Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи механики и физики при-юдят к анализу сиотем, отличающихся от интегрируемых малыми. юзмущениями. Основным средством приближенного описания пове-іения таких систем являются методы теории возмущений, оснс— занные на усреднении по фазам невозмущенных колебаний. Эти методы широко используются в задачах небесной механики, динамики свврдого тела, динаміпш заряженных частиц. Однако вопросы обоснования этих методов решены далеко не полностью. Основные трудности здесь вызваны наличием резонансов. Явления, связанные с резонансами, оказывают существенное влияние на движение я точность его' описания с помошью усреднения. Диссертация посвящена вопросам обоснования и использования метода усраднения и примыкающих к нему методов теории возмущений в нелинейных резонансных системах.
Пель исследования. Требуется установить оценки точности методов теории возмущений. Эти вопросы рассматриваются в работе для задач о разделении движений в системах с одной быстро вращающейся фазой, об усреднении в системах с несколькими быстро вращающимися фазами, о возмущениях инвариантных торов гамильтоновых систем, о переходе через сепаратрису в системах с быстрыми и медленными движениями, о динамических бифуркациях. Работоспособность полученных результатов демонстрируется на ряде примеров.
Методы исследования. Для получения оценок используются методы и подходы, которые развили в теории возмущений одно-частотных и квазилинейных систем Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Д;Н.Зубарев, Ю.А.Митропольский, В.М.Волосов, А.М.Самойленко,' в теории возмущений гамильтоновых систем А.Пуанкаре, А.Н.Кол-
ьюгоров, В.И.Арнольд, Ю.Мозер, Н.Н.Нахорошев, в теоріш усреднения для систем с быстрыми и медленными движениями Д.В.Аносов, Т.Касуга, в теории прохождения через резонансы В.И.Арнольд, A.M.Молчанов, Б.В.Чириков, в теории перехода через се паратрису И.М.Лифшиц, А.А.Слуцкин, В.М.Набутовский, В.И.Арнольд, в теории релаксационных колебаний А.Н.Тихонов, И.С.Градштейн, А.Б.Васильева, Л.С.Понтрягин, Л.В.Родыгин, М.А.Шяшкова.
Научная новизна. Работа содержит следующие новые результаты.
-
Для аналитических систем с одной быстро вращающейся фазой получены экспоненциальные оценки точности разделения быстрого и медленного движений, времени сохранения адиабатического инварианта.
-
Для систем с несколькими быстро вращающимися фазами получены неулучшаемые в классе степенных оценки точности мет да усреднения. Показано, что на больших временах метод усреднения может не описывать поведение значительной части траекторий из-за захватов в резонанс.
-
В рамках теории Колмогорова-Арнольда-Мозера возмущений гамильтоновых системлолучены неулучшаемые оценки меры разрушающихся и деформации сохраняющихся при возмущении инвариантных торов для невырожденных систем (близкий результат получен Н.В.Сванидзе для симплектических отображений') , эксп< ненцнальные оценки меры не заполненного инвариантными торами множества при собственном вырождении в системах с двумя степ нями свободы. Доказана экспоненциальная малость расщепления сепаратрис при резонансе в системах с двумя степенями свобод
4. Показано, что переход через сепаратрису при возмуще
— з
амильтоновой системы с одной степенью свободы может быть писан о помощью схемы метода усреднения, учитывающей изустные вероятностные явления, возникающие при этом переходе, [айденн неулучшаемые оценки точности метода усреднения в этой іадаче. Получена обшая формула для вычисления вероятностей заэличного поведения при переходе через сепаратрису. Исследо-зан ряд задач о переходом через сепаратрису и, в том числе, іадачи о приливной эволюции резонансных спутников, о захвате їаряженшх частиц в циклотронный резонанс, об эволюции вра-цения твердого тела под действием постоянного и диссипативно-го возмущающих моментов.
-
Получена общая формула для изменения адиабатического инварианта, при переходе через' сепаратрису в гамильтоновой системе о двумя степенями свободы, из которых одна соответствует быстрому движению, а другая медленному. Вычислено изменение адиабатического инварианта астероида, движущегося в резонансе 3:1 с Юпитером; эта величина играет важную роль в теории происхождения соответствующего люка Кирквуда.
-
Показано, что явление затягивания потери устойчивости обязательно сопровождает в аналитических системах о быстрыми и,медленными даияенаями динамические бифуркации, при которых положение равновесия или предельный цикл быстрой системы теряет устойчивость, оставаясь невырожденным. Фазовые точки остаются вблизи потерявшего' устойчивость равновесия (цикла) до тех пор, пока медленные переменные не изменятся на величины порядка 1. Получена оценка снизу для времени затягивания потери устойчивости равновесия, дающая в ряде случаев и асимптотику момента срыва. В неаналитических системах подобное затягивание потери устойчивости, вообще говоря, отсутствует.
Практическая ценность. Результаты работы расширяют возможности применения методов теории возмущений при анализе резонансных задач нелинейной механики. Результат о разделении движений является полезным техническим средством анализа од-ночастотных систем. Результаты об усреднении в системах с несколькими вращающимися фазами обосновывают применимость метода усреднения для широкого класса задач, указывают границы этой применимости. Результаты о возмущениях гамильтоновых систем позволяют оценивать меру хаотической компоненты фазовогс пространства в таких системах. Результаты о переходах через сепаратрису позволяют использовать теорию возмущений при анализе важного класса систем, изменяющих в процессе эволюции режим своего движения. Формула для изменения адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису необходима при исследовании стохастизации, связанной с такими переходами. Результаты о затягивании потери устойчивости необходимо учитывать при анализе процесса смены режима движения в системах і релаксацией. Полезность полученных результатов при анализе конкретных систем показана в работе на ряде задач из динамикі твердого тела, небесной механики, динамики заряженных частиц оптики волноводов. >
Аптюбация работы. Результаты работы.докладывались на семинарах кафедр теоретической механики, дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, на семинаре им. И.Г.Петровского, в Мооковском математическом обществе, семинарах в ИКИ АН СССР, ИПМех АН СССР, ИФА АН СССР, ИРЭ АН СССР, ЛГУ, ГГУ, ИАЭ, ИЛУ, на У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981 г.) , У Всесоюз
яой Четаевской конференции (Казань, 1987 г.) , ХШ Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах с Куйбышев, 1988 г.) .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 23 ] .
Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения и шести глав, изложен на 29? стр. Диссертация содержит также два приложения (14 стр.) , список литературы из 145 названий и 33 рисунка.