Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математическая модель вихревых токов в оболочках с разрезами 14
1.1 История вопроса 14
1.2 Постановка задачи. Идеализации и допущения 18
1.3 Математическая модель вихревых токов для оболочек с разрезами 25
1.4 Исследование оператора P1 27
1.5 Модификация программного пакета «CompEC 3d» применительно к оболочкам с разрезами 34
Выводы по главе 1 40
ГЛАВА 2. Расчет вихревых токов в бесконечных пластинах с разрезами 41
2.1 Математическая модель электромагнитного поля бесконечной пластины с разрезами 42
2.2 Интегральные операторы и тождества 44
2.3 Преобразование скалярной задачи к интегральному уравнению вдоль линии разреза 47
2.4 Влияние разрезов на вихревые токи, силовые и энергетические характеристики пластины, движущейся в поле двухпроводной линии 53
2.4.1 Постановка задачи 53
2.4.2 Решение задачи расчета вихревых токов 54
2.4.3 Случай одного разреза 58
2.4.4 Интегральные характеристики электромагнитного процесса 60
2.4.5 Численные эксперименты 62
2.5 Влияние разреза пластины на вихревые токи и электромагнитную силу,
испытываемую движущимся витком с током 70
2.5.1 Постановка задачи 71
2.5.2 Решение задачи для вихревых токов 73
2.5.3 Силовые характеристики 76
2.5.4 Оценка вклада эффекта близости 80
2.6 Диагностика пластины с трещиной вихретоковым методом 83
2.6.1 Постановка задачи 84
2.6.2 Случай одиночной трещины 85
2.6.3 Вклад эффекта близости 88
2.6.4 Случай двух трещин 90
2.6.5 Контроль физическим экспериментом 92
2.7 Расчет вихревых токов стальной пластины с разрезом 94
2.7.1 Постановка задачи 95
2.7.2 Расчет интегральных характеристик 98
2.7.3 Учет эффекта близости 101
2.7.4 Численные эксперименты 104
Выводы по главе 2 107
ГЛАВА 3. Математическая модель вихревых токов в цилиндрической оболочке с разрезами 110
3.1 Математическая модель вихревых токов цилиндрической оболочки с разрезами, вращающейся в магнитном поле 110
3.1.1 Исходная постановка задачи 110
3.1.2 Решение уравнения 113
3.1.3 Особенности численной реализации 116
3.1.4 Расчет интегральных характеристик 119
3.2 Математическая модель распределения вихревых токов в электромагнитных аппаратах вихревого слоя 124
3.2.1 Электромагнитные аппараты вихревого слоя 124
3.2.2 Расчет первичного магнитного поля трехиндукторного ЭМАВС 126
3.2.3 Анализ и сравнение способов снижения джоулевых тепловыделений в трехиндукторном ЭМАВС 128
Выводы по главе 3 135
Заключение 136
Список используемых источников 140
- Математическая модель вихревых токов для оболочек с разрезами
- Влияние разрезов на вихревые токи, силовые и энергетические характеристики пластины, движущейся в поле двухпроводной линии
- Расчет интегральных характеристик
- Математическая модель распределения вихревых токов в электромагнитных аппаратах вихревого слоя
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Задача расчета вихревых токов в
тонких проводящих слоях (оболочках, пластинах) являлась предметом изучения
многих исследователей. Это связано, прежде всего, с тем, что данные объекты
нашли применение в широком круге электро-радиотехнических и
электромеханических устройств. Примером тому могут служить системы электродинамических подвесов, асинхронные машины с полым ротором или синхронные машины с постоянными магнитами на роторе и беспазовым (гладким) статором, индуктивные датчики, электромагнитные защитные экраны и т.п. Находясь под действием переменного магнитного поля, они расходуют энергию на вихревые токи, оказывают силовое и электромагнитное воздействие на другие токонесущие тела или обеспечивают необходимый экранирующий эффект. В связи с этим для создания конкурентоспособной продукции и обеспечения оптимальных параметров электротехнических устройств еще на стадии проектирования необходим учет этих эффектов, что невозможно без расчета электромагнитного поля.
Другая причина – высокий уровень математической сложности задачи.
Расчетом электромагнитных полей тонких оболочек и пластин занимались многие
российские и зарубежные исследователи. Из них можно выделить Прайса А.Т.,
Смайта В., Кадена К., Цейтлина Л.А., Жукова В.В., Петрушенко Е. И.,
Краснова И.П., Майергойза И.Д., Тозони О.В., Астахова В.И., Апполонского С.М.,
Васильева В.В., Чечурина В.Л., Шпицберга В.Е., Шнеерсона Г.А.,
Гримальского О.В., Калимова А.Г. и др.
В работах упомянутых авторов, в теоретических постановках и практической реализации отсутствуют, так называемые, идеальные разрезы. Последний термин означает имеющие нулевую ширину естественные (трещина), или искусственные (разрез) нарушения сплошности материала оболочки вдоль замкнутой, или разомкнутой линии.
Их роль могут играть стыки путевого полотна в системах подвеса, трещины в тонкопленочных конденсаторах, стенках котлов и трубопроводов, обшивках судов, летательных аппаратов и других подобных устройств. Кроме того, разрезание оболочек поперек силовых линий вихревых токов, затрудняющее последним условия растекания, может использоваться для снижения джоулевых потерь в электромеханических устройствах.
В этой связи очевидна необходимость оценки влияния разрезов (трещин) на
разнообразные интегральные характеристики различных проявлений
электромагнитного поля. Ее получение требует разработки математических и компьютерных моделей вихревых токов оболочек с разрезами.
Диссертационная работа выполнена в рамках научного направления ЮРГПУ
(НПИ) им. М.И. Платова «Интеллектуальные электромеханические устройства,
системы и комплексы», и в рамках темы «Развитие методов математического и
компьютерного моделирования электротехнических, механических и
экологических систем» с номером государственной регистрации 2819.
Целью работы является обобщение известной математической теории электромагнитных процессов в тонких оболочках на оболочки с разрезами, разработка математической модели вихревых токов в бесконечных пластинах с разрезами различной конфигурации, создание программного обеспечения для выполнения соответствующих расчетов, оценка влияния разрезов на распределение вихревых токов и интегральные характеристики электромагнитного процесса на основе численных экспериментов.
Для достижения указанной цели решены следующие задачи:
обоснована корректность математической модели вихревых токов оболочек с разрезами;
краевая задача для вихревых токов бесконечной пластины с разрезами сведена к решению интегрального уравнения на линии разреза;
модернизирован программный пакет «CompEC 3d» для вихревых токов в оболочках, позволяющий рассчитывать влияние разрезов на распределение токов и интегральные проявления электромагнитного поля;
разработаны программные пакеты для расчета вихревых токов, ЭДС, индуцируемой в витке, электромагнитной силы, мощности джоулевых тепловыделений в бесконечных пластинах с прямолинейными разрезами;
разработан алгоритм и программа для расчета вихревых токов и интегральных характеристик электромагнитного процесса в круговой цилиндрической оболочке конечной длины с поперечными разрезами, вращающейся в поле внешних источников;
проведены вычислительные эксперименты и выполнен анализ полученных результатов.
Научная новизна результатов работы состоит в следующем:
обоснована корректность математической модели на основе интегрального уравнения для вихревых токов проводящих оболочек в отличие от известных учитывающей наличие разрезов;
программный пакет «CompEC 3d» для расчета вихревых токов в проводящих оболочках адаптирован применительно к оболочкам с разрезами;
задача расчета вихревых токов в бесконечной пластине с разрезами впервые сведена к одномерному интегральному уравнению на линии разреза;
впервые показано, что функция потока вихревых токов в сплошной бесконечной пластине удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца;
аналитические формулы для расчета вихревых токов и интегральных характеристик электромагнитного процесса в пластинах с одиночным разрезом, пересекающимися прямолинейными разрезами или бесконечным числом разрезов с учетом движения и магнитных свойств материала пластины являются оригинальными;
алгоритм расчета вихревых токов и интегральных характеристик круговой цилиндрической оболочки конечной длины в разных режимах работы (в пульсирующем, бегущем переменном магнитном поле или вращение оболочки
в магнитном поле постоянных токов сторонних источников) в отличие от известных учитывает наличие поперечных разрезов;
- данные численных экспериментов, на основании которых выполнена оценка влияния разрезов на вихревые токи и электромагнитные характеристики в оболочках и бесконечных пластинах являются оригинальными.
Теоретическая значимость. Выполненное обобщение математической модели вихревых токов в оболочках расширило границы ее применимости, а также позволило получить новую информацию о токах, магнитном поле и их интегральных проявлениях.
Практическая значимость. На основе полученных в диссертации математических моделей и алгоритмов разработаны комплексы прикладных программ для расчета вихревых токов и их интегральных проявлений, которые прошли государственную регистрацию и могут применяться при проектировании различных электротехнических устройств, систем электродинамического подвеса, устройств вихретоковой дефектоскопии и магнито-импульсной обработки металлов.
Результаты исследования влияния разреза на электромагнитную силу, испытываемую витком с током, движущимся над пластиной, могут использоваться при создании систем демпфирования (гашения колебаний), а также удерживающей арматуры в системах подвеса.
Выполненная оценка влияния разреза на индуцируемую в витке ЭДС полезна при настройке вихретоковых дефектоскопов для подбора оптимальной рабочей частоты и повышения чувствительности к дефектам на удалении.
Данные анализа влияния разрезов на мощность джоулевых тепловыделений могут использоваться при выборе способа снижения потерь.
Результаты диссертационной работы используются в ООО НПП «ВНИКО» (г. Новочеркасск) при выполнении работ по оптимизации параметров электромагнитного аппарата вихревого слоя (ЭМАВС).
Основные результаты, выносимые на защиту:
-
Обобщение математической теории вихревых токов проводящих оболочек на оболочки с разрезами.
-
Модификация программного пакета «CompEC 3d» для расчета вихревых токов в проводящих оболочках с разрезами.
-
Математическая модель вихревых токов бесконечной пластины с разрезами на основе одномерного интегрального уравнения на линии разреза.
-
Новые соотношения, связывающие векторы электромагнитного поля при распределении токов на проводящей плоскости (формула обращения закона Био-Савара-Лапласа на плоскости, двумерное уравнение Гельмгольца для функции потока в сплошной пластине, логарифмическая особенность напряженности магнитного поля на линии разреза).
-
Аналитические формулы для вихревых токов, ЭДС, индуцируемой в витке, электромагнитной силы, мощности джоулевых потерь в пластинах с одиночным, двумя пересекающимися или бесконечным числом равноотстоящих
прямолинейных разрезов с учетом движения и магнитных свойств материала пластины.
-
Алгоритм расчета вихревых токов и обусловленных ими мощности потерь энергии и тормозного (вращающего) момента круговой цилиндрической оболочки с поперечными разрезами, вращающейся в магнитном поле.
-
Программные пакеты для расчета вихревых токов и электромагнитных характеристик в пластинах и цилиндрических оболочках с разрезами.
-
Оценка влияния разрезов на вихревые токи и интегральные характеристики электромагнитного процесса в оболочках и пластинах в зависимости от частоты питания внешнего источника и его расположения относительно разреза, скорости движения, электропроводимости и магнитной проницаемости материала оболочки на основании численных экспериментов.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач и используемых математических методов, обоснованностью принятых допущений, а также совпадением результатов расчета с данными физического эксперимента.
Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях:
XXXIV сессия всероссийского научного семинара Академии наук Российской федерации «Кибернетика энергетических систем» по тематике "Диагностика энергооборудования" (ЮРГТУ, г. Новочеркасск), 2012 г.;
II международная научно-практическая конференция «Academic science -problems and achievements» (Академическая наука - проблемы и достижения), г. Москва, 2013;
5-й Международный научный семинар «Системный анализ, управление и обработка информации» (п. Дивноморское, 2-6 окт. 2014 г.) / Донской гос. техн. ун-т. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2014;
XV Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» г. Новочеркасск, 20 марта 2015 г. / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т. - Новочеркасск: ЮРГПУ (НПИ), 2015.
Результаты исследований обсуждались на научном семинаре Института электрических машин, приводов и железных дорог ТУ г. Брауншвейг (Германия), а также на научном семинаре Института электротехники и информационных технологий ТУ г. Дортмунд (Германия).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ общим объемом 4,96 п.л., в том числе 5 статей в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК. Получены 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ПЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы, включающего 90 наименований. Общий объем работы составляет 152 страницы, в диссертации содержится 51 рисунок.
Математическая модель вихревых токов для оболочек с разрезами
Первое систематическое исследование вихревых токов тонких оболочек и пластин было выполнено Прайсом А. Т. [1, 2]. Областью его научного интереса был ряд геофизических проблем, связанных с анализом влияния вихревых токов морей, океанов и ионосферы на земной магнетизм. Прайс А. Т. установил, в частности, что скалярный магнитный потенциал при переходе через оболочку испытывает скачок, равный функции вихревого тока, а последняя удовлетворяет на срединной поверхности оболочки уравнению Пуассона-Бельтрами, правая часть которого выражена через нормальную к оболочке составляющую индукции магнитного поля.
Пользуясь дифференциальной постановкой задачи, Прайс А. Т. проанализировал вихревые токи в неограниченных пластинах и сфере методом Фурье и сделал ряд полезных заключений о влиянии неоднородности и анизотропии проводника на магнитную реакцию и вихревые токи.
Цейтлин Л. А. в [3, 4] изучил случай, когда магнитная реакция оболочки (собственное магнитное поле вихревых токов) ничтожно мала и поэтому правая часть уравнения Пуассона-Бельтрами известна. Для этого случая применительно к цилиндрическим оболочкам и пластинам простейшей конфигурации, помещенным в однородное магнитное поле, им предложены аналитические решения уравнения Пуассона-Бельтрами и соответствующие формулы потерь в проводнике на вихревые токи [4].
Отметим, что в общем случае для искривленных оболочек решение уравнения Пуассона-Бельтрами встречает принципиальные трудности, связанные с отличием внутренней геометрии их срединных поверхностей от геометрии плоскости, на которой развит необходимый математический аппарат. Кроме того, учет магнитной реакции резко усложняет задачу, но оказывается необходим, поскольку на практике вклад этой реакции нередко многократно превышает результирующее магнитное поле.
Можно, однако, выделить класс оболочек, называемых аналитическими (сфероидальная, круговая бесконечно длинная цилиндрическая оболочка, неограниченная пластина), для которых указанные трудности относительно легко преодолимы. Это замкнутые оболочки, срединные поверхности которых являются координатными поверхностями такой системы координат, которая допускает разделение переменных в уравнении Лапласа. В этих оболочках расчет вихревых токов и магнитной реакции может быть выполнен аналитически методом Фурье. Многочисленные примеры решения задач с аналитическими оболочками содержатся в работах Аполлонского С. М. [5], Кадена Г. [6], Васильева В. В. [7], Полонского Н. Б. [8], Смайта В. [9], Маергойза И. Д. [10], Туровского Я. [11] и многих других.
На практике всякую реальную оболочку стараются заменить аналитической, близкой по форме, что не всегда возможно. Это оправдано в случае, когда поле изучается на значительном удалении от оболочки. Если же требуется расчет поля на поверхности оболочки или вычисление интегральных характеристик (джоулевые тепловыделения, электромагнитная сила, испытываемая оболочкой и т.д.), указанная замена может привести к недопустимым погрешностям. Расчет оболочек, не являющихся аналитическими, представляет собой сложную математическую задачу, эффективные решения которой известны лишь для узкого класса проводников.
Наличие края, разреза или щели (имеющей не нулевую ширину) в оболочке создает особые трудности в расчете электромагнитного поля. Применительно к пластине (составному электропроводному экрану) в [12] Счастливым Г. Г. предложен учет присутствия щели путем введения «источников влияния», однако никаких расчетов не приведено. В [13] Шнеерсоном Г. А. рассмотрены идеально проводящие пластины с отверстиями и щелями. Задача сведена к решению интегрального уравнения первого рода для индукции на оси щели, для пластин конечной толщины получено интегральное уравнение, позволяющее учесть протекание тока по поверхности пластины и границам щели.
Для однородных изотропных пластин с краем в [14 – 17] получены интегральные уравнения II рода относительно комплексной функции вихревых токов. В [14] Майергойзом И. Д. приведены численные расчеты для пластин, имеющих сложную границу, однако предложенная модель не учитывает поверхностный эффект и неоднородность материала, в [15] сделано уточнение применительно к случаю неодносвязной пластины. В [16] Астаховым В. И. уравнение для функции тока системы компланарных пластин не только получено, но также исследовано и решено методом Гильберта-Шмидта в условиях установившегося и переходного режимов. Подобные модели для пластин простейших форм с однородной проводимостью также рассматривались в [17]. В дальнейшем эти результаты были распространены на движущиеся в магнитном поле неоднородные анизотропные многосвязные оболочки, срединные поверхности которых отвечают условиям Римана и Липшица, а края – требованию кусочной гладкости [18, 19].
Подход, изложенный в [18], получил, как представляется, наиболее существенное развитие в [20], где была разработана и исследована модель вихревых токов в оболочках сложных геометрических форм с неоднородной и анизотропной проводимость в условиях переходного и установившегося режимов. В работах [18, 20] задача расчета вихревых токов сведена к уравнению 2-го рода, обобщенная формулировка которого удобна для применения метода Гильберта-Шмидта, Галеркина и, в частности, метода конечных элементов. Последний был реализован в виде программного пакета «CompEC 3d» [47], позволяющего рассчитывать вихревые токи в установившемся и переходном режимах, а также интегральные характеристики электромагнитного процесса оболочек сложных геометрических форм конечных размеров.
Влияние разрезов на вихревые токи, силовые и энергетические характеристики пластины, движущейся в поле двухпроводной линии
Теперь продолжим дифференциальное уравнение задачи (2.2) на всю плоскость z = 0, для этого достаточно учесть скачок 0 нормальной производной функции потока vj/ на линии разреза (1.13). Таким образом правая часть этого уравнения приобретет дополнительное слагаемое (2.3) Д5іІ/(м)=уШ2(м)+0(м)5L) на S, где 5(L) - функция Дирака [67]. Для удобства применения интегральных операторов, о которых подробно поговорим в следующем пункте, перепишем представление поля H z (1.8), используя известные дифференциальные тождества векторного анализа [57] HZ(M) = -AS — f [ІЩй-р + #0(м) = # (м)+#0(м), (2.4) где Hz =-As — IT dSp - нормальная составляющая напряженности магнитного поля реакции пластины; H z - нормальная составляющая напряженности магнитного поля внешних источников, гом = у\хо хм)2+ VQ Ум) – расстояние между точками Q и Мна плоскости. 2.2 Интегральные операторы и тождества Для дальнейшего решения задачи расчета вихревых токов бесконечной пластины с разрезами введем интегральные операторы, определяемые равенствами [66] Ктст( 2) = -Л— \\ dS0; 2nsrQM / ч (2.5) KaTa{M) = —U dS0. 27ZsmrQM Здесь J(Q) - плотность потенциала простого слоя; x{Q) - плотность потенциала двойного слоя. Областями определения операторов являются гильбертовы пространства HT(S) и Ha(s) со скалярными произведениями и нормами вида [66] (Ъ,ъ)н ="—ff fkte)—— 0х2(б /5м=(х1,Ктох2), , НХ Ят м да „т„ =(т,42, x(M) 0; ая =(а,а1, \\a(Q)dSQ=0.
Элементы Ят(5) представляют собой плотности потенциалов двойного слоя с конечным интегралом Дирихле, калиброванные нулем в бесконечно удаленной точке. Элементы Ha(S) - плотности потенциалов простого слоя с конечным интегралом Дирихле. Для равенств (2.5) на плоскости справедливы следующие тождества [66] х = КсхКхсх, теЯх(); а = КхсКсха, GGHa{s). (2 6) Дадим физическую интерпретацию введенным операторам. Пусть \\i - функция потока на S; Hz - z-координата напряженности созданного этими токами магнитного поля. Тогда из (2.4) и первого равенства (2.5) с учетом второго тождества (2.6) можно записать Я = -Кхсу = -A— \\ &dS0; 2 4%s rQM у = 2КСХЯ = - \\Hz dSQ. 71 srj0 r QM Согласно первому равенству (2.7) оператор -Кха преобразует токи (у) в магнитное поле \HZ ), а согласно второму - оператор 2Ках преобразует магнитное поле (я ) в токи (у) на S, то есть, обращает закон Био-Савара-Лапласа, выраженный первым равенством (2.7). Такое представление может оказаться полезным в задачах активного магнитного экранирования. Поскольку поле источников (катушек с током, постоянных магнитов и т.д.), расположенных, например, в верхнем полупространстве z 0 является гармоническим и однозначно определяется значениями нормальной составляющей напряженности на плоскости z = 0, задавая \HZ ) на S, с помощью второго равенства (2.7) получим токи на S, которые создадут в нижнем полупространстве (z О) нужное поле для компенсации поля источников, расположенных сверху. С другой стороны пусть ф - скалярный потенциал магнитного поля, то есть поле задается равенством Н =-grad(p . Тогда ш = 2ф , Ну=——, поэтому z dz можно записать = -КтсФ ; dz (2.8) „ аФ Ф =-к__—. dz Таким образом с точностью до знака, оператор Кхс обращает краевые условия Дирихле на S в условия Неймана, а оператор Ксх обращает условия Неймана в условия Дирихле. Операторы обращения краевых условий представляют интерес в теории гармонических функций. Наконец равенства (2.5) математически можно рассматривать как пары двумерных интегральных преобразований. Причем, если в (2.5) под т понимать оригинал, то Кхс - оператор прямого преобразования, Ксх - оператор обратного преобразования, Кхат- изображение. И наоборот, если в (2.5) а - оригинал, то Ксх - оператор прямого преобразования, Кхс- оператор обратного преобразования, Каха - изображение. В этом качестве мы и будем использовать данные операторы и связанные с ними тождества в следующем пункте при решении краевой задачи (2.2). 2.3 Преобразование скалярной задачи к интегральному уравнению вдоль линии разреза Итак, вернемся к нашей задаче. С использованием первого равенства (2.5) из выражения (2.4) можно записать ЯДАЛ = -КТ(л/, (2.9) тогда уравнение (2.3) примет вид ASM/(M) = 7-Kxaii/ + e(M)5(L)+7l/7z 0(M) . (2.10) Теперь, если подействовать оператором Ксх на обе части уравнения (2.10), с учетом свойств функции Дирака, получим КСТА = J±y + 1\Mdt +JXKaxH 0 z, 2 V 27zLrQM Q левая часть данного уравнения с учетом первого равенства (2.5) и представления (2.9) примет вид KCTTAgij/ = AgKCTTij/ = —Kxavj/ = —2HZ, откуда H = - \\i-—\Qldln- K„TH 0 . (2.11) 4 У 47zLrQM Q 2
Представление (2.11) интересно тем, что позволяет сделать вывод о характере поля реакции пластины. Очевидно, слагаемые правой части (2.11) кроме интегрального непрерывны всюду на плоскости. Таким образом, можно заключить, что присутствие разреза влияет на все поле пластины, причем на линии разреза L напряженность магнитного поля имеет особенность логарифмического характера. Итак, подставим выражение нормальной составляющей напряженности магнитного поля (2.11) в уравнение (2.3) А (М) = (М)- №dlQ + K0A0(M)+eW)+jXH0(M), 4 LrQM 2 теперь, если перенести в левую часть слагаемое, содержащее функцию vj/, получим неоднородное уравнение Гельмгольца на плоскости Д5у--у = - \ dl +-KCTtfz0 +e(M)8(L)+jXH0z{M). (2.12) 4У 4nLrQM Q 2 Решение такого уравнения хорошо известно и представляет собой объемный потенциал уравнения Гельмгольца [68], в котором роль фундаментального решения на плоскости играет функция Макдональда [69] 2TI, г. \2 J где F(M) = - \ dl0 + \\ dS0 + ЫмЫL)+jXH0z(M). 47iLrQM Q 4тг rQM Q Мы получили представление функции vj/ в явном виде, но в правой части осталась неизвестная функция 0 - скачок нормальной производной на линии разреза. Прежде чем переходить к ее нахождению, рассмотрим случай, когда разрезы в пластине отсутствуют.
Расчет интегральных характеристик
Для нахождения оригинала ці(х,у) остается воспользоваться обратным преобразованием фурье (2.19), то есть вычислить интеграл со \b(x, у) =— [е jmx\b(m,y)dm. V 2ти J V —CO Однако, поскольку нас интересуют в первую очередь силовые характеристики, вычисление оригиналов не обязательно, магнитные реакции можно получить непосредственно через фурье-образы с помощью равенства Планшереля (2.22). 2.4.4 Интегральные характеристики электромагнитного процесса Рассмотрим интегральные характеристики, обусловленные вихревыми токами проводящей пластины. Среднюю за период колебаний тока двухпроводной линии мощность потерь в полосе на вихревые токи найдем по формуле (2.21) с учетом первого равенства (2.22) dm = dm, Р = ±] Reflljlgrad fy bn = -± J Re ІГфДф J 2тг J і уЯ 2тг J Yn —оо v У 0 —оо у О J ] ] l l 2тг 2л Vo —- (oo - ш )lm шЯ7 2v am = —- (GO - mo )lm ш7 ay —00 —00 \o J где у, ij , H - комплексно-сопряженные величины. Также использованы уравнения задачи (2.24) и равенство Im Г\і/— dy = О при всех т. \у dz ) Итак, формула для Р приобрела удобный для вычислений вид I P f(со - «u)lm UH"Z dy —00 Vo dm. (2.39) Подставляя в нее правую часть первого равенства (2.32), получим Р = Р0+РЪ где P МІІ 7 (-mvf —оо \т\ М 1 ( Re Y 2\т \ + j"k \dm (2.40) мощность, отнесенная к полосе, в пластине без разрезов; P оо J ти/ (со-ти)2 m2 [ Re (2\m\ +jlf F(Km) )dm (2.41) – вклад разрезов в результирующую мощность. Обратимся к формуле для средней за период электромагнитной силы (2.20), испытываемых полосой. Ее координаты Fx,Fz выглядят как Fz=Re o / / Mo f М ЖЛ Fx=-J Ll mdmWHUy ч 2тг J { dz 2тг J І (2.42) а если в них добавить знак минус и под H z в правых сомножителях понимать комплексную напряженность магнитного поля отдельного провода двухпроводной линии, то эти формулы дадут координаты силы, испытываемой данным проводом со стороны вихревых токов полосы. Подставляя (2.32) в (2.42), после простых преобразований найдем Fx = Fx0 + Fxl, Fz = Fz0 + Fzl, (2.43) где Re f Re 2/oo о= Іп(1я л; \m\ F xi m — — ] f dm, Y 2\m\ + jX Y ЙН+ДМЫ к Л 27 oo —00 Im f Y 2\m\+jX ] dm, (2.45) \il 7 (ш-ш) \m\ —00 H Im Y (l\m\ + jX) F(X,m) к номером «0» в индексе обозначены координаты сил, отнесенных к полосе, для пластины без разрезов, номером «1» помечен вклад разрезов в результирующее 3#J /її Я = Ы , поскольку в значение этих координат, а также учтено, что обозначениях рисунка 10 Hz(m,z)= /е-НЫ smUXA)_ (е ЬЧ _e lb4V , (2.45) zV / VI А/ щ{ j где 1 = 1т/у/2. Случай одного разреза выделяется тем, что результирующие значения мощности потерь и электромагнитной силы бесконечны. Однако, вклад разреза в них конечен и по отношению ко всей пластине выглядит как о 2 7 («D)2 —00 т2 J Ref Y (2\m\ + jX)2G(Km) L, 2Г(С0-Ши) х1=- 0 J т —00 \т\ —00 M M Ref Imf Y (2\m\ + Jl)2G(Km) Y (2ти + уА,) G(X,m) k L, 2.4.5 Численные эксперименты Изложенный выше подход реализован в виде компьютерной программы на языке программирования высокого уровня Microsoft Visual C# 2008 [44], которая позволяет учитывать движение пластины в бегущем или пульсирующем поле. Допустим также случай неподвижной пластины. Для наглядной иллюстрации интересующих нас эффектов разрезания удобными представляются следующие режимы: а) ю = 0, и Ф 0; б) ю Ф 0, и = 0, для которых и выполнены расчеты. ее Омм Будем полагать, что пластина изготовлена из меди уСи =5,8-10 толщина h = 3 мм, расстояние между проводами 2хА = 1м, ток линии 7 = 5-10 А. Результаты расчетов приведены на рисунках 11 - 18. Причем данные рисунков 11 - 15 отвечают случаю одного разреза, а остальные - иллюстрируют влияние частоты разрезов, приходящихся на погонный метр пластины, на электромагнитную силу и мощность джоулевых тепловыделений.
Вихревые токи в присутствии одного разреза при со = 31,4 рад/с, zA=zB= 0,1м а) вещественная часть, ток трубки /тр = 15,8-103 А; б) мнимая часть, ток трубки / = 9,6 103 А Рисунок 12 - Вещественная часть вихревых токов в присутствии одного разреза при со = 1256 рад/с ,ZA=ZB=0,1м и токе в трубке /тр = 20 103 А Анализ выполненных расчетов (см. рисунок 11 a) и рисунок 12) показывает, что с ростом частоты со распределение вихревых токов приближается к тому, которое было бы в отсутствие разреза. При этом мнимая часть вихревых токов стремится к нулю (при оэ = 1256 рад/с составляет менее 2% от действительной части, поэтому ее картина не приводится). Таким образом, можно заключить, что при высоких частотах в задачах оценки экранирующего эффекта присутствием разреза можно пренебречь.
На рисунке 13 представлены зависимости координат электромагнитной силы, вносимой разрезом, от скорости движения пластины в стационарном поле при варьировании высоты подвеса. Анализируя эти данные, можно заключить, что присутствие разреза при относительно малых скоростях (и 20 м/с) ведет к уменьшению тормозящей и отталкивающей составляющих электромагнитной силы. С ростом скорости пластины координата Fx1 меняет знак, поэтому здесь тормозной эффект усиливается. Однако, из графиков видно, что в пределе обе координаты Fx1 и Fz1 стремятся к нулю. Следовательно, при высоких скоростях наличием разреза можно пренебречь. Данные рисунков 14 - 15 отвечают случаю неподвижной пластины в пульсирующем магнитном поле. Графики, представленные на рисунке 14, показывают, что при относительно небольших частотах присутствие разреза ведет к снижению потерь энергии. С ростом же частоты поля мощность вносимых потерь неограниченно растет в силу резко выраженного краевого эффекта (см. рисунок 12).
Математическая модель распределения вихревых токов в электромагнитных аппаратах вихревого слоя
Для оценки обоснованности рассмотренного подхода был создан экспериментальный стенд, включающий в себя лабораторную установку ЭТ и ОЭ-СК [84], лист фольгированного гетинакса и блок1 из 3-х катушек (рисунок 28), намотанных на диэлектрический каркас квадратной формы и установленных на диэлектрических основаниях высотой 4 мм так, что катушка-индуктор находится между двумя вспомогательными, включенными встречно, одинаковыми измерительными катушками, расположенными снизу и сверху.
В создании блока катушек принимал участие сотрудник ЮРГПУ(НПИ) Есаулов А.В. Рисунок 28 - Блок катушек, установленный на проводящем покрытии Соединительными проводами индуктор подключен к генератору лабораторной установки, а суммарный сигнал измерительных катушек подается на входящий в состав установки мультиметр. Все катушки тонкослойные, имеют примерно одинаковые внешние размеры 85 х 85 х 4 мм3, но измерительные катушки отличаются от катушки-индуктора диаметром провода и числом витков (500 витков против 160-ти, соответственно). Питание индуктора осуществляется током / = 0,1 А при частоте / = 1000 Гц.
В ходе экспериментов блок катушек опускался на фольгу и при каждом измерении дискретно смещался перпендикулярно разрезу. В случае двух ортогональных разрезов геометрический центр катушек располагался над одним из них. Использовавшаяся при расчетах модернизация формул для ЭДС, связанная с наличием нескольких катушек, выполняющих разные функции, не приводится в силу элементарности. Данные расчетов и экспериментов иллюстрирует рисунок 29. Сравнение этих данных позволяет сделать вывод о правильности полученных формул. E, В 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 б) случай двух разрезов УА, м а) случай одиночного разреза Рисунок 29 – Зависимость ЭДС от положения катушек эксперимент; расчет Как видно из рисунка 29, расчетные данные и данные эксперимента практически совпадают (на всем рассматриваемом интервале отличия не достигают 3%). Из этого можно сделать вывод о том, что разработанная математическая модель адекватна реальному процессу и может быть использована для решения практических задач.
В представленных ранее задачах, для простоты и наглядности, рассматривались только немагнитные пластины, однако на практике встречаются, и ферромагнитные пластины. Они являются конструктивными элементами многих электротехнических устройств, используются в качестве электромагнитных экранов для защиты персонала или высокочувствительного оборудования. Поэтому представляется логичным оценить влияние разреза на вихревые токи и обусловленные ими интегральные характеристики с учетом магнитных свойств пластины.
Выполним такую оценку на примере бесконечной стальной пластины, помещенной в электромагнитное поле прямоугольного витка с переменным током i(t) = Imsincot. Будем полагать, что пластина однородная и ее магнитная проницаемость в ходе намагничивания не меняется. Расположение витка относительно пластины, разрез, выполненный вдоль оси координаты х, а также геометрические параметры, которые будут использоваться в дальнейшем, показаны на рисунке 30.
В наших условиях вектор магнитной индукции В в теле пластины выглядит как [53] В = \1(Л где М - комплексный вектор намагниченности. Используя закон полного тока, это равенство можно переписать в виде где 8микро - комплексная плотность объемных микротоков. Здесь 5микро = rotM . Теперь из материального уравнения В = \лН можно получить го(И=щ(8 + 8микро), следовательно, Кроме объемных токов в стальной пластине возникают поверхностные микротоки о икро микро , подчиняющиеся равенствам [53] микро микро = —Rot Л, z = А/2; микро микро = —Rot Л, z = -h/2, которые в терминах напряженности с учетом непрерывности ее тангенциальной составляющей выглядят как Кикро = км\ z = h/2; М-о Щ2,н\ 2 = -И/2. микро М-о В этих условиях по закону Био-Савара-Лапласа напряженность магнитного поля определится равенством - - 1 h/2 t (р) 1 а+ (О) Н(м)= Н(м)+rot—[[ [ dzdSp + rot—\\ микро dS0+ (2.80) 471 S-h/2 ГРМ 4ns+ rQM + rot— \\микро dS0 , 4 S- rQM где S+, S - поверхности пластины z = hi2, z = -hi2 соответственно. Для точки М, находящейся снаружи, как и прежде отождествим пластину с ее срединной поверхностью S{z = О), предварительно разложив \/гРМ в ряд Маклорена (в силу малости h достаточно удерживать лишь первые два слагаемых)