Устойчивость движения в некоторых задачах динамики систем с неудерживающими связями Маркеев, Алексей Анатольевич

Введение к работе

Актуальность теш. В последние десятилетия механики все чаще обращаются к исследованию движения систем с соударениями. Это вызвано как необходимостью развития теоретических методов динамики систем с неудерживающими связями, так и потребностями решения прикладных задач механики, в частности, динамики виброударных систем. Кроме того к подобным задачам приводят некоторые вопросы геометрической оптики.

Одним из важнейших вопросов механики систем с соуда-рениями, как и при исследовании любого другого вида динамических систем, является вопрос об устойчивости движения. Проблема исследования устойчивости, будучи сама по себе весьма непростой, в данном случае осложняется естественной импульсивностью движения, приводящей к появлению разрывов в динамических функциях, часто не допускающих непосредственное применение классических методов теории устойчивости. Поэтому представляется весьма актуальной необходимость поиска возможности примирения физической разрывной сущности подобных систем с регулярными методами классической механики.

Цель работы. Настоящая диссертация посвящена решению ряда задач об устойчивости периодических движений систем с идеальньми неудерживающими связями при помощи адаптации известных методов теории устойчивости непрерывных систем

- 2 -к системам с соударениями.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.

1. Получены условия устойчивости неподвижной точки сохраняющего площадь отображения при всех возможных резонансах до четвертого порядка включительно. Условия устойчивости выражены через коэффициенты разложения отображения. Полученные результаты применены для решения двух задач, описанных ниже в пп. 2,3.

2. Найдены условия устойчивости двузвенных траекторий биллиарда Биркгофа в строгой нелинейной постановке задачи для частного случая, когда одна из границ биллиарда прямолинейна или сводящегося к нему случая осесиммет-ричных биллиардов с осью симметрии ортогональной к дву-звенной траектории. Приведены примеры.

3. Исследовано плоское периодическое движение твердого тела между параллельными стенками, для которого в предположениях абсолютной упругости удара без трения и отсутствия активных внешних сил получены условия устойчивости в первом приближении . Рассмотрены примеры.

4) Решена задача об устойчивости перманентного вращения тела, движущегося в однородном поле сил тяготения над горизонтальной неподвижной плоскостью и периодически с ней упруго соударяющегося. Проведено полное нелинейное исследование для одного частного класса тел вращения. Условия устойчивости и неустойчивости представлены аналитически в виде выражений, зависящих от параметров задачи.

5) Исследовано периодическое движение тяжелой материальной точки над гладкой кривой при резонансе третьего порядка и показано, что несмотря на неустойчивость, траектории изначально достаточно близкие к невозмущенной периодической, соответствующей вертикальным подскокам точки, остаются на конечном расстоянии от нее, дана оценка этого расстояния.

Практическая ценность. Полученные в диссертации условия устойчивости и неустойчивости неподвижных точек сохраняющего площадь отображения могут быть эффективно применены при исследовании устойчивости периодических движений широкого класса динамических систем. Практическая ценность работы состоит в реальной возможности использования полученных новых результатов в динамике систем с соударениями и в задачах о дифракции волн.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ.

Основные результаты диссертации содержатся в работах автора, перечисленных в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 87 страницах и состоит из введения, двух глав, разбитых на 5 параграфов, заключения и списка литературы ( 38 наименований ).