Сигнальная и параметрическая инвариантность радиотехнических устройств Стукач Олег Владимирович

Введение к работе

Актуальность проблемы и цель работы. В основе данной работы лежит идея независимости параметров реакции системы от каких-либо параметров воздействия или параметров состояния системы. Главным образом, это независимость параметров импульсного отклика нелинейной системы от амплитуды воздействия и фазовая инвариантность, то есть независимость фазочастот-ной характеристики от амплитудно-частотной для линейной системы с различными установившимися состояниями. Свойство инвариантности присуще в той или иной мере любым динамическим системам, но в работе рассматриваются, в основном, сверхвысокочастотные радиотехнические устройства (СВЧ РТУ), так как исследуемые эффекты заметно проявляются на СВЧ. Актуальность работы обусловлена ужесточением требований к СВЧ РТУ, которые, в свою очередь, являются неотъемлемой частью современных систем управления, связи, радиолокации, радионавигации и во многом определяют характеристики систем в целом. Кроме того, актуальность работы обусловлена отсутствием на российском рынке фазоинвариантных аттенюаторов и пикосекунд-ных усилителей с характеристиками, близкими к потенциально достижимым.

За последние десятилетия задачи, стоящие перед разработчиками СВЧ устройств, значительно усложнились. Классические алгоритмы при решении таких задач работают далеко не всегда. В диссертации предлагается новый подход к моделированию и параметрической оптимизации устройств на основе идеи о сигнальной и параметрической инвариантности. Критерий инвариантности развит до уровня принципа проектирования радиотехнических устройств различного назначения.

Применительно к радиотехническим устройствам идея инвариантности характеристик позаимствована из теории автоматического управления. Усилиями таких учёных, как Г.В. Щипанов, Н.Н. Лузин, B.C. Кулебакин, Б.Н. Петров, П.И. Чинаев, В.В. Величенко, М.Ш. Мисриханов, Л.И. Розоноэр, В.А. Якубович, A. Isidori, J.B. Cruz, Р.К. Wang и многих других критерий инвариантности стал теорией, результаты которой во многом позволили улучшить качественные показатели систем авторегулирования. К сожалению, после 70-х годов прошлого века теория инвариантности не получила заметного развития. В данном исследовании идея независимости трансформирована в сторону основы проектирования РТУ по критерию параметрической и сигнальной инвариантности, то есть независимости каких-либо параметров системы или её отклика от параметров воздействия, что составляет научную новизну работы.

Таким образом, эволюция авторского подхода к проблеме проектирования СВЧ устройств заключается в обосновании общего принципа сигнально-параметрической инвариантности как принципа проектирования РТУ, получении и исследовании условий инвариантности в динамических системах и создание конкретных устройств, в частности, параметрически инвариантных широкополосных усилителей и фазоинвариантных электрически управляемых аттенюаторов. При этом работы по направлению сигнально-параметрической инвариантности нелинейных систем базируются на использовании и развитии классической теории инвариантности и теории дифференциального преобразования, а второе направление связано с использованием теории функций комплексного переменного.

Целью работы является создание основ теории сигнально-параметрической инвариантности динамических систем и разработка на этой основе методологии оптимизации радиотехнических устройств СВЧ диапазона по критерию инвариантности, в частности, устройств усиления и управления параметрами пикосекундных импульсных сигналов, широкополосные свойства которых близки к предельно достижимым.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи.

1. Анализ текущего состояния работ по теории инвариантности динамических систем и обоснование использования свойства инвариантности как критерия оптимизации РТУ. Обобщение научно-технических и патентных исследований, выполненные автором на протяжении ряда лет по проблеме создания широкополосных инвариантных управляемых СВЧ устройств.

2. Обоснование использования принципа сигнально-параметрической инвариантности для проектирования радиотехнических устройств. Развитие математического аппарата теории инвариантности характеристик линейных и нелинейных систем. Обоснование преимуществ концепции сигнально-параметрической инвариантности для проектирования радиотехнических устройств.

3. Развитие операторного метода дифференциального преобразования как математического аппарата, обладающего неоспоримыми преимуществами в анализе и оптимизации сильно нелинейных устройств.

4. Построение моделей, исследование возможных схемных и режимных способов обеспечения инвариантности характеристик устройств с переменными состояниями и импульсных усилительно-формирующих устройств. Моде-

лирование, обоснование и разработка базовых структур фазоинвариантных устройств.

5. Экспериментальные исследования и разработка новых схемотехнических и конструктивных решений для построения практических схем устройств пикосекундной импульсной техники с заданными свойствами инвариантности.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются динамические системы, математическое описание которых может быть представлено в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывным временем. Предмет исследования - физические процессы в этих системах, определяющие потенциально достижимые характеристики инвариантности параметров выходного сигнала к параметрам воздействий.

Методы исследования. Основные теоретические результаты работы базируются на апробированных ранее строгих и приближённых методах теории цепей, теории автоматического управления, дифференциального преобразования, вариационного исчисления, теории аналитических функций комплексного переменного, методов оптимизации, обыкновенных дифференциальных уравнений и численных методах. При расчётах и моделировании широко применялись программы математического и схемотехнического моделирования. Результаты расчётов и моделирования подтверждены экспериментальными исследованиями.

Научная новизна данной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты.

5. Предложен критерий сигнально-параметрической инвариантности и показаны убедительные преимущества его использования для параметрического синтеза радиотехнических устройств. Показано, что сигнально-параметрическая инвариантность, основанная на требовании обеспечения независимости реакции системы к амплитуде сигнала и параметрам состояния, может использоваться как принцип инженерного проектирования РТУ.

6. Операторный метод дифференциального преобразования исследован с точки зрения использования в современных численных и аналитических методиках анализа и оптимизации динамических систем. Предложены методы уменьшения погрешностей и решения вычислительных проблем, связанных с использованием этого операторного метода. Разработаны методики оптимизации параметрически инвариантных устройств с помощью дифференциального преобразования. Созданы программы моделирования динамических систем на основе этого операторного метода.

7. Рассмотрены параметрически инвариантные радиотехнические устрой-

ства пикосекундной импульсной техники как класс устройств с улучшенными характеристиками. Впервые предложены методы моделирования, анализа и оптимизации таких устройств. Внесён определённый вклад в развитие теории инвариантности для случая независимости параметров реакции нелинейной системы от амплитуды сигнала и фазового сдвига, инвариантного к амплитудно-частотной характеристике.

4. Разработана теория инвариантности фазочастотной характеристики и группового времени запаздывания к параметрам установившихся состояний линейных систем. Получены условия, определяющие потенциально достижимые характеристики фазоинвариантных устройств. Разработаны схемотехнические решения электрически управляемых аттенюаторов с фазовым сдвигом, не зависящим от вносимого ослабления в процессе регулирования амплитуды сигнала в широкой полосе рабочих частот.

Практическая ценность и значимость

8. Для линейных фазоинвариантых систем с переменными состояниями достигнуто уменьшение изменения фазового сдвига при регулировании вносимого затухания в 10-20 раз по сравнению с существующими аналогами, при этом полоса частот расширяется в 2-3 раза. Положительный эффект достигается простым схемотехническим способом и не требует сложных систем автоматического регулирования. Определены условия, связывающие полосу частот и диапазон затуханий, в которых достижима неизменность фазы при регулировании затухания. С достаточной для инженерного проектирования точностью можно выбрать подходящее схемотехническое решение для полосы и затухания, определённых техническим заданием.

9. Для пикосекундных усилителей и формирователей импульсов в 1,5-2 раза уменьшена зависимость времени фронта и перерегулирования от амплитуды входного сигнала. Положительный эффект достигается как схемотехнически, так и оптимизацией параметров РТУ. Применение принципа инвариантности позволило приблизиться к потенциальным характеристикам, что недостижимо при использовании других методов или приводит к неоправданному усложнению устройств.

10. Теоретически и на примерах показана возможность решения различных задач проектирования СВЧ РТУ - амплитудно-фазовой конверсии, минимизации нелинейных искажений, температурной инвариантности на единой основе и с применением методики, которая относительно проста и хорошо алгоритмизируется. На основе предложенной концепции разработаны, созданы и внедрены импульсные усилители с перерегулированием и временем фронта

импульса, не зависящим от амплитуды входного сигнала до З В и широкополосные аттенюаторы, работающие в полосе частот от 100 МГц до 3 ГГц с фазовым сдвигом, инвариантным к вносимому ослаблению. Это позволило повысить эффективность разработанных СВЧ устройств в соответствии с предложенными в работе критериями в 1,5-2 раза.

4. Разработаны и экспериментально исследованы новые конструкции широкополосных СВЧ аттенюаторов поглощающего типа, выполненных на основе полосковых линий передачи и дискретных элементов. Предложенные схемотехнические и конструктивные решения органично вписываются в технологию гибридно-интегральных и плёночных интегральных микросхем. Наряду с параметрической инвариантностью, практическая значимость работы заключается также в комплексном улучшении технических характеристик вновь созданных СВЧ РТУ, например, широкополосным согласованием и высокой точностью дискретного изменения управляемого параметра в широкополосных аттенюаторах, предназначенных для СВЧ систем с цифровым управлением.

5. В силу универсальности методов, используемых в работе, принцип инвариантности может быть использован при проектировании других устройств, не обязательно радиотехнических, к характеристикам которых предъявляются требования параметрической инвариантности. Это связано с тем, что условия инвариантности получены в наиболее общем виде.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, содержащихся в диссертационной работе, подтверждается высокой степенью совпадения экспериментальных результатов и характеристик, полученных с помощью математического моделирования. Достоверность результатов следует также из качественного и количественного соответствия результатов в настоящем исследовании с данными, полученными иными методами другими авторами. Достоверность результатов подтверждает создание и промышленное использование СВЧ аттенюаторов и пикосекундных усилителей.

Реализация и внедрение результатов работы. Работа выполнена как составная часть хоздоговорных и госбюджетных НИР на кафедре Радиоэлектроники и защиты информации Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники и на кафедре Компьютерных измерительных систем и метрологии Томского политехнического университета, а также в инициативном порядке в период с 1988 по 2008 годы. Достижения практического характера, в которых используются полученные автором результаты, внедрены в разработки ряда организаций, таких как Филиал института атом-

ной энергии им. И.В. Курчатова (г. Москва), КБ «Радар», НПО «Полюс», ООО «Техника и технологии электрохимии», НИИПП (г. Томск), СДЕ (г. Кемерово) и др. Межгосударственный характер работ подтверждён участием автора в ряде проектов Делфтского технологического университета (г. Делфт, Нидерланды) и многочисленными публикациями. Результаты исследований используются в лекционных и практических курсах, а также в научно-исследовательской работе студентов, курсовом и дипломном проектировании. Результаты работы использовались в ходе выполнения ряда проектов Российского фонда фундаментальных исследований.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях и симпозиумах: Пятая республиканская научно-техническая конференция «Генерирование, формирование и применение импульсных сигналов» (Литва, 1991), Всесоюзная научно-техническая конференция «Спутниковые системы связи и навигации» (Россия, 1997), Всесоюзная школа-совещание по стабилизации частоты (Украина, 1989), Всесоюзная школа-семинар «Автоколебательные системы и усилители в радиопередающих устройствах» (Украина, 1988), Международная научно-практическая конференция «Современные техника и технологии» (Россия, 1995, 1996, 1997, 2000, 2001, 2004), Всесоюзная школа по пикосекундной технике (Армения, 1991), Всесоюзная школа-совещание «Стабилизация частоты и формирование сигналов радио- и оптического диапазонов» (Россия, 1992), международная конференция «Нанотехнология, наноэлектроника и криоэлектроника» (Россия, 1992), Региональная конференция «Радиотехнические и информационные системы и устройства» (Россия, 1994), Международный симпозиум «Конверсия науки - международному сотрудничеству» (Россия, 1995, 1997, 1999), Международный симпозиум «Распространение радиоволн в городе» (Россия, 1997), IEEE-Российский семинар по электронным приборам и материалам EDM (Россия, 2000, 2001), Международная конференция «Мощный и импульсный электромагнетизм в Америке» (США, 1996), Совместное китайско-японское заседание по оптической и электромагнитной теории» (Китай, 1997), Международная конференция «Мощный и импульсный электромагнетизм в Европе» (Израиль, 2000), IEEE-Сибирская Российская школа-семинар по электронным приборам и материалам (Россия, 2002, 2003, 2004, 2005), международный симпозиум по теоретической электротехнике (Австрия, 2001), Международный симпозиум «Прогресс в электромагнитных исследованиях» (Австрия, 1996, Гонконг, 1997, Франция, 1998, Тайвань, 1999, США, 2000, Япония, 2001,

Китай, 2004), Азиатско-Тихоокеанская микроволновая конференция (Индия, 1996, Юж. Корея, 2003), Международная конференция «Электроника СВЧ большой мощности: измерения, идентификация, применение» (Россия, 1999), международный симпозиум по антеннам и электромагнитной теории (Китай, 1997), Международная конференция по СВЧ и радарам (Польша, 1998), Вторая международная конференция по ВЧ и СВЧ технологии (Китай, 2000), Международная конференция IEEE по управлению и симпозиум IEEE по автоматизированному проектированию систем управления (США, 2000), 11-я конференция по СВЧ технике COMITE (Чехия, 2001), международный симпозиум «Дополнительные навыки для молодых инженеров» (Словения, 2001), IEEE-Сибирский семинар по новейшим телекоммуникационным технологиям (Россия, 2001), IEEE-Сибирская конференция по электронным приборам и материалам (Россия, 2002), Международная IEEE Сибирская конференция по управлению и связи (Россия, 2003, 2005, 2007), Европейская микроволновая конференция (Италия, 2002), Европейская микроволновая неделя (Германия, 2003, Нидерланды, 2004, 2008), международный симпозиум по развитию науки об измерениях (Россия, 2004), Девятая Европейская конференция по технологии связи (Великобритания, 2006), Европейская радарная конференция (Германия, 2007), Международная конференция по вычислительным технологиям (Россия, 2008).

Публикации. По результатам выполненных в диссертации исследований опубликована 101 печатная работа, в том числе одна монография, 17 статей в журналах, рекомендуемых ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание учёной степени доктора наук, 10 статей в ведущих научных рецензируемых периодических журналах и тематических сборниках, 45 статей и 23 тезисов докладов в материалах и трудах международных и всероссийских конференций, два учебно-методических пособия, три авторских свидетельства на изобретения. Без соавторов написаны 42 работы, в том числе десять статей - в журналах, рекомендуемых ВАК.

Научные положения, выносимые на зашиту

1. Сигнально-параметрическая инвариантность как новая научная проблема в теории инвариантности динамических систем, заключающаяся в независимости параметров отклика нелинейной динамической системы от параметров входного воздействия. Для РТУ наиболее важной является не абсолютная независимость отклика от возмущающего воздействия, что достигается в классической теории инвариантности изменением внутренней структуры системы, а внешняя, сигнально-параметрическая инвариантность, которая может

быть реализована путём многокритериальной оптимизации параметров и структуры системы. Проектирование РТУ по критерию сигнально-параметрической инвариантности позволяет расширить динамический диапазон входных воздействий, минимизировать искажения формы импульсных сигналов, повысить быстродействие.

2. Использование операторного метода дифференциально-тейлоровского преобразования при исследовании и оптимизации сильно нелинейных систем и устройств приводит к существенному упрощению математических моделей исследуемых систем в отличие от известных интегральных методов. Защищается методика параметрической оптимизации нелинейных устройств на основе дифференциального преобразования, заключающаяся в преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в операторную форму, формировании системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов нелинейностей или параметров устройств, решения системы и определения искомых параметров.

3. Дифференциальные преобразования нетейлоровского типа позволяют в 3-5 раз повысить точность моделирования устройств по сравнению с известными дифференциальными операторными методами. Защищаются соотношения для дифференциальных преобразований нетейлоровского типа, аналитическое выражение для предварительной оценки интервала ограничения степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение, критерии оценки погрешности восстановленного решения, которые позволяют не только оценить достоверность результата, но и дать количественную оценку сверху. Защищаются выявленные преимущества использования дифференциального операторного преобразования на основе базиса смещённых полиномов Чебышева для аппроксимации временных функций линейных систем.

4. Методика конструирования передаточных функций линейных систем, основанная на дифференциальных преобразованиях, позволяет получить передаточную характеристику с заданной точностью. Защищаются аналитические соотношения для аппроксимации передаточных функций, алгоритм и методика аппроксимации.

5. Условия относительной инвариантности перерегулирования и времени фронта импульса нелинейной системы к амплитуде входного сигнала. Защищается новое понятие дефекта инвариантности как степени зависимости параметров отклика от амплитуды воздействия, использование вариационного принципа в определении условий сигнально-параметрической инвариантности, методика определения дефекта инвариантности перерегулирования и вре-

менных параметров импульсного сигнала к амплитуде входного воздействия.

Для РТУ в сильно нелинейном режиме существуют амплитуды входных сигналов, при которых достигается нулевой дефект инвариантности. Защищается алгоритм их поиска и оптимизации параметров нелинейной системы по критерию минимальности дефекта инвариантности. Защищается утверждение, что математическая модель нелинейной системы может быть представлена в виде декомпозиции её на параметрически инвариантную систему и дефект инвариантности, а целью проектирования является выбор параметрически инвариантной системы и уменьшение дефекта инвариантности.

6. Абсолютная фазовая инвариантность линейных систем к параметрам установившихся состояний, обеспечивающих требуемый коэффициент передачи для некоторой совокупности управляющих воздействий, изменяющих режим работы, но остающихся постоянными при обработке полезного сигнала. Защищаются необходимые и достаточные условия инвариантности фазового сдвига при регулировании коэффициента передачи в устройствах с переменными состояниями, алгоритм многокритериальной оптимизации устройств и методика использования факторной регрессии для оптимизации, позволяющие получить оптимальные параметры корректирующих цепей и элементов с управляемым сопротивлением по критерию инвариантности фазового сдвига при регулировании коэффициента передачи. Защищаются аналитические соотношения, позволяющие проводить оптимизацию характеристик фазоинвари-антньгх устройств с переменными состояниями во временной области, а также соотношения для предельного значения минимума фазового сдвига не только в диапазоне ослаблений, но и в полосе частот в минимально-фазовых устройствах.

7. Результаты расчётов и экспериментальных исследований, результаты практической разработки импульсных усилителей, новые практические схемы базовых структур электрически управляемых аттенюаторов с плавным изменением затухания и малым изменением фазового сдвига, с характеристиками фазовой инвариантности, близкие к потенциально достижимым, подтверждающие эффективность и достоверность проведенных научных исследований.

Личный вклад автора в проведённых исследованиях. Все представленные в диссертации результаты исследований получены лично автором или при его непосредственном участии. В работах, опубликованных в соавторстве, автор внёс определяющий вклад в постановку задач, выбор направлений и методов исследований, аналитические выкладки, анализ и интерпретацию полу-

ченных результатов, написание работы. Вся экспериментальная работа по изготовлению макетов и исследованию характеристик СВЧ устройств была выполнена лично автором.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 302 страницах, включая 126 рисунков, семь таблиц, список использованных источников отечественных и зарубежных авторов из 227 наименований, а также два приложения.

Во введении показана актуальность настоящей работы, сформулирована цель и необходимые для ее достижения задачи исследования, показана практическая значимость, приведена характеристика основных результатов и изложено краткое содержание диссертации.

В первой главе дается авторская классификация инвариантных систем и приводится их общая структура вместе с условиями инвариантности.

Математическое описание исследуемых динамических систем может быть представлено в следующем виде:

dx/dt = F(x,u,w,t),

y(t)=Y(x,u,w)- ^W

где xeX = {x_],x₂,...,x_n} - вектор фазовых координат системы, dimx = n, х,(0) = х_л,і=1,п - начальные условия; 'е^₀,?,] - непрерывное время, u^U = {u_{,u₂,...,u_s}:P - внешние входные управляющие воздействия с параметрами Р, weW = {w_i,w₂,...,w_m}:P - возмущающие воздействия, yeY = {y_l,y₂,...,y_l}:P - отклик системы, существующий при всех ttt_Q, причём y{t_a)=y₀,y{t_]) = y_l. Системой с переменными состояниями называют динамическую систему (1), в которой кроме неизменяемых параметров имеются изменяемые, которые только определяют состояние системы, но имеют постоянные значения на интервале f e[f₀,r,] при обработке полезного сигнала. Такие

параметры назовём параметрами регулирования re {r„r₂,...,r_;} с R".

Предметом изучения классической теории инвариантности является отыскание условий, при которых достигается независимость отклика или определённых показателей качества системы от действующего на неё внешнего возмущения

At) = Y(x,w) = Y(x), y(t) = inv[w(0]. (2)

Исследованию условия (2) для динамических систем (1) посвящено большое количество работ. Отличительной особенностью данной работы является

развитие общей теории инвариантности для новой задачи обеспечения независимости характеристик систем от параметров воздействия 3q<_t

АО -* Я U«, АО = inv[/^>] или параметров управления arg y(t) = inv[r], а также обоснование использования критерия параметрической инвариантности в качестве принципа проектирования не только систем управления, но и РТУ.

В первой главе показано, что параметрическая и сигнальная инвариантность напрямую связана с показателями качества системы. Найдена связь между классическими условиями инвариантности и сигнальной инвариантности РТУ.

Для параметрической оптимизации РТУ предложено использовать условия инвариантности, которые вытекают из классических теорем. Эти условия используют функционал отклика системы <Цу(0] = -7, записанный для параметров, инвариантности которых нужно достигнуть. Определим оператор V^

как v, = Col

_д_ г_ г_

дх, дх-* дх„

и построим последовательность

J_k^=(y_xJ_k,f{x,u,w,i)) + dJ_kldt,k = 0,n-\.

Для того чтобы система (1) была инвариантна, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие J_M = inv(w) IV* є X, t є [t_B, t, ],

Назовём систему (1) сигнально-параметрически инвариантной, если хотя бы один параметр её отклика не зависит хотя бы от одного параметра воздействия. Например, соотношение о(г) = inv [Е] характеризует инвариантность перерегулирования о к амплитуде воздействия Е.

Трудность физической реализации заставили искать условия относительной инвариантности (до некоторой малой величины є), при которых работоспособность системы сохраняется при малых изменениях параметров. Величина є может служить мерой близости синтезированной системы к абсолютно инвариантной, либо к системе с потенциально достижимыми характеристиками. Назовём эту величину дефектом инвариантности

z = \\Y{x,w)-Y(x)\\^rmn (3)

который показывает, насколько отклик системы неинвариантен к возмущению. Дефект инвариантности є дает количественную оценку близости систе-

мы к инвариантной, он может служить функцией цели и поэтому его определение представляет большой практический интерес.

Параметры нелинейной системы в общем случае зависят от параметров воздействия, поэтому дефект инвариантности (3) должен показывать, насколько параметр отклика нелинейной системы отличается от параметра отклика гипотетической абсолютно инвариантной системы. Понятно, это должна быть линеаризованная система или нелинейная система, для которой условия инвариантности выполняются асимптотически. Непосредственное вычисление дефекта инвариантности связано с решением системы уравнений (1). Для практических целей, однако, требуется лишь оценка (3).

Оптимизация инвариантных систем по критерию минимизации дефекта (3) устраняет проблемы при практической реализации инвариантных систем. В самом деле, условие (3) позволяет не выводить строгие равенства между функциями от параметров системы, а задавать области возможного малого изменения параметров. В этом смысле задача обеспечения инвариантности системы становится такой же практичной, как и задачи устойчивости, управляемости, наблюдаемости и т.д.

Большинство задач обеспечения инвариантности связаны с той или иной компенсацией непрерывных процессов. Но практически не исследованным оказался путь параметризации возмущений, то есть сведения их к набору неизвестных параметров, постоянство которых необходимо обеспечить.

Рассмотрено отличие задач обеспечения инвариантности систем управления и РТУ. В большинстве практически важных систем управления возмущающие воздействия и полезные сигналы разделены по разным входам. Это позволяет измерять возмущения и применять к ним разного рода схемы компенсации и методы, непосредственно следующие из теории оптимальных процессов. В большинстве РТУ полезный сигнал и помеха действуют одновременно в одной точке, что не даёт возможность использовать компенсационные схемы, характерные для систем управления. Задачи обеспечения сигнально-параметрической инвариантности должны быть решены совершенно другими способами. Поиск и обоснование этих способов, а также постановка задач для дальнейших исследований составляют основные задачи данной работы.

Показано, что развитие понятия инвариантности систем в область отдельных параметров сигнала приводит к распространению принципа инвариантности на широкий класс задач проектирования РТУ, таких как амплитудно-фазовая конверсия, фазовая инвариантность, инвариантность к температуре, минимизация нелинейных искажений, помехоустойчивость, повышение

быстродействия устройств пикосекундной импульсной техники.

Краткий обзор некоторых задач и направлений развития теории инвариантности свидетельствует о важности исследования в области инвариантных систем и устройств. Рассмотренные в данной главе системы, отличаясь друг от друга назначением и принципами построения, обладают общим свойством сигнально-параметрической инвариантности. Это указывает на возможность, а с учетом важности рассматриваемых задач и на необходимость их изучения в рамках общей теории инвариантности. Анализ полученных условий инвариантности позволил определить разнообразие форм и условий инвариантности в нелинейных системах. Формы и условия инвариантности позволяют определить классы инвариантных нелинейных систем и их структуры.

Условие инвариантности в настоящее время признаётся как одно из основных при синтезе автоматических систем. Действительно, полностью или частично избавиться от возмущений - значит одновременно решить ряд проблем, в том числе повысить динамическую точность. Но практически не решёнными оказались задачи сигнально-параметрической инвариантности, то есть нечувствительности характеристик систем от изменения параметров воздействий, как импульсных, так и гармонических (рис. ]). Особенно это актуально для широкополосных РТУ, поскольку для таких устройств форма сигнала особенно информативна.

отклика к воздействию

Классическая инвариантность Помехоустойчивость

отклика к параметрам системы

Чувствительность

Сигнальная

Инвариантность Параметрическая

X.

параметров отклика к параметрам системы

параметров отклика

к параметрам воздействия

Рис. 1. Общая проблема независимости характеристик систем и устройств

Во второй главе рассмотрена общая теория дифференциально-тейлоровского преобразования. Дифференциальное преобразование определяется следующим образом:

где слева от символа <-^> стоит прямое преобразование оригинала x(t) є R" в

Х(к) = —

¹ ' к\

d^kx(t)

т

_№

Х{к),

(4)

изображение Х(к) є R", а справа - обратное преобразование Х(к) в x(t), где te[9,9+H] - непрерывное время, Н- коэффициент. Значения функции ДА)

при конкретных значениях аргумента к є N" называются дискретами: ДО) -нулевая дискрета, Д1) - первая дискрета и т.д., а последовательность дискрет ДО), Д1), ..., Д) функции Х(к) называется дифференциальным спектром оригинала x(t).

Например, изображающая функция для оригинала x(t)=e' равна

*(*) =

rfV

^{-"4e-l = ^{-^H)t

Дискреты функции X(k), изображающей экспоненту е"', равны X(Q) = \. Х(\) = -Н, Х(2) = Я² /2!, Х(3) = -Я³ /3! и т.д. Совокупность этих дискрет образует дифференциальный спектр экспоненты е"' (рис. 2).

_{- "Ч- -}

-800' 1200-^

1 4 7 10 13 16 19 k Рис. 2. Дифференциальный Х(&) и дифференциально-чебышёвский Q спектры функции е"' при Я=9 По дифференциальному спектру экспоненту можно восстановить:

і L--l-t+ + ... = є¹

к\ 2! З!

к=Ъ\Н j

К достоинствам дифференциального преобразования относится возможность распространения операционных методов на случай исследования состояний физических систем с нестационарными и нелинейными элементами. Обоснованы преимущества математического аппарата и развита теория дифференциального преобразования для анализа и параметрического синтеза нелинейных устройств. Из таблицы оригиналов и изображений дифференциального преобразования следует, что заданная математическая модель объекта в форме системы интегро-дифференциальных уравнений преобразуется в так

называемую спектральную модель путём замены функций и действий над ними дифференциальными спектрами и обычных операций над функциями - соответствующими дифференциальными операциями над дифференциальными спектрами. Дифференциальные преобразования позволяют перевести в алгебраическую форму исходные обыкновенные дифференциальные уравнения любого типа.

Несмотря на очевидные преимущества, широкого распространения теория дифференциальных преобразований не получила из-за значительных погрешностей при расчёте дискрет дифференциального спектра. Это особенно существенно для РТУ с высокой добротностью, математические модели которых отличаются плохой обусловленностью. Появление мощных вычислительных систем, методов и программного обеспечения для расчётов с большой разрядностью позволило вновь вернуться к дифференциальному преобразованию, и соединить преимущества метода с преимуществами компьютерного моделирования. В данной главе объясняется, как снять вычислительные проблемы, в частности, плохую обусловленность и шумы арифметики и получить решение любых нелинейных дифференциальных уравнений.

С помощью дифференциального преобразования можно восстановить коэффициенты обыкновенного дифференциального уравнения по приближённым дискретным значениям его решения. Пусть известна математическая модель, записанная в виде обыкновенного дифференциального уравнения порядка и:

еГхО) «Г'ДО d²x(t) <Ш ^_Л „_Л

^a*~dr^+a^~d7^⁺"^+aitf^+ai dt ^{+аА)= ()}' ⁽⁾

где а, - постоянные коэффициенты, i = 0\n, E(t) - внешнее импульсное воздействие. Пусть известен временной отклик Л(г) на интервале < = [<„,t_b], заданный табличным, либо графическим способом. Некоторые коэффициенты уравнения (5) а, неизвестны, и их необходимо определить по отклику h(t).

Переведём исходное уравнение (5) в область изображений и получим рекуррентное выражение для расчёта дискрет дифференциального спектра:

Х{к+п)= ВД-Уя.ДНО^г . ^ = 0,1,2,... ъ(*) = { ' , _Л (6)

а_п(к+гі)І Й" ' МҐ J [0, к*0 ^w

Последовательно подставляя в выражение (6) к = 0;л-1, получим и линейно-независимых уравнений:

H"

(1 + 0!

'=0

Х{П):

Jf (1 + 11) = -—^-ттІ^О + О^

(7)

X(k + n) = > (a,X(k+i)- -.

Для расчёта дискрет на заданном графике временного отклика h(t) берут N+1 точек (N > 2п) и решают систему уравнений

|>0) = *(О-40);

(8)

где і = \;т-1,і,=Ш,Аі = Н/т,1„=тАі относительно неизвестных дискрет

Х{к). Теперь, решая систему уравнений (7) при известных Х(т), т = 0;2п-\, можно отыскать п коэффициентов а„ «= 0; л. Для небольших порядков системы (5) нетрудно найти аналитическое выражение для коэффициентов а, относительно Х(т). Восстанавливая первые слагаемые ряда (4), получаем искомые коэффициенты щ (5), то есть условия для инженерного проектирования нелинейного устройства.

Получено аналитическое выражение для предварительной оценки интервала ограничения степенного ряда, в виде которого восстанавливается решение. Приводятся критерии оценки погрешности восстановленного решения, которые позволяют не только оценить достоверность результата, но и дать количественную оценку сверху. Установлено, что отклонение решения при t-H по абсолютной величине будет не больше самой старшей рассчитанной дискреты Х(п): у(п+\]<\х(п\. Верхняя граница погрешности определяяется как

ВД=|*(л)|/х(*).

Критерий позволяет быстро оценить погрешность решения при заданном количестве дискрет на интервале времени. Более точную оценку погрешности можно получить, если сравнивать между собой решения, полученные для п ип+га дискрет:

_«^{п_'^т)_=Ш\

x(t„n) x(l„n + m)

,t,e[0...H].

Хорошо известно, что первый этап синтеза РТУ связан с задачей аппроксимации, в результате решения которой определяется функция цепи, описывающая ту или иную характеристику с необходимой точностью. На этапе реализации по найденной функции определяются структура и параметры элементов РТУ. Во многих процедурах синтеза желаемые свойства реализуемого РТУ учитываются при конструировании функции, после чего они автоматически проявляются на этапе реализации. Поэтому именно с задачей аппроксимации связан успех всего синтеза.

Известные способы аппроксимации временных функций различны для разных классов систем и трудно алгоритмизируемы. Предложена методика аппроксимации с использованием дифференциальных преобразований. Рассмотренная методика конструирования передаточной функции легко алгоритмизируется, и её можно использовать в программах синтеза линейных систем. Предложенный способ на основе простых соотношений позволяет получить передаточную характеристику любого порядка с необходимой точностью.

Для сокращения числа членов ряда и повышения точности восстановления решения предложено воспользоваться дифференциальными преобразованиями нетейлоровского типа. Из всех исследованных базисов наилучшим оказался базис смешённых полиномов Чебышёва S,{0^:

"(-DM2W-1)!

sm=<!

(4()'^_/

j «о

яи-т

Оригинал x(t), имеющий дифференциальный спектр Х(к), теперь может быть представлен в виде ряда:

40 = 1 СМ) где с =У[^Р ^__1

S ' ' М 2"-' (к + iЩк -О! J

Численные расчёты показывают, что переход в базис смещённых полиномов позволяет сократить исходный степенной ряд в среднем в 3-5 раз при незначительном увеличении погрешности (рис. 2). Последовательно вычисляя дискреты, можно оценивать точность полученного решения, так как величина чебышёвских дискрет постоянно уменьшается с увеличением их номера. Показано также, что переход к базису смещённых многочленов Чебышёва позволяет решить проблему плохой обусловленности при решении систем линейных алгебраических уравнений.

Использование дифференциального преобразования во многих случаях является единственно возможным и приводит к результату намного быстрее и изящнее, чем другие операторные методы. Кроме того, дифференциальное

преобразование позволило получить ряд доказательств в области фазовой инвариантности систем с установившимися состояниями и инвариантности временных параметров отклика нелинейных систем. В данной главе проведено исследование возможных способов численно-аналитического расчёта дискрет дифференциального спектра.

В третьей главе исследуется сигнально-параметрическая инвариантность параметров реакции нелинейной системы к амплитуде воздействия. Сигнально-параметрическая инвариантность имеет большее значение именно для проектирования РТУ, а не только систем управления. Особую актуальность приобретают исследования в области теории инвариантности в широкополосных устройствах, так как обработка сигналов в таких РТУ связана с изменением формы и отдельных параметров сигнала, а не его интегральных или энергетических характеристик. Очевидно, что использование свойства сигнальной инвариантности для устройств обработки сигналов в широкой полосе рабочих частот позволит улучшить точностные характеристики, уменьшить или исключить влияние нежелательных нелинейностей и шумов на качественные показатели РТУ.

Введено понятие дефекта инвариантности перерегулирования:

где 5/(() - функция перерегулирования линеаризованной системы. Дефект инвариантности є дает количественную оценку того, насколько неинвариантным к Е является 6X0- Для минимизации дефекта инвариантности необходим поиск максимума величины ? = |[5(0-5,(0]/[5,(0|- Решение системы уравнений (1) в диапазоне амплитуд входных сигналов потребует значительных затрат машинного времени. Поэтому разработан алгоритм, позволяющий вычислять функцию цели (9) при значении Е, соответствующем наибольшему максимуму с,. Введем новую переменную х_л+1 =е . С учётом (1) получим

<.=f⁼^). (¹)

где \ - некоторая функция. Будем считать, что при е[,,₂] функция % имеет один экстремум. Обозначив время, где достигается экстремум, через Т_ь получим ЦхО\),Е) = 0.

Таким образом, имеем вариационную задачу поиска такой амплитуды ,

удовлетворяющей (1) и (10), чтобы в момент Г достигался экстремум є. Минимум е соответствует сильной инвариантности, где 5(/) = 5Д/) в области соответствующей амплитуды Е, а максимум соответствует наибольшему дефекту инвариантности. Согласно принципу максимума, для того, чтобы значение Е было оптимальным в смысле постановки задачи, необходимо существование сопряженной функцииp(t), удовлетворяющей соотношениям:

р:(0 = -2р^/&„/ = й;;р(Г) = 0, (11)

где Fj определяется из (1) x',{t) = F,(x,,x₂,...,x„,E), і = \,п, и такой, что для всех T_a<,t<,T амплитуда Е доставляет экстремальное значение гамильтониану

G(x,p,) = _Pl/^.

1-і

Определено условие инвариантности времени задержки импульса в нелинейной системе. Для того чтобы система была инвариантной, функции Ft не должны содержать Е:

F_k[X(k),H,E] = k\X{k)l(EH^k) = F„[X{k),H].

Здесь F_k непосредственно определяются по дискретам временной функции

X(k) = EH^kF_t(A_u,A_i,...,A.,E)/hl, где Aj - изображение а,.

Сделан один общий вывод о том, что дискреты решения нелинейного уравнения состоят из дискрет линеаризованного уравнения плюс дискреты, связанные с дефектом инвариантности. Следовательно, математическая модель РТУ может быть представлена в виде декомпозиции её на параметрически инвариантную систему и дефект инвариантности.

Для систем со слабой нелинейностью получить решение задачи инвариантности времени задержки можно путём оптимизации. Функция цели представляет собой дефект инвариантности

где и и /_г/ - соответственно время задержки откликов нелинейной системы (1) и гипотетической линейной системы, в качестве которой используется (1) при условии a,- = const.

Алгоритм оптимизации представляет собой вариационную задачу поиска

такой амплитуды Е, удовлетворяющей (1) и ^₊, = 1, чтобы в момент времени 7*| достигался экстремум дефекта инвариантности (12). Согласно принципу максимума, значение Е оптимально, если существует экстремум функционала

G(*,p,) = р, (/)/;(*, E.jO+p,,^') ,

где для сопряжённых переменных р,(0 выполняются равенства (II) и p'„_4l(0 = -SG/5r.

В качестве практического примера рассмотрен сверхширокополосный усилитель Дарлингтона (рис. 3) с Т-образным фильтром нижних частот L\, L2, С4. Фильтр выравнивает задержки сигналов от обоих транзисторов, что обеспечивает синфазное суммирование сигналов и расширение полосы рабочих частот.