Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы синтеза цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров с использованием смещения частотных характеристик ФНЧ и ФВЧ 12
1.1.Метод смещения частотных характеристик 15
1.2. Метод преобразования передаточной функции 16
1.3. Метод комплексной арифметики 18
1.4. Метод комплексной задержки 20
1.5. Сравнение методов по числу арифметических операций 40
1.6. Цифровые комплексные фильтры, перестраиваемые по частоте, на базе комплексных задержек 44
Выводы по главе 1 45
ГЛАВА 2. Расчет цифровых ФНЧ и ФВЧ с использованием координат нулей и полюсов нч-прототипа 46
2.1. Последовательная структурная схема 46
2.2. Параллельная структурная схема 60
Выводы по главе 2 81
ГЛАВА 3. Расчет комплексных полосовых и режекторных фильтров по координатам нулей и полюсов нч прототипа 82
3.1. Последовательная структурная схема 82
3.2. Параллельная структурная схема 92
3.3. Перестройка комплексных фильтров по частоте 108
3.4. Реализации комплексной задержки с использованием алгоритма CORDIC 109
Выводы по главе 3 116
ГЛАВА 4. Цифровые комплексные фильтры с линейными ФЧХ 117
4.1. Расчет комплексных КИХ фильтров с линейными ФЧХ методом разложения АЧХ в ряд Фурье 117
4.2. Линеаризация ФЧХ КИХ фильтров 129
4.2.1. КИХ фильтры нижних частот с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу 131
4.2.2. Полосовые КИХ-фильтры с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу 138
4.3. Цифровые БИХ-КИХ фильтры с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу 143
4.3.1. Цифровые БИХ-КИХ фильтры нижних частот с линейными ФЧХ 143
4.3.2. Цифровые комплексные полосовые БИХ-КИХ фильтры с линейными ФЧХ 145
Выводы по главе 4 158
ГЛАВА 5. Детекторы уровня и частотные дискриминаторы на базе комплексных цифровых фильтров 160
5.1. Цифровые детекторы уровня комплексного сигнала 161
5.2. Частотные дискриминаторы на базе комплексных цифровых БИХ-фильтров, рассчитанных по НЧ-прототипам 163
5.3. Частотные дискриминаторы на базе комплексных цифровых БИХ-фильтров, рассчитанных с использованием координат нулей и полюсов по НЧ-прототипам 167
Выводы по главе 5 172
Заключение
- Метод комплексной арифметики
- Параллельная структурная схема
- Реализации комплексной задержки с использованием алгоритма CORDIC
- Цифровые БИХ-КИХ фильтры с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу
Метод комплексной арифметики
Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте полосового фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимо заменить переменную z"1 на езФг 1. Мы получим передаточную функцию с комплексными коэффициентами
Эту передаточную функцию можно реализовать методом комплексной арифметики. Структурная схема полосового комплексного фильтра показана на рис.1.27. АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.28.
Теперь используем метод преобразования передаточной функции. Умножаем числители и знаменатели сомножителей на комплексно-сопряженные знаменатели. В результате получим знаменатели с вещественными коэффициентами. = 1,3401665+/l,95850232f -0,6183358i" T(z) = h l + 0z-1+042128782S"2 + -1,08012114-7 1,3 5 59876 b -0,4629800b -yl, 35 59876 b +0,61714114 l + 0z + 0,4333115%" + 0z + 0,32645554" Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему, показанную на рис.1.29. Рис.1.29. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций)
АЧХ комплексного полосового фильтра, полученная в результате схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.28.
Ранее мы получили передаточную функцию ФНЧ в виде сумму передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему ФНЧ, (Рис.1.25). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного полосового фильтра на базе комплексных задержек. Такая схема, рассчитанная для сдвига на четверть частоты дискретизации, будет иметь следующий вид (рис. 1.30).
Рис. 1.30. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка (метод комплексной задержки)
АЧХ представленной схемы, полученная путем схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис. 1.28. Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета.
Пример 4. Расчёт цифрового комплексного ржекторного фильтра третьего порядка с параллельной структурной схемой В нашем случае используем следующие исходные данные: 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде суммы передаточной функции: 5.6447847 -4.70399155 s 1 (s) = 1 (s +1.134319) (s + 0.93337 s+ 1.05874074 ) 2. Параметры комплексного режекторного фильтра: Т0 = 1 , нормированная центральная частота W0 = 0,25 , нормированная полоса AW= 0,2. Методика расчета. л ТТ „ л т AW 1. Определяем параметры ФВ4: lo= l , Wn= = 0,1. 2. Используя метод обобщенного билинейного преобразования, рассчитываем ФВЧ с параллельной структурой. В нашем случае используется замена переменных следующего вида b =у , где у = tan(;r& w) = 0,3249197. (1 - z ) В результате подстановки получим сумму передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. _ 3,86830798-3,86830798г1 -1,04145294+l,04145294z2 1 (z) = Z, ! Z, -2 1-0,5546723 lz l-l,29896215z +0,58670805z Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему Рис.1.31. Структурная схема цифрового ФВЧ АЧХ, рассчитанная для такой схемы, приведена на рис.1.32.
Рис. 1.32. АЧХ ФВЧ Затем следует найти передаточные функции блоков, АЧХ которых смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте режекторного фильтра. Для этого в передаточной функции T(z) необходимо заменить переменную z на е z . Мы получим передаточную функцию с комплексными коэффициентами
Такой передаточной функции можно поставить в соответствие следующую структурную схему (рис.1.35). Рис.1.35. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод преобразования передаточной функций) АЧХ комплексного режекторного фильтра, полученная в результате схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.34. Ранее мы получили передаточную функцию ФВЧ в виде сумму передаточных функций первого и второго порядка с вещественными коэффициентами. Такой передаточной функции можно поставить в соответствие структурную схему ФВЧ, (Рис.1.31). Преобразуем эту структурную схему в схему комплексного режекторного фильтра на базе комплексных задержек. Такая схема для сдвига на четверть частоты дискретизации будет иметь следующий вид (рис. 1.36). Рис.1.36. Схема комплексного режекторного фильтра третьего порядка (метод комплексной задержки) АЧХ такой схемы, полученная путем схемотехнического моделирования, совпадает с АЧХ, показанной на рис.1.34. Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета.
В работе рассмотрены варианты реализации передаточной функции комплексного полосового и режекторного фильтров инверсного Чебышева с НЧ-прототипами от второго до пятого порядков методом преобразования передаточной функции, методом комплексной арифметики и методом комплексной задержки. Проведено сравнение вариантов реализации по числу операций сложения и умножения, а также по числу операций задержки на такт. Три структурные схемы сравнивались по количеству сумматоров с двумя входами, умножителей на вещественное число и элементов задержки. Результаты подсчета сведены в таблицы. Табл.1.2. Сравнение вариантов реализации цифровых комплексных полосовых (режекторных) фильтров с НЧ-прототипом второго порядка с последовательной структурной схемой
Параллельная структурная схема
В диссертации предлагается способ расчета комплексных цифровых полосовых (режекторных) фильтров по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа с использованием комплексных задержек. При таком подходе можно использовать последовательную структурную схему ФНЧ (ФВЧ), состоящую из звеньев первого порядка с комплексными коэффициентами, полученную во второй главе. Звенья полосовых (режекторных) фильтров могут быть реализованы путем замены задержек на комплексные задержки. В этом случае все звенья будут иметь одинаковую структурную схему, отличаясь только значениями вещественных коэффициентов. Рассмотрим примеры расчета цифровых комплексных полосовых и режекторных фильтров, подтверждающие работоспособность предложенного подхода.
По изложенной во второй главе методике находим структурные схемы комплексных звеньев первого порядка (ФНЧ и ФВЧ), которые отличаются только значениями коэффициентов. Эти схемы приведены на рис.2.1. и на рис.2.2.
Затем следует найти передаточные функции и структурные схемы звеньев, АЧХ которых смещены вправо на частоту, соответствующую центральной частоте полосового фильтра. Структурные схемы можно реализовать, используя метод комплексной задержки (рис.3.1). Вході - К» Структурная схема комплексного звена первого порядка, полученная с использованием метода комплексной задержки Структурные схемы комплексных звеньев первого порядка, для полосовых и режекторных фильтров, одинаковые и отличаются только значениями коэффициентов. Пример 1. Расчет комплексного цифрового полосового фильтра с последовательной структурой по значениям полюсов НЧ-прототипа
Баттерворта третьего порядка
Рассмотрим пример расчета комплексного цифрового полосового фильтра с использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка. НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов [24]: p1=-1, p2=-0.5+j0.866025, p3=-0.5-j0.866025. Исходные данные. 1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде произведения сомножителей: 1 T(s) (5 -/?1) (,?-»2) (5 -/?3) 2. Параметры комплексного цифрового полосового фильтра: 7 0 = 1, нормированная центральная частота Ж0 =0,25, нормированная полоса AW = 0,2. Методика расчета. AW 2 0,1. 1. Определяем параметры ФНЧ Т0 = 1, wY В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФНЧ с последовательной структурой. Структурная схема ФНЧ, полученная по нашим исходным данным приведена в главе 2 на рис.2.3. Чтобы получить структурную схему комплексного цифрового полосового фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФНЧ заменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристика смещается вправо на четверть частоты дискретизации. е = j 71 /ф0 Тогда W0 = 0,25, ф0 = 2nW0 ТО Модель цифрового комплексного полосового фильтра, созданная в среде MicroCap-7, показана на рис.3.2. Рис.3.2. Структурная схема комплексного полосового фильтра, полученная с использованием метода комплексной задержки В результате моделирования при частоте дискретизации f. = 1кГц была получена АЧХ, приведенная на рис.3.3. Рис.3.3. АЧХ для комплексного полосового фильтра Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета. Пример 2. Расчет комплексного цифрового режекторного фильтра с последовательной структурой по значениям полюсов НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка
Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексного цифрового режекторного фильтра с использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка. НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов [24]: p1=-1, p2=-0.5+j0.866025, p3=-0.5-j0.866025. Исходные данные. 1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде произведения сомножителей: ГГ 1 1 1 1 (s) = (s — р1) (s — р2 ) (s— р3 ) 2. Параметры цифрового комплексного режекторного фильтра: Т0 = 1, нормированная центральная частота W0 =0,25, нормированная полоса AW = 0,2. Методика расчета. AW 1. Определяем параметры ФВЧ: Т0 = 1, wn — 2 — 0,1. В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФВЧ с последовательной структурой. Структурная схема ФВЧ, полученная по нашим исходным данным получена и приведена в главе 2 на рис.2.5. Чтобы получить структурную схему комплексного цифрового режекторного фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФВЧ заменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристика смещается вправо на четверть частоты дискретизации.
По изложенной во второй главе методике находим структурные схемы комплексных звеньев первого порядка (ФНЧ и ФВЧ), которые отличаются только значениями коэффициентов. Эти схемы приведены на рис.2.7. и на рис.2.8. Структурные схемы комплексных полосовых и режекторных фильтров можно реализовать, используя метод комплексной задержки (рис.3.6).
Реализации комплексной задержки с использованием алгоритма CORDIC
По изложенной во второй главе методике находим структурные схемы комплексных звеньев первого порядка (ФНЧ и ФВЧ), которые отличаются только значениями коэффициентов. Эти схемы приведены на рис.2.25. и на рис.2.26. Структурные схемы комплексных полосовых и режекторных фильтров можно реализовать, используя метод комплексной задержки (рис.3.21).
Структурная схема звена комплексного полосового(режекторного) фильтра Структурные схемы комплексных звеньев первого порядка, для полосовых и режекторных фильтров, одинаковые и отличаются только значениями коэффициентов. Пример 9. Расчет комплексного цифрового полосового фильтра с параллельной структурой по значениям нулей и полюсов НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексного цифрового полосового фильтра с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) второго порядка описывается следующим набором нулей и полюсов [24]: ni=j5,710246, П2= - J5,710246, pi=-0,706582+j0,729291, p2=-0,706582-j0,729291.
Исходные данные. 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка в виде суммы передаточной функции: „ (4.41493 + і 0.484431)- (s - і 5.710246) 1 (s) = F п + [s - (-0.706582 + j 0.729291) J + (-3.41493 - j 0.484431)- (s - j 5.710246) [s - (-0.706582 - j 0.729291) ] 2. Параметры комплексного цифрового полосового фильтра: 7"0 = 1, нормированная центральная частота И =0,25, нормированная полоса tsW = 0,2. Методика расчета. 1. Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1, wn = — = 0,1. В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФНЧ с параллельной структурой.
Структурная схема ФНЧ, полученная по нашим исходным данным получена и приведена в главе 2 на рис.2.27.
Чтобы получить структурную схему комплексного цифрового полосового фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФНЧ заменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристика смещается вправо на четверть частоты дискретизации. ГТ 1 -. ТТ7- П J k Іогда Wn =0,25, фп =2nWn =—, є = /. Модель цифрового комплексного полосового фильтра, созданная в среде MicroCap-7, показана на рис.3.22. 104 Рис.3.22. Параллельная структурная схема цифрового комплексного полосового фильтра, полученная с использованием метода комплексной задержки В результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХ полосового фильтра, приведенная на рис.3.23. Рис.3.23. АЧХ для комплексного полосового фильтра Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета. 105 Пример 10. Расчет комплексного цифрового режекторного фильтра с параллельной структурой по значениям нулей и полюсов НЧ прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексного цифрового режекторного фильтра с использованием НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) второго порядка описывается следующим набором нулей и полюсов [24]: ni= j5,710246, n2= - j5,710246, pi= -0,706582+j0,729291, P2= -0,706582-j0,729291. Исходные данные. 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) второго порядка в виде суммы передаточной функции: (4.41493 + j 0.484431)- (s — j 5.710246) T(s) = F — п + [s - (-0.706582 + j 0.729291)] (-3.41493- і0.484431)- (s- і5.710246) + F =i [s - (-0.706582 - j 0.729291)] 2. Параметры комплексного цифрового режекторного фильтра: Т0 =1, нормированная центральная частота W0 = 0,25, нормированная полоса tsW = 0,2. Методика расчета. _ AW _ 1. Определяем параметры ФВЧ: Т0 = 1, wn = — = 0,1. Используя метод ОБП, можно рассчитать ФВЧ с параллельной структурой. Структурная схема ФВЧ, полученная по нашим исходным данным получена и приведена в главе 2 на рис.2.29. Чтобы получить структурную схему комплексного цифрового режекторного фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФВЧ заменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристика смещается вправо на четверть частоты дискретизации. 106 Т огда W0 = 0,25, ф0 = 2jiW0 =—, е = / . Модель режекторного комплексного цифрового фильтра, созданная в среде MicroCap-7, показана на рис.3.24. Рис.3.24. Параллельная структурная схема цифрового комплексного режекторного фильтра, полученная с использованием метода комплексной задержки В результате моделирования в среде Micro-Cap 7 была получена АЧХ режекторного фильтра, приведенная на рис.3.25. Рис.3.25. АЧХ для комплексного режекторного фильтра Соответствие АЧХ исходным данным подтверждает работоспособность методики расчета. 107 3.3. Перестройка комплексных фильтров по частоте Рассмотрим перестройку центральной частоты полосового и режекторного фильтров путем изменения параметров комплексной задержки. Первый параметр равен cos 0, а второй равен sin 0.
Предыдущие анализы показывают, что форма АЧХ сохранилась, а центральная частота равна четверти частоты дискретизации. Результаты моделирования при четырех различных значениях W0 показаны на следующих рисунках.
Цифровые БИХ-КИХ фильтры с линейными ФЧХ, рассчитанные по НЧ-прототипу
В этом разделе рассмотрим вариант частотного дискриминатора на основе двух комплексных цифровых полосовых БИХ-фильтров, рассчитанных по НЧ-прототипам, и амплитудного детектора. В этом случае дискриминационная характеристика может интерпретироваться как разность двух АЧХ с различными центральными частотами.
Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексного цифрового полосового фильтра с использованием НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка. НЧ-прототип Баттерворта третьего порядка описывается следующим набором полюсов [24]: p1=-1, p2=-0.5+j0.866025, p3=-0.5-j0.866025. Исходные данные. 1. Фильтр НЧ-прототипа Баттерворта третьего порядка в виде произведения сомножителей: 1 1 1 1 (s) = (s — P1) (s - р2) (s-p3) 2. Параметры комплексного цифрового полосового фильтра: 7"0 = 1, нормированная центральная частота W0 = 0,25, нормированная полоса AW = 0,1. Методика расчета. _ AW _ 1. Определяем параметры ФНЧ: Т0 = 1, wn = — = 0,05 . В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФНЧ с последовательной структурой. Структурная схема ФНЧ, полученная по нашим исходным данным приведена на рис.5.6.
Структурная схема ФНЧ Чтобы получить структурную схему комплексного цифрового полосового фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФНЧ заменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристика смещается вправо на четверть частоты дискретизации. — 271VV — 0 0 Тогда W0 = 0,25, ф0 = 2nW0 7Г e = у Модель комплексного цифрового полосового фильтра, созданная в среде MicroCap-7, показана на рис.5.7. Рис.5.7. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка для сдвига на четверть частоты дискретизации 164 На рис.5.8 приведены АЧХ комплексных цифровых фильтров при различных центральных частотах. Рис.5.8. АЧХ цифровых комплексных полосовых фильтров, при различных значениях W0 Видно, что форма АЧХ при перестройке частоты не изменяется. В такой ситуации форма дискриминационной характеристики также не будет изменяться при перестройке по частоте, что подтверждается результатами моделирования показанными на следующих рисунках. АЧХ комплексного цифрового полосового фильтра, при различных детекторах уровня (а – амплитудный детектор, б – детектор квадрата амплитуды, в – детектор суммы модулей) ДХ на базе комплексных полосовых фильтров, при различных детекторах уровня (а – амплитудный детектор, б – детектор квадрата амплитуды, в – детектор суммы модулей) В разделе отражены результаты моделирования частотных дискриминаторов, реализованных на комплексных цифровых полосовых фильтрах с различающимися центральными частотами. Рассчитаны дискриминационные характеристики (ДХ) для случаев использования фильтров Баттерворта с НЧ-прототипами от второго до пятого порядков. Выявлены соотношения параметров фильтров, при которых ДХ близки к линейным на частотах в окрестности центральной частоты ДХ. Показана возможность сдвига ДХ по частоте без изменения ее формы.
В этом разделе рассмотрим вариант частотного дискриминатора на основе двух комплексных цифровых полосовых БИХ-фильтров, рассчитанных с использованием координат нулей и полюсов по НЧ-прототипам, и амплитудного детектора. В этом случае дискриминационная характеристика может интерпретироваться как разность двух АЧХ с различными центральными частотами.
Для иллюстрации метода рассмотрим пример расчета комплексного цифрового полосового фильтра с использованием Чебышева (инверсного) третьего порядка по координатам нулей и полюсов НЧ-прототипа. НЧ-прототип Чебышева (инверсный) третьего порядка описывается следующим набором нулей и полюсов [24]: n1=j2.444659, n2=-j2.444659, p1=-1. 134319, p2=-0.466685+j0.917031, p3=-0.466685-j0.917031. Исходные данные. 1. Фильтр НЧ-прототипа Чебышева (инверсного) третьего порядка в виде произведения сомножителей: 1 (s) = (s — P1) (s - p2) (s - p3) 2. Параметры комплексного цифрового полосового фильтра: Т0 = 1, нормированная центральная частота W0 = 0,25, нормированная полоса AW = 0,1. Методика расчета. _ AW _ 1. Определяем параметры ФНЧ Т0 = 1, wn = 2 = 0,05 . В такой ситуации, используя метод обобщенного билинейного преобразования, можно рассчитать ФНЧ с последовательной структурой. Структурная схема ФНЧ, полученная по нашим исходным данным приведена на рис.5.14.
Структурная схема ФНЧ Чтобы получить структурную схему комплексного цифрового полосового фильтра, необходимо блоки задержек в структурной схеме ФНЧ заменить на комплексные задержки. Пусть частотная характеристика смещается вправо на четверть частоты дискретизации. 7T є = j Тогда W0 = 0,25, ф0 = 2nW0 то Модель полосового комплексного цифрового фильтра, созданная в среде MicroCap-7, показана на рис.5.15. Рис.5.15. Схема комплексного полосового фильтра третьего порядка для сдвига на четверть частоты дискретизации 169 На рис.5.16. приведены АЧХ комплексных цифровых фильтров при различных центральных частотах.
ДХ при четырех различных порядках аппроксимации, на базе комплексных цифровых фильтров В разделе отражены результаты моделирования частотных дискриминаторов, реализованных на комплексных цифровых полосовых фильтрах с различающимися центральными частотами. Рассчитаны дискриминационные характеристики (ДХ) для случаев использования фильтров Чебышева(инверсного) (amin=30дБ, amax=3дБ) с использованием координат нулей и полюсов НЧ-прототипа от второго до пятого порядков. Выявлены соотношения параметров фильтров, при которых ДХ близки к линейным на частотах в окрестности центральной частоты ДХ. Показана возможность сдвига ДХ по частоте без изменения ее формы.