Содержание к диссертации
Введение
Глава І. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С ДВИЖУЩИМСЯ ЗАКРЕПЛЕНИЕМ.
§ I. Постановка краевых задач динамики одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками 31 стр.
п.1. ВЫЕОД УСЛОЕИЙ на движущихся границах.
п.2. Примеры конкретных постановок задач.
§ 2. Струна с движущимся закреплением 43 стр.
п.1. Общая постановка задачи кинематики.
п.2. Качественно-различные случаи Езаимодейст ЕИЯ поперечных ЕОЛН струны с движущейся
границей , с ,
п. 3.Анализ решения для струны с упруго-инерци-альным закреплением.
§ 3. Балка с движущимся закреплением
п.1. Качественно-различные случаи взаимодействия изгибных ЕОЛН с движущейся границей,
п. 2. Анализ решения для случая абсолютного жесткого закрепления.
Выводы. Глава П.
ОДНОМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗМЕНЯЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ РАЗМЕРАМИ.
§ I. Инвариантные преобразования ЕОЛНОЕОГО уравнения.
п.1. Решение неоднородного ЕОЛНОЕОГО уравнения с условиями на движущихся границах, п.2. Обратная задача. Примеры ее решения.
§ 2. Методы решения прямой задачи
п.1. Метод итераций.
п.2. Приближенный метод для случая медленного дшжения границ.
п.3. Примеры приближенных решений.
§ 3. Общие свойства. Явление резонанса 95 стр.
п.1. Закон двойного эффекта Допплера. Инварианты,
п.2. Резонансные свойства. Параметрический резонанс. Выводы.
Глава III. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАН С ПОДВИЖНЫМИ ЗАКРЕПЛЕНИЯМИ.
§ I. Постановка задачи. Нахождение точных решений. 108 стр
п.1. Однократное взаимодействие ЕОЛН с движущимся закреплением, п.2. Решение задачи методом разделения переменных.
§ 2. Приближенные методы решения. 119 стр.
п.1. Метод медленно изменяющихся фаз.
п.2. Инвариантные преобразования волноеого управления в случае медленного движения границ.
§ 3. Анализ характерных волновых явлений 125 стр.
п.1. Прямоугольная мембрана с подвижным закреплением,
п.2. Мембрана с движущимся угловым закреплением
(диффракция на движущемся клине).
Выводы.
Глава ІV. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТШ С КОЛЕБЛЮЩ
ИЙСЯ ГРАНИЦАМИ.
§ I. Явление параметрической неустойчивости 2-го рода
п.1. Вводные замечания. Пример неустойчивости 2-го рода,
п.2. Исследование процессов формирования импульс.
§ 2. Качественная теория параметрической неустойчивости
п.I.. Общие положения. Критерий неустойчивости,
п.2. Периодические законы движения границ. Примеры решения конкретных задач.
§ 3. Экспериментальные исследования 159 стр.
п.І. Обнаружение и исследование параметрического
возбуждения колебаний импульсной формы,
п.2. Влияние дисперсии и нелинейности.
Выводы. Глава V.
СИСТЕИ С НЕСТАЦИОНАРНЫМИ СВОЙСТВАМИ ГРАНИЦ.
§ I. Однократное взаимодействие волн с параметрической границей 181 стр.
п.1. Постановка задачи. Соотношения Мэнли-Рбу.
п.2. Условия усиления и демпфирования колебаний.
§ 2. Собственные колебания и явление резонанса 192 стр.
п.1. Общая постановка задачи. Классификация систем,
п.2. Собственные колебания системы с нестационарными за креплениями.
п.З. Вынужденные колебания и резонанс.
§ 3. Параметрическое возбуждением колебаний 203 стр.
п.1. Аналоговое моделирование ВОЛНОЕЫХ процессов,
п.2. Распашная неустойчивость и эффект преобразования частоты.
п.З. Возбуждение колебаний импульсной формы.
§ 4. Экспериментальные исследования 226 стр.
п.1. Параметрическое возбуждение поперечных колебаний
ленты с переменным упругим закреплением,
п.2. Изучение режимов неустойчивости на электродинамической системе.
Выводы. Глава УІ.
СИСТЕМЫ С ИЗМЕШЩИМИСЯ ВО ВРМЕНИ И ПРОСТРАНСТВЕ РАСПРЩЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.
§ I. Параметрическая неустойчивость 2-го рода 245 стр.
п.1. Разновидности параметрической неустойчивости,
п.2. Пример точного решения задачи о формировании импульсов.
§ 2. Качественная теория параметрической неустойчивости 2-го рода 255 стр.
п.1. Критерий неустойчивости 2-го рода,
п.2. Система с бегущей ЕОЛНОЙ параметра.
п.З. Система со стоячей ЕОЛНОЙ параметра.
§ 3. Вынужденные колебания системы с медленно изменяющимися параметрами. 266 стр.
§ 4. Экспериментальные исследования 272 стр.
п.1. Эффект параметрической генерации импульсов в электродинамических системах,
п.2. Параметрическое возбуждение импульсов в одномерной механической системе.
п.З. Эффект модуляции частоты при однородном изменении параметров.
ЛИТЕРАТУРА 292
Введение к работе
диссертация посвящена разработке физических и математических аспектов теории колебаний распределенных параметрических систем применительно к задачах, ! динамики упругих элементов машин и механизмов.
Актуальность проблемы диктуется современными потребностями развития техники, которые характеризуются непрерывно растущими требованиями к быстродействию машин и механизмов. По мере возрастания скоростей работы при анализе и прогнозировании динамического поведения систем все чаще оказывается необходимым учитывать пространственную структуру колебаний, поскольку она становится сравнимой с размерами элементов машин и механизмов. Особые трудности учета пространственной неоднородности колебательных процессов возникают в тех случаях, когда силовые воздействия на систему вызывают изменение ее параметров и приводят к проявлению нелинейных свойств.
Традиционно развиваемые методы решения соответствующих задач динамики упругих систем Гі4,175,181,185j основывались на представлении о том, что в распределенных системах с нестационарными параметрами возможны лишь явления, присущие хорошо изученным сосредоточенным параметрическим системам [4,120,121] . Однако, как выяснилось в последнее время, эти методы не только ограничены, но зачастую и несостоятельны для адекватного описания реальных процессов, так как пространственная неоднородность колебаний приводит к ряду ранее не учитываемых явлений, таких, например, как, обусловленное эффектом Допплера,преобразование частоты J36,47,57, 68] и параметрическое возбуждение особо опасных при эксплуатации машин колебаний импульсной формы [34,35,43,461 . Вставшая в связи с этим актуальной проблема создания более адекватных методов потребовала для своего решения углубленной разработки физических и математических основ теории колебаний распределенных параметрических систем, а именно, выявления достаточно полного набора качественных особенностей их динамического поведения и определения математических подходов, учитывающих эти особенности.
Научная новизна результатов диссертационной работы видится, с одной стороны, в разработке ряда вопросов теории волновых процессов в параметрических системах, а с другой - в решении некоторых основополагающих вопросов динамики распределенных параметрических систем.
Распределенные системы, в зависимости от того как изменяются их параметры, можно условно подразделить на следующие три класса [41,64,69] : системы с движущимися границами, системы с нестационарными свойствами границ и системы с изменяющимися во времени и пространстве распределенными параметрами.
В основе динамических явлений в системах с подвижными границами лежит обобщенный эффект Допплера, выражающийся в изменении частоты, амплитуды волн и трансформации их формы [68,83,142 . Ранее, в основном применительно к задачам электродинамики, достаточно по-дробно был изучен эффект однократного взаимодействия волн с движущейся границей раздела двух сред (84,142,148,174,182,193,194] и с движущимся скачком параметров среды [137,140-142] . Результаты этих исследований обобщены в диссертацииЇ36,47,57,68] на случай, когда неоднородность, с которой взаимодействует волна, представляет собой движущуюся сосредоточенную систему. Именно такие задачи наиболее характерны для прикладной механики.
Взаимосогласованность динамического поведения упругой системы и движущегося вдоль нее сосредоточенного упруго-инерциального закрепления (или нагрузки) определяется условиями согласования на движущейся границе (в точке контакта). Они включают в себя условия непрерывности упругой системы и условия для сил взаимодейст -8 вия. Нахождение последних Ї30,48,68,72 1 позволило впервые корректно поставить задачи динамики одномерных механических систем с движущимися закреплениями и нагрузками и, в частности, задачи взаимодействия упругих волн с движущимися закреплениями.
Выявлено, что на движущееся закрепление (нагрузку) в отличие от неподвижной действуют дополнительные инерционные силы, величины которых пропорциональны скоростям движения закрепления (нагрузки) [30,48,68,72І . Их учет оказывается особенно важен при скоростях движения закрепления сравнимых со скоростями распространения упругих волн.
Понимание физической сущности явлений, лежащих в основе динамических процессов в системах с подвижными границами, позволило для некоторых подклассов задач разработать новые, более адекватные методы их решения. Так для процессов, описываемых волновыми уравнениями с условиями на движущихся границах предложены методы нахождения как точных [8,18,19,26,28,57,63,66,68] , так и приближенных ЇІЗ,18,19,27,28,57,62,63,68] решений. Указан общий класс нелинейных преобразований независимых переменных 157,68,54] , оставляющих инвариантным волновое уравнение и позволяющих во многих случаях конструировать точные решения в форме удобной для аналитического исследования [18,29,57,63,68,70] . На основе точных решений впервые выявлены некоторые общие свойства динамического поведения соответствующих систем (57,63,68] , а также изучены особенности проявления их резонансных свойств І57,68І .
Усиление волн в системах с движущимися границами, как правило, сопровождается их сжатием \57,68] . При этом в режимах параметрической неустойчивости непрерывное нарастание энергии сопровождается трансформацией формы волн в последовательность импульсов [26, 57,59,68І . Впервые неустойчивость такого рода (в отличие от неустойчивости описываемой уравнениями типа Хилла, она условно названа в диссертации неустойчивостью 2-го рода) была обнаружена в механических системах [34] . Указанная неустойчивость прежде всего характерна для случаев, когда дисперсия выражена слабо, как это, например, имеет место для продольных и крутильных волн в стержнях. Применительно к таким случаям развит метод исследования проявлений соответствующих качественных особенностей решений волновых уравнений с условиями на движущихся границах, позволяющий расчитывать зоны неустойчивости на плоскости параметров [43,57,65,68] .
Что касается других двух классов распределенных параметрических систем, то для них наиболее полно ранее были исследованы системы, параметры ( Р ) которых изменяются со временем однородно во всем пространстве ( р = Р Г ) t 2(t.) , где Г - радиус-вектор,
t - время fl4,I8ll . Неоднородность же учитывалась в основном в нерезонансных (т.е. в неограниченных, либо согласованных на концах) системах [3,142] . Поэтому основное внимание в диссертации уделено учету пространственной неоднородности изменения параметров и прежде всего, в системах резонансных.
Путем изучения особенностей проявления параметрической неустойчивости в системах с нестационарными свойствами границ на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) установлено [52,60,64,69 , что характер возбуждаемых колебаний во многом определяется спектром собственных частот соответствующей стационарной системі. Обычная "распадная" неустойчрівость в них может сопровождаться эффектом переноса энергии вверх и вниз по спектру, в результате чего оказывается возможным одновременное возбуждение нескольких квазигармонических колебаний, фазы которых связаны между собой посредством изменяющегося параметра [64,69] . В случаях, когда спектр соответствующей стационарной системы близок к эквидистантному, в системах могут возбудиться колебания импульсной формы [43,52,67"].
Теоретическими [35,47,53J и экспериментальными [35,41,56] методами выявлена возможность параметрической генерации импульсов (неустойчивость 2-го рода) в системах со стоячей и бегущей волнами параметра.
Изучение резонансных свойств систем последних двух классов показало, что также как и системы с изменяющимися во времени размерами [57,63,68] , они характеризуются собственными, вообще говоря, существенно негармоническими колебаниями, вследствие чего синусоидальное внешнее воздействие возбуждает в них колебания сложной формы tl,7ll .
Цель работы состоит в
- постановке краевых задач динамики одномерных систем с движущимися по заданным законам закреплениями и нагрузками,
- изучении взаимодействия упругих волн с движущимися закреплениями,
- разработке методов решения волновых уравнений с условиями на движущихся границах,
- выявлении общих свойств (в том числе и резонансных) динамического поведения распределенных параметрических систем конечных раз меров (с движущимися закреплениями, с нестационарными свойствами закреплений, с пространственно неоднородно изменяющимися во времени распределенными параметрами),
- изучении экспериментальными и теоретическими методами особенностей проявления параметрической неустойчивости в указанных выше одномерных системах,
- разработке методов прогнозирования условий параметрического возбуждения колебаний сложной формы, в том числе и колебаний импульсной формы (параметрической неустойчивости 2-го рода).
Диссертация содержит введение, шесть глав, заключение и список цитируемой литературы. Общий объем составляет 3\2 стр., включая 219 стр. основного текста, 65 рисунков 4 таблицы и библиографии, содержащей 201 наименование.
Во введении дается общая характеристика работы, формулируются цели и результаты исследований.
В первой главе излагается постановка задач динамики одномерных систем с движущимися вдоль них по заданным законам упругоине рциальными закреплениями и нагрузками, а также анализируются особенности взаимодействия упругих волн с движущимся закреплениями.
Постановка задач проводится из вариационного принципа Гамильтона (п.1 § І) в предположении, что одномерная система непрерывна, а движущиеся закрепления и нагрузки являются сосредоточенными. Вследствие непрерывности распределенной системы соответствующим образом выбранные обобщенные координаты тоже будут непрерывны, что позволяет получить условия согласования динамического поведения распределенной и движущейся вдоль нее без отрыва сосредоточенной систем в дифференциальной форме. Постановки задач даны для случаев, когда плотность функции Лагранжа распределенной системы зависит от частных производных обобщенных координат до второго порядка включительно, т.е. практически для всех наиболее часто используемых как линейных, так и нелинейных моделей технических и уточненных теорий продольных, крутильных и изгибных колебаний одномерных систем.
Условия согласования выражают собой балансы обобщенных сил на движущейся границе (в точке контакта). Характерное их отличие от случая неподвижных закреплений и нагрузок состоит в наличии инерционных сил, действующих на двужущихся границах. Особо важную роль они играют при скоростях движения нагрузок и закреплений сравнит/их со скоростями распространения соответствующих упругих волн,как это, например, имеет место для поперечных колебаний канатов в шахтных подъемниках, где эти силы составляют — 20$ от перерезывающей.
В п.2 § I приводится ряд конкретных постановок задач динамики одномерных систем с движущимися границами: о поперечных колебаниях каната шахтного подъемника, о крутильных колебаниях вала, с движущейся вдоль него непроворачивающейся шлицевой втулкой,об из-гибных колебаниях балки с движущимся упруго-инерциальным закреплением, о колебаниях подпружиненной балки с движущимся по ней осциллятором. Впервые получены ушювия на упруго-инерциальных закреплениях (в том числе и движущихся) для изгибных колебаний балки с учетом сдвиговых деформаций (балки Тимошенко) и указана возможность односкалярного описания ее динамического поведения в случае произвольных закреплений.
Линейная теория однократного взаимодействия волн с равномерно движущимися закреплениями излагается на примерах задач о поперечных колебаниях струны (§ 2) и изгибных колебаний балки (§3). Причем, поскольку законы преобразования частот и волновых чисел в линейном приближении не зависят от интенсивности колебаний и упруго-инерциальных свойств закреплений, то сначала отдельно рассматривается задача кинематики, т.е. отыскание частот и волновых чисел вторичных (отраженных и проходящих) волн (п.1 и п.2 § 2, п.1 § 3) и лишь затем (п.З § 2 и п.2 § 3) анализируются динамические эффекты.
Задача кинематики сводится к исследованию решений дисперсионных уравнений, характеризующих распределенную систему, совместно с условием равенства фаз первичной (падающей) и всех вторичных волн на движущемся закреплении. Из этих решений (а их всегда больше, чем условий на движущейся границе) реализуются лишь те, которые удовлетворяют условию излучения вторичных волн движущимся закреплением и условию ограниченности решений на бесконечности.
В зависимости от скорости движения границы задача кинематики имеет качественно различные решения, отличающиеся количеством отлаженных и проходящих волн. "Критические" скорости, разграничивающие эти случаи, определяются в основном дисперсионными свойствами системы. В отсутствии дисперсии (поперечные волны в струне, крутильные и продольные волны в прямолинейных стержнях) "критические" скорости совпадают с характерными скоростями распространения соответствующих волн (п.2 § 2). В случае дисперсии "критические" скорости могут зависеть от частоты падающей волны.
Конкретный анализ качественно-различных случаев взаимодействия волн с движущимися границами проводится для следующих трех моделей описания вибраций колебаний одномерных механических систем: струна с различными параметрами слева и справа от движущегося закрепления, однородная подпружиненная струна и балка Бернулли-Эйлера. Для всех них найдены зависимости "критических" скоростей от параметров распределенной системи и частот падающих волн, а также- формулы основного кинематического эффекта взаимодействия, обобщенного эффекта Допплера, выражающегося в сдвиге частот и волновых чисел вторичных волн по отношению к задающей (падающей).
Интересно отметить, что у балки, для которой при "докритичес-ких" скоростях решение представляется в виде одной отраженной,одной проходящей волн и двух "привязанных" к закреплению экспоненциально спадающих осцилляции, по мере увеличения скорости движения закрепления осцилляции спадают более плавно и начиная с "критических" скоростей отрываются от закреплений, превращаясь в распространяющиеся волны.
Задача динамики решена для струны с движущимся упруго-инерци-альным закреплением (п.З § 2) и для балки с движущимся абсолютно жестким защемлением (п.2 § 3). Как для "докритических", так и для "закритических" скоростей движения закреплений получены выражения для амплитуд вторичных волн, определены силы давления волн на закрепления, найдены условия усиления и демпфирования колебаний движущимися закреплениями. Показано, что при "докритических" скоростях взаимодействие характеризуется двумя частотно-энергетическими инвариантными соотношениями, одно из которых выражает собой закон сохранения квантов волновой энрргии.
