Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели дискретных СС при наличии помех .
1.1 Структурные схемы СС.
1.2 Математические модели СС
1.3 Выводы по первой главе.
Глава 2. Статистические характеристики ДСС 1-го порядка при отсутствии помехи на входе
2.1 Метод Галеркина.
2.2 Метод замены интегрального ядра .
2.3 Срыв слежения в дискретной СС 1-го порядка
2.4 Выводы по второй главе.
Глава 3. Статистические характеристики ДСС 1-го порядка при наличии гармонической помехи на входе .
3.1 Метод Галеркина.
3.2 Метод замены интегрального ядра
3.3 Выводы по третьей главе.
Глава 4. Статистические характеристики фазового рассогласования ДСС 2-го порядка .
4.1 Вид уравнения Колмогорова - Чепмена для случая отсутствия помехи.
4.2 Вид уравнения Колмогорова - Чепмена для случая наличия помехи .
4.3 Сравнение результатов, полученных различными методами
4.4 Выводы по четвёртой главе.
Глава 5 Сравнение ПРВ ДСС 1-го порядка и ПРВ ДСС 2-го порядка .
5.1 Исходные данные.
5.2 Результаты анализа.
5.3 Выводы по пятой главе.
Глава 6. Анализ приближенных методов для получения статистических характеристик ДСС 1-го порядка .
6.1 Сравнение метода Галеркина и метода "Замены интегрального ядра".
6.2 Влияние размерности системы уравнений на вид статистических характеристик
6.3 Сравнение результатов, полученных различными методами
6.4 Выводы по шестой главе.
Глава 7 Статистическая динамика систем синхронизации на переключаемых конденсаторах .
7.1 Модель системы синхронизации с переключаемыми конденсаторами
7.2 Воздействие шума на систему синхронизации с переключаемыми конденсаторами
7.3Алгоритм вычисления и результаты моделирования плотности распределения вероятности фазовой ошибки х
7.4 Выводы по седьмой главе.
Заключение
Литература
- Математические модели СС
- Метод замены интегрального ядра
- Вид уравнения Колмогорова - Чепмена для случая наличия помехи
- Влияние размерности системы уравнений на вид статистических характеристик
Введение к работе
Актуальность работы
Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно-измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем синхронизации (СС) [10,21,22,26,39,40,69]. Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов,[29,40,69] когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, [10] синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, [40,69] измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, [22,29] синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов.
В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, [38,32,33,51] что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Выбором структуры колец и входящих в них узлов появилась возможность создавать варианты систем, обладающих требуемыми характеристиками по точности и надежности работы, быстродействию, помехоустойчивости для различных типов входных сигналов и законов модуляции. За счет усложнения режимов работы колец стало реальностью создание гибких алгоритмов обработки информации, оптимизации параметров и характеристик.
Большой интерес в последнее время вызывает поведение систем в условиях помеховых воздействий [51]. Анализ реакции системы на действие помех весьма важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точностные-характеристики системы. При этом статистические моменты фазовой и частотной ошибок слежения (среднее и среднеквадратическое значения) не дают полной информации о поведении СС. Поскольку СС - существенно нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния [51]. Особенностью СС с рядом других систем (не фазовых является существование множества устойчивых состояний равновесия, а в отдельных предельных случаях и устойчивых периодических движений 1-го и 2-го рода,[19] что еще более усложняет картину при действии шумов. Ситуация становится еще более сложной, если на вход системы кроме шумового воздействия поступает и узкополосная негауссовская помеха в виде детерминированного сигнала [51] . В качестве последнего может выступать помеховый сигнал, по структуре повторяющий полезный.
Учет комбинированного воздействия позволяет ответить на вопрос об эффективности функционирования СС [55,56] в условиях сосредоточенной по частоте помехи, что становится крайне актуальным, например, в условиях непрерывно расширяющегося числа одновременно работающих радиосредств. Примером могут служить помехи по основному каналу приема, [56] характерные для систем подвижной связи, повторно использующих одни и те же частоты при формировании сотового частотного режима.
Основы теории исследования статистических характеристик СС с использованием их марковских моделей заложили Р.Л. Стратонович и В.И. Тихонов. Значительный вклад в теорию синхронизацию внесли Бакаев Ю.М., Белых В.Н., Вайнберг А., ВитербиА., Жодзишский М.И., Капранов М.В., Кулешов В.Н., Линдсей В., Разевиг В.Д., Сизых В.В., Холмс Дж., Удалов Н.Н., Шалфеев В.Д., Шахтарин Б.И. и другие.
Статистическая динамика дискретных систем синхронизации исследовалась в работах Белых В.Н., Вайнберг А., ВитербиА., Жодзишский М.И., Разевиг В.Д., Сизых В.В., Холмс Дж, Шахтарин Б.И. и др.
Основы теории исследования статистических характеристик СС методами Галёркина и расщеплением интегрального ядра заложили в своих работах Б.И Шахтарин и его ученики [51,55,56,59].
Исследованиям дискретных СС в условиях даже простейших узкополосных помех посвящено ограниченное число работ, [18,50,51,54 56]среди которых следует отметить исследования профессора Б.И. Шахтарина и его учеников.
Подобную ситуацию можно объяснить следующими причинами. Во-первых, представляет собой достаточно серьёзную проблему переход исходных стохастических уравнений к марковским моделям, не существует общей методики перехода; ситуация значительно усложняется в условиях узкополосных воздействий [2,55,56]. Во-вторых, необходимо обеспечить строгий переход от марковской модели к векторному уравнению Колмогорова - Чепмена, корректно подстроив условную плотность вероятности перехода; сложность вызвана периодическим характером фазового пространства по фазовой координате [18]. В-третьих, усложняется задача о среднем времени до срыва слежения. Даже наличие простого сигнала без помехи, но с изменяющейся частотой, существенно усложняет решение задачи о срыве [2].
Критический анализ работ, в которых исследуются статистические характеристики дискретных СС [2,9,18,20,25,33,38,51,59,65,67 и др.] показывает, что число таких работ достаточно ограничено. Дискретные СС исследовались основном в случае воздействия на СС гаусовского шума [2,3,9,11,20,32,37,38,58,66,74]. Исследованию одновременного влияния шума и гармонической помехи посвящены единичные работы [50,51,54-56]. Отсутствуют эффективные методики исследования, а следовательно, и методика расчёта статистических характеристик, особенно в условиях сложной помехой обстановки. Это приводит к необходимости разработки как прикладных методов анализа статистических характеристик дискретных СС, так проведения исследований с помощью этих методов конкретных моделей СС для технических приложений.
В связи с вышеизложенным, тема диссертации, посвященная разработке методов и анализу статистических характеристик дискретных систем синхронизации при одновременном воздействии шума и гармонической помехи с применением этих методов, является актуальной.
Цели и задачи диссертации. Целью диссертационной работы является разработка прикладных методов анализа дискретных систем синхронизации, позволяющих проводить расчёт статистических характеристик импульсных и цифровых СС с учётом воздействия аддитивной смеси полезного сигнала, узкополосной помехи и гауссовского шума.
Задачи, решаемые в диссертации. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:
1. Разработка математических моделей ряда дискретных СС с использованием метода марковских процессов.
2. Разработка методик решения интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена приближёнными методами.
3. Получение и анализ плотностей распределения вероятности фазовой ошибки дискретных СС 1-го при наличии гармонических помех до срыва слежения.
4. Разработка методики определения среднего времени до срыва слежения.
5. Решение векторного уравнения Колмогорова-Чепмена.
6. Получение и анализ статистических характеристик дискретных СС 2-го порядка при наличии гармонических помех до срыва слежения.
7. Сравнение ПРВ дискретных СС 1-го порядка на основе приближённых методов и ПРВ дискретных СС -2 порядка, на основе метода марковских моделей. Отыскание областей применения приближенных методов при анализе дискретных СС 1-го порядка.
8. Срыв слежения в цифровых системах синхронизации с прямоугольной нелинейностью.
9. Исследование систем синхронизации с переключаемыми конденсаторами (ПК). Получение статистических характеристик СС с ПК первого и второго порядков.
Общая методика исследований. Разрабатываемые в диссертации методы анализа статистических характеристик дискретных СС базируются на общих положениях качественных методов теории дискретных СС и теории разностных уравнений, теории марковских процессов и цепей.
Для решения поставленных задач используется компьютерное моделирование, численное решение нелинейных стохастических разностных уравнений.
Разработанные методы и алгоритмы анализа статистических характеристик дискретных, в том числе и цифровых, СС ориентированы на использование персональных компьютеров. Научная новизна результатов.
1. Получены функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных СС для случая воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума.
2. Предложена методика решения интегрального уравнения Колмогорова- Чепмена с учетом воздействия полезного сигнала и гармонической помехи, позволяющая получать ПРВ ошибки фазового рассогласования дискретных СС 1-го порядка.
3. Разработана методика определения среднего времени до срыва слежения различных типов входных воздействий.
4. Предложена методика численного решения векторного уравнения Колмогорова - Чепмена с учетом воздействия полезного сигнала, шума и гармонической помехи, позволяющая получать ПРВ ошибки фазового рассогласования дискретных СС 2-го порядка.
5. Были получены статистические характеристики фазового рассогласования ДСС 1 и 2-го порядка, дисперсии фазовой ошибки слежения, среднего времени до срыва и его дисперсии, при использовании метода Галёркина и численно-аналитических методов.
6. На основе разработанных методик и алгоритмов автором создано программное обеспечение для анализа статистических характеристик различных дискретных систем.
7. С помощью разработанных методик и алгоритмов выполнено исследование ряда дискретных СС. В отношении ряда систем получены уточняющие по сравнению с известными результаты [11,51] (за счёт применения более эффективных методик). Ряд систем исследован впервые. Проведено сравнение ПРВ сигнала рассогласования дискретных СС 1-го порядка и ПРВ сигнала рассогласования дискретных СС 2 -го порядка. Получены области применения приближённых методов при анализе дискретных СС 1-го порядка. Изучено влияние размерности уравнения на результаты вычислений.
8. Рассмотрены три варианта цифровой системы синхронизации. Проведен теоретический расчет среднего времени до срыва слежения, а также результаты численного моделирования указанного явления.
9. Проведен анализ систем синхронизации с переключаемыми конденсаторами (ПК).
Практическая ценность диссертации
1. В диссертации разработаны методики исследования, позволяющие определить основные статистические характеристики различных дискретных СС. Разработаны алгоритмы для расчёта статистических характеристик; созданные автором программы апробированы в МГТУ им. Н.Э. Баумана, Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России.
2. Разработанные программы позволяют оптимизировать параметры фильтра в цепи управления с целью обеспечения заданных статистических свойств дискретных СС при воздействии полезного сигнала и помехи.
3. Предложенные и развитие в диссертации методики и разрабатываемые на их основе алгоритмы и программы могут быть использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах для анализа статистических свойств дискретных СС и синтеза дискретных СС различного назначения.
Положения выносимые на защиту.
1. Эквивалентные функциональные схемы и марковские модели ряда дискретных моделей СС для случаев воздействий в виде смеси полезного колебания, детерминированной помехи и широкополосного гауссовского шума.
2. Методика численно-аналитического решения интегрального уравнения Колмогорова-Чепмена для дискретных СС 1-го порядка в случае наличия и отсутствия гармонических помех.
3. Методика численно-аналитического определения среднего времени до срыва слежения для дискретных СС 1-го порядка в случае отсутствия помех.
4. Результаты исследования систем синхронизации с переключаемыми конденсаторами (ПК).
5. Сравнительные характеристики ДСС 1-го и ДСС 2-го порядков.
6. Результаты моделирования статистических характеристик ДСС 1-го, ДСС 2-го порядков и СС на ПК.
Объём и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, восьми разделов, заключения, списка литературы ( 80 наименований), приложения и изложена на 161 листах машинописного текста, включая 48 листов иллюстраций. Внедрение результатов работы.
1. НИР [75-79], проводимые на кафедре «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им Н.Э. Баумана.
2. Учебный процесс: учебное пособие [54].
3. Лабораторные работы на кафедре «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им Н.Э. Баумана.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-техническом семинаре РНТОРЭС им. А.С. Попова "Синхронизация, формирование и обработка сигналов", Ярославль 2003, научных семинарах кафедры «Автономные информационные и управляющие системы» МГТУ им Н.Э. Баумана.
«Публикации. Основные результаты диссертации изложены в работах [18,53-57,74-78 ] из них 5 отчетов по НИР.
Математические модели СС
В качестве воздействия на входе СС рассматривается аддитивная смесь полезного сигнала, широкополосного гауссового шума, а также ряда гармонических составляющих, определяющих детерминированное паразитное колебание [51]: SJk) = Asin(o}ckT0+ec(k)) + n1(k) + YJAiSin(Z}ikT0+9i(k)) (1.1) где А,сос,6с(к) - амплитуда, частота несущей и закон изменения фазы полезного колебания, At,co.,e.(k) амплитуда, частота несущей и закон изменения фазы / - ой составляющей паразитного детерминированного колебания, п,(к) — шумовые отсчеты с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а. Так как сигнал поступает на вход СС после прохождения линейного тракта с ограниченной полосой пропускания, шумовые отсчеты п(к) удобно представить в виде квадратур: nl(k) = nc(k)cos(u)0kT0) + ns(k)sin(u50kT0) (1.2) где У0-частота, на которую настроен линейный тракт, nc(k),ns(k)-независимые гауссовые шумовые отсчёты. Колебания на выходе синтезатора можно описать следующим образом: иц(к) = Ацсов( 0кТ0+вц(к)), (1.3) где А ,9ц(к)- амплитуда колебаний и закон изменения фазы на выходе синтезатора соответственно, Т0- период дискретизации.
Анализ выражения (1.9) для колебания на выходе ФД позволяет свести функциональную модель цифровой СС при наличии комбинированного входного воздействия (помехи) к виду, изображённому на рис 1.3. Особенностями полученной эквивалентной схемы является наличие пересчитанного на выход детектора входного шума, а также ряда идентичных блоков по числу гармонических составляющих подсуммирование к ошибке слежения системы разностных фаз между полезным воздействием и соответствующей гармонической составляющей помехи. Рассмотрим вид разностных уравнений в новых обозначениях и при конкретных законах изменения фаз полезного сигнала и фаз детерминированного паразитного воздействия. В главе получены математические модели в форме стохастических разностных уравнений для дискретных СС в случае наличия комбинированных воздействий, представляющих собой аддитивную смесь полезного колебания, детерминированной помехи в виде ряда из N гармонических составляющих и гауссовского шума.
Получена эквивалентная функциональная схема СС, согласно которой шумовой воздействие пересчитывается на выход фазового детектора в виде аддитивной широкополосной гауссовской составляющей, учёт гармонических составляющих помехи эквивалентен введению параллельно основному N фазовых детекторов, при чём происходит суммирование разности Рассматриваются СС с равномерной дискретизацией, получившие достаточно большое распространение в различных областях радиотехники и связи. Представителем этой группы является схема Костасах [51] с квадратурным аналого - цифровым преобразованием входного сигнала. Структурная схема СС с равномерной дискретизацией. Полоса пропускания Лсоп полосового фильтра обычно выбирается равной полосе входного сигнала. Отсчеты входного сигнала sex(k) перемножаются на отсчёты сигнала иц(к) синтезатора частот. Полученные в результате перемножения отсчёты ид(к) поступают на цифровой фильтр. На выходе ЦФНЧ образуется сигнал и (к), который управляет частотой ЦСЧ. Схема, приведенная на рис. 1.1 относится к классу СС с аналога -цифровым преобразованием огибающей входной смеси на входе кольца [16] Ей присущи некоторые недостатки, из - за которых она не нашла практического применения. В частности, представляет большую проблему паразитная составляющая суммарной частоты на выходе фазового детектора и возникающая в результате перемножения двух последовательностей. Дело в том, что в цифровом виде внутри кольца по причине периодичности характеристик фильтрующих звеньев не удается эффективно подавить эту составляющую. Наличие ее в конечном итоге приводит к паразитным периодическим движениям с недопустимо большой амплитудой, исключающим наступление синхронизма. Освободиться от нее можно лишь удачным подбором рабочих частот, что не всегда удается сделать. Для непрерывных систем использование перемножителя в качестве фазового-детектора не приводит к проблеме суммарной составляющей, поскольку от ней можно легко избавиться с помощью простого фильтра нижних частот, не оказывающего влияние на процессы в кольце.
В значительной степени свободной от проблемы с суммарной составляющей является схема Костаса - СС с квадратурным аналого-цифровым преобразованием на входе, приведенная на рис 1.2. В состав схемы входит квадратурный аналого-цифровой преобразователь (КАЦП), два идентичных цифровых перемножителя, вычитатель кодов, умножитель кодов S,, сглаживающий фильтр, состоящий из цифрового интегратора, выполненного на основе накопительного сумматора НСь пропорционального звена с коэффициентом умножения т и линейного сумматора, цифровой интегратор, выполненный на основе накопительного сумматора НСг, два функциональных преобразователя ФПі и ФПг, представляющие собой синтезаторы отсчетов сигналов соответственно синусоидальной и косинусоидальной форм.
Особенностью схемы является наличие на входе квадратурного аналого-цифрового преобразователя, осуществляющего формирование двух квадратурных кодовых последовательностей, соответствующих входному сигналу. Вид характеристики формируется за счет реализации математических операций с помощью двух перемножителей и вычитателя, на которые подаются квадратуры соответственно входного и выходного сигналов. Использование квадратурного детектора позволяет решить проблему суммарной составляющей, характерную для цифровых детекторов на основе одноканального перемножителя. В случае квадратурного преобразователя появление суммарной составляющей объясняется только неидентичностью каналов и нестрогой фазировкой квадратур, что с учетом относительного постоянства рабочих частот может быть сведено к минимуму.
Метод замены интегрального ядра
Срыв слежения в дискретных СС рассмотрен в работах [2,3,37,50,51,74] Определим статистические характеристики времени до срыва слежения для дискретной СС 1-го порядка в случае отсутвия гармонической помехи. Обозначим dk(x0) вероятность того, на к- м шаге движения точки из положения JCO произойдет её выход из интервала (х ;х+).
Анализ этих зависимостей позволяет указать на следующие закономерности. Общей и заметной особенностью всех графиков является пороговый характер зависимости времени срыва от начальной расстройки времени до срыва. При этом в случае отсутствия частотной расстройки время до срыва максимально и примерно одинаково для начальных фазовых рассогласований из диапазона примерно (-л;л). Как только начальная разность фаз приближается к указанному диапазону или не попадает в него, наблюдается резкое уменьшение среднего времени слежения. В случае наличия расстройки по частоте, как на рис 2.13-2.14 наблюдается несимметричность зависимости, хотя также существует диапазон изменения этой разницы в пределах примерно 2я, где время до срыва максимально и постоянно, а за которым резко уменьшается. Описанные особенности легко объяснить с позиции динамики детерминированной системы. Например, в случае отсутвия расстройки, все фазовые траектории, начавшие своё движение из диапазона (-тг;п), будут направлены к устойчивому состоянию равновесия. В то же время траектории, не попадающие в этот диапазон, будут направлены к устойчивым соседним состояниям равновесия.
Изучая зависимости, можно отметить пропорциональный рост среднеквадратического отклонения до срыва. Данный факт означает, что на практике время слежения будет заметно отличаться в различных реализациях событий срыва слежения. Дальнейший анализ позволяет указать на ряд зависимостей срыва слежения от параметров системы и входного воздействия. Как следует из рис 2.11 время до срыва слежения увеличивается с уменьшением полосы системы, следовательно меньшей интенсивности шума внутри кольца. Из физических соображений легко предположить, что при увеличении дисперсии шума на выходе наблюдается снижение среднего времени до срыва слежения, что подтверждается рис 2.12. Наличие начальной частотной расстройки приводит к заметному снижению среднего времени нахождения системы в синхронизме.
Данный факт можно объяснить тем, что при увеличении частотной расстройки устойчивая стационарная точка системы приближается к неустойчивой, что создаёт более благоприятные условия для перехода системы из состояния синхронизма в точку, расположенную по другую сторону от неустойчивой точки, откуда движения направлены преимущественно в сторону соседнего состояния синхронизма. 1. Во второй главе были разработаны приближённые методы (метод Галёркина и метод замены интегрального ядра) решения интегрального уравнения Колмогорова - Чепмена для дискретной СС 1-го порядка в случае отсутствия помехи на входе. 2. С помощью разработанных методов были получены статистические характеристики (ПРВ ошибки фазового рассогласования) дискретных СС 1-го порядка. 3. В частном случае отсутствия расстройки было показано, что численные ряды аппроксимирующие ПРВ сигнала рассогласования быстро сходятся. С помощью метода Галеркина были определены статистические характеристики времени до срыва слежения для дискретной СС 1-го порядка в случае отсутствия гармонической помехи. Анализ полученных характеристик позволил выделить ряд зависимостей, объясняющие поведение графиков.
Вид уравнения Колмогорова - Чепмена для случая наличия помехи
Подобный случай представляет интерес для объяснения результатов, полученных ниже для ПРВ фазовой ошибки при наличии частотной расстройки. С ростом интенсивности помехи наблюдается увеличение дисперсии фазовой ошибки, постепенно приводящее к появлению двумодальности ПРВ. Данный результат объясняется ростом эквивалентного коэффициента усиления системы, приводящим в конечном итоге к потере устойчивости нулевого состояния и появлению циклического движения 1-го рода со средним значением периода к = 2. С учетом фазового сдвига между полезным сигналом единичной амплитуды и помехой их сумму можно рассматривать как колебание с амплитудой b = jl+Af + 2Alcos(01) ,при этом можно перейти к эквивалентной схеме, у которой на входе отсутствует гармоническая помеха. Соответственно, эквивалентный коэффициент усиления увеличивается в Ъ раз. На рис. 4.3 - 4.4 приведены установившиеся ПРВ фазовой ошибки при ненулевой частотной расстройке гармонической помехи для различных моментов времени (согласно номеру кривых). Зависимости получены при К = 1, р = 10дБ. Нормированная частотная расстройка помехи составляет величину 2к11, где /-целое число. В этом случае установившаяся картина изменения ПРВ во времени имеет фиксированную структуру с числом кривых, равным / (для рис. 4.3-4.4 - 1 = 4). Очевидно, что ПРВ в определенный момент времени, соответствующая конкретному фазовому сдвигу помехи, не совпадет с ПРВ, полученной для того же фазового сдвига при нулевой частотной расстройке, т.к. формирование ПРВ на очередном шаге происходит с учетом ПРВ на предыдущем шаге. В тоже время основные качественные результаты, полученные для ПРВ при нулевой частотной расстройке, характерны и для случая ненулевой расстройки с поправкой на динамический характер процессов. В связи с этим можно говорить об усредненной ПРВ по времени, дающей более ясное представление о среднем значении и дисперсии фазовой ошибки. Примеры усредненных по времени ПРВ приведены на рис. 4.5-4.6 для K = l, y = 2,d = 1,р = 6дБ. С ростом интенсивности помехи происходит увеличение дисперсии фазовой ошибки и наблюдается асимметричность ПРВ. Асимметричность ПРВ приводит к смещенной оценке фазовой ошибки. При некотором достаточно высоком значении мощности гармонической помехи наблюдается срыв слежения, и система переходит в режим биений. В этом случае ПРВ достаточно равномерно распределяется по всему диапазону (-я; я). Анализ зависимости усредненной ПРВ от частотной расстройки показывает, что по мере уменьшения расстройки / вплоть до попадания в полосу пропускания системы, наблюдается монотонное расширение ПРВ и соответственно увеличение дисперсии фазовой ошибки. Данная зависимость объясняется фильтрующими свойствами системы. Наблюдается также появление асимметричности ПРВ с приближением к полосе пропускания системы, что приводит к смещению среднего значения фазовой ошибки. Анализ зависимости усредненной ПРВ от входного отношения сигнал/шум показывает, что при его больших значениях наблюдается эффект двумодальности ПРВ, обусловленный наличием гармонической помехи. При увеличении интенсивности шума данный эффект пропадает за счет сглаживания.
ПРВ для случая помехи из двух гармонических составляющих со случаем гармонической помехи. Видно, что наличие второй составляющей с указанными параметрами и малой частотной расстройкой не приводит к заметным численным изменениям графика, но в то же время на графике можно отметить появление полимодальности. В случае большой частотной расстройки отличия графиков носят преимущественно количественный характер. При этом при наличии двух составляющих помехи заметна асимметричность графика ПРВ. Рис. 4.9-4.10 демонстрирует зависимость ПРВ от частотной расстройки при различной интенсивности второй составляющей помехи. Можно отметить усиление асимметричности графиков с ростом частотной расстройки, что в конечном итоге приводит к смещению среднего значения фазовой ошибки. При больших интенсивностях второй составляющей помехи асимметричность выражена сильнее.
ПРВ фазовой ошибки ДСС 2-го порядка (при наличии гармонической помехи на входе) во времени в зависимости от начального распределения фазовой ошибки в системе. Динамика автономной системы во всех случаях выбиралась одной и той же и характеризовалась состоянием синхронизма и двумя устойчивыми предельными циклами. Как видно из рисунков система быстро приходит к установившемуся состоянию. Процесс переходя сопровождается количественным изменением плотности распределения в соответствии с параметрами СС и интенсивностью шумового воздействия. При большой интенсивности шума наблюдается размывание ПРВ около состояния синхронизма, и, наоборот, при малой интенсивности шума распределение с каждой итерацией принимает более локализованный вид. Рассматриваемый случай имеет место, когда основная доля начальной ПРВ сосредоточена в области притяжения состояния синхронизма, причём движение происходит без проскальзывания фазы. Влияние шума сводится лишь к размытию ПРВ и в среднем не приводит к какому-либо качественному изменению характера движений изображающих точек.
Влияние размерности системы уравнений на вид статистических характеристик
Рассмотрим влияние количества членов ряда N на вид графика ПРВ ДСС 1-го порядка рассчитанного двумя способами. При рассмотрении влияния N необходимо заметить, что размерности (2.17) и (2.30) при различных методах различны, так в методе Галёркина количество неизвестных N, в методе замены интегрального ядра 2N. На рисунках 6.10-6.13 показаны графики ПРВ при различных N. Очевидно, что при малом N графики ПРВ не имеют смысла в обеих случаях. При повышении, N=10 (рис 6.11) заметно улучшается график ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка полученный методом замены интегрального ядра, исчезает его отрицательная составляющая. У графика ПРВ полученного методом Галёркина отрицательная составляющая исчезает при N=22.
ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка при наличии помехи на входе полученной методом Галёркина (кривая 2) с ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка при наличии помехи на входе полученной точным методом марковских моделей (кривая 3) и ПРВ сигнала рассогласования непрерывной СС 1-го порядка при наличии помехи на входе .
ДСС 1-го порядка при наличии помехи на входе полученной методом замены интегрального ядра (кривая 2) с ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка при наличии помехи на входе полученной точным методом марковских моделей (кривая 3) и ПРВ сигнала рассогласования непрерывной СС 1-го порядка при наличии помехи на входе . На рисунках 6.14-6.19 приведенно сравнение ПРВ сигнала рассогласования в непрерывной СС 1-го порядка, ПРВ сигнала рассогласования в импульсной СС 1-го порядка полученная методом марковских моделей с ПРВ сигнала рассогласования в импульсной СС 1-го порядка полученной с помощью приближённых методов. Из рисунков видно, что результаты практически полностью совпадают. Незначительные отличия кривых соответствующих непрерывной СС от ПРВ дискретной СС объясняется наличием периода дискретизации в дискретной СС . Если устремить значение периода дискретизации к 0 то кривые совпадут. Отличия ПРВ полученных приближёнными методами от ПРВ полученных точными методами лежат в пределах допустимых ошибок вычислений и объясняется конечностью интервала разбития и шага интегрирования.
Рассмотрим применение данных методов для расчёта графиков ПРВ ДСС 1-го порядка при различных параметрах T,j3,N,p. Исследования показали, что существуют области применения данных методов. Под областью применения мы будем считать совокупность следующих факторов 1.диапазон параметров N,J3,v,T- 0 при которых ПРВ ДСС 1-го порядка полностью или частично совпадает с ПРВ СС 1-го порядка; 2. все значения графика ПРВ ДСС 1-го порядка W(x) 0; Для сравнения и определения области применения, на рисунках 6.1-6.8 показаны графики ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка, рассчитанные двумя методами и график ПРВ сигнала рассогласования СС 1 -го порядка. График ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка рассчитанный по методу Галёркина на рисунках обозначен ( о ) -цифра 1, график ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка рассчитанный методом замены интегрального ядра - ( + ) - цифра 3, график ПРВ сигнала рассогласования СС 1-го порядка - ( — ) - цифра 2. На рисунках 6.1, 6.2, 6.7 - показано почти полное совпадение графиков ПРВ сигнала рассогласования ДСС 1-го порядка рассчитанного методом Галёркина и графиков ПРВ СС. На рисунках 6.3-6.6 - показано почти полное совпадение графиков ПРВ ДСС 1-го порядка рассчитанного методом замены интегрального ядра и графиков ПРВ СС. Так же на эти график видно что при данных параметрах часть графика ПРВ рассчитанного методом Галёркина принимает отрицательное значение W(x) 0 , это означает что при данных параметрах метод
Галёркина применять нельзя. Далее будет показано, что для метода замены интегрального ядра так же существуют параметры при которых W(x) 0. На рисунке 6.8 — показано совпадение всех трёх графиков при j3- 0 и Т- 0 частный случай отсутствия расстройки, в этом случае результаты расчёта графика ПРВ двумя методами совпадают.
