Содержание к диссертации
Введение
РАЗДЕЛ 1 Типы и физико-технические свойства гетерогенных структур и сред 13
1.1 Классификация и области применения гетерогенных структур, сред и материалов
1.2 Упорядоченные гетерогенные среды с двоякопериодической структурой 17
1.3 Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров 23
1.3.1 Основные расчётные соотношения 24
1.3.2 Результаты вычислительных экспериментов 31
Выводы к разделу 1 34
РАЗДЕЛ 2 Математическое моделирование магнитного 36 поля в двоякопериодических гетерогенных средах
2.1 Состояние вопроса 36
2.2 Интегральное уравнение относительно вектора намагниченности 38
среды с применением теории обобщённых аналитических функций
2.2.1 Основные соотношения 38
2.2.2 Практическая реализация основных соотношений для случая оди-41
ночной области
2.2.3 Результаты вычислительных экспериментов 43
2.3 Двоякопериодическая задача для упорядоченной гетерогенной среды 45
2.3.1 Интегральное уравнение с ядром, учитывающим двоякопериодиче-ские особенности среды
2.3.2 Практическая реализация основных соотношений двоякопериоди-ческой задачи 49
2.3.3 Поле двоякопериодической системы однородно намагниченных треугольников
2.3.4 Двоякопериодическая система элементов сложной геометрии 53
2.4 Расчёт силового поля фильтр-матриц полиградиентных сепараторов 57
Выводы к разделу 2 62
РАЗДЕЛ 3 Приведенные (эффективные) параметры упорядоченных гетерогенных сред
3.1 Тензор эффективной проницаемости двоякопериодической системы полых круговых цилиндров
3.1.1 Основные расчётные соотношения 64
3.1.2 Явные формулы для приведенной проницаемости 67
3.1.3 Анализ полученных результатов и численные примеры 70
3.2 Тензор приведенной проницаемости упорядоченной гетерогенной среды с произвольной геометрией фаз
3.2.1 Основные расчётные соотношения 71
3.2.2 Численные расчеты по определению приведенных свойств УГС с произвольной геометрией элементов дискретной фазы
Выводы к разделу 3 80
РАЗДЕЛ 4 Применение теории двоякопериодических сред для анализа силовых полей полиградиентных магнитных сепараторов
4.1 Состояние вопроса 81
4.2 Характеристика силового поля сепаратора 83
4.2.1 Основные расчётные соотношения. 83
4.2.2 Силовое поле одиночного кругового цилиндра. 86
4.2.3 Силовое поле фильтр-матриц. 90
4.3 Исследование динамики частиц в неоднородном магнитном поле 92
4.4 Результаты вычислительных экспериментов 94
4.4.1 Сферическая частица в поле одиночного цилиндра. 94
4.4.2 Траектории движения частиц с учетом произвольной ориентации поля, их начального положения и скорости движения несущей среды.
4.4.3 Траектории движения частиц в полиградиентной среде. 108
113
4.5 Влияние способа учёта магнитных свойств на динамику движения частицы Выводы к разделу 4 115
Заключение 116
Список использованных источников 119
Приложение А Материалы по внедрению результатов диссертации 129
- Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров
- Двоякопериодическая задача для упорядоченной гетерогенной среды
- Основные расчётные соотношения
- Исследование динамики частиц в неоднородном магнитном поле
Двоякопериодическая задача для полых круговых цилиндров
Расчёт потенциального поля в прямоугольной двоякопериодической системе круговых цилиндров с применением метода мультиполей, как уже отмечалось ранее, рассмотрен в классической работе Дж. Рэлея [100]. В [72, 82, 83, 100] эти результаты обобщены на случай произвольной решётки периодов. Ниже изложен разработанный метод расчёта поля в двоякопериодической системе полых круговых цилиндров, расположенных в однородном магнитном поле с напряжённостью Н0.
Рассмотрим произвольную периодическую решётку, в узлах которой расположены центры цилиндров с внутренними и внешними радиусами а и b соответственно (рис. 1.16). Магнитные проницаемости сред обозначим через m1, m2 и m3. Обозначим также основные периоды параллелограмма W через w1 и w2, при этом выберем их так, чтобы выполнялось условие: t=w2/w1, Imt 0.
1. Предложена классификация гетерогенных структур, основанная на различии геометрических и физических параметров компонентов, их масштабов, типов происхождения и агрегатного состояния, назначением, области применения и др.
2. Для двумерных упорядоченных структур сформулировано универсальное условие двоякопериодичности произвольной многокомпонентной гетерогенной среды, полученной объединением правильных структур более низкого уровня. Это условие может быть полезным при решении задач композиции и декомпозиции в процессе анализа и синтеза таких структур. 3. На основе метода мультиполей обобщена классическая задача для системы сплошных круговых цилиндров в прямоугольной решетке на случай дво-якопериодической системы полых круговых цилиндров с произвольными периодами. Задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений для моментов мультиполей.
4. Предложено два способа построения комплексных потенциалов – в виде разложений с ограниченной областью сходимости в ряд в окрестности центрального цилиндра и в виде суммы квази- и двоякопериодических функций, определяющих составляющие потенциала соответственно от диполей и мульти-полей более высокого порядка во всей комплексной плоскости.
Двоякопериодическая задача для упорядоченной гетерогенной среды
Интегральное уравнение с ядром, учитывающим двоякопериодиче-ские особенности среды. Рассмотрим систему диполей с одинаковыми моментами
М, расположенных в точках mod(1, 2). Их комплексный потенциал и напряжённость поля [62]
Рассмотрим вначале случай mе=m0. В данном случае вне области D J(z)=0 и задача расчета характеристик поля в произвольной точке сводится к расчету распределения вектора намагниченности J(z) в D.В заключение отметим, что в общем случае, когда внешняя среда имеет нелинейные магнитные свойства и область расположения магнетиков не является компактной, интегрирование необходимо распространить на всю область основного параллелограмма периодов Q. Другими словами, в основных уравнениях (2.24), (2.25) и вытекающих из них соотношениях под областью D следует понимать основной параллелограмм периодов Q. Важно отметить, что граничные условия на границе Г при этом выполняются автоматически, а двоякопери-одическое распределение намагниченности в комплексной плоскости Е учитывается двоякопериодической -функцией Вейерштрасса, т.е. ядром интегрального уравнения. Именно это обстоятельство делает предложенный метод решения полевых задач в дискретно-периодических средах наиболее предпочтительным.
Ниже приведены примеры численного моделирования, иллюстрирующие возможности изложенного метода. На рис. 2.4 показаны силовые и эквипотенциальные линии (соответственно сплошные и пунктирные линии) для ГС, образованной правильной системой равносторонних треугольников со стороной а=2, основные периоды 1=3, а 2=3/, магнитные параметры JLXZ=1000JLIO, jne=jLio (AM).
иллюстрирует задачу обтекания. Здесь магнитные проницаемости равны, остальные данные такие же, как в предыдущем примере.
Поле ГС с нелинейными магнитными свойствами показано на рис. 2.7. Исходные данные: 1=3, 2=1.5+2.5/, кривая намагничивания задана выражением В=0,2Arsh(5#). Дискретные включения имеют вид гайки со стороной 1 и диаметром окружности 1. Штриховкой на рис. 2.7,а и б отмечена магнитная среда, остальная часть пространства - воздух.Предлагаемый метод базируется на расчете поля произвольной двоякопе-риодической структуры ферромагнетиков в однородном магнитном поле.
Фильтр-матрица сепаратора представляет собой регулярную структуру, образованную двоякопериодической системой ферромагнитных тел одинаковой геометрии (рис. 2.8).
Пусть В(Н) – известная характеристика намагничивания ферромагнетиков. В линейном случае В=mH, где m=const – магнитная проницаемость тела.
Напомним, что решением интегрального уравнения (2.25) или (2.26) есть распределение вектора J(z) для произвольного значения H0 в объёме одного ферромагнитного элемента D или на его границе Г.
Основные расчётные соотношения
Как уже отмечалось во введении УГС встречаются во многих практических приложениях. Однако, подавляющее большинство теоретических исследований [28, 29, 66, 83, 98] посвящено ГС с канонической формой включений при их относительно малой концентрации. В достаточно общей постановке без ограничений на геометрические параметры ГС линейная задача рассмотрена в статьях [62, 80, 88], а её обобщение на случай включений с нелинейными анизотропными свойствами - в последующих работах [68, 76].
Данный пункт посвящён исследованию магнитных анизотропных свойств приведенной УГС с произвольной формой включений и произвольным уровнем их концентрации, поскольку эти вопросы не получили достаточного освещения в литературе [85].
Основные расчётные соотношения. Во многих случаях ввиду отсутствия геометрической симметрии невозможно «априори» указать направления осей анизотропии приведенной среды. Пример такой ГС показан на рис. 3.2. Вместе с тем изложенные в разделе 2 методы позволяют рассчитать распределение вектора намагниченности в пределах основного параллелограмма периодов при произвольных ориентациях системы координат x, y и внешнего поля напря женностью Но.
Рассмотрим в комплексной плоскости Е среду с регулярной структурой, образованную множеством конгруэнтных групп магнетиков. Каждой группе тел соответствует ограниченная (в общем случае многосвязная) область D UD с достаточно гладкой границей Гтп = \JГJm л (/=1, 2, ..., к; т,п = О, +1, +2, ...). Область Д)о, соответствующую основному параллелограмму Q с периодами т и 2, обозначим для удобства через D. Соответственно Г00=Г. Внешнюю по отношению к магнетикам область обозначим через De=E\UDi. Магнитные свойства среды зададим вектором относительных магнитных проницаемостей [\х\: \х=\ в
De и ц,=Ц/ в Dj.
В основе полевого подхода к решению рассматриваемой задачи лежат приведенные в п. 2.3 выражения для поля двоякопериодической системы диполей с одинаковыми магнитными моментами М, расположенных в точках = mod((Di, cm). Очевидно, что приведенные магнитные свойства УГС полностью определяются полным дипольным моментом через распределение вектора намагниченности всех магнетиков, расположенных в основном параллелограмме периодов
Расчет распределения вектора намагниченности в двоякопериодической системе магнетиков детально рассмотрен в разделе 2 и основан на решении интегрального уравнения J(z) = 2lH 0 - lПJ . (3.28) в котором интегральный оператор ПJ по области D можно заменить граничным по границе этой области Г (см. п 2.5)
Таким образом, для определения тензора к в произвольной системе координат х, у достаточно рассчитать компоненты приведенных векторов намагниченности для двух взаимно перпендикулярных полей #о. Приведём тензор к к диагональному виду к с главными значениями кп, к22 (к12 =к21 = 0) введением новой системы координатору, полученной поворотом старой на угол а (рис. 3.4).
Из последнего соотношения определяем направления главных осей тензора приведенной восприимчивости k 2к (3.35)Соотношение (3.35) определяет два взаимно перпендикулярных направления главных осей тензора к, которым соответствуют значения углов и а2.
Эти значения определяются с учётом периодичности функции arctg, период которой равен ±71, т.е.
Однако последнее соотношение не устанавливает связи главных значений тензора к с направлениями главных осей. Эту информацию можно получить путём решения системы однородных уравнений [42] оторая определяет два вектора A i с компонентами a[ и a\ направления главных осей, соответствующих главным значениям \ и Х2. Однако на практике решение системы (3.41) приводит к неопределенностям вида 0/0, для раскрытия которых требуются дополнительные исследования. Поэтому для практического нахождения главных осей и главных значений тензора направлений приведенной восприимчивости к целесообразно использовать установленные выше соотношения (3.36) - (3.38).
Ниже приведены примеры численного моделирования, иллюстрирующие возможности изложенного метода.
Для ГС рис. 3.2 приняты следующие параметры: JLL1 = 1000, JLL2 = JLL3 =, w1=2, w2=3,2j, FW=6,4. В результате расчета получены следующие значения: для Н0=1 Рx1=12,64896, Рy1=12,73088; для Н0=1j Рx2=12,07388, Рy2=42,8736. Тогда k11=Рx1/(FWН01)=1,9764, k22=Рy2/(FWН02)=6,699, k12=Рx2/(FWН02)=1,9892 и аналогично k21=Рy1/(FWН02)=1,9892. Из выражений (3.36) находим направления главных осей тензораk : a1=–20,06, a2=69,94. Соответствующие им главные значения тензора k согласно (3.37) и (3.38) равны k11 = 1,25, k 22 = 7,425. Без привязки к направлениям главных осей эти же главные значения тензора k можно получить применением формулы (3.40). Соответствующие значения компонентов диагонального тензора относительной магнитной проницаемости m : m11 = 2,25, m22 = 8,425
Исследование динамики частиц в неоднородном магнитном поле
Приведенный анализ ещё раз подтверждает тот факт, что на траекторию движения частица оказывает влияние не только направления внешнего поля, но и скорость несущей среды. В непосредственной близости частицы к возмущающему телу определяющую роль её траектории движения оказывает именно магнитная сила.
Траектории движения частиц в полиградиентной среде. Приведенные выше результаты имеют в основном иллюстративный и методический характер. Больший практический интерес [102] представляет исследование движения магнитных частиц в полиградиентной среде с произвольными геометрическими параметрами элементов фильтр-матрицы. Расчёт локальных характеристик магнитного поля в таких средах детально рассмотрен в разделе 2. В базовом уравнении движения частиц (4.17) неизменной остаётся только гравитационная сила Fg . Что же касается магнитной Fm и гидродинамической Fv сил, то аналитические выражения для них в общем случае получить невозможно. Расчёт векторного поля скоростей движения несущей среды u(r) может быть получен путём решения классического уравнения ламинарного обтекания сплошных решёток и здесь не рассматривается. Что же касается векторного поля магнитной силы, то его легко получить численным методом на основе результатов, полученных в разделе 2. В связи с этим решение уравнения движения частицы (4.17) в рассматриваемой постановке может быть реализовано только численным методом.
Как уже отмечалось выше, определяющее влияние на частицу вблизи тела, формирующего неоднородное магнитное поле, оказывает именно магнитная сила. На рис 4.28 показаны области расчёта (обозначены пунктиром) для фильтр-матриц сложной геометрии (согласно рис. 4.9). В качестве примера для расчетной области 4.28,а на рис. 4.29,а-д показаны силовые и эквипотенциальные линии магнитного поля, а на рис. 4.29,е-к – траектории движения частиц в поле магнитных сил (показаны стрелками) для расчётных параметров, аналогичных рассмотренным в п. 4.2.2.
Как показано в п. 4.4.1 при определённых сочетаниях магнитных параметров частиц и внешнего поля траектории движения частиц могут существенно отличаться. Этот вывод получен на основе базовых соотношений для расчёта магнитных сил (4.6) и (4.7) (соответственно для предположений /=const или K=const для «сильных» и «слабых» полей, см. рис. 4.31). Вместе с тем при движении частиц в потоке они проходят магнитные поля широкого диапазона интенсивности, что приводит к изменению их магнитных свойств. Например, суперпарамагнитные частицы на основе оксида железа в диапазоне 0 Я 60-П00 кА/м характеризуются примерно постоянной магнитной восприимчивостью, а в более сильном поле находятся в насыщенном состоянии [44]. Поэтому учёт изменяющихся магнитных свойств частицы должен производиться синхронно с процессом движения частицы путём определения текущей интенсивности поля. Такой комбинированный подход к учету магнитных свойств частиц в настоящее время в технической литературе не описан. Он может быть реализован на основе идеализированной модели, приведенной на рис. 4.31, когда при о Не Н принимается концепция K=const, а при я Н - J=const. 114 рассчитанные при следующих числовых значениях: радиусы цилиндра и частицы соответственно R = 2 10 3 м и а = 5 10 6 м; индукция В0 = 0,5 Тл (направление вдоль оси х), плотности несущей среды (вода) и частицы соответственно рс=1,05-103 кг/м3 и р=4,5-103 кг/м3; динамический коэффициент вязкости Л=1,2- Ю-3 Пас; скорость среды их=иу= -0,008 м/с, А,=1, магнитная восприимчивость частицы к=1 (для модели учёта магнитной силы согласно (4.7)), намагниченность J=3,12105 А/м (для модели учёта магнитной силы согласно (4.8)), Я = JI к = 3,12105 А/м (согласно принятого обозначения - см. рис. 4.31); координаты начального положение частицы (-3R, -2R). На рис. 4.32 обозначены: Т -время движения частицы, vо — скорость частицы в момент осаждения на поверхности цилиндра, а — угол осаждения частицы на поверхности цилиндра относительного оси х.
Приведенные результаты показывают, что применение моделей постоянства магнитной восприимчивости (кривая 2) или намагниченности (кривая 1) дают «положительный» результат — извлечение частицы при несущественном отличии траекторий и углов осаждения, но различном времени движения. В то же время комбинированная модель для приведенных параметров среды и частицы даёт «достоверный» результат - частица не извлекается (кривая 3).
115 Проведенный в п.4.4 анализ выполнен для одиночной сферической частицы
при упрощающих предположениях относительно характера магнитного поля. Основной акцент сделан на иллюстрации важности достоверного учёта магнитных свойств сепарируемого материала. В реальных условиях действует множество осложняющих факторов, которые могут проявляться в различных сочетаниях, и их учёт требует соответствующего обоснования. Среди таких факторов следует отметить неоднородность магнитных и гранулометрических параметров сепарируемой смеси, сложный механизм взаимодействия намагниченных частиц, их структурирование, воздействия капиллярных, диффузионных, адгезионных и др. сил, определяющих поведение смеси в неоднородном магнитном поле. Однако комплексный учёт этих факторов выходит за рамки данной диссертации.
1. Показано, что принятые в настоящее время подходы к вычислению магнитной силы, действующей на частицу в неоднородном магнитном поле, могут даже в простейшем случае одиночного цилиндра давать существенно разные параметры её движения.
2. Практическими расчетами подтверждено существенное влияние на распределение силы магнитного поля формы элементов фильтр-матрицы. Для синтеза оптимальных конструкций фильтр-матриц полиградиентных сепараторов эффективно можно использовать разработанную теорию двоякопериодических гетерогенных структур.
3. Проведенные расчёты параметров движения частиц в неоднородном магнитном поле показывают, что пренебрежение отличием внутренней и внешней напряженностей поля приводит к незначительной погрешности только при малых значениях магнитной восприимчивости.
4. Повышение точности моделирования процессов движения магнитных частиц в неоднородном магнитном поле может быть обеспечено при учёте комбинированной модели магнитного состояния материала, когда в слабых полях принимается допущение о постоянстве магнитной проницаемости, а в сильных – намагниченности частиц.
В диссертационной работе решена актуальная научная задача разработки методов анализа локальных и приведенных магнитных свойств двоякопериоди-ческих структур на основе полевого подхода, базирующегося на методе интегральных уравнений относительно вектора намагниченности среды, направленных на повышение точности и достоверности расчётов магнитного поля в области теоретической и прикладной электротехники, связанной с применением таких сред.
Основные научные результаты и выводы, полученные в работе, состоят в следующем.
1. На основании проведенного анализа существующего состояния исследования вопросов повышение точности и достоверности расчётов магнитного поля в двоякопериодических структурах обосновано целесообразность разработки новых универсальных и рациональных с точки зрения использования вычислительных ресурсов методов численного моделирования магнитостатических полей в двоякопериодических структурах усложненными геометрическими и физическими параметрами.
2. Предложена классификация гетерогенных структур, основанная на различии геометрических и физических параметров компонентов, их характерных размерах, типов происхождения и агрегатного состояния, назначения, области применения.
3. Для двумерных упорядоченных структур сформулировано универсальное условие двоякопериодичности произвольной многокомпонентной гетерогенной среды и определены параметры основного параллелограмма периодов.