Введение к работе
Актуальность теиы. К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач (одагояеркыэ задачи, эйлерово и лагранжезо двикєкин твердого тела, движение точки в центральном поле и другие задачи). Возмояностъ реаения всех зтих задач для систем с п степенями езободы есковако на оущзстЕовакгш п первых незавЕсжгах интегралов с кнзелюцтга. 3 этик случаях согласно теореме Язгувилгз уравнения явикения решается в квадратурах. Однако в типичной ситуации интегралы не только ке удается - кайти, но очи зоЕсе не сусцествук/г (речь ядет о суп1';стаоЕак:;г. пятегралов во всем фазовок пространстве задачи), т.к. Tpaer.vopsi-i гакагьтоновьк систем, вообщэ говоря, не ложатся зіг нг,гагьглькаэ икогообразия.
К числу указанных систем относятся, например, системы, близкие к интегрируемым, отлпчатазйєся от ках каяка возмущением, изучение подобных задач А. Пуанкаре назваа основной проблемой динамики1. Пуанкаре зе принадлежат первые строгие результаты о кеннтег-рируености гамяльтоноЕЫХ скстеи. fi 1850 году он доказал несуществование аналитических интегралов, которые можно представить в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра.
Пуанкаре указал такяе явления качественного характера в ко-
1 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.
ведении фазовых траекторий, препятствующие появление назых катет-ралов. Среди них - рождение изолированных периодических решений и расаепление асимптотических поверхностей. Невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов "в «елок" связана со сложным поведением фазовых траекторий ва уровне тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые азвестгаы, но имеется в недостаточном числе.
В последнее время реализованы некоторое возможности метода Пуанкаре, которые позволили доказать яеянтегрЕ^уеиостъ ряда важных задач гамияьтановой механики. К таким задачам, например, относится решезашв Й.В.Жозловым и Д. ВЛрещевым2 задана о аеиитегри-руемости гаашнэтововых систем с торнческим пространством положений. Авторами найден критерий лнтегрируеиостл изучаемых автономных систем. В предлагаемой диссертационной $айоте эта задача обобщена на обший шаетжвюшшй случай.
Другим видом изучаемых в диссертационной -работе систем являются системы с гамильтоииаада, зависящим от координат и времени экспоненциально. Такие сзісшіш можно рассматривать как обобдеале конечной периодической цепочки Тоды3. полная интегрируемость которой была установлена в работах Н. Эко*, Г. Флашки5, С.В.Манако-ва6. Метод всех этих работ основав та яредстаалевиии уравнений
2 Козлов В.В., Трещав Д.В. Об интегрируемости тамильтоновых сис
тем с торическим пространством положений // Мат. сбор. 1988.
т. 135. вып.1, С. 119-138.
3 Тода И. Теория нелинейных решеток. Ы.: Мир, 1984.
4 Непоп М. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. 1974. B.9.
P.1921-1923.
5 Flashka H. The Toda lattice. I. Existence of Integrals // Phys.
Rev. 1974. B.9. P.1924-1925.
8 Манаков С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дис-
Гамильтона в виде 1-А пары Лакса. Обобщение цепочек Тоды на автономные гаиияьтоновы системы с экспоненциальным взаимодействием дано В. В. Козловым и Д. В. Трепгзыи7. Задачи, рассматриваемые в диссертации, лежат з русле исследования этих авторов.
Третья часть работы яосвякека «ной проблеме, а именно, задаче устойчивости положения равновесия одного конкретного класса нелинейных колебательных сксген. Об'їдає вопросы устойчивости сас-тем подобного типа били изучены В. В. Козловым8"э. Полученные в этих работах результаты легат в основе исследования, проведенного з предлагаемой диссертационной работе.
Цель работы. Распространить полученные ранее результаты об интегрируемости периодических Гймильтозсвых систем и ст.стеы с экспоненциальным взаимодействием на об'дай неавтономный случае, а также провоста качественный анализ одного класса нелинейной колебательной скстеш с экспоненциальным взаимодействием.
Метод исследования. При яахоядекип условий интегрируемости рассматриваемых задач используется иетод теории возмущений га-ет:яьтоновых систе?д, содержаще («алый параметр. Этот иетод заключается в поиске канонической замены перенежных так, чтобы иовкй ганидьтониан имел заданный заранее вид. Различные способы закены переменных были предложены Линддггедтом (A.Lindstedt), Еьюкоибсю
креткых цннакячесап: системах // КЭТЗ>. 1974. т. 87, вьга. 2, С. 543-555.
7 Козлов В. В., Трег;ев Д. 3. Полиномиальные пптегралы гамняьтоновцх езетем с экспоненциальным взаимодействие» // Изв. АН СССР. сер. шт. 1989. т. 53, N 3, С. 537-557.
а Козлов В. В. Об устойчивости полоеєней равновесия в нестационарном силовом пояэ//ISIi, 1991. Т. 55, внл.1, С. 12-19.
9 Козлов В. В. О падения тяжелого твердого тела з идеальной жлд-Еостя // Изв. Ш СССР. НТТ. 1989, N 5, С. 10-17.
(g.fJsHSGiabr), Делоне (Ch. Belaimay), А. Пуанкаре, йзйпеяем (H.Zei-pel), H. И. Крыловым и H. Я, Богодебовш. В настоящий работе применен огиз из первых методов, разработанный Линдитектом. Современную форму ему ярияая Цузнкаре10. S работе такке использован известный метод теории возмущений - принцип усреднения.
Научная новизна работа состоит в следующем:
-
Найден критерий интегрируемости по Пуанкаре кзазтономкых гамильтоновых слетам с гамильтонианом в виде тригонометрического многочлена, а также установлена связь между существованием большого числа невырожденных периодических решений гамияьтоновой системы и ее неиитегрируекостыэ.
-
Для неавтономных гзыияьтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием получены необходимые условия неинтегрируемости по Пуанкаре, а для систем, не содержаких иаяый параметр и иыеющкх полторы степени свободы, - условия интегрируемости по Бирхгофу.
-
Доказана теорема об асимптотической устойчивости положения равновесия колебательной системы
х = -е'(е*-е-*), по отношению к коордкнзте х, а такие построена асимптотика малых колебаний этой системы.
Практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер.
Апробация работы. Результаты работы были доложены и обсуждены на научно-исследовательских сешшарах механико-математического факультета МГУ.
Структура работы. Диссертация состоит из беєдєния и трех глав основного текста. Главы разбиты на параграфы, параграфы на
10 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.
пункты. Обпдай объем работы 84 страницы. В библиографии 37 наименований.