Введение к работе
-1 -
Актуальность темы. Устойчивоподобными свойствами решений называются различные типы свойств устойчивости и притяжения, конвергенции и сходимости, диссипативности и ограниченности решений дифференциальных уравнений.
Проблема исследования устойчивоподобиых свойств решений систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа является актуальной задачей качественной теории и теории устойчивости этих систем как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений к различным областям естествознания и техники. Актуальной задачей является также построение распределенных систем программного движения и исследование устойчивости программного движения. Вопросы устойчивости решений являются центральными в качественной теории и теории устойчивости дифференциальных систем. Результаты по устойчивости решений систем с распределенными параметрами содержатся в работах Д.Хенрн „Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений" (М: Мир, 1985) и обзоре С.Г.Крейна и М.И.Хазана „Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве" (Итоги науки и техники. Мат. Анализ. Т. 21. М.: 1983). Построение систем программного движения и методы решений обратных задач динамики содержатся в работах Галиуллина А.С., Мухаметзянова И.А., Мухарлямова Р.Г., Фурасова В.Д. „Построение систем программного движения" (М.: Наука, 1971) и Галиуллина А.С. „Методы решения обратных задач динамики" (М.: Наука, 1986).
Целью работы является исследование устойчивоподобиых свойств решений некоторых классов систем линейных, полулинейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, построение уравнений профаммного движения и
-2-устойчивости программного движения бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы исследования. В работе использованы методы классической качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными, прямой метод Ляпунова со знакопостоянной производной, методы теории динамических систем (Д-систем) И
полудинамических систем (Д+-систем) в подходяще выбранных функциональных пространствах, методы построения уравнений программного движения, а также методы прикладного функционального анализа.
Научная новизна. В диссертации представлены следующие основные результаты, имеющие научное и прикладное значение: 1) с помощью функционалов Ляпунова со знакопостоянными производными получены признаки локализации положительного предельного множества решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных параболического типа; 2) найдены условия устойчивости решений некоторых классов линейных и полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа; 3) дана оценка энергии диссипативного волнового уравнения; 4) доказаны теоремы об устойчивости состояния равновесия гидродинамической модели Бюргерса; 5) построены уравнения программного движения системы с распределенными параметрами и доказаны теоремы об их устойчивости; 6) построены уравнения программного движения счетной системы дифференциальных уравнений.
Практическая ценность. Изученные в диссертации системы линейных, полулинейных и нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа являются математическими моделями многих реальных механических, физических и технических объектов с распределенными параметрами. Выяснение устойчивопободных свойств
важно во многих разделах естествознания и техники, таких, как теоретическая и прикладная механика, телемеханика, теория управления динамическими процессами. Примеры параболических уравнений в механических, физических и инженерных задачах многочисленны. Построение распределенных систем програм много движения и исследование устойчивости их решений имеет большую практическую ценность во многих задачах прикладной механики.
Апробация работы. Результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на Всероссийской научно - технической конференции (Калуга, 1994), на научно - методической конференции Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (РГОТУПС) (Москва, 1995), на первой, второй и третьей межвузовских научно - методических конференциях РГОТУПС (Москва, 1996, 1997, 1998), на международной научно - технической конференции „Приборостроение-97" (Винница - Симеиз, 1997), на научном семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости РГОТУПС (Москва, 1987-1991, 1995-1999), на научном семинаре по теории дифференциальных уравнений и их приложениям Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 1997), на научном семинаре по нелинейному анализу Вычислительного центра РАЛ (1998), на научном семинаре по теоретической механике Российского университета дружбы народов (Москва, 1999).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-17].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 100 наименований, и изложена на 105 страницах.