Введение к работе
Актуальность темы. В самых разнообразных областях современной науки и техники встречаются динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием.
В математических моделях механики сплошных сред со сложно»! реологией в дифференциальные уравнения вводится последействие. Описание необратимых термодинамических процессов привело к построению математических моделей термодинамических систем с памятью. Учет конечности скорости электромагнитных взаимоцейстт вий ведет к необходимости при описании этих взаимодействий использовать запаздывающие потенциалы. Математические модели, учитывающие эффекты последействия динамических , процессов, встречаются в биологии и медицине. В общей теории динамических систем при построении реализаций отображений "вход-выход" появляются дифференциальные уравнения с последействием. В системах . автоматического управления необходимость учета последействия динамических процессов связана с канечностыо скорости распространения сигналов, а при наличии в системе вычислительных устройств требуется учитывать время, необходимое для расчетов. Дифференциальные уравнения с последействием описывают технологические процессы, связанные* с переносом материалов и энергии.
Наличие последействия в математической модели динамической системы влияет на еа качественное поведение. Поэтому проблема качественного изучения дифференциальных уравнений с последействием привлекает к себе внимание многих исследователей. В настоящее время наибольшие успехи достигнуты в построении теории
нелинейных периодических . колебаний. Здесь необходимо отметит:
работы В.Б.Колмановского, О.М.Колесова. Ы.А.Красносельского
Д-И-Мартынюка, СМ.Митропольского, В.Р.Носова, В.И.Рожкова
ВЛР/баника, Ю.А.Рябова, Дж.Хейла и СНЛИимаиова. Важньо
свойством периодических колебаний, требуемым для реализации их і
реальных технических системах, является свойство устойчивости
При исследовании устойчивости периодических решение
дифференциальных уравнений по первому приближению мы приходим і проблеме исследования на устойчивость линейных периодически] дифференциальных уравнений с последействием. На сложность это! проблемы указывают трудности, которые имеют место в теориї устойчивости периодических систем, описываемых обыкновенным! дифференциальными уравнениями. В нашем случае эта проблем; усложняется бесконечномерностью объекта исследования.
В теории устойчивости периодических дифференциальны}
уравнений с последействием развиваются различные направления
Соответствующая библиография весьма обширна. Здесь есті
возможность назвать лишь часть исследователей. Второй мето;
Ляпунова получил развитие в работах НЛ.Красовского
В.ЕКэлмановского, ЕЛШаркушина, В.Р.Носова, Д.Я.Хусаинова і
СЕШиманова. Метод преобразования Лапласа использовался і
работах Р.Беллмана и К-ГЗалеева. Метод производящих функци*
применялся в работах ЗЛ.Рехлицкого. В.ВЛалыгиной і
СВЛІІильмана. Метод, использующий свойства монотонный
операторов, получил развитие ь работах Н.И.Аэбелева
Л.М.Березанского и АЛ.Домошницкого. Подход, связанный <
описанием динамической системы в терминах "вход-выход" и <
последующим решением задачи о накоплении возмущений, развивался
в работах ЕИЛзбелева, Е.А.Барбашина, В.Г.Курбатова
ДЛ.Массвра и В.А.Тышкевича. Аппроксимация дифференциальных уравнений с последействием обыкновенными дифференциальными уравнениями использовалась в задаче устойчивости в работах Некрасовского, А.ККурясанского л Ю.М.Репина.
Основы теории первого метода Ляпунова для линейных
периодических систем с последействием заложены в рабої-х
А.М.Зверкина, А.Стокса, А.Халаная, В.Хана, ДясХейла и
СНЛІІиманова. Эта теория оказалась эффективной при разработке
методов исследования квазигармонических систем. Для существенно
нестационарных периодических систем с последействием
рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных видов уравнений. Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию первого мотода Ляпунова для линейных периодических дифференциальных уравнений с последействием.
Цель работы. Цель работы состоит в развитии первого метода
Ляпунова для линейных периодических дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. Центральным моментом здесь является
разработка методов построения характеристического уравнения для
оператора монодромии, учитывающих классификацию этих операторов.
Разбиение операторов на классы требуется для получения хороших
конечномерных аппроксимаций операторов монодромии, которые
используются при решении проблемы Рауса-Рурвкца (случай
единичного круга). К этой проблема сводится задача устойчивости
линейных периодических дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. Точность конечномерных аппрокимаций связана со скоростью убывания собственных значений оператора монодромии. Поэтому ставится задача нахождения асимптотики собственных значений оператора монодромии. Следующей целью является выделение отдельных классов периодических
дифференциальных уравнений с запаздыванием, в которых при изучении бифуркационной задачи устойчиї ста используются методы возмущений самосопряженных краевых задач.
Методы исследования. Методы исследования опираются на достижения классических направлений науки: теории устойчивости движения, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функционально-дифференциальных уравнений и функционального анализа. В данной работе исследования используют концепцию Ляпунова устойчивости движения, которая развивается в Уральском университете на кафедре теоретической механики. Разумеется, при этом используются методы исследования и результаты из теории функционально-дифференциальных уравнений, развиваемые в других научных центрах, где ведутся аналогичные исследования.
В основе избранной концепции лежит понятие оператора монодромии, спектральные свойства которого определяют устойчивость или неустойчивость периодических линейных дифференциальных уравнений с последействием.
Научная новизна. Представляется, что полученаые в диссертации результаты дополняют существующую теорию устойчивости дифференциальных уравнений с последействием некоторыми новыми теоретическими утверждениями общего порядка и методами анализа устойчивости периодических линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Среди таких результатов отметим следующие.
-
Предложена общая методика построения характеристического уравнения для периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.
-
Построена специальная конечномерная аппроксимация степени оператора монодромии для уравнений запаздывающего типа.
3. Получены условия представимости степени оператора
монодромии в виде суммы конечномерного и вольтеррова операторов
для уравнений запаздывающего типа.
-
Для уравнений нейтрального типа изучены спектральные свойства некомпактной составляющей оператора монодромии.
-
Найдена асимптотика собственных чисел оператора монодромии для дифференциальных уравнений запаздывающего типа.
-
Для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом построена специальная краевая задача для системы функционально-дифференциальных уравнений, к анализу распределения' зобственных значений которой сводится проблема .устойчивости рассматриваемых уравнений.
-
Выделены специальные классы дифференциальных уравнений с запаздыванием, в которых при изучении бифуркационной задачи устойчивости используются методы возмущений самосопряженных сраевых задач.
Теоретическое и практическое значение диссертации заключа->тся в том, что изложенные в ней методы н установленные >езультаты создают теоретическую основу для разработки шгоритмов и программ для ЭВМ при решении задач устойчивости для іериодических дифференциальных уравнений с . отклоняющимся ртументом.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3
ральской региональной конференции "фнкционально-
ифференциальные уравнения и их приложения" СПермь, ,1988). 2 сесоюзной . конференции "Нелинейные колебания механических истем" (Горький, 1990). 6 Всесоюзной Четаевской конференции по стойчивости движения, аналитической механике и управлению вижением (Казань, 1992), Украинской конференции "Моделирование
и исследование устойчивости систем" (Киев. 1993),
Межгосударственной научной конференцій "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (Минск, 1993.), Весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения - V" (Воронеж. 1994).
Результаты работы обсуждались на семинарах Уральского госуниверсигета, Пермского политехнического института и Института математики и механики УрО РАН.
Публикации. Результаты, вошедшие в диссертацию, опубликованы в работах П -2СП.
Структура и объем, диссертация состоит из введения,- пяти глав и списка литературы, содержащего 290 наименований. Диссертация содержит 24 параграфа. Общий объем диссертации 296 страниц.