Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сравнительный анализ методов исследования нелинейных динамических систем с хаотическим поведением . 15
1.1 .Отличительные особенности динамических систем с хаотическим поведением. 15
1.2. Сравнительный анализ методов анализа динамических систем . 24
1.3. Представление динамических систем в виде нелинейного осциллятора. 30
Выводы по главе. 33
Глава 2. Анализ поведения нелинейных динамических систем на основе представления в виде нелинейного осциллятора . 34
2.1. Анализ поведения динамической системы Лоренца на основе обобщенных параметров нелинейного осциллятора. 34
2.2. Анализ поведения динамической системы Ресслера на основе представления в виде нелинейного осциллятора . 44
2.3. Аналитическая оценка качественного поведения динамической системы Лоренца на основе представления в виде нелинейного осциллятора. 50
2.4. Анализ поведения динамических систем Дуффинга и Вандер-Поля на основе представления в виде нелинейного осциллятора. 56
Выводы по главе. 65
Глава 3 Синтез внешних квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением . 66
3.1. Синтез внешних квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Лоренца и их исследование с точки зрения энергетической эффективности. 66
3.2. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Ресслера на основе представления в виде обобщенного нелинейного осциллятора . 82
3.3. Стабилизация систем Ван-дер-Поля и Дуффинга внешними квазирезонансными воздействиями. 87
Выводы по главе. 92
Глава 4. Применение квазирезонансных стабилизирующих воздействий в нелинейных системах с хаотической динамикой . 93
4.1. Математическое моделирование квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Лоренца при помощи программного пакета Mathcad. 93
4.2. Применение квазирезонансных воздействий для получения псевдослучайных последовательностей . 99
4.3. Применение результатов исследования поведения системы Лоренца для анализа динамики квантового генератора с нестационарными параметрами резонатора. 106 Заключение 108
Литература
- Сравнительный анализ методов анализа динамических систем
- Анализ поведения динамической системы Ресслера на основе представления в виде нелинейного осциллятора
- Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Ресслера на основе представления в виде обобщенного нелинейного осциллятора
- Применение квазирезонансных воздействий для получения псевдослучайных последовательностей
Введение к работе
Интенсивное изучение нелинейных систем с хаотической динамикой в последние два - три десятилетия обусловлено их многочисленными практическими приложениями в различных областях науки и техники [48, 56, 90, ПО]. В радиотехнике нелинейные динамические системы с хаотическим поведением применяются для описания динамики процессов, происходящих в квантовых генераторах [75, 76], автогенераторах с инерционной обратной связью [28, 54, 55], системах фазовой автоподстройки частоты [5, 89], системах стабилизации и нагрева плазмы [10, 34, 106], в конфиденциальных системах связи, использующих хаотические сигналы [26, 44-46, 49-50, 60].
Важнейшей особенностью нелинейных систем с динамическим хаосом является возможность возникновения в них двух принципиально различных режимов - регулярного и хаотического [2, 4, 47, 57, 63, 72, 74]. Актуальной является задача обеспечения требуемого режима работы радиофизических устройств и систем с динамическим хаосом [1, 11, 29, 62, 93]. Создание квантовых генераторов с высокой стабильностью частоты излучения затруднено возможностью появления нерегулярного режима колебаний в активном веществе лазера [33, 104]. В системах фазовой автоподстройки частоты, являющихся основой построения многих устройств в системах связи и радиолокации, при переходе к фильтрам второго и более высоких порядков, возникновение хаотического режима под влиянием изменения параметров схем, наличия паразитных связей и т.д. приводит к сбою в работе системы [102]. Обеспечение регулярного режима работы является необходимым условием увеличения надежности и улучшения характеристик этих систем.
Широкое применение нелинейных систем с хаотической динамикой в качестве формирователей псевдослучайных сигналов [32, 36, 58] вызывает необходимость обеспечения воспроизводимости их параметров и
статистических характеристик, в связи с чем возникает потребность стабилизации стохастического режима источников хаотического сигнала.
В настоящее время не существует общих методов решения систем дифференциальных уравнений, порождающих динамический хаос [31, 37, 43]. К эффективным методам исследования нелинейных систем с хаотической динамикой следует отнести метод точечных отображений Пуанкаре [81-82], метод функций Ляпунова [64, 69], метод расщепления сепаратрис Мельникова [24, 70, 79], метод геометрических представлений [23], метод математического моделирования с применением ЭВМ [7, 12, 41, 85, 97].
Исследованию динамического хаоса и его применений посвящены работы М.Либермана, А.Лихтенберга, Э.Лоренца, Г.Хакена, О.Ресслера, Д.Рюэля, Ф.Такенса, Л.Чжуа. Среди отечественных ученых необходимо выделить имена В.С.Анищенко, А.С.Дмитриева, А.Н.Ораевского, М.И.Рабиновича, Ю.Л.Климонтовича, М.В.Капранова, СП. Кузнецова, А.П.Кузнецова, В.Н.Кулешова, А.И.Панаса, В.А.Песошина, Ю.Е.Польского, В.В.Афанасьева, Д.И.Трубецкова, С.О.Старкова и других.
Задача стабилизации поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением связана с проблемой обеспечения устойчивой работы радиотехнических и квантовых устройств, а также обеспечения работоспособности современных скрытных систем передачи, приема и хранения информации.
Известны различные виды внешних стабилизирующих воздействий — инерционные, квазистационарные, параметрические, квазирезонансные [8, 9, 15, 73, 83, 107], однако отсутствие общих методов анализа нелинейных систем с динамическим хаосом и общих методов синтеза стабилизирующих воздействий делает актуальной задачу поиска новых методов синтеза стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим поведением.
Цель работы - разработка метода анализа и синтеза внешних стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
Представление нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде нелинейного осциллятора с обобщенными параметрами -обобщенным диссипативным и обобщенным свободным членом.
Изучение качественной взаимосвязи поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля с характером изменения обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена,
3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе
обобщенных параметров нелинейного осциллятора.
4. Анализ энергетической эффективности различных видов
стабилизирующих воздействий на динамические системы с хаотическим
поведением.
Для исследования поведения нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в работе использованы количественные и качественные методы теории колебаний, методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений.
Достоверность и обоснованность научных выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертационной работе, обеспечивается корректным использованием методов теории колебаний, результатами математического моделирования, сопоставлением с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.
Научная новизна работы представлена следующими результатами:
1. Предложено представление нелинейных динамических систем Лоренца,
Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного
осциллятора.
Определена качественная зависимость поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля от характера изменения обобщенного диссипативного члена и обобщенного свободного члена.
Развиты методы синтеза квазирезонансных стабилизирующих воздействий.
4. Проведена оценка энергетической эффективности квазирезонансных
стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим
хаосом.
Практическая ценность, реализация и внедрение результатов исследований.
Разработана методика оценки поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Ван-дер-Поля, Дуффинга по характеру изменения обобщенных параметров системы - обобщенного свободного члена и обобщенного диссипативного члена.
Разработано программное обеспечение для проведения численного моделирования стабилизирующих внешних воздействий на динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.
3. Обоснованы инженерные рекомендации выбора параметров
энергетически эффективных квазирезонансных стабилизирующих воздействий
в радиофизических устройствах с динамическим хаосом.
Результаты, полученные в ходе выполнения диссертации, вошли в материалы научно - исследовательских работ:
Научно-техническая программа «Научные исследования по приоритетным направлениям науки и техники», подпрограмма 209. Информационно-телекоммуникационные технологии, раздел 209.05 Теория и техника обработки
11 и формирования сигналов в радиотехнических системах, ЫИР 209.05.01.34. «Управление регулярными и хаотическими колебаниями в нелинейных радио-и оптоэлектронных системах при помощи инерциальных воздействий», Гос. регистрац. № 01.2.00308758.
Программа развития приоритетных направлений науки в Республике Татарстан на 2001-2005 годы, НИР №> 06-6.1-111/2002(Ф) с Академией наук РТ «Анализ стабилизирующих воздействий на различные виды нелинейных динамических систем со странными аттракторами при помощи моделирования на ЭВМ»; НИР №06-6.1-188/2004(Ф) «Методы анализа и стабилизации нелинейных устройств и систем с динамическим хаосом».
Материалы диссертационной работы практически использованы в учебном процессе кафедры радиоэлектронных и квантовых устройств КГТУ при подготовке бакалавров, инженеров и магистров по специальностям 2007 и 2015 направления «Радиотехника».
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- Международная конференция «Современные проблемы физики и высокие
технологии» (Томск, ТГУ, 2003г.);
- Юбилейная научно-техническая конференция «Автоматика и электронное приборостроение» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2001г.);
Итоговая конференция Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И.Лобачевского (Казань, КГУ им. В.И.Ульянова-Ленина, 2002г.);
СНТК РТФ КГТУ им. А.Н.Туполева, посвященная дню Радио (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1998г.);
- СНТК РТФ КГТУ им. А.Н. Туполева, посвященная дню Радио, секция
«Радиотехника», (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);
Итоговая университетская научно-техническая конференция студентов (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1999г.);
Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2000г.);
НТК «IX Всероссийские Туполевские чтения студентов» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 2000).
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Представление нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера,
Дуффинга, Ван-дер-Поля в виде обобщенного нелинейного осциллятора.
2. Методика оценки поведения нелинейных динамических систем
Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля на основе обобщенных
параметров нелинейного осциллятора - обобщенного свободного члена и
обобщенного диссипативного члена.
3. Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на основе
представления нелинейных динамических систем в виде обобщенного
нелинейного осциллятора.
4. Сравнение энергетической эффективности квазирезонансных
стабилизирующих воздействий на нелинейные системы с динамическим
хаосом.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель и основные защищаемые положения, показана научная новизна и практическая значимость работы. Приведено описание структуры диссертации.
В первой главе приведено определение динамической системы. Приведена классификация динамических систем по виду описывающих ее дифференциальных уравнений и по характеру возможных движений в динамической системе. Провиден сравнительный анализ методов исследования
13 динамических систем. Предложено описание динамических систем на основе представления в виде нелинейного осциллятора. Введены понятия обобщенного диссипативного члена и обобщенного свободного члена.
Во второй главе на основе представления динамических систем с хаотическим поведением в виде обобщенного нелинейного осциллятора проведен анализ поведения нелинейных динамических систем Лоренца, Ресслера, Ван-дер-Поля, Дуффинга. Методом математического моделирования установлено, что поведение обобщенных параметров нелинейного осциллятора однозначно определяет поведение нелинейных систем с хаотической динамикой.
В третьей главе на основе представления нелинейных динамических систем в виде обобщенного осциллятора рассмотрен синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на параметры динамических систем Лоренца, Ресслера. Исследована энергетическая эффективность различных видов квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамические системы Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля.
В четвертой главе показана возможность применения программного обеспечения, разработанного для выполнения математического моделирования нелинейных систем с динамическим хаосом, при подготовке бакалавров, инженеров и магистров по специальностям 2007 и 2015 направления «Радиотехника». Путем математического моделирования установлено, что квазирезонансные внешние воздействия позволяют осуществить стохатизацию динамической системы Лоренца, находящейся в регулярном режиме, что может быть использовано для получения псевдослучайных последовательностей в системах связи, применяющих хаотические сигналы. Приведены примеры применения полученных теоретических результатов к исследованию поведения радиотехнических и квантовых устройств и управлению их поведением.
В заключении представлены основные выводы.
Основное содержание диссертации отражено в работах автора [15-22, 97-101].
В диссертационной работе принята следующая нумерация формул и таблиц: первая цифра соответствует номеру главы, вторая цифра - номеру параграфа в главе, третья цифра - номеру формулы или таблицы по порядку в параграфе. Нумерация рисунков в работе следующая: первая цифра соответствует номеру главы, вторая цифра - номеру рисунка в главе.
Сравнительный анализ методов анализа динамических систем
В настоящее время не существует строгих аналитических методов решения нелинейных систем с динамическим хаосом [37, 43]. Изучение свойств и особенностей хаотических колебаний в динамических системах потребовало привлечения для их анализа ряда самостоятельных дисциплин и методов, таких, как теория нелинейных колебаний, теория динамических систем, теория дифференциальных уравнений, теория устойчивости и бифуркаций (бифуркация - качественное изменение движения), статистическая теория. Для изучения характера движений в конкретной колебательной системе с целью установления наличия или отсутствия странного аттрактора в ней используется ряд методов [74], среди которых стоит выделить: 1. Исследование Фурье-спектра получающихся в системе колебаний, либо в натурном эксперименте с помощью спектр-анализатора, либо в результате интегрирования уравнения с помощью ЭВМ по специальной программе «быстрое преобразование Фурье». При эволюции колебаний в системе от периодических к хаотическим при изменении одного или нескольких управляющих параметров, например, амплитуды и (или) частоты внешнего воздействия, коэффициента нелинейности, декремента,-зя ухания (инкремента нарастания) и т.п., вначале в спектре наблюдается возрастание уровней гармоник, затем появление субгармоник (бифуркация периода колебаний) и при хаосе образуется сплошной спектр, в котором выделяются некоторые характерные частоты системы.
Исследование корреляционных функций хаотических колебаний. При наличии сплошного спектра в силу теоремы Винера — Хинчина получается спадающий характер функций корреляции для любой фазовой переменной j(t). Прямой расчет функции корреляции может быть осуществлен с помощью соотношения: к(т) = {хґхм-тг), (1.2.1) где m - среднее значение переменной х.(ш = х.).
Определение дисперсии D2=(x-x)z и построение гистограмм по реализациям. При сечении странного аттрактора плоскостью, называемой плоскостью Пуанкаре, можно снизить размерность фазового пространства на единицу и получить в ней картину эволюции колебаний от периодических до хаотических при изменении управляющего параметра (двумерное отображение сдвига) [74].
Метод Мельникова дает возможность исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой- На основе этого метода возможно получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. В типичной гамильтоновой системе движение вблизи сепаратрисы всегда хаотическое [39, 63]. Однако при наличии диссипации это уже не так. Поэтому важно определить условия, при которых возникает хаос [65]. В [24] в качестве примера определяется расщепление сепаратрисы для нелинейной динамической системы Дуффинга с гармонической правой частью. Известно, что поведение различных динамических систем со стохастической динамикой (например системы Лоренца) вблизи точек неустойчивого равновесия можно представить в виде уравнения Дуффинга с негармонической периодической правой частью [9]. Это означает, что метод Мельникова является эффективным средством для анализа поведения таких систем.
Несомненным достоинством метода Мельникова является то, что он позволяет изучать поведение динамической системы аналитически, не прибегая к численному моделированию на ЭВМ.
Численное интегрирование является основным инструментом изучения сложных динамических систем во всем объеме фазового пространства. По сути, широкое изучение нелинейных динамических систем с хаотической динамикой началось с развитием ЭВМ [30]. Математическое моделирование позволяет быстро и наглядно получить картину изменения во времени одной или нескольких фазовых переменных. Вместе с тем, при применении этого метода необходимо учитывать влияние принципиально неустранимых при применении ЭВМ шумов дискретизации [7].
Метод функций (вторая теорема) Ляпунова об устойчивости движения формулируется следующим образом [69]: Для устойчивости невозмущенного движения х = 0 системы (1.1-1) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области Go существовала непрерывно дифференцируемая определенно положительная (и, соответственно, допускающая бесконечно малый высший предел) функция v(xj), производная которой в силу уравнений (1.1.1) постоянно отрицательна (v(x, t) 0). Аналогично сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие по v(x,t) и ее производной судить о неустойчивости системы и асимптотической устойчивости. В основе этого и многих других методов лежит фундаментальная теорема сравнения в теории дифференциальных уравнений [61], которая утверждает наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений) в предположении, что некоторым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнений или неравенств).
Метод геометрических представлений [23] является развитием метода функций Ляпунова. Применение этого метода основано на том, что системе дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную динамическую систему, ставится в соответствие вспомогательное дифференциальное уравнение [91]: (x) = F2( ). Поверхности равных значений функции Fj заполняют некоторую часть фазового пространства. Значение функции F2 определяет знак проекции вектора поля системы в точке хо на направление нормали к поверхности уровня i j(j:) = F2(x) и тем самым определяет направление движения изображающей точки относительно поверхности уровня. Таким образом, имея семейство функций Fx и их производных F2 можно судить о характере движения фазовой траектории динамической системы в фазовом пространстве в целом [91].
Метод геометрических представлений позволяет определить для динамической системы границы области существования аттрактора, условия возникновения стохатизации, фазовый портрет аттрактора.
Метод геометрических представлений позволяет определить «параметры порядка» [92] системы, которые позволяют абстрагироваться от несущественных свойств системы тем самым снижая размерность исходной динамической системы, что значительно упрощает дальнейший анализ. Классическим примером разделения существенных и несущественных свойств системы является маятник Капицы [83].
Таким образом, на основании рассмотренных методов исследования динамических систем следует, что наиболее универсальным методом изучения поведения сложных нелинейных систем является метод математического моделирования, позволяющий определить наличие странного аттрактора в системе, получить фазовый портрет системы, смоделировать условия возникновения стохатизации, установить влияние на поведение системы внешних воздействий. Наиболее эффективным методом, позволяющим проводить анализ поведения динамических систем без моделирования на ЭВМ, является метод геометрических представлений. Следовательно, можно предположить, что достаточно эффективным методом исследования поведения нелинейных динамических систем будет являться «синтезированный» метод, основанный как на математическом моделировании, так и на поиске вспомогательных функций, определенные свойства которых отражают свойства исходной динамической системы.
Анализ поведения динамической системы Ресслера на основе представления в виде нелинейного осциллятора
Результаты математического моделирования обобщенного диссипативного члена динамической системы Ресслера при наличии в системе хаотического режима представлены на рис. 2.9, рис. 2.11, рис. 2.13; при наличии в динамической системе Ресслера регулярного режима на рис. 2.10, рис. 2.12, рис. 2.16.
Путем математического моделирования установлено, что вне зависимости от выбора переменной - X, Y или Z в динамической системе Ресслера обобщенный диссипативный член ведет себя строго определенным образом в зависимости от существующего в системе режима. При хаотическом режиме в динамической системе Ресслера происходит уменьшение величины минимумов обобщенного диссипативного члена, при наличии в системе регулярного режима - увеличение минимумов функции обобщенного диссипативного члена.
Ресслера регулярного режима. Методом математического моделирования установлено, что обобщенный свободный член нелинейной динамической системы Ресслера совершает квазигармонические колебания с изменяющейся амплитудой. Динамика изменения амплитуды зависит от состояния динамической системы. При наличии в динамической системе Ресслера хаотического режима амплитуда колебаний обобщенного свободного члена возрастает (аналогично поведению обобщенного свободного члена динамической системы Лоренца), а в случае наличия в динамической системе Ресслера регулярного режима - амплитуда колебаний обобщенного свободного члена уменьшается.
1. Представление динамической системы Ресслера в виде нелинейного осциллятора позволяет получить обобщенные параметры системы -обобщенный диссипативный член и обобщенный свободный член, динамикой изменения которых определяется в системе наличествующий режим -регулярный либо хаотический.
2. Качественный характер зависимостей вида колебаний и динамики изменения амплитуды обобщенного свободного члена в динамической системе Ресслера от наличия в системе хаотических либо регулярных колебаний сохраняется для каждой переменной системы. 2.3. Аналитическая оценка качественного поведения динамической системы Лоренца на основе представления в виде нелинейного осциллятора.
Характер изменения обобщенного свободного и обобщенного диссипативного члена динамической системы Лоренца позволяет однозначно определить режим колебаний в системе. Открывается возможность на основе теоретического, без математического моделирования, анализа обобщенных параметров предсказывать качественное поведение нелинейной динамической системы [17].
Представление в виде нелинейного осциллятора дает возможность определить для динамической системы Лоренца функцию Ф, которую можно рассматривать в качестве параметра порядка. 2.4. Анализ поведения динамических систем Дуффинга и Ван-дер-Поля па основе представления в виде нелинейного осциллятора.
Многие радиофизические, оптические и механические системы такие, как сегнетоэлектрические резонаторы и контуры с ферромагнетиками, взаимодействие связанных зарядов с полем электромагнитной волны, обтекание воздушным потоком тел с тупыми обводами (плохо обтекаемых) и др. [74] описываются однотипными видами уравнений,
Результаты математического моделирования обобщенного диссипативного члена (2.4.5) при наличии хаотического и регулярного режима представлены на рис. 2.21а и рис. 2.216 соответственно. Установлено, что при наличии в системе Дуффинга регулярного режима обобщенный диссипативный член, имеет квазипериодические выбросы, обусловленные обращением в ноль знаменателя выражения (2.4.5), при наличии хаотического режима выбросы обобщенного диссипативного члена aD непериодичны.
Обобщенный свободный член системы Дуффинга J3D при наличии в системе регулярного режима. Путем математического моделирования установлено, что поведение обобщенного свободного члена в зависимости от режима колебаний в системе Дуффинга аналогично поведению обобщенного диссипативного члена. Таким образом, динамика изменения обобщенных параметров нелинейного осциллятора позволяет судить о наличие в системе регулярного либо хаотического режима колебаний.
Установлено, что при наличии в системе Ван-дер-Поля регулярного режима обобщенный диссипативный член имеет квазипериодические выбросы, обусловленные обращением в ноль знаменателя выражения (2.4.8), при наличии хаотического режима выбросы обобщенного диссипативного члена aD непериодичны.
1. Установлено, что функции обобщенных параметров уравнений Ван дер-Поля и Дуффинга - обобщенных диссипативных и свободных членов - при наличии в системах регулярного режима колебаний имеет квазипериодические выбросы. При наличии хаотического режима выбросы непериодичны.
2. Методом математического моделирования установлено, что представление уравнений Дуффинга и Ван-дер-Поля в виде нелинейных осцилляторов позволяет выделить обобщенные параметры системы обобщенный свободный член и обобщенный диссипативный член, динамика которых определяет наличие в системе регулярного либо хаотического режима.
Синтез квазирезонансных стабилизирующих воздействий на динамическую систему Ресслера на основе представления в виде обобщенного нелинейного осциллятора
На основе представления нелинейной динамической системы Ресслера (2.2.1) в виде обобщенного нелинейного осциллятора возможно осуществить синтез стабилизирующих воздействий.
Следящее квазирезонансное воздействие на параметр а синтезируется следующим образом. Результаты матиматического моделирования следящего стабилизирующего воздействия на параметр а, при различном начальном отклонении системы от положения равновесия Д (2.1.10) представлены в таблице 3.2.1. Следящее воздействие сложно реализуемо технически, поэтому целесообразно исследовать энергетическую эффективность импульсного воздействия вида (3.1.14) на параметр а системы Ресслера.
Учитывая динамику изменения обобщенного свободного члена, синтезировано квазирезонансное воздействие на параметр динамической системы Ресслера к. Изменение во времени квадрата амплитуды обобщенного свободного члена динамической системы Ресслера является сложной функцией переменных и линейной функцией параметров системы.
Результаты математического моделирования воздействия вида (3.1.3) на параметр к, при различном начальном отклонении системы от положения равновесия Д (2.1.10) представлены в таблице 3.2.3. Путем математического моделирования установлено, что в динамической системе Ресслера следящее воздействие на параметр а более энергетически эффективно, чем квазирезонансные импульсные воздействия на параметры а и к (рис.3.11, рис.3.12). w
Рассмотрим возможность стабилизации систем Дуффинга и Ван-дер-Поля внешними квазирезонансными воздействиями и исследуем энергетическую эффективность стабилизирующих воздействий. На динамическую систему Дуффинга, находящуюся в режиме хаотических колебаний стабилизирующее воздействие производиться на внешнюю силу pcos(wt). Изменение внешней силы производиться по закону: F = pcos(wO- „sgn(cos(w/)), (3.3.1) где TVMn - длительность импульса внешнего квазирезонансного воздействия.
Путем математического моделирования установлено (рис.3.3.1), что зависимость среднеквадратичного значения минимальной глубины модуляции нелинейна при различной длительности импульсов внешнего квазирезонансного воздействия. Однако можно сделать вывод, что более предпочтительны с точки зрения энергетической эффективности воздействия короткими импульсами большей амплитуды.
Рассмотрим возможность стабилизации систему Ван-дер-Поля внешними квазирезонансными воздействиями и исследуем энергетическую эффективность стабилизирующих воздействий.
На динамическую систему Ван-дер-Поля, находящуюся в режиме хаотических колебаний при значении параметров стабилизирующее воздействие будем производить на внешнюю силу pco&(wt).
Применение квазирезонансных воздействий для получения псевдослучайных последовательностей
Программное обеспечение, полученное в процессе работы над диссертацией, возможно эффективно использовать для обучения студентов специальностей 2007, 2015 направления «Радиотехника».
В настоящее время нелинейные системы с хаотической динамикой широко используют в качестве формирователей псевдослучайных сигналов [44, 50].
При хаотическом режиме фазовая траектория системы совершает спонтанные переходы между областями с различными состояниями равновесия, что отражается на координатах системы. На рис 4.7а представлена динамика изменения координаты Y динамической системы Лоренца находящейся в регулярном режиме, на рис. 4.76 - координаты Y динамической системы Лоренца, находящейся в хаотическом режиме.
Определенный практический интерес представляет изучение влияния внешних квазирезонансных воздействий на характеристики получаемых псевдослучайных последовательностей при использовании в качестве источника исходного сигнала нелинейной динамической системы.
В работе методом математического моделирования при помощи внешних квазирезонансных воздействий исследована возможность стабилизации стохастического режима в динамической системе Лоренца, находящейся без воздействия в регулярном режиме.
В качестве критерия случайности сигнала будем использовать корреляционную функцию (1.2.1) получаемого в процессе моделирования дискретного сигнала координат нелинейной динамической системы Лоренца.
Регулярный либо хаотический режим колебаний в динамической системе Лоренца обеспечивается выбором параметров системы либо внешним управляющим воздействием.
Методом математического моделирования показано, что в находящейся в регулярном режиме динамической системе Лоренца с помощью импульсного квазирезонансного воздействия на параметр R возможно обеспечить стохастический режим.
Путем математического моделирования установлено, что принципиально возможно с помощью внешних квазирезонансных воздействий на параметры системы осуществить стохатизацию колебаний в системе, находящейся в регулярном режиме.
Из приведенных результатов следует (рис. 4.9 - 4.14), что скорость спада корреляционной функции пропорциональна величине внешних квазирезонансных воздействий на параметр R динамической системы Лоренца.
1. Результаты математического моделирования показывают, что квазирезонансным импульсным воздействием возможно перевести динамическую систему Лоренца из регулярного в хаотический режим колебаний с помощью незначительной модуляции (доли процента) параметра R.
2. Спад корреляционной функции сигнала пропорционален увеличению коэффициента модуляции параметра R.
Свободная генерация лазеров на твердом теле, как правило, нестационарна и представляет собой хаотические незатухающие пульсации -«пичковый режим» [80].
Известны экспериментальные результаты стабилизирующего влияния инерциальных воздействий на временные характеристики излучения рубинового лазера [80].
Инерциальное воздействие в эксперименте оказывалось при помощи подвижного пьезоэлектрического зеркала в резонаторе. В случае, когда амплитуда движения зеркала является соизмеримой с Яген/2 наступает режим регулярной кинетики [68]. Стабилизируются как временные характеристики излучения лазера, так и пространственные параметры излучения рубинового лазера [80], Таким образом, использование модуляции параметров резонатора с помощью подвижного пьезоэлектрического зеркала, позволило обеспечить стабилизацию излучения лазера. Поперечное сечение луча модулированного ОКГ, работающего в режиме нескольких поперечных мод: а - наличие нескольких мод (поперечные моды) без инерциального воздействия на параметры резонатора, б - конкуренция основного и высших типов колебаний при малой глубине модуляции длины резонатора (относительно малая интенсивность инерциальных воздействий), в режим полного подавления высших типов колебаний при инерциальном воздействии на параметры резонатора.
Динамика процессов квантового генератора описывается уравнениями, сходными с уравнениями динамической системы Лоренца, когда параметр R пропорционален добротности резонатора и интенсивности накачки лазера, т зависит от собственной частоты резонатора, Ъ определяется характеристиками активной среды [76].
Предложенная в данной работе модуляция параметров динамической системы Лоренца обеспечивающая стабилизацию режима в системе внешними квазирезонансными воздействиями получает косвенное подтверждение в экспериментальных результатах по стабилизации излучения лазера инерциальными воздействиями [80].
Разработанный теоретический подход позволяет по-новому взглянуть на возможности стабилизации излучения квантового генератора.
Главный результат исследований автора, включенных в настоящую диссертацию, заключается в достижении основной цели работы - разработке метода анализа и синтеза стабилизирующих квазирезонансных воздействий на сложные нелинейные системы с динамическим хаосом на основе представления их в виде обобщенного нелинейного осциллятора. 1. Показано, что представление нелинейных динамических систем с хаотическим поведением в виде нелинейного осциллятора позволяет определить обобщенные параметры системы - обобщенный диссипативный член и обобщенный свободный член - поведение которых определяет поведение нелинейной системы с хаотической динамикой в целом. 2. Установлена качественная взаимосвязь поведения обобщенных параметров нелинейных систем Лоренца, Ресслера, Дуффинга, Ван-дер-Поля, с наличием регулярного режима и режимом динамического хаоса в этих системах. 3. Определена область, в которой обобщенный свободный член, полученный на основе представления динамической системы Лоренца в виде нелинейного осциллятора, в линейном приближении позволяет адекватно описывать поведение системы. 4. С учетом динамики обобщенных параметров нелинейного осциллятора осуществлен синтез следящих стабилизирующих воздействий на параметры динамической системы Лоренца. Показана энергетическая эффективность следящих воздействий по сравнению с импульсными квазирезонансными воздействиями.