Введение к работе
Актуальность работы. Развитие аналитической динамики, теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и оптимального управления и некоторых других новых направлении в науке и технике существенно расширили круг задач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости периодического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, т.е. когда вопрос об устойчивости не ) решается первым приближением.
Среди них особый интерес для приложений представляют системы с малым параметром, при обращении которого в нуль они превращаются в автономные, обратимые. Последнее свойство предполагает наличие некоторого линейного автоморфизма, который часто проявляется у механических систем при отсутствии диссипативных сил. Неустойчивость таких систем возникает, как правило, лишь при внутреннем резонансе, требующем проведения нелинейного анализа. При решении этой задачи важно выяснить роль малого параметра, подобно тому, как это было установлено для параметрического резонанса.
В приложениях подобные ситуации возникают для периодических решений, рождающихся из положения равновесия соответствующей автономной системы. Здесь весьма эффективным оказывается метод ма-\
лого параметра Пуанкаре. При этом для обратимых систем в первом
приближении всегда возникает некоторый критический случай, часто сопровождающийся наличием нулевого корня, что существенно затрудняет исследование.
Целью работы является: Г) исследование задачи устойчивости обратимых квазиавтономных периодических систем с малым параме-
тром.в критическом случае одного нулевого и N пар чисто мнимых характеристических показателей - i*s (, s = 1,...,N ) при наличии внутренних резонансов 3-го и 4-го порядков и при целых значениях \gb)/x ( w - период системы ), а именно, в получении необходимых и достаточных условий устойчивости и установлении влияния на устойчивость малых периодических членов; 2) применение полученных результатов к исследованию устойчивости поступательно-вращательного периодического движения геостационарного искусственного спутника Земли (ИСЗ) с малой тягой.
Методы исследования. В основу исследования положены: второй метод А.М.Ляпунова, метод малого параметра Пуанкаре, метод преобразования исходной системы уравнений возмущенного движения к нормальной форме.
Научная новизна работы состоит в том,что в ней I) показано, что характеристические показатели, отыскиваемые в виде ряда по целым степеням малого параметра, при отсутствии параметрического резонанса не получают поправок в первом приближении по малому параметру.
-
Выявлены особенности нормальных форм при резонансах 3-го и 4-го порядков в обратимых квазиавтономных периодических системах в критическом случае одного нулевого и N пар чисто мнимых характеристических показателях. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости и установлено влияние на устойчивость j малых периодических членов.
-
Показано, что при резонансе 3-го порядка и в случае четного значения отношения х3шЛс неустойчивость вызывается исключительно периодическими членами, пропорциональными малому параметру.
-
Установлены те случаи резонанса 4-го порядка, когда при достаточно малих значениях малого параметра, задача оО устойчивости периодической системы сводится к задаче оо устойчивости для соответствующей автономной системы.
-
Решена задача об устойчивости поступательно - вращательного периодического движения геостационарного искусственного спутника Земли (ИСЗ), способного зависать над люоой точкой земной поверхности вследствие сооощвния ему постоянного по модулю малого реактивного ускорения W. Показано, что в малой окрестности устойчивых стационарных движений, представляющих относительное равновесие МСЗ в равномерно вращающейся вместе с землей системе координат, существуют устойчивые периодические движения с периодом близким периоду вращения Земли и с тем же множеством неустойчивых резонансных режимов.
Практическая ценность. Практическое применение полученных общих результатов по исследованию устойчивости обратимых квазиавтономных периодических систем с малым параметром могут оыть использованы при решении разноооразных задач из ооласти неоесной механики, нелинейных колебаний и других разделов теоретической и прикладной механики.
Апробация работы. Основные результаты, отражающие содержание диссертационной работа, докладывались и оосуждались на 6-ой Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Казань, 1992 г.); на семинаре по дифференциальным уравнением в казхти (шымкент, 1992 г..руководитель- член-корреспондент АН республики Казахстан Г.Ш.Кальменов); на семинаре по небесной механике в гаиш (і 992 г. руководитель- профессор Е.П.Аксенов); на семинаре кафедры теоре-
тической механики мли (1993 г., руководитель - профессор В.Г.Веретенников).
Публикации. По теме диссертации опуоликовано 4 раооты.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, списка цитированной литературы из 62 наименований. Объем работы - 95 стр. машинописного текста, в том числе 2 рис.