Введение к работе
Актуальность темы. Одной из актуальных проблем при исследовании динамических свойств линейных и нелинейных механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами "является проблема устойчивости движения. Теория устойчивости линейных механических систем является базовым направлением в общей теории устойчивости механических систем,.представляющим огромный интерес как с теоретической точка зрения, гак и с точки зрения приложений. Для решения этой проблемы великий русский ученый А.М.Іяпунов создал приемы, приведшие к двум методам исследования устойчивости движения: первому методу на . базе характеристических чисел и второму (прямому) методу, основанному на изучении взаимосвязи движений механической систе-' мы со специальными однопараметрическими семействами поверхностей, являющимися поверхностями уровня функции Ляпунова. В настоящее время оба метода получили значительное развитие и'оказались эффективными при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости движения как линейных, гак и нелинейных механических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами. Одной из актуальных задач указанной проблемы является исследование устойчивости состояния равновесия с помощью коэффициентных признаков. Эта задача.в общем виде чрезвычайно сложна и далека от своего завершения. Даже простое и важное для механических приложений линейное нестационарное обыкновенное уравнение второго порядка, по выражению известного ученого ' Р.Беллмана, "представляет собой постоянный вызов искусству аналитика".
Различные вопросы теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений и их возмущений в конечномерном и.бесконечномерном банаховом пространстве изучались, начиная с работ А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова и Дж.Биркгофа, в работах русских и иностранных ученых Е.А.Барбашина, Ю.С.Богданова, Б.Ф.Енлова. В.Г.Вильке,. P.S.Винограда, Н.И.Гаврилова, А.С.Галиуллина,-С.К.Гожунова, .А.М.Гробмана, Б.П.Демидовича.Н.П.Еругина, В.И.Зубова, Н.А.Изобова, Г.В.Каменкова, А.Н.Кслмогорова, Н.Н.Красовского, М.Г.Крейка. А„.Н.Крнлова, В.МЛйгллисящикова, Й.ГЛ.'алкяна. В.М.Матросова, В.В.Нег.ыцкого, К.П.Поротдского,
И.Г.'Петровского, И.М.Рапопорта, В.В.Румянцева, В.Г.Скатецкогс, В.М.Старканского, В.В.Степанова, Н.Г.Четаева, А.А.Шестакова, В.А.Якубовича, Х.А.Антосевича, Р.Беллмана, С.П.Дилиберто. Т.Иосидзава, Дя.Като, Р.Конти, В.А.Кошіела, Н.Левинсона, К.Д.Пальмера, 0.Перрона, Д.Х.Саттингера, А.Уинтнера, Ф.Харт-мана, Л.Чезари, В.Феллера и других ученых.
. . В диссертации уточнены и обобщены известные теоремы Б.Ц.Демндовича. Н.П.Еругина, В.Г.Скатецкого, Д.Х.Саттингера и других ученых, получены новые достаточные коэффициентные признаки устойчивости состояния равновесия для многих классов нестационарных линейных механических систем, описываемых линейными операторными уравнениями в банаховом пространстве и решен ряд важных прикладных задач механики.
Степень обоснованности научных результатов. Все утверждения диссертации обоснованы на высоком математическом уровне; приведены полные доказательства с помощью методов качественной теории и теории устойчивости и методов функционального анализа.
Объект исследования» Пусть л - конечномерное или бесконечномерное банахово пространство. В работе рассмотрена устойчивость состояния равновесия следуодих классов уравнений:
1. Однородное линейное эволюционное уравнение в простран
стве X:
%=АШи,ибХ, (?)
где АЮіОо/п/АШ)сХ-*Х - линейный оператор, область определения которого йот/АН)) плотна в /.
2. Нелинейное эволюционное уравнение в пространстве л :
^АШи.+№,и),иеХ, (2)
где нелинейный оператор 4ft,u) (возмущающая функция) обладает тем или иным свойством малости вблизи состояния равновесия.
-3. Счетная система линейных обратных уравнений Колмогорова, описквапцая случайные процессы:
./ - ^VV. *<*.<.;. (3} где йиН)&0 . Qy/i)*0 (Щ) , -ч-иШъ'&йцШ или
4. Счетная система линейных уравнений размножения и
гибели:
**-*№fr+juz(tit,it {4)
являющаяся частным случаем системы уравнений Колмогорова (3). .
5. Система линейных гиперболических уравнепин, ошснвакь
щая колебательные процессы:
Ц+Ак(№^ + &(Ыи=№&, (5)
где 4.-(4^...,11^- искомая вектор-функция пространственных координат ^=/.....3) и времени і , Ак ('а-1,-1*0 и & - матрицы размеров гпхп с вещественным! коэффициентами, зависящими от
t и X. Матрицы fln(t,oc) являются симметрическими, т.е. если ^li,od=lla["?ax)ll, то Оц(і,зЬ= ajf(,scl
6. Система линейных уравнений с частными производными,
описывающая многие механические и физические процессы:
lg+AteW6,3d=of тгчц,...,^, 16)
где. И"/^х)- искомая вектор-іункция,. А(Х)~ матрица, олементы которой есть линейные дифференциальные операторы на ограниченном открытом подмножестве дс$ , В- матрица, олементы которой являются дифференциальными операторами. Элемента матрицы А зависят от X , но не от і . Начальные условия V'Ycc) решений принадлежат гильбертову пространству функций Y с достаточно гладкими элементам, гарантігрущими существование рэагиий в лространстве Y .
7. Система нелинейных уравнений Навье-Стокса
'$ + Air+F/vtv)=o, treH, (?)
в банаховом пространстве л соленоидальных зекторш:х полей V. Цель работті - исследование свойств.устойчивости и асимптотических свойств движения линейных и возмущенных -линейных, систем как с сосредоточенными, так и с рзспредолешшми параметрами и приложение полученных результатов к задачїм устойчивости состояния равновесия механических слстем с сосредоточенными и разіїределєнішки параметрами.
Методы_исслелОБания. Б работе использованы как методы прикладного функционального анализа, так и разнообразные методи теории устойчивости и качественной теории динамических процессов: 1) метод математического моделирования классических задач математической Физики с граничными и начальными условиями с помощью абстрактных операторных уравнений, 2)метод характеристических чисел Ляпунова, 3) метод функций Ляпунова, 4)каче- . ственный метод исследования движения на базе известных свойств линейного оператора, не связанный с теорией характеристических чисел Ляпунова, 5} метод локализации собственных чисел матрицы.
Научная новизна. В диссертации получены новые эффективные коэффициентные признаки устойчивости состояния равновесия линейных уравнений (1), (3) - (6), моделирующих линейные системы с сосредоточенными или с распределенными параметрами. Установлены новые теоремы об устойчивости состояния равновесия уравнения (2) по линейному бесконечномерному приближению (1), являющиеся распространением на бесконечномерный случай теорем;. об устойчивости по линейному конечномерному приближению; доказана теорема об устойчивости по линейному приближению для уравнений Навье-Стокса (7) при более слабых предположениях, чем у других авторов; установлены новые эффективные признаки устойчивости состояния равновесия ряда математических моделей механических и физических систем.
Пр^тическая_значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в качественной теории и теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частны-г ми производными, при решении задач теоретической и прикладной механики, теории линейных и нелинейных колебаний, автоматики, телемеханики, оптимального управления линейными и нелинейными объектами с сосредоточенными и распределенными параметрами, динамики подвижного состава железнодорожного транспорта.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы систематически докладывались и обсуждались на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Всероссийского института инженеров железнодорожного транспорта (г.Москва, 1993, 1994 г.г,), а также докладывались и обсуждались на научном семинаре по математическому моделированию
в экологии ВЦ РАН РФ (г.Москва, 1990 г.), на научной конференции по математическому моделированию в гидроэкологии (г.Санкт-Петербург, 1991 г.), на научном семинаре по теории дифференциальных уравнений и их приложениям Мордовского государственного университета.(г.Саранск, 1993 г.), на XXX научной конференции факультета (физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов (г.Москва, 1994 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы.в статьях [1 - б], список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 134 наименования. Общий объем работы 111 страниц.