Введение к работе
Актуальность работы. Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки - одна из основных задач аналитической динамики. Несмотря на более чем двухвековую историю она по-прежнему привлекает внимание исследователей, что обусловлено многими факторами. Динамика твердого тела является теоретической основой для решения задач о вращении естественных и искусственных небесных тел относительно центра масс в ньютоновском поле тяготения, а также задач инерциальной навигации космических летательных аппаратов при их движении в различных силовых полях, в частности в центральном и однородном потенциальных полях. Успехи, достигнутые в исследовании одного твердого тела могут в той или иной мере распространяться на задачу о движении системы связанных тел. Задача о движении связанных твердых тел возникла в связи с использованием в технике гироскопа в кардановом подвесе и служит теперь основой для описания работы многих гироскопических приборов (гироскопический компас, гировертикаль, гиротахометр и др.). Система уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, являясь нелинейной, допускает три первых интеграла и для полного аналитического решения ее недостает лишь одного интеграла, что делает задачу весьма близкой к завершению. Но, как известно, несмотря на многочисленные усилия ряда выдающихся математиков и механиков прошлого и настоящего, общее решение задачи о движении абсолютно твердого тела, закрепленного в неподвижной точке, в однородном поле тяжести найдено лишь для трех случаев: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Во всех других случаях тем или иным способом строится либо семейство частных решений, либо отдельные решения, описываемые как конечными соотношениями, так и абсолютно сходящимися рядами.
Более сложной, по сравнению с классической является задача о движении гиростата, представляющего собой, по определению В.В.Румянцева "систему, состоящую из твердого тела и подвижных частей, при движении которых геометрия масс системы не меняется". С другой стороны эта задача имеет большое прикладное значение, моделируя поведение сложных механических систем (систем стабилизации космических аппаратов, систем инерциальной навигации и др.).
Целью работы является исследование возмущенного движения
гиростата вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести на базе введения канонических переменных типа первой системы элементов Пуанкаре (L, р1, р2> X, ш1, со2).
Научная новизна Для исследования возмущенного движения тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки в качестве канонических переменных выбраны оскулирующие элементы L, р1, р2, X, со , ш2, которые являются аналогом канонических элементов первой системы Пуанкаре, применявшихся ранее только в небесной механике. Эти элементы связаны с каноническими переменными Андуайе-Депри следующими соотношениями:
Ъ = Ъ, X = I + g + п,
рл= L - G, и1= - (g + ti),
рг= G - Н, и2= - п,
и для динамически симметричного твердого тела являются каноническими переменными типа "действие-угол", что позволяет использовать наиболее эффективную форму уравнений движения на многомерном торе. В переменных L, р1? р2, X, co1t со2 все рассуждения и аналитические выкладки оказываются наиболее компактными, что составляет отличие наших исследований от большинства предыдущих.
В работе впервые записаны явные уравнения возмущенного движения тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки в переменных L, р1, р2, X, ю1, ш2. В результате интегрирования усредненных уравнений движения в нерезонансном случае получены новые эволюционные движения гиростата. При усреднении по двум быстрым переменным получено общее решение задачи и с помощью КАМ - теории доказана устойчивость движения по отношению к величинам L, р и р2; при частичном усреднении по угловой переменной X найден общий интеграл задачи, а при частичном усреднении по переменной ш найдены три семейства частных решений.
При исследовании движения гиростата в окрестности внутреннего резонанса второго порядка найдено решение системы в квадратурах. В области внутреннего резонанса третьего порядка найдены три семейства частных решений.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты открывают возможность применения канонических переменных типа первой системы элементов Пуанкаре, а также и второй системы для
решения задач динамики твердого тела. Найденные частные решения усредненной системы уравнений описывающей возмущенное движение тяжелого гиростата вокруг неподвижной точки представляют теоретическую ценность для динамики твердого тела. Многие результаты, полученные в диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов, в постановке курсовых и дипломных работ студентов механико-математических факультетов университетов.
Методы исследования. В работе применялся аппарат гамильтоновой механики, ассимптотические метода теории нелинейных колебаний и методы КАМ - теории.
Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались на VII Четаевской конференции (Казань, 1997г.), на семинаре кафедры теоретической механики Московского авиационного института (1997г., руководитель В.Г.Веретенников), на втором Великолукском симпозиуме по классической и небесной механике (1996 г.), XXXI межвузовской научно-производственной конференции Великолукского сельскохозяйственного института (1994 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в работах [1 - 7].
Структура и объем диссертации. диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (68 наименований). Общий объем 92 стр. Она содержит 89 стр. основного текста и 4 рисунка.