Введение к работе
Актуальность темы. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости является одним из основных методов качественного исследования свойств ограниченности и устойчивости движений нелинейных динамических процессов, являющихся математическими моделями реальных процессов механики управляемого движения, физики и техники. Этот метод получил большое развитие в работах отечественных и зарубежных ученых.
Основной вклад в развитие прямого метода Ляпунова внесли Н.Г.Четаев, К.П.Персидский, Е.А.Бэрбашин, В.И.Зубов, Н.Н.Красов-ский, В.М.Матросов, А.А.Шестаков, Н.П.Еругин, И.Г.Малкин, Х.Л.Массера, Г.В.Каменков, Г.И.Мельников, Ж.П.Ла Салль, Т.йоси-дзава, А.Я.Савченко, С.И.Горшин, А.А.Тихонов, Л.Хатвани, К.Кор-дуняну и многие другие ученые.
В связи с запросами практики имеются разнообразные прило-ложения прямого метода Ляпунова. В частности, в теории ограниченности движений динамических процессов прямой метод Ляпунова является основным.методом исследования.
Прямой метод Ляпунова получил своё дальнейшее развитие как метод исследования ограниченности и устойчивости движений систем дифферонциальных уравнений относительно части переменных (A.M.Ляпунов, В.В.Румянцев, В.И.Зубов, В.М.Матросов, В.И.Воротников, А.С.Озиранер, К.Пейфер, Н.Рут и др.).
Несмотря на обширные приложения прямого метода Ляпунова по зсем и.по части переменных к исследованию устойчивоподобных свойств движений нелинейных динамических процессов остаются недостаточно изученными многие его вопросы. Основная трудность заключается в построении функций Ляпунова.
В диссертационной работа с использованием прямого методг Ляпунова дается развитие теории ограниченности движений нелинейных динамических процессов по всем и по части переменных. С учетом, полученных в работе, теорем об ограниченности решена задачг стабилизации программного движения сложных процессов при наличии постоянно действующих возмущений, являющихся математической моделью систем управления манипуляционными роботами. Помимо указанных результатов в диссертации получены новые теоремы об асимптотической устойчивости в целом сложных систем по всем и по части переменных. Получены оценки погрешности линеаризации нелинейных систем.
Степень обоснованности научных результатов. Все утверждения диссертации строго доказаны на высоком математическом уровне. Доказательства теорем полные.
Объект исследования. Исследуются некоторые классы динамических процессов в конечномерном пространстве.
Целью диссертации является:
а) исследование свойств ограниченности движений и устойчи
вости движений нелинейных динамических процессов по всем и по
части переменных;
б) исследование асимптотической устойчивости в целом и
устойчивости при постоянно действующих возмущениях по всем и по
части переменных сложных систем;
в) решение задачи оптимальной стабилизации динамических
процессов, описываемых манипуляционными системами;
г) построение оценок погрешностей линеаризации указанных
динамических процессов по всем и по части переменных.
Методы исследования. В диссертации использовались методы математического и функционального анализа, аппарат прямого метода Ляпунова, методы качественной теории и теории устойчивости динамических процессов, а также теория управления процессами.
Научная новизна. В диссертации доказаны новые теоремы о равномерной ограниченности и равномерной ограниченности в преде-, ле движении нелинейных динамических процессов, на основании которых при выполнении некоторых условий для уравнения Льенара доказано предложение о равномерной ограниченности в пределе решений. Введены определения ограниченности, эквиограниченности и равномерной ограниченности в пределе относительно части переменных и доказаны соответствующие теоремы.
Для сложных систем (в том числе и с однородной главной частью) проведено исследование асимптотической устойчивости, асимптотической устойчивости в целом, равномерной ограниченности з пределе и устойчивости при постоянно действующих возмущениях по всем и по части переменных.
Решена задача оптимальной стабилизации сложного динамического процэсса. На основе развитой в работе теории ограниченности з пределе относительно части переменных и ныне существующей теории ограниченности в пределе по всем переменным, а также метода функций Ляпунова, разработан способ построения оценки погрешности линеаризации одного класса динамических процессов относительно части переменных и по всем переменным.
Практическая значимость. Результаты диссертационной работы являются дальнейшим развитием теории устойчивости и теории управления, поэтому могут быть использованы в теории устойчивости движения динамических процессов, в теории управления и в
- 4 -механике управляемого движения.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докла давались:
. - на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и кафедр механики и математического моделирования (1994 - 1996 г.) Мор довского государственного университета;
на Огаревских чтениях (г. Саранск, 1994 и 1995 г.г.);
на международной конференции по интервальному программи ровапию (г. Санкт-Петербург, 1994 г.);
на международной конференции по дифференциальным уравне ниям и их приложениям (г. Саранск, 1994 г.):
на первой межвузовской научно-методической конференції] Российского государственного открытого технического университет; путей сообщения (РГОТУПС) (г. Москва, 1996 г.);
на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов (г. Москва, 1995 и 1996 г.г. РГОТУПС);
на XXXII научной конференции физико-математических і естественных наук Российского университета дружбы народої (г. Москва, 1996 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах И J - [9].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,