилиндре, ось которого совершает малые колебания около вертикали.
Предложен способ вывода уравнений динамики вязкой пластины, основанный на едином масштабе продольных и поперечных скоростей. Реализована численная схема, позволяющая решить полученные уравнения. Проанализированы колебания вязкой пластины для случаев распределённой и точечной нагрузок.
Степень достоверности полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических методов. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами, экспериментальными данными и результатами численного моделирования.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационного исследования были представлены на международных и всероссийских научных конференциях: COMSOL Conference (Munich, 12.10.2016–15.10.2016), Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems (St. Petersburg, 14.11.2016–15.11.2016), Days on Diffraction (St. Petersburg, 19.06.2017–23.06.2017), Advanced Problems in Mechanics (St. Petersburg, 22.06.2017–27.06.2017, 25.06.2018–30.06.2018), Всероссийский конгресс молодых учёных (Санкт-Петербург, 07.04.2015–10.04.2015, 12.04.2016– 15.04.2016, 18.04.2017–21.04.2017, 17.04.2018–20.04.2018).
Положения, выносимые на защиту.
1. При деформации границы области, состоящей из слоя и полупространства, заполненных двумя разными высоковязкими жидкостями, возмущение поверхности раздела определяется пространственными характеристиками данной деформации границы и соотношением
вязкостей жидкостей. Предложенный асимптотический подход позволяет описать этот эффект.
-
Показано существование трёх режимов ультразвуковой левитации в ближнем акустическом поле: вязкий, вязко-акустический и акустический. Режим определяется отношением толщины воздушного зазора к толщине акустического пограничного слоя. Предложенный метод описания левитации, позволяющий вычислить подъёмную силу и распределение давления в зазоре, дал теоретические результаты, находящиеся в хорошем соответствии с экспериментальными данными.
-
Показано существование стационарного течения плёнки вязкой жидкости по наклонному вращающемуся цилиндру в гравитационном поле. Для случая вертикального цилиндра найден критерий потери устойчивости стационарного течения вследствие действия капиллярных и центробежных сил. При малых колебаниях оси цилиндра около вертикали возникает резонансный эффект. Предложенная математическая модель позволяет описать перечисленные явления.
-
Выведены уравнения, описывающие динамику тонкой вязкой пластины. Показано, что вынужденные колебания пластинки вследствие точечного периодического воздействия имеют большую амплитуду, чем в случае распределенного воздействия. При больших деформациях пластина становится более жёсткой благодаря нелинейным эффектам.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 108 страниц с 24 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 113 наименований.