Введение к работе
Актуальность темы. I. Ряд интегрируемых случаев уравнений фхгофа (1) был найден Р.Клебшем, А.М.Ляпуновнм, В.А.Стекловым, ,А.Чаплыгиным. А.МЛяпуновым и В.А.Стекловым были найдены все гучая существования дополнительного квадратичного интеграла, даако, это не решает всей проблемы, например, в частном случае ітегрируемрсти Чаплыгина дополнительный интеграл имеет четверно степень. С.П.Новиковым и И.Шмельцером (1981) было установлено, ?о уравнения (1) допускают вложение в алгебру Ли Є(3). (При М,Р>"0 их гамильтоновость была первоначально замечена В.В.Козловым L98D.) В динамически неаимметричном случав (Х^О^ФОЪ.В.Козловым Д.А.Онищенко (1982) было установлено явление расцепления сепа-ітрис. При наличии динамической симметрии (3> данный метод непо-зедственно непрж. менжм, ибо отсутствуют использованные в нем зоякоасимптотическне траектории. Из сказанного выше следует, что эй <Х,=СХг наиболее естественной будет постановка задачи о допол-ітельнпм рациональном интеграле. Все же, при малых- С, -02 jiо юдотворен этот метод Гі"1, где расщеплены другие сепаратрисы.
Э". Интегрируемость по Лиувиллю AiouviKe 1,1855/ (Иошиде [2]) феделена с пренебрежением особыми подмногообразиями коразмерно-;и 2 С1), на которых интегралы (либо l-формы) зависимы. В частнос-I, до работы автора отсутствовали строгие результаты, позволяющие ?верждать, что при расширении конфигурационного многообразия
] Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа// SRert 5wwuni.cottons. ICM. Section 13. Warszawa, 1982. Чі. .] Iosnida H. Wscessarw condition ^n "A* existence cf oige&KUC >&t integrals. ІД // Ce. Mecn." 1983. V.31,>4. P. 365-2.Э9.
неинтегрируемой по Лиувиллю системы дополнительной степенью свободы не монет быть получена система, интегрируемая по Лиувиллю.
л00
Отметим, что в енекомпактном *- -дифференцируемом случае это може
иметь место.
Лель работы. L Решение вопроса о наличии интегрируемых случаев уравнений Кирхгофа в предположении симметрии (2), (3).
h. Получение аналога леммы Пуанкаре Со спаривании показателей Ляпунова) для уравнений на алгебрах Ли.
|. Доказательство наследуемости свойств интегрируемости по Лиувиллю и Иошиде при ограничении на особые инвариантные подмног образия. Качественное исследование движения в системе, интегрир} мой по Иошиде.
Научная новизна. 1.1 Доназано отсутствие новых интегрируем, случаев уравнений Кирхгофа (1) в предположении симметрии а/ (2) , (3) — общих; б/ (2) ,(3) , 0 = 0 — и общих, и частных (на уровне<М,р>«о
-
В предположениях (2) , Q) получен дополнительный 6ой стег ни полиномиальный Є -интеграл ^>(<о)+І;(ц;,р) , см. (5).'
-
Получено естественное расширение случая Ляпунова до случ е-интегрируемости (7); условия (8) - замыкание его в пространс ве параметров.
Ц.1 Получен аналог теоремы В.В.Козлова [з]. Он состоит в тої что показатели Ковалевской уравнений на алгебре Ли спарены при ограничении на орбиту, проходящую через точку Х0, см. стр; 8.
J.2 Получен аналог теоремы Х.Иошиды для случая отсутствия предположения независимости в точке %
Ж-Х Наследуемость свойства интегрируемости по Лиувиллю при ограничении на особые многообразия доказана для размерности конфигурационного многообразия не более трех в категориях: C4naf, КАиоЕ ,CA6j .КАЦ .
[З]Козлов В.В. Тензорные законы сохранения квазиоднородных систем и метод Ковалевской-Ляпунова/Діатем. заметки. 1992.
І2 Наследуемость свойства интегрируемости по ;;оавде доказана в коразмерности 2 - в категориях (TACj , MAbj f (ГЛиа(? » "wef » б произвольной коразмерности - только zCAU ,
1.3 Замечено, что подкова Смеіла не допускает инБарпанг.-.Ож. 1-формы. Доказано, что интегрируемость по Пощаде ~ре:іятстЕуег вложению подковы Смейла (хотя и не препятствует эргодичности).
Применяемые методы. I. При исследовании условие интегрируемости ураьндниіі Кирхгофа пз.л.іє:-і.-є?с: >..егэд Гюссона.[4_) .
I. Аналог теореш Иошиды доказывается применением і..етода младших однородных форм Зиглина [5J, основанного на алгебраической лемме , к частные решениям Иошиды 2).
Ш.1 При доказательстве наследуемости интегрируемости ло Лиувиллю трудности появляются , если подалогообразйе лежит во множестве неопределенности интегралов, это множество раздувается б}« лемма 1 (3.4.Я представляет собОіі метод гиглина[5] отбрасывания зависимых членов, уточненные посредством алгоритма Евклида, с подсчетом градуированных колец, которым принадлежат разложения в ряды Тейлора и Лорана.
Ц.2 П?и доказательстве наследуемости интегрируемости по Иопиде ключевой является лемма 3 (3.4.3). утверждаюцая, что в категории САІу і-циклы слоя оощего положения различают в когомоло-гиях 1~формы из комплекса относительных дифференциальных форм слоения (порожденного полем їрациональных функции на многообразии! в ее
инвариантный * доказательстве, использузуем язык комплексов «г-модулей, посредством
[4] НиаелЕ. Recf>e-icf« dtt iwWm/e* одсвчо^и«< cb*t &s meuvcment d'um uUtptmt Out* J'». fe^tet^A^ftu^.U^/M^tettuwett.etsci.p^». i^oe.y. n-ifl.
[5] Зіігліш С .Л. Ветвление решении и несуществование па^шх -нгегрьл* в гаииьтоноБо* ыеланике.1.//?ункц. анализ. 1982.Вып.З.С.30-41. [63 Шафаревич ;;.?. Основы алгебраической геометрии. 1.1,2. 'Л.,1938.
теоремы л.Гйронакл [7] л леы.н 7 (о степенной оценке сверху и сні интеграіаФ^ i-форкы <о вдоль і-циклах^ при стремлении F к осо-
TlT)
бог»у алою ^отсутствие соотношений л,ши**... * 4(F)^a =dy»(F,z)Ha слої общего полоу.єнія выводится из теоремы Чжоу to рациональности мер< морено;, /ункапи на комплексном проективном алгебраическом ьшогооі разип). Отличное от аьторского(Мі?«опU.J доказательство леммы? .р< лкзуядее схему, намеченную в [з] , приведено в 3.5.4 и опирается разрешение особенностей слоения в коразмерности 1.
Ш.З Несуществование у подковы Смейла инвариантной 1-формы доказывается методов, предложенным автору В.В.Козловым (см.[э]) и основанным на обрацении 1-формы в нуль на каядои невыроаденнои периодическое траектории.
Практическая ценность. Диссертация носит теоретические характер. Г. ^-.інтеграли могут быть использованы для построения теории возмуденні, а такне для' получения приближенных форм; (при малых импульсах) в виде об чтения квадратур.
J. „1емг:а о .гпгрдванни .хоказателеї Ковалевской моает быть полезна, если размерность орбиты, проходящей через точку *0 , меньзе, чем размерность орбиты обдего положения.
Ж. Теоремы о наследуемости позволяют без вычислений вывеет; яапоимео, не,1нтэгр^руемость,'трехкомлонентно;. задачи нга-!йллса с гамильт
планом 2И = р?* рг * f4 ' << * <**< * <
ІВІНіїопаЯа И. (1954). Разрешение особенностей алгебраических :.зогообразии над полем характеристика нуль. Математика. Период. дерев, ин. CTaren.l965,9,Jt6,c.3-70; 10,J&, с.3-89; 1966, 10,-^2. [з^Аряольд З..І., Харченко А.Е., Гусэпа-Задэ с.М. Эсобенлос?^ дифференцируемых отшбражениіі."„:Онодроіля и асспмптотнки интеграл
- М.: Наука, 1934. - 336 с.
[э]Арнольд В.Л., Козлов В.В., Непштадт А.И. Иатематнческне аспе классическое и небесной механики. 3 сб. СШ. 5унд. напр. Т.З /Итоги науки и техн. ЗИШГГИ АН СССР/. I/,.: ВИНИТИ*. 1985, 5-304.
і. работы В.С.Николаевского и Л.Н.Щура (1933) , С.А.довбыша и ;.Борисова (1991) )из кеинТегрируеь;ости ее двухкоклонентнои
ІСИСТЄІ.Щ.
Дшобация работы, результаты диссертации докладывались заседаниях сеьагаара Диньллческие система класса-ієско*. санаки" под руководством В.В.Козлова и С«5.Болотина; <лнара кафедры вычислстельнои математики и матек-атическо.* зики ?ГУ л^д руководство:,. Ъ.И.гОцовича; Всесоюзного совещания дифференциальной геометрии О* -х 1990г., п. A6pay-v>jpco). новнке результаты опубликованы' в работах, перечисленных в нце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация изложена ка 135 стра-цахи и состоит из введения и 3х глав, разбитых на 11+6+12 раграфов, которые,в свою очередь, иногда подразделяются на тесты и подпункты в соответствии с логикой изложения. Библ.49. іиведено 8 иллюстрации, все- б третьей главе.