Содержание к диссертации
Введение
РАЗДЕЛ 1 Обзор исследований относительного движения спутника в гравитационном поле с учетом аэродинамического воздействия. Постановка задач исследований 14
1.1. Анализ публикаций, посвященных исследованию динамики спутника с учетом аэродинамического воздействия 17
1.2. Особенности моделирования аэродинамических воздействий в динамике разреженных газов 25
1.3. Модели плотности верхней атмосферы Земли 30
1.4. Постановка задач исследований 34
1.5. Выводы 38
РАЗДЕЛ 2 Аппроксимация момента аэродинамических сил, действующих на спутник 39
2.1. Построение упрощенных аналитических выражений аэродинамического момента для спутников, поверхность которых моделируется набором простых тел 41
2.1.1. Аппроксимация коэффициента аэродинамического сопротивления для пластинки 45
2.1.2. Аппроксимация аэродинамического момента для КА со сферическим корпусом 46
2.1.3. Аппроксимация аэродинамического момента для КА с цилиндрическим корпусом 48
2.1.4. Аппроксимация аэродинамического момента для КА с корпусом в виде конуса 50
2.1.5. Оценка точности полученных аппроксимаций и их обобщение 53
2.2. Аппроксимация аэродинамического момента, действующего на
КА «Сич–1М» 55
2.2.1. Аппроксимация аэродинамического момента c учетом отклонения плоскости симметрии КА относительно набегающего потока 58
2.2.2. Построение единой формулы аппроксимации аэродинамического момента 59
2.3. Анализ точности модели аэродинамического момента, традиционно используемой при проведении качественных исследований динамики 61
2.4. Изменения плотности атмосферы при движении КА на низких околоземных орбитах 63
2.4.1. Анализ изменений плотности атмосферы 64
2.4.2. Аппроксимация изменений плотности атмосферы 72
2.5. Выводы 74
РАЗДЕЛ 3 Расчетная модель пространственного поступательно-вращательного движения КА 77
3.1. Модель орбитального движения 78
3.1.1. Вывод уравнений возмущенного кеплерового движения 79
3.1.2. Возмущающие ускорения 83
3.2. Модель движения относительно центра масс 85
3.2.1. Гравитационный момент 87
3.2.2. Аэродинамический момент 88
3.3. Выводы 91
РАЗДЕЛ 4 Влияние переменности аэродинамического момента на движение КА с СГС в плоскости почти круговых орбит 92
4.1. Движение спутника в плоскости круговых орбит 93
4.1.1. Уравнения движения 93
4.1.2. Интегральные параметры КА и орбиты 95
4.1.3. Квазистатическое решение 98
4.1.4. Уравнение малых колебаний КА 101
4.1.5. Построение приближенного решения уравнения типа Хилла 101
4.1.6. Частоты и резонансы в системе 104
4.1.7. Движение КА в нерезонансных случаях 105
4.1.8. Численный анализ влияния переменности аэродинамического момента на движение КА в плоскости круговой орбиты 108
4.2. Движение КА в плоскости слабоэллиптических орбит 119
4.2.1. Уравнения движения 119
4.2.2. Интегральные параметры КА и орбиты 121
4.2.3. Квазистатическое решение 121
4.2.4. Уравнение малых колебаний КА 122
4.2.5. Частоты и резонансы колебаний 124
4.2.6. Движение КА в нерезонансных случаях 124
4.2.7. Сложение эксцентриситетных и аэродинамических колебаний 126
4.3. Параметрический резонанс в колебаниях спутника при воздействии переменного аэродинамического момента 132
4.3.1. Методика исследования движения в окрестности главного параметрического резонанса 134
4.3.2. Численные оценки 141
4.4. Выводы 145
РАЗДЕЛ 5 Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента 149
5.1. Математическая модель движения 149
5.2. Вывод уравнений движения 151
5.3. Квазистатическое решение 154
5.4. Уравнения малых колебаний 155
5.5. Частоты и резонансы 157
5.6. Поперечные колебания КА в нерезонансных случаях 161
5.7. Выводы 163
Выводы 166
Список использованных источников 171
Приложение А Акт внедрения результатов диссертационной работы 186
- Особенности моделирования аэродинамических воздействий в динамике разреженных газов
- Аппроксимация аэродинамического момента для КА с корпусом в виде конуса
- Вывод уравнений возмущенного кеплерового движения
- Построение приближенного решения уравнения типа Хилла
Особенности моделирования аэродинамических воздействий в динамике разреженных газов
Влияние сопротивления атмосферы на динамику СГС при движении по круговым орбитам рассматривается в работах В. А. Сарычева (см., например, [5, 7, 54]). Действие атмосферы на тело сводится к силе сопротивления, приложенной в центре давления и направленной против скорости центра масс тела относительно воздуха. Коэффициент аэродинамического сопротивления тела и плотность атмосферы считается постоянной. В [7] показано, что учет сопротивления атмосферы приводит к увеличению частот собственных колебаний системы спутник-стабилизатор. Рассмотрено влияние увлечения атмосферы вращающейся Землей. Показано, что максимальная амплитуда вынужденных колебаний, возникающих из-за вращения атмосферы, не превышает нескольких градусов и убывает с высотой. Частота этих колебаний совпадает с частотой орбитального движения. Показано, что вращение атмосферы не влияет на колебания в плоскости орбиты и сказывается лишь на колебаниях системы, выходящих из плоскости орбиты.
В монографии [5] проведен обзор работ, выполненных в 60 – 70-х годах, посвященных пассивным системам ориентации искусственных спутников. Отдельная глава в книге посвящена влиянию возмущающих моментов негравитационной природы, в том числе и момента аэродинамических сил. В большинстве работ поверхность спутника моделируется сферой, цилиндром или конусом (см., например, [55 – 57]), а плотность атмосферы принимается постоянной (см., например, [9, 58]).
В [10] показано, что произвольно малый АМ может вызвать неустойчивость положения равновесия спутника, устойчивого при действии лишь гравитационного момента. Предложено аппроксимировать АМ конечным числом членов двойного ряда Фурье, так как АМ является периодической функцией двух углов, которыми определяется ориентация спутника относительно вектора набегающего потока. В [59] проведено исследование устойчивости спутников, испытывающих воздействие гравитационного и аэродинамического моментов. Получено, что в случае консервативного АМ существует, по крайней мере, одна устойчивая равновесная ориентация спутника. Форма спутника и положение центра масс определяют, является ли АМ консервативным. Указано, что для всех тел вращения с центром масс, расположенным на оси симметрии, АМ является консервативным. Неконсервативные АМ могут, вообще говоря, вызывать дестабилизацию всех равновесных ориентаций спутников. В этих исследованиях также рассматривается «традиционная» модель АМ.
Интересная серия исследований влияния сопротивления атмосферы на одноосную гравитационную ориентацию искусственных спутников проводились в 80-х годах В. А. Сарычевым и В. В. Сазоновым. Эти исследования связаны с движением орбитальных станций «Салют – 6» и «Салют – 7» [60 – 62]. В работах [60, 61] методом Крылова-Боголюбова построены формальные двухпараметрические интегральные поверхности уравнений движения, описывающие колебания и вращения спутника вокруг продольной оси, приближенно направленной вдоль местной вертикали. Проведено численное исследование интегральных поверхностей и показано, что АМ может приводить к неустойчивости движения. Показано также, что при нерезонансных режимах движения эта неустойчивость весьма слаба и не разрушает режима гравитационной ориентации, по крайней мере, в течении нескольких недель. Для описания АМ поверхность спутника моделируется либо сферой со смещенным центром масс [60], либо цилиндром с тремя пластинами (солнечными панелями) [61], но также используется постоянный коэффициент сопротивления. Предлагается учитывать малую эллиптичность орбиты при вычислении плотности атмосферы, при этом указывается, что модели являются «… весьма упрощенными. Например, в них не учитывается такое важное обстоятельство, как разница в значениях плотности атмосферы на освещенном Солнцем и находящемся в тени Земли участках орбиты» [60].
В работе [62] сделана интересная попытка объяснения при помощи теории бифуркации рождения предельного цикла самопроизвольно установившегося режима гравитационной ориентации орбитальной станции «Салют – 7». Использование упрощенных моделей, аналогичных [60, 61], в этом случае представляется более грубым, поскольку угловое отклонение рассматриваемых режимов достигает уже 40, тогда как в [60, 61] рассматривается режим одноосной гравитационной ориентации, при котором отклонение продольной оси спутника от местной вертикали не превосходит , которое принимается равным 10 (см. [60]).
Вопросы влияния аэродинамических сил на относительное движение спутников в настоящее время рассматриваются В. А. Сарычевым и его учениками в серии работ [63 – 66]. Основное внимание в этих работах уделя-ется определению различных положений равновесия спутника в орбитальной системе координат и анализу их устойчивости на круговой орбите. Описание аэродинамического воздействия в этих работах остается таким же, как и в [7].
Бльшее внимание моделированию АМ уделяется при исследовании динамики свободного пространственного движения твердого тела при спуске в атмосферу (см., например, [67 – 72]). При входе тела в атмосферу с космическими скоростями характерным является высокая частота его колебаний относительно центра масс при малом изменении параметров движения центра масс на каждом периоде колебаний. Малая асимметрия КА может приводить к возникновению резонансов в относительном движении, которые в свою очередь могут привести к значительным возмущениям параметров траектории спуска в атмосферу. Исследованию поведения таких систем при резонансе посвящены работы В. С. Асланова, Ю. М. Заболотнова, Д. М. Климова, Н. Н. Моисеева, Ф. Л. Черноусько и других авторов.
Аппроксимация аэродинамического момента для КА с корпусом в виде конуса
Целью проводимых в разделе исследований является построение обоснованной и удобной (для проведения аналитических исследований динамики) математической модели АМ, действующего на спутник с СГС. Для этого рассматриваются задачи аппроксимации коэффициента АМ и описания короткопериодических ИПА, возникающих при орбитальном движении спутника. Полученные в разделе математические выражения, описывающие АМ, являются исходными для проводимых далее исследований.
Исследование поставленной в диссертационной работе задачи столкнулось с проблемой отсутствия признанных моделей аэродинамических воздействий, пригодных для качественных исследований динамики рассматриваемого класса спутников. Это относится как к моделям описания аэродинамического воздействия, так и к моделям описания ИПА и, по-видимому, связано с междисциплинарным характером задачи. Так, в расчетах динамики космических систем широко используется подход, основанный на предположении постоянства коэффициента лобового сопротивления и использовании понятия площади лобового сечения, как площади проекции спутника на плоскость, перпендикулярную потоку (см., например, [4, 5, 104]). В работах же специалистов по динамике разреженных газов указывается на существенную зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла атаки и используется понятие характерной площади сечения, обычно, как площади наибольшего сечения спутника [80, 82]. Однако, в большинстве случаев, предлагаемые ими модели аэродинамических сил и моментов для расчета динамики предполагают использование таблиц коэффициентов, рассчитанных для конкретного спутника. Понятно, что такие модели не могут быть удовлетворительными для многих задач динамики космических объектов. Важность создания приемлемых, для исследования закономерностей движения спутников, моделей АМ указывалась в работах [46, 80, 105], которые являются примерами конструктивного взаимодействия «динамиков» и «аэродинамиков».
Аналогичная ситуация и с описанием ИПА. Исследования закономерностей углового движения космических объектов проводятся либо в предположении постоянства плотности атмосферы [5, 7, 59, 106], либо учитываются лишь ее высотные изменения [49, 62, 64]. Признанные же модели плотности атмосферы Земли [99 – 101] весьма сложны, основываются на таблицах коэффициентов и, вообще говоря, не приемлемы для качественных исследований закономерностей динамики.
Таким образом, решение поставленной задачи связано с необходимостью создания простых и обоснованных аналитических моделей описания АМ, действующего на спутник, и моделей описания ИПА, возникающих при движении спутника по орбите.
Коэффициенты АМ (см. п. 1.2), обычно, определяются численным путем для конкретного КА и зависят от множества параметров атмосферного газа и его взаимодействия с поверхностью КА. Однако, для тел вращения АМ можно описать при помощи аэродинамической силы сопротивления умноженной на плечо (расстояние от точки, относительно которой находится момент, до центра давления). Такой подход традиционно использовался в исследованиях динамики КА [5, 7, 59, 106]. Для простейших тел вращения в динамике разреженных газов получены достаточно компактные приближенные выражения, описывающие зависимость силы сопротивления от угла атаки. В разделе рассмотрена аппроксимация коэффициента АМ для КА с СГС, поверхность которого моделируется набором простых тел. В результате получено простое обобщающее выражение этого коэффициента, удобное для аналитических исследований динамики. Согласованность полученного выражения с моделями АМ, используемыми разработчиками КА, показана на примере КА «Сич–1М». КА «Сич–1М» с гравитационно-гироскопической системой стабилизации создавался для запуска на почти круговую орбиту высотой 650 км. Высокие требования к точности стабилизации данного КА (3 по углу тангажа) потребовали тщательного анализа его аэродинамических характеристик. Коэффициент АМ для малых углов отклонения КА от требуемого положения стабилизации был рассчитан в нетрадиционно густой сетке узлов. Это позволило осуществить проверку и оценить точность предложенного в диссертации простого выражения коэффициента АМ для конкретного КА.
В разделе проведен анализ короткопериодических ИПА, возникающих при орбитальном движении спутника. Показано, что эти изменения могут приводить к существенному изменению АМ. Предложена аппроксимация ИПА усеченным рядом Фурье и проведены оценки точности предложенной аппроксимации. Такой подход к описанию почти периодических изменений физической величины традиционен для технических задач [107 – 109]. Этот подход согласуется и с ранее использованными методами описаний ИПА при орбитальном движении [77, 97] и с результатами исследований разработчиков КА [96].
Вывод уравнений возмущенного кеплерового движения
Рисунок демонстрирует характерную близость расчетов для всего рассматриваемого диапазона орбит. В данном случае плотность меняется в 7,3 раза, максимальная ошибка аппроксимации составляет 1,8%.
К сожалению, следует отметить, что коэффициенты разложения (2.21), вообще говоря, свои для каждой орбиты и для начальных условий движения спутника. Можно лишь утверждать, что третья гармоника разложения (2.21) в большей степени связана с описанием атмосферного горба. При движении спутника в плоскостях близких к плоскости, перпендикулярной оси горба, достаточно удерживать только две гармоники, и при этом ошибки описания ИПА по (2.21) не превосходят 3%. Вместе с тем, при движении в плоскостях близких к оси горба, ошибка описания ИПА двумя гармониками ряда (2.21) может достигать 10%. Можно также утверждать, что сдвиг фазы первой гармоники указывает на положение максимальной плотности атмосферы на орбите относительно начальной точки движения. При движении по орбитам с пренебрежимо малым эксцентриситетом, максимум плотности будет находиться в той точке орбиты, для которой угловое расстояние между направлениями из центра Земли на КА и на максимальное вздутие атмосферы будет минимальным.
Для класса КА с СГС, поверхность которых можно представить набором простых тел, получены упрощенные аналитические выражения зависимости АМ от угла атаки. Эти выражения, с одной стороны, имеют достаточно простой вид и могут быть использованы для качественного анализа динамики рассматриваемого класса КА. С другой стороны, они получены на основании известных в динамике разреженных газов приближенных аналитических выражений аэродинамических характеристик простых тел и позволяют учитывать влияние важных (для определения аэродинамического воздействия на тело) факторов, таких как ориентация КА к набегающему потоку, тепловая скорость молекул на данной высоте, температура тела.
Возможность упрощения выражений АМ обусловлена режимом гравитационной стабилизации КА: продольная ось КА близка к местной вертикали и слабо отклоняется от перпендикуляра к скорости набегающего потока, что, в большинстве рассматриваемых случаев, позволяет пренебречь смещением центра давления при моделировании АМ. Погрешность полученных формул в сравнении с исходными выражениями не превосходит нескольких процентов. 2. Рассмотрена точность аппроксимации АМ в предположении, что аэродинамическая сила равна произведению площади проекции КА на плоскость, перпендикулярную потоку, постоянного коэффициента и скоростного напора. Показано, что в рамках рассматриваемых задач такой подход позволяет оценить влияние АМ на относительное движение КА. 3. На примере КА «Сич–1М» показано, что простые выражения аппроксимации АМ при движении КА в режиме гравитационной ориентации достаточно хорошо описывают зависимость АМ от угла атаки и приемлемы, по крайней мере, в первом приближении для исследования закономерностей динамики рассматриваемого класса КА. 4. Рассмотрены короткопериодические ИПА, возникающие при орбитальном движении КА. Показано, что согласно ГОСТ 25645.115–84 для рассматриваемых высот нагрев атмосферы Солнцем может приводить к изменению ее плотности в 5,3 раза для одной и той же высоты. При совместном учете еще и изменений высоты орбиты из-за несферичности гравитационного поля Земли и из-за слабой эллиптичности орбиты максимальные значения плотности атмосферы могут превосходить минимальные в 12 раз. Таким образом, показано, что ИПА при орбитальном движении КА могут приводить к существенным изменениям АМ. 5. Рассмотрена возможность аппроксимации ИПА, возникающих при орбитальном движении КА, рядом Фурье по орбитальной частоте. Проведенный спектральный анализ показал, что, по крайней мере, на интервале времени порядка 3-х суток ( 50 витков) плотность атмосферы при орбитальном движении КА, как функция времени, с высокой точностью может быть разложена в ряд Фурье по орбитальной частоте. Анализ амплитуд такого разложения показал, что удержание первых трех гармоник этого ряда позволяет достичь достаточно высокой точности описания ИПА. Для рассматриваемых случаев ошибка такого представления изменений плотности при движении КА на одном витке не превышает единиц процентов.
Предложенные модели являются развитием моделей описания АМ для качественного исследования закономерностей динамики спутников. Они опираются на известные в динамике космических систем и аэродинамике разреженных газов подходы моделирования АМ и дают достаточно высокую точность в рассмотренных случаях. Полученные модели АМ достаточно просты и пригодны для теоретического анализа и определения основных закономерностей динамики КА и предпроектной оценки влияния аэродинамических воздействий. Вместе с тем, эти модели повышают точность описания АМ в сравнении с ранее используемыми при исследовании относительного движения КА моделями АМ. Это относится как к учету зависимости АМ от ориентации КА, так и к учету ИПА при орбитальном движении КА.
Как известно [38, 39, 104, 118, 119], разработка и предварительная проверка работы систем управления ориентацией КА осуществляется путем математического моделирования динамики. Обычно математическое моделирование движения КА с этой целью осуществляется в предположении либо невозмущенности кеплеровой орбиты КА, либо лишь с учетом ее вековых (средних) движений [4, 25, 38, 39, 104, 118, 119]. Поскольку, как показано в разделе 2, «ныряние» КА, обусловленное сжатием Земли, может приводить к существенным ИПА при орбитальном движении КА, в данном разделе приводится вывод уравнений поступательно-вращательного движения КА, позволяющих учитывать в расчетах этот эффект.
Разрабатываемая модель строится с целью численного исследования основных закономерностей влияния АМ на относительное движение КА и проверки результатов качественных аналитических исследований этого влияния. Поэтому, в разрабатываемой расчетной модели учитываются только гравитационные и аэродинамические воздействия на КА. Поскольку исследуются колебания КА на интервале времени порядка нескольких десятков периодов обращения КА по орбите, то в расчетах не учитывается изменение орбиты КА из-за аэродинамического воздействия.
Построение приближенного решения уравнения типа Хилла
В данном случае (для заданных диапазонов изменения параметров и 0,1) коэффициент динамичности системы [132] меняется приблизительно от 1,5 до 3,5. Тогда, с учетом возможных значений , можно утверждать, что для всех КА с СГС из рассматриваемого класса (4.4) существуют орбиты, для которых амплитуда вынужденных колебаний больше угла смещения. Более того, можно утверждать, что для КА с отношением моментов инерции , близким к 0,5, амплитуда вынужденных колебаний может превышать модуль угла смещения в несколько раз.
При проведении качественных аналитических исследований были приняты следующие упрощающие предположения: – движение КА происходит по кеплеровой круговой орбите; – коэффициент АМ линейно зависит от синуса угла отклонения продольной оси КА от местной вертикали и задается двумя постоянными коэффициентами , ; – плотность атмосферы моделируется усеченным рядом Фурье с удержанием первых трех гармоник, коэффициенты разложения в ряд считаются постоянными для заданной орбиты; – предполагается, что амплитуды колебаний КА малы и можно корректно применить процедуру линеаризации уравнений. Представляется, что перечисленные выше упрощения моделей движения достаточно обоснованы и позволили определить основные закономерности влияния переменности АМ на движение КА с СГС относительно центра масс. Вместе с тем, для проверки, уточнения и обобщения, найденных закономерностей проведем численный анализ динамики КА на модели движения, представленной в разделе 3. Рассмотрим сначала движение КА с параметрами, близкими к параметрам КА «Сич–1М», для которого нам доступны данные эскизного проекта о моделировании АМ. Сравнение результатов расчетов движения конкретного КА, полученных по аналитическим зависимостям и расчетным моделям движения, позволит оценить влияние упрощающих предположений. Далее проведем исследование закономерностей движения класса КА с СГС для различных параметров, удовлетворяющих условиям (4.4), (4.5). Расчеты представлены для даты 20 марта 2010 г., близкой ко дню весеннего равноденствия. В это время ось симметрии атмосферного горба лежит в плоскости, близкой к плоскости экватора Земли. Коэффициенты , , , 1, 2, 3, описывающие плотность атмосферы, находятся путем аппроксимации расчетных значений плотности при орбитальном движении, рассчитанном по модели раздела 3. В этом пункте на рисунках цифрами 1, 2, 3 обозначены результаты расчетов по следующим моделям: 1 – результаты расчета изменения угла по общей модели пространственного поступательно-вращательного движения КА (раздел 3), использована модель (2.15) зависимости АМ от угла атаки, плотность рассчитана по ГОСТ Р 25645.166–2004 [101]; 2 – результаты расчета изменения угла по общей модели пространственного поступательно-вращательного движения КА, АМ моделируется согласно эскизному проекту, плотность рассчитана по ГОСТ Р 25645.166–2004 [101]; 3 – результаты расчета изменения угла по аналитической зависимости (4.16), коэффициенты , , , 1, 2, 3 находятся путем разложения в ряд Фурье значений плотности, рассчитанных для одного витка орбитального движения КА по модели раздела 3. Интегрирование уравнений движения проводилось при следующих начальных условиях , , т.е. рассматривались только вынужденные колебания КА относительно центра масс. Сначала представлены результаты расчетов движения на кеплеровых круговых орбитах, т.е. в предположении, что центр масс КА движется по круговой орбите (рис. 4.5 – рис. 4.7). Такие расчеты позволяют исключить влияние отличия реальных орбит от кеплеровых на относительное движение КА. На рис. 4.5 – рис. 4.7 представлено изменение угла при движении КА на высоте 650 км по полярным круговым орбитам, плоскость которых проходит через ось симметрии атмосферного горба для разных уровней солнечной активности . На таких орбитах для данной высоты наблюдаются максимальные ИПА на одном витке орбитального движения. Плотность меняется более чем в три раза ( 3, где , – соответственно максимальное и минимальное значение плотности на заданной орбите). В зависимости от солнечной активности амплитуда колебаний на одной и той же орбите может меняться от 0,14 до 5, амплитуда колебаний в несколько раз больше угла смещения: угол смещения меняется от -0,05 до -2.