Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы и постановка задачи 11
1.1. Классификация алгоритмов синхронизации 11
1.2. Используемая модель сигнала 15
1.3. Предельно достижимые характеристики (граница Крамера-Рао) 19
1.4. Максимально правдоподобная оценка 21
1.5. Слепые разомкнутые алгоритмы
1.5.1. Преобразование к гармоническому сигналу 25
1.5.2. Алгоритмы, основанные на иных принципах
1.6. Слепые замкнутые алгоритмы 51
1.7. Выводы по главе и постановка задачи 59
Глава 2. Разомкнутая синхронизация 61
2.1. Разложение ЛФП в ряд по угловым гармоникам 61
2.3. Оценка фазы при известной частоте 67
2.3.1. Аппроксимация одной гармонической составляющей 68
2.3.2. Аппроксимация двумя гармоническими составляющими 69
2.3.3. Полигармоническая аппроксимация ЛФП 74
2.4. Оценка частоты при неизвестной фазе 74
2.4.1. Аппроксимация одной гармонической составляющей 75
2.4.2. Аппроксимация двумя гармоническими составляющими 77
2.4.3. Полигармоническая аппроксимация ЛФП 80
2.5. Совместная оценка частоты и фазы 81
2.5.1. Аппроксимация одной гармонической составляющей 82
2.5.2. Аппроксимация двумя гармоническими составляющими 82
2.5.3. Полигармоническая аппроксимация ЛФП 85
2.6. Выводы по главе 86
Глава 3. Замкнутая синхронизация 88
3.1. Формирование сигнала ошибки 88
3.1.1. Аппроксимация одной гармонической составляющей 89
3.1.2. Аппроксимация двумя гармоническими составляющими 90
3.1.3. Полигармоническая аппроксимация ЛФП 90
3.2. Аналитическое выражение для S-кривой и её наклона 91
3.2.1. Аппроксимация одной гармонической составляющей 92
3.2.2. Аппроксимация двумя гармоническими составляющими 92
3.2.3. Полигармоническая аппроксимация ЛФП 92
3.3. Выво ды по главе 93
Глава 4. Оптимизация весовых функций 94
4.1. Аналитический расчёт дисперсии оценки 94
4.1.1. Приближение высокого ОСШ 96
4.1.2. Приближение гладкой второй производной целевой функции 98
4.2. Оптимизация весовых функций 100
4.2.1. Гармонический метод 101
4.2.2. Бигармонический мето д 103
4.3. Выво ды по главе 104
Глава 5. Математическое моделирование 105
5.1. Разомкнутый алгоритм 105
5.1.1. Гармонический и бигармонический методы 105
5.1.2. Полигармонический метод 113
5.1.3. Практическая реализация предложенных алгоритмов 119
5.2. Замкнутый алгоритм 132
5.2.1. Точность синхронизации 132
5.2.2. Анализ сходимости 134
5.3. Выво ды по главе 136
Заключение 138
Список сокращений и условных обозначений 140
Список литературы
- Слепые разомкнутые алгоритмы
- Аппроксимация двумя гармоническими составляющими
- Полигармоническая аппроксимация ЛФП
- Оптимизация весовых функций
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Системы частотной и фазовой синхронизации являются неотъемлемой частью систем, осуществляющих когерентную обработку сигналов. При этом в ряде случаев необходимо осуществлять слепую оценку частотного и фазового сдвига. Оценка называется слепой (или без использования данных) в случае отсутствия в сигнале служебных фрагментов, известных на приёмной стороне. Такие ситуации возникают при анализе сигналов в процессе решения задач радиоконтроля, радиомониторинга и радиоразведки, а также в системах, в которых нет возможности передавать служебную информацию (передача коротких пакетов данных). В последние десятилетия широкое распространение получили системы, использующие цифровую линейную модуляцию. Это относится к системам цифрового телевидения, модемам спутниковых и радиорелейных линий связи, где требуются высокие скорости передачи информации. Они достигаются путём увеличения размера сигнального созвездия, что влечёт за собой усложнение алгоритмов синхронизации и требует повышения точности их работы. Особенно остро эти проблемы проявляются при отсутствии синхронизирующих последовательностей или информации об их положении в принимаемом сигнале. Помимо часто используемых созвездий квадратурной амплитудной модуляции (КАМ) высоких порядков в последнее время широко стала использоваться амплитудно-фазовая модуляция (АФМ) с нестандартным расположением точек созвездия. Алгоритмы синхронизации таких сигналов в литературе упоминаются редко или отсутствуют вовсе.
Актуальность работы обусловлена необходимостью оценки частотного и фазового сдвига для произвольных созвездий АФМ с требуемой точностью и приемлемыми вычислительными затратами, чего существующие алгоритмы во многих случаях не позволяют достичь.
Целью работы является разработка и анализ алгоритмов слепой оценки частотного и фазового сдвига для сигналов с произвольной цифровой линейной модуляцией.
Основные задачи диссертации:
-
Разработка разомкнутого алгоритма оценки частотного и фазового сдвига для сигналов с произвольной цифровой линейной модуляцией.
-
Разработка замкнутого алгоритма синхронизации частотного и фазового сдвига для сигналов с произвольной цифровой линейной модуляцией.
-
Оптимизация параметров разработанных алгоритмов.
-
Анализ статистических характеристик разработанных алгоритмов.
4 5. Исследование влияния погрешностей, возникающих при практической реализации разработанных алгоритмов. Научная новизна:
-
Предложены разомкнутый и замкнутый алгоритмы оценки частотного и фазового сдвига для сигналов с произвольной цифровой линейной модуляцией, основанные на полигармонической аппроксимации логарифма функции правдоподобия (ЛФП). При сопоставимых вычислительных затратах предложенные алгоритмы оказываются энергетически эффективнее других методов.
-
Для разомкнутого алгоритма получено аналитическое выражение для дисперсии оценки частотного и фазового сдвига, которое подтверждается экспериментальными результатами, полученными путём математического моделирования, а также позволяет произвести оптимизацию параметров гармонического и бигармонического алгоритмов путём минимизации дисперсии оценки. Оптимизация параметров позволяет существенно улучшить характеристики указанных алгоритмов. Для замкнутого алгоритма синхронизации получено аналитическое выражение для S-кривой и её наклона, что позволяет проанализировать сходимость данного алгоритма, а также рассчитать параметры системы синхронизации.
-
Предложены способы практической реализации разработанных алгоритмов, учитывающие особенности и ограничения современной элементной базы и позволяющие снизить вычислительные затраты.
-
Получены количественные оценки влияния погрешностей, возникающих при практической реализации, на работу алгоритмов.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенные алгоритмы слепой оценки частотного и фазового сдвига позволяют применить его к сигналу с произвольной цифровой линейной модуляцией. Удобный механизм полигармонической аппроксимации ЛФП позволяет сколь угодно близко подойти к теоретически достижимому пределу, определяемому границей Крамера-Рао, при увеличении числа гармоник (при увеличении вычислительных затрат). Достоинством алгоритма, вытекающим из предыдущего, является возможность компромисса между желаемым качеством оценки и вычислительными затратами. Точность оценки при прочих равных параметрах выше, чем у существующих алгоритмов, сравнение с которыми проведено в данной работе. Полученные в работе результаты могут быть использованы для широкого круга задач, требующих слепой оценки или синхронизации частоты и фазы для сигналов с произвольной цифровой
5 линейной модуляцией, например, при построении систем анализа сигналов, контрольно-поверочного оборудования, а также в модемах спутниковых и радиорелейных линий связи.
Методы исследования. Для решения сформулированных задач используется математический анализ, аппарат статистической радиотехники и теории вероятностей, а также численные методы и статистическое имитационное моделирование.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Предложенный способ аппроксимации ЛФП, представленного в виде ряда Фурье относительно фазы, позволяет эффективно организовать его вычисление за счёт использования быстрого преобразования Фурье.
-
Разработанный полигармонический метод для сигналов с произвольной цифровой линейной модуляцией в рассмотренных условиях обеспечивает при сопоставимых вычислительных затратах энергетический выигрыш 3-5 дБ при оценке фазового сдвига и 1-3 дБ при оценке частотного сдвига по сравнению с другими известными методами.
-
Предложенное аналитическое выражение для дисперсии оценки частотного и фазового сдвига для разомкнутого алгоритма подтверждается экспериментальными результатами, полученными математическим моделированием.
-
Проведённая оптимизация параметров гармонического и бигармонического алгоритмов путём минимизации дисперсии оценки снижает энергетические потери до уровня менее 0,1 дБ относительно границы Крамера-Рао при высоких отношениях сигнал/шум, что существенно превосходит возможности известных алгоритмов.
-
Предложенный алгоритм замкнутой синхронизации в рассмотренных условиях позволяет расширить фазовый диапазон захвата петли в 3 раза по сравнению с алгоритмом, управляемым решениями.
Реализация и внедрение результатов. Полученные в работе результаты были использованы в разработках ФГУП «НПЦ «Дельта» для слепой синхронизации сигналов с различными видами АФМ.
Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы были представлены и обсуждались на 15 международных и всероссийских научно-практических конференциях: 63-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, 2010 г.; 8-м международном симпозиуме IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS), Санкт-Петербург, 2010 г.; 36-й
международной конференции IEEE International Conference on Acoustic, Speech and Signal Processing (ICASSP), Прага, Чехия, 2011 г.; 13-м международном симпозиуме IEEE International Symposium on Problems of Redundancy in Information and Control Systems, Санкт-Петербург, 2012 г.; международной конференции IEEE International Conference on Communications (ICC), Будапешт, Венгрия, 2013 г.; международной конференции IEEE International Conference on Acoustic, Speech and Signal Processing (ICASSP), Флоренция, Италия, 2014 г.; 12-й, 13-й, 14-й, 15-й, 16-й международных конференциях «Цифровая обработка сигналов и её применение» (DSPA), Москва, 2010-2014 гг.; секции радиоэлектроники Дома Учёных им. М. Горького РАН, Санкт-Петербург, 2011 г., 2013 г., 2015 г.
Публикации. Основные теоретические и практические результаты по теме диссертации опубликованы в 14 статьях и материалах конференций, из которых: 2 публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК, 5 публикаций в зарубежных изданиях, индексируемых в базах Scopus и Web of Science, 7 статей в прочих изданиях и материалах конференций.
Структура и объём работы. Диссертация содержит 156 страниц основного текста, 62 рисунка, 4 таблицы. Список литературы состоит из 91 позиции.
Слепые разомкнутые алгоритмы
На сегодняшний день в литературе [1, 2, 6, 7, 19-53] представлено достаточно большое количество слепых разомкнутых алгоритмов оценки частотного и фазового сдвига для сигналов с цифровой линейной модуляцией.
В рамках подготовки данного обзора было найдено около 50 публикаций, посвящённых рассматриваемой теме. Стоит отметить, что три из них являются диссертациями [2, 6, 38], одна из которых отечественная [2]. При этом в русскоязычной литературе других работ не найдено.
В результате анализа найденных публикаций было выделено 11 различных подходов к решению поставленных в разделе 1.2 задач. При этом все рассматриваемые алгоритмы можно разбить на две большие группы.
Для первой и наиболее многочисленной группы алгоритмов [1, 2, 6, 7, 19-38] оценку несущей сигнала можно разбить на два этапа: сначала сигнал подвергается некоторому нелинейному преобразованию и тем самым приводится к смеси шума и гармонического сигнала, период и начальная фаза которого известным образом связаны с соответствующими параметрами исходного сигнала. Затем решается задача оценки этих величин, которые используются для вычисления параметров исходного сигнала. Подобный подход привлекателен, прежде всего, тем, что позволяет использовать множество методов, разработанных для оценки параметров гармонического сигнала на фоне шума, и, таким образом, предоставляет возможности для выбора оптимального соотношения статистической эффективности и вычислительной ресурсоёмкости. Основным недостатком такого подхода является то, что не все виды цифровой линейной модуляции могут быть преобразованы к «чисто» гармоническому сигналу. Ко второй группе [9, 10, 24, 39-53] отнесены алгоритмы, построенные на иных принципах. На рисунке 1.3 представлена рассмотренная классификация алгоритмов слепой разомкнутой оценки частотного и фазового сдвига. Далее подходы и алгоритмы каждой группы будут изложены более подробно. Преобразование к гармоническому сигналу метод 1. Гармонический 2. Кластеризация HK-Product 3. Определение ориентации эллипсов 4. Метод моментов подход Алгоритмы, основанные на иных принципах 5. Циклостационарный 6. Статистики высоких порядков 7. Гистограмма распределения фазы энтропии 8. Использование 9. Использование контура в виде ромба 10. Кластеризация k-means и k-products 11. EM алгоритм Рисунок 1.3. Классификация слепых разомкнутых алгоритмов 1.5.1. Преобразование к гармоническому сигналу К данной группе алгоритмов относятся работы [1, 2, 6, 7, 19-38]. Для сигналов с цифровой линейной модуляцией общая идея этих методов сводится к следующему. К отсчётам сигнала применяется нелинейное преобразование следующего вида: = (jc)exp(j77arg(jc)). (1.23) где і и arg(i) — соответственно, модуль и аргумент (фаза) комплексного числах, Ap(z) — весовая функция для величины z. Таким образом, преобразование сводится к умножению фазы отсчёта arg(i) на константу р, которая зависит от угловой симметрии сигнального созвездия, и применению к модулю отсчёта х весовой функции Ар (JC) .
Далее производится оценка частоты и фазы нелинейно преобразованных отсчётов сигнала. Эта оценка может быть осуществлена одним из следующих способов, который и определяет используемый алгоритм. 1. Гармонический метод — с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ) [1, 2, 6, 7, 19-31, 33]. При этом оценка частоты оказывается напрямую связанной с положением максимума модуля БПФ, а оценка фазы — с фазой БПФ в максимуме. Затем, как правило, полученная оценка уточняется путём параболической интерполяции [54] или градиентного поиска [33]. 2. Кластеризация HK-Product — с использованием алгоритма кластеризации K-Product и нового критерия минимизации [35]. 3. Определение ориентации эллипсов — путём определения ориентации эллипсов рассеяния двумерного гауссова распределения, имеющего те же самые моменты второго порядка, что и четвёртая степень нелинейно преобразованного сигнала [32]. 4. Метод моментов — с использованием обобщённого метода моментов (метод взвешенных и невзвешенных наименьших квадратов) путём составления гистограммы фазы и сравнения её с эталонной гистограммой для данного созвездия с применением циклической свёртки [34, 36-38]. Далее каждый из этих методов рассматривается более подробно.
Аппроксимация двумя гармоническими составляющими
Перед запуском алгоритма осуществляется выбор начальных значений параметров, G представляет собой вектор оцениваемых параметров. На Е-шаге производится оценка неизвестных данных с использованием текущих значений параметров Є [и]. На М-шаге вычисляется МП оценка параметров с использованием оценок данных, полученных на Е-шаге. Далее проверяется, сошёлся ли алгоритм. Алгоритм сошёлся, если значения оцениваемых параметров G [п +1] не изменились по сравнению с предыдущей итерацией Є [и].
Применительно к задаче оценки частотного и фазового сдвига алгоритм конкретизируется следующим образом. В вектор оцениваемых параметров G входят частотный А/ и фазовый ф0 сдвиг, а неизвестными данными являются информационные символы а(к). Также существует возможность совместной оценки уровней сигнала и шума [53]. На Е-шаге итерации п вычисляются оценки (мягкие решения) для каждого переданного символа а(к): м Вычислительная сложность данного алгоритма ниже, чем при поиске МП оценки непосредственно по формулам (1.17), (1.19) и (1.21), однако она все равно остаётся высокой и зависит от вида созвездия и уровня шума. Чем более сложное созвездие (чем больше число точек М) и чем больше уровень шума (чем ниже ОСШ), тем медленнее сходится представленный алгоритм. Также в [53] отмечается, что возможны проблемы, связанные с выбором начальных значений параметров и наличием локальных максимумов у ЛФП.
Для применения данного алгоритма необходима информация только о сигнальном созвездии. Результаты обзора слепых разомкнутых алгоритмов сведены в таблицу 1.1, где отмечены характерные черты рассмотренных подходов.
На основании анализа первой группы алгоритмов, сводящихся к преобразованию к гармоническому сигналу, можно сделать следующие выводы. Наиболее популярным алгоритмом является гармонический метод, так как он обладает достаточно высокой точностью оценки при низкой вычислительной сложности. Основным недостатком данного метода является то, что ему необходима информация об уровнях сигнала и шума. Этого недостатка лишены три других алгоритма. Однако кластеризация HK-Product и определение ориентации эллипса используются только для оценки фазового сдвига и дают невысокую точность оценки, а метод моментов характеризуется высокой вычислительной сложностью. Вторая группа алгоритмов, основанная на иных принципах, предлагает «экзотические» варианты решения, которые обладают специфическими свойствами и способны разрешить такие проблемы как: - отсутствие информации о созвездии; - отсутствие информации об уровне сигнала; - отсутствие информации об уровне шума; - отсутствие временной синхронизации; - получение оценки частотного сдвига до СФ; - работа в многолучевом канале и т.д.
Как правило, эти алгоритмы осуществляют оценку только одного параметра: частотного или фазового сдвига. Только EM алгоритм из этой группы позволяет осуществлять оценку обоих параметров. При этом он сходится к МП оценке и требует больших вычислительных затрат. Остальные алгоритмы не отличаются высокой точностью, однако могут быть интересны тем, что обладают полезными в определённых условиях свойствами, которые были отмечены выше.
Как было отмечено в разделе 1.1, замкнутые алгоритмы (см. рисунок 1.2, справа) представляют собой следящие системы. В них принимаемый сигнал сначала подвергается коррекции нужного параметра, а затем из скорректированного сигнала вырабатывается сигнал ошибки, который поступает на петлевой фильтр. Выходной сигнал фильтра представляет собой оценку искомого параметра, которая поступает на блок коррекции параметра и замыкает петлю обратной связи.
Из радиоавтоматики [59] известно, что оценка фазового сдвига соответствует отслеживанию постоянного воздействия, а оценка частотного сдвига — отслеживанию линейно меняющегося воздействия. Это означает, что для синхронизации фазы необходимо использовать петлевой фильтр первого порядка астатизма, а для синхронизации частоты — петлевой фильтр второго порядка астатизма. Динамические свойства слежения, которые характеризуют переходные процессы в таких системах, будут определяться параметрами петлевого фильтра. Поскольку частота является производной фазы, то в обоих случаях коррекции подвергается фаза принимаемого сигнала, в которую «заложены» оценки обоих параметров. Структурная схема замкнутой системы синхронизации частоты и фазы представлена на рисунке 1.15.
Петлевые фильтры первого и второго порядка астатизма описываются, соответственно, следующими рекурсивными уравнениями: у(к + 1) = Цк) + уе(к), (1.64) ф( + 1) = ф( ) + $( ), ф) = ф-1) + у(1 + р)е(к)-уе(к-1), (1.65) где е{к), ф(&) и ,(&) — соответственно, сигнал ошибки, оценка фазы и мгновенной угловой частоты, нормированной к символьной скорости, на к-м шаге, и — параметры петлевого фильтра. Структурные схемы петлевого фильтра первого и второго порядка астатизма изображены на рисунках 1.16 и 1.17, соответственно.
Полигармоническая аппроксимация ЛФП
При аппроксимации ЛФП согласно (2.43) можно использовать больше двух гармонических составляющих, однако, как это видно из подраздела 2.4.2, уже даже при двух гармонических составляющих возникают трудности с поиском максимума целевой функции (2.49).
Однако, опираясь на результаты для гармонического (2.45) и бигармонического (2.55) методов, можно обобщить их на случай полигармонической аппроксимации ЛФП. Из них следует, что информация о частотном сдвиге заложена в амплитудном спектре нелинейно преобразованного сигнала для каждой гармонической составляющей (2.41). Если учесть трансформацию частоты после нелинейного преобразования для каждого такого спектра и воспользоваться методом индукции, то можно сделать вывод о том, что полигармоническое решение для оценки частотного сдвига будет соответствовать поиску максимума суммы N соответствующих амплитудных спектров: y.Urgmaxtl K (2.57) 2рк1 v n=i Реализация этого поиска через БПФ аналогична случаю бигармонической аппроксимации: l = aYgmaxY}Fnp(m mod NFFT)\. (2.58) n=\ Каждое слагаемое в формуле (2.58) является прореженным в п раз модулем БПФ от нелинейного преобразования сигнала йпр(х{к)). Параболическая интерполяция выполняется согласно формуле (2.48) для суперпозиции спектров F(i) = f\Fnp(n,moANFFT). п=\ 2.5. Совместная оценка частоты и фазы Используя аппроксимацию ЛФП, рассмотренную в разделе 2.2, найдём согласно правилу МП (1.21) оценку частотного сдвига и фазового сдвига, то есть рассмотрим ситуацию, когда ф = ф0 + kq f согласно (1.2). Такая оценка называется совместной. С учётом аппроксимации (2.3) ЛФП запишется как (2.39) и (2.40) для одного отсчёта сигнала и для всей выборки, соответственно [75-77]. Для нахождения совместной оценки нужно максимизировать выражение (2.40) согласно (1.21) одновременно по двум параметрам: {ф , ф } argmaxLw 0, Ф/), (2.59) {фо,Ф/} где принято обозначение LN(%,q f) для максимизируемой (целевой) функции при совместном оценивании частотного и фазового сдвига (гармоника с номером 0 не оказывает влияние на оценку частоты и фазы, поэтому она опущена): N LN(%, Ф/) = Re X, (npq f)e-JnpVo. (2.60) и=1 2.5.1. Аппроксимация одной гармонической составляющей Если в выражении (2.60) оставить первую ненулевую гармоническую составляющую (N =\), то целевая функция примет следующий вид: А(Фо Ф/) = Re( (pyf)e JP%) = Fp(p9/)cos(arg(Fp(p9/))-/хр0). (2.61) Максимум выражения (2.61) достигается, когда аргумент функции косинус равен 0, тогда для нахождения фазового сдвига необходимо решить следующее уравнение: mg(Fp(pq f))-p%=0. (2-62)
В максимуме значение функции косинуса равно 1, откуда непосредственно следует решение для частотного сдвига. В итоге искомые оценки находятся в соответствии со следующими несложными формулами:
Из (2.63), (2.64) и (2.41) видно, что данная аппроксимация приводит к гармоническому методу с весовой функцией, зависящей от модуля отсчёта сигнала. Поиск частотного сдвига осуществляется так же, как и в случае оценки частоты при неизвестной фазе (2.48).
Если в (2.60) оставить две гармоники с номерами п = 1 и произвольным номером q, то получим следующее: L2(%, Ф/) = RG(e- Fp( pq f) + e- F qp )) = (W/)cos(arg(F( /))-p90) + 9/)cos(arg(i (g/xp/)) - qp%). (2.65) Строгое решение для максимизации этой функции требует поиска корней полинома 2q-й степени, поэтому для практического применения этого подхода требуется некая аппроксимация. Такую аппроксимацию можно получить, заменив функцию косинуса в окрестности её максимума на квадратичный полином (рисунок 2.7). где от значений Ъ, превышающих тс, отнимается величина 2 тс, так что итоговый результат лежит в диапазоне 6 є (-тс;тс]. Заменим функцию косинуса квадратичным полиномом:
Этот алгоритм требует поиска максимума нелинейной комбинации спектров (v) и FqP(4v)- Такой поиск может быть эффективно реализован с использованием БПФ с дополнением нулями так же, как и для бигармонического метода оценки частотного сдвига (2.56). Отличие по сравнению с бигармоническим алгоритмом оценки частотного сдвига (2.55), рассмотренным в подразделе 2.4.2, состоит лишь в наличии дополнительного слагаемого в комбинации спектров (2.74).
Как и в случаях оценки частотного и фазового сдвига использование бигармонической аппроксимации ЛФП согласно (2.60), как это видно из подраздела 2.5.2, уже сталкивается с трудностями при поиске максимума целевой функции (2.65).
Однако в случае совместной оценки можно воспользоваться следующим способом определения максимума двумерной функции. Для этого обратимся к выражению (2.60). Сумму в этом выражении можно интерпретировать как спектр по фазовому сдвигу по всем частотам. Тогда для получения совместной оценки необходимо найти максимум вещественной части от двумерного преобразования
Оптимизация весовых функций
Из рисунков видно, что использование 3-х и 4-х гармоник позволяет превзойти характеристики бигармонического метода с оптимальными весовыми функциями в области средних ОСШ, которые представляют наибольший практический интерес. На рисунке 5.13 представлено созвездие АФМ-32 из стандарта DVB-S2 [69], а на рисунках 5.14-5.15 дисперсии оценки частоты и фазы при совместной оценке частоты и фазы для данного созвездия. Из формы созвездия следует, что для полигармонического метода с тремя гармониками нужно использовать гармоники с номерами 4, 12 и 16. Для бигармонического алгоритма нужно использовать гармонику с номером 4 (чтобы неопределённость частота и фазы не превышала 1/4 всего диапазона) и 12 или 16 (в данном случае использовалась гармоника с номером 16). Из графиков на рисунках 5.14-5.15 следует, что для данного созвездия использование оптимальных весовых функций выигрыша практически не даёт. Это связано с тем, что упомянутые гармоники практически полностью определяют ЛФП (амплитуды остальных гармоник пренебрежимо малы). SNR, дБ Рисунок 5.15. Дисперсия оценки фазы при совместной оценке частоты и фазы 118 На рисунках 5.16-5.17 представлены зависимости дисперсии оценки частоты и фазы при совместной оценке частоты и фазы от длины выборки для созвездия КАМ-32 при ОСШ 20 дБ. Из рисунков видно, что характеристики алгоритмов начинают быстро ухудшаться, начиная с некоторого значения длины выборки. Связано это с тем, что при уменьшении длины выборки увеличивается собственный шум созвездия — эффект, связанный с неравномерным появлением разных точек созвездия в выборке (см. подраздел 1.5.1 «Определение ориентации эллипса»). Для алгоритмов с оптимальными весовыми функциями аномальные ошибки при оценке частоты исчезают при больших длинах выборки, чем с весовыми функциями, полученными усечением ряда Фурье. Для алгоритма, использующего 4 гармоники, аномальные ошибки исчезают при длине выборки, примерно равной размеру созвездия, а для бигармонического алгоритма с оптимальными весовыми функциями — удвоенному размеру созвездия. КАМ-32, SNR = 20 дБ
В предыдущем разделе была рассмотрена «идеальная» реализация предложенных методов. В данном разделе рассматриваются вопросы, касающиеся практической реализации алгоритмов: поиск максимума бигармонической функции при оценке фазы; применение фиксированных весовых функций; влияние точности представления весовых функций на качество оценки; влияние неточности оценки уровней сигнала и шума на качество оценки. Данные аспекты будут рассмотрены на примере гармонического и бигармонического методов совместной оценки частоты и фазы с использованием весовых функций, полученных усечением ряда Фурье, и оптимальных весовых функций.
Поиск максимума бигармонической функции при оценке фазы В подразделе 2.3.2 были рассмотрены три варианта поиска максимума бигармонической функции для оценки фазы при известной частоте. На рисунке 5.18 представлены результаты моделирования с использованием всех трёх способов поиска максимума. На рисунке приняты следующие обозначения: «polynom4» — строгое аналитическое решение (2.38) с поиском корней полинома 4-й степени; «linear» — решение (2.30) с использованием линейной аппроксимации функций синуса и косинуса; «quadratic» — решение (2.34) с использованием квадратичной аппроксимации функций синуса и косинуса.
Влияние способа поиска максимума бигармонической функции на дисперсию оценки фазы при известной частоте
Из сравнения дисперсии оценки фазы для трёх способов поиска максимума следует, что использование аппроксимаций для алгоритма с весовыми функциями, полученными усечением ряда Фурье, практически не приводит к потерям по сравнению со строгим решением. Для алгоритма с оптимальными весовыми функциями наблюдаются незначительные потери. При этом в области умеренных ОСШ потери для линейной аппроксимации меньше, чем для квадратичной, а в области высоких ОСШ — наоборот. Фиксированные весовые функции «Идеальная» реализация представленных алгоритмов предполагает вычисление весовых функций, зависящих от отношения сигнал/шум, что может оказаться неприемлемым для решения практических задач. Поэтому рассмотрим вариант, использующий фиксированные весовые функции, рассчитанные на конкретное отношение сигнал/шум. Эти значения отношения сигнал/шум для некоторых КАМ созвездий стандартной формы приведены в таблице 5.2.
На рисунках 5.19-5.20 представлены результаты моделирования алгоритмов с фиксированными весовыми функциями (эти кривые отмечены как «fixed») и «идеальная» реализация алгоритмов на примере созвездия КАМ-32.
Из рисунков следует, что применение фиксированных оптимальных весовых функций приводит к заметным потерям (более 3 дБ по сравнению с «идеальной» реализацией) при высоких ОСШ. Для весовых функций, полученных усечением ряда Фурье, потери практически отсутствуют. Это объясняется тем, что при высоких ОСШ меняются амплитуды весовых функции, их форма при этом остаётся практически неизменной (рисунки 5.21-5.22).