Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 28
1. Введение 28
1.2. Скалярная киральная модель графена 29
1.3. Двумерный графеновый лист 32
1.4. Пульсации на поверхности графена 33
1.5. Углеродные нанотрубки 35
Глава 2-39
2.1. Введение 39
2.2. Спиновые возбуждения в графене 40
2.3. Взаимодействие графена с однородным магнитным полем 46
Глава 3-53
3.1. Введение 53
3.2. Взаимодействие монослойного графена с ортогональным магнитным полем 54
3.3. Поведение магнитного поля в центральной области 59
Глава 4-67
4.1. Выводы 67
4.2. Личный вклад автора 68
Литература 69
- Пульсации на поверхности графена
- Углеродные нанотрубки
- Взаимодействие монослойного графена с ортогональным магнитным полем
- Личный вклад автора
Введение к работе
Актуальность темы
Графен, однослойный графит, предоставил много возможностей для физики изучить интересные аналогии c релятивистской квантовой механикой. Графит состоит из правильных гексагональных ячеек на углеродных листах (графен), наложенных друг на друга, но раньше считалось, что одиночный лист не мог быть получен в изолированном виде, с тем, чтобы с ним могли быть выполнены электрические измерения. Графен является одним из самых известных и обсуждаемых материалов в современном мире; в 2010 году Нобелевскую премию по физике получили два ученых, которые внесли решающий вклад в развитие этой области исследований. Это были Андре К. Гейм и К. С. Новоселов, работавшие в университете г. Манчестер, в Великобритании. Они преуспели в производстве, изолировании, идентификации и измерении характеристик графена. Теория графена впервые развита П. Р. Уоллесом в 1947 году. В качестве отправной точки для понимания его электронных свойств он использовал графит. Уоллес заметил, что теоретически графеновые дисперсионные кривые содержат пару безмассовых дираковских К-конусов. Конусы Дирака в настоящее время наблюдаются экспериментально методами фото-эмиссионной спектроскопии с хорошим угловым разрешением. На безмассовые возбуждения типа Дирака впервые указал Гордон Уолтер Семенов, а также Давидчензо и Евгений Ж. Меле. Семенов отметил появление дополнительных линий в магнитном поле на электронном уровне Ландау именно в точке Дирака (Шарапов, С. 2005 г.). Экспериментальное и теоретическое исследование графена как двумерной структуры стало чрезвычайно быстро развивающейся областью и привлекает большой интерес исследователей как из-за необычных магнитных свойств, так и высокой электропроводности и теплопроводности.
Графен состоит из атомов углерода, расположенных наподобие пчелиных сот,
имеющих вид правильных шестиугольников. Эту шестиугольную ячейку можно
рассматривать как бензольное кольцо с удаленными атомами водорода
(Полинг,1972). Несмотря на углеродный, т.е. совершенно немагнитный состав, этот
материал имеет некоторые магнитные свойства. Подключение магнетизма к длинному
списку необычных возможностей графена осуществляется с момента его первого
получения в 2004 году Геймом и Новоселовым. То, что делает уникальным графен, это
не только бесщелевые состояния, но и особые, киральной природы, состояния
электрона. Этот эффект известен как так называемая гибридизация sp-состояний. Эти
свойства делают графен рекордсменом с точки зрения прочности и
электропроводности. Данное исследование имело целью построение
феноменологических подходов к описанию графена, инициированных работами Ю.П. Рыбакова.
Цели исследования
1.Несмотря на то, что графен имеет некоторые магнитные свойства, это немагнитный материал, что создает проблемы в теории графена. Это и послужило основным мотивом для осуществления настоящего исследования. Применение киральной модели графена позволит получить некоторые топологические решения в графене, изучить возможность скручивания и изгиба графена в рамках предложенной модели.
2.Другая цель - проверка применимости “киральной модели графена" для исследования спиновых и электромагнитных возбуждений в графене. Конкретной целью данного исследования является изучение поведения графеновой плоскости во внешнем магнитном поле, ориентированном либо вдоль, либо перпендикулярно плоскости графена, поскольку магнетизм в графене является сильно анизотропным.
Методы исследования
Модель, принятая для анализа, а именно, “киральная модель графена" - является обобщением скалярной киральной модели графена путем введения 8-спинорной полевой переменной для описания спиновых и квази-спиновых возбуждений в графене. Последние связаны с наличием двух независимых мод колебаний кристаллической решетки графена: колебаний двух треугольных подрешеток. Плотность лагранжиана модели будет построена с использованием принципа положительности энергии. Электромагнитное взаимодействие включается с помощью принципа калибровочной инвариантности, а также путем добавления прямого взаимодействия Паули для учета магнитного момента электрона.
Новизна результатов проведенных исследований
Впервые в рамках 8-спинорной реализации киральной модели графена описаны спиновые и магнитные возбуждения в однослойном и двухслойном графене, структура которых согласуется с экспериментальными данными.
Практическая значимость проведенных исследований
Результаты, полученные в настоящей диссертации, могут найти применение в физике
конденсированного состояния и, в частности, в спинтронике.
Достоверность полученных результатов и выводов
Степень достоверности результатов проведенных исследований обеспечивается строгостью примененных математических методов и согласованностью с исследованиями других авторов.
Апробация результатов работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
1.The International advanced materials and surface forum, GAMS Dubai 2015. International Conference Proceedings.
2.LII Conference on Problems of Dynamics, Particle Physics, Plasma Physics and Optoelectronics, Moscow: RUDN. 3.International school and conference "Saint-Petersburg OPEN 2017".
Публикации
Основное содержание диссертации изложено в 5 научных работах, 2 из которых опубликованы в рецензируемых журналах ВАК (список приводится ниже).
Структура и объем работы
Пульсации на поверхности графена
Это соответствует сигма-модельному подходу в теории поля, с массовым членом. В этой модели были введены постоянные параметры I и X. Теперь нашу Лагранжеву плотность в (1.4) можно сравнить с теорией Ландау-Лифшица, соответствующей квази-классическому длинно-волновому приближению к магнитной модели Гейзенберга (Косевич, и соавт., 1988). Параметр І в уравнение 4 можно интерпретировать как обменную энергию между атомами (на шаг решетки).
Вставив уравнение (1.3) в уравнения (1.3) и (1.4), с учетом SU (2) условия, легко найти следующую Лагранжеву плотность:
В случае малого возмущения уравнения движения, вытекающие из (1,5), выглядят следующим образом: а—(Я2//)а = О Соответствующий закон дисперсии в высокочастотном приближении имеет линейную фотоно-подобную форму. 1.3 Графен как доменная стенка
Путем разрезания листа графена вдоль линии, параллельной оси x, получаются лентообразные структуры , т. е. armchair и zigzag ленты. В случае конфигурации, соответствующей идеальной графеновой плоскости с нормалью вдоль оси Z, наш параметр порядка будет иметь вид:
Согласно так называемой теореме Мермина-Вагнера, длинноволновые колебания разрушают дальний порядок 2Д кристаллов. Эти колебания могут быть подавлены путем изгиба и растяжения, а это означает, что 2Д мембраны могут проявлять сильные колебания по вертикали (Fasolino и соавт. 2007). Однако понимание стабильности графена имеет решающее значение для объяснения электронного транспорта в этом материале. Начнем с рассмотрения малых возмущений к решению уравнения (1.8) в непосредственной близости от идеальной графеновой плоскости, т. е. при малых z. В нашем случае у нас о(О) = л/2, возмем f = 8а3 и а+ = о-г + ia2 со следующей Лагранжевой плотностью: L = -1(г 2д д + д а+д а_) - -Х2а+а_ Теперь можно сделать вывод, что уравнение для статических возмущений имеет вид: z2dz(z-2dzO + A = 0, (А- 2)а+ = 0 (1.11) где А± = д2 + д2. В Декартовых координатах х ,у на идеальной графеновой плоскости Z=0 легко находим возбуждения в периодической форме: f = exp(-k2z2/2)coskx, а+ = A+ekzcosKx, К2 = к2 - Л2//, (1.12) где Ы 1. Экспоненциальный рост по Z решения (1.11) указывает на нестабильность идеальной графеновой плоскости, впервые упомянутой Мерминым и
Вагнером в 1966 году в случае магнетиков. Существуют также кольцевые возбуждения аксиально-симметричной формы: f = exp(-k2z2/2)J0(kp), а+ = A+eim(Pe kzJm(Kp) (1.13) где/т -функции Бесселя т-го порядка, т = о, 1,2, ,при полярные координаты в плоскости графена.
Таким образом, можно сделать вывод, что графеновые плоскости имеют тенденцию к изгибанию. С учетом уравнения (1.10) следует отметить, что дисперсионная кривая обнаруживает анизотропный характер и имеет две ветви. Первая касается поперечных а3-возмущений и имеет фотонное поведение. Вторая касается продольных аьа2-возмущений и имеет "массовое” поведение, упомянутое выше.
Углеродные нанотрубки (УНТ) (рис. 9) представляют аллотропную модификацию углеродной наноструктуры, которые могут иметь отношение длины к диаметру больше 1 000 000; они имеют форму цилиндрических молекул углерода и обладают новыми свойствами, которые делают их потенциально полезными в широком спектре приложений. Углеродные нанотрубки представляют собой цилиндрические частицы, сделанные из одного или нескольких концентрических графеновых слоев (Александр,1997). Рис. 9 SWCNT Существует два основных типа нанотрубок: одностенные нанотрубки (SWNTs) и многостенные нанотрубки (Мунт). Склеивание в углеродные нанотрубки изучалось в работе (РАДЖАШТРИ, и соавт., 2009).
Углеродные нанотрубки
Материалы, в которых может индуцироваться состояние намагниченности, называются магнитными материалами. Такие материалы при намагничивании создают магнитное поле в окружающем пространстве. Было отмечено (Раджпут, 2014), что все материалы обладают магнитными свойствами в большей или меньшей степени, и они определяются тем, что: 1) магнитное поле вызывает силы и крутящие моменты в телах; 2) тело, помещенное в магнитное поле, искажает общее поле. Магнитные свойства материала зависят главным образом от электронов: их движение и вызывает магнитные моменты (Margherita, 2012а). В качестве иллюстрации рассмотрим взаимодействие графенового моноатомного слоя z = 0 со статическим однородным магнитным полем В0, ориентированным вдоль оси х. Вводя векторный потенциал Ау = A (z), найдем, что напряженность магнитного поля равна с естественным граничным условием на бесконечности: А — -В0 z. Модель, о которой идет речь, допускает очевидную симметрию а также дискретную симметрию: Фі "ФЪ а2,3 = а23 Это позволяет ввести реальный 2-спинор p(z) = col(u, -и), гр± = гр2 = В результате плотность Лагранжа принимает вид: A2\(p\4sin26 L = і(-16/М4Є2 - 16е02A2sin2в\ср\4) - 16\(р \2\(р\2- 4д0 +т1 -Л,2/(8тг) (2.4) Мы можем привести лагранжиан к виду: L = -8I\q \4 (Є 2 + e2A2sin2Q + і і.) - 8Х2\(р\4зіп2в + А (р+ті(р А /(8тт) (2.5) 8A2\(p\4sin26 = 8I\(p\46 2 - 8I(p\4e2A2sin26 - 8I\(p\4 - 8X2\(p\4sin26 + Аіі0А (р+тг(р - А 2/(8л) (2.6) 8X2\(p\4sin29 = 8І\(р\4в 2 - 8I(p\4e2A2sin2e - 8I\(p\4\(p \2 - 8X2\(p\4sin29 + А А ср+ ср - A 2/(8n) (2.7)
Из уравнения (2.5) видно, что модель допускает симметрию: ф= -т_1 ф, что является следствием противоположного магнитного ПОЛЯ и спиновой ориентации. Этот факт позволяет положить ф: = -ф2 = и. Введем новую переменную: U = \ср\2 = 2и2, учитывая, что;2 = 16U2 —— I = -2W 2 - 8/[/2(9 2 + e2A2sin2e) - AUsin2e(2X2U + д0Л ) -2IU 2 - 8/[/2(Є 2 + e2A2sin2e) - AUsin2e(2X2U + i0A ) - A 2/(8n) (2.8) Можно ввести граничное условие на бесконечности: y2(oo) = 1,Є(оо) = 0, A () = -B0 Имеет место следующий «энергетический» интеграл: Е = Ре& + Рии + РАА - L 0 д dU -16IU 9 }и д dU -4IU д 2А А -уд/ Н-0 р Наш интеграл энергии будет приведен к виду: Е = (-16/[/20 )Э + {-AW )W + (-4д0[/ -2- )А - (2.9) Подставим теперь наш лагранжиан из (2.8) в уравнение (2.9) Е = (-16/[/20 )Э + (-4IU )U + (-4д0[/ )Л - -2IU 2 8/[/2(9 2 + e2A2sin2e) - 4Usin2e(2A2U + [і0А ) - А 2/(8л) (2.10) = (-16/f/20 )0 + {-4W )U + (-4д0[/ )Л + 2IU 2 + 8/[/2(9 2 + el A2 sin2 в) + 4Usin26(2A2U + n0A ) + А 2/(8л) (2.11) E = _2Ш 2 - 8Ш2(Є 2 - e2A2sin20) - 4Usin29(2A2U + ц0А ) (871) — (2.12) (8Tt) Это означает, что уравнение Гамильтона-Якоби для «действия» S имеет вид: - (—)2 + - ( )2 + 2п(- + 4ii0Usin2e)2 = - + SU2sin2e(A2 + 81 \dUj 32IU2 \дв) \дА J 8тг v Іе2А2) (2.13) Здесь используются следующие определения импульсов Якоби = -4IU ; = -16Ш2в ; = -4fi0U - — (2.14) dU дв ЗА 4тг Изучим поведение решения уравнения (2.13) в асимптотической области z — оо, где А -В_0 z. В первом приближении имеем -8е, ЇІЗЧіпЧу (2.15) Подставляя уравнение (2.15) в (2.14), мы приводим дифференциальное уравнение к виду We tanO - 4 U =
С очевидным интегралом 4U = cos "4 0, отвечающим граничному условию U (оо) = 1/4. В силу уравнения (2.14) оно позволяет получить уравнение для 0 (z): 26» = e0A « — e0B0z sinie С решением вида: tand = tan60exp(-e0B0z2) (2.16) где 0о означает константу интегрирования. И, наконец, комбинируя уравнения (2.16) и (2.14), можно найти напряженность магнитного поля в асимптотической области z — оо: ,,, В = А « В0 - 2тг(е0/ - 2[i0)tan2e0exp(i-e0B0z2) (2.17) Как видно из (2.17), эффект ослабления магнитного поля проявляется при положительном значении константы е01-2до. Этот эффект аналогичен эффекту лондоновского «экранирования», вызванного вторым членом электромагнитного тока фРГ, Уд = е0Пт(фРГедцф) - ellj2{al + а%)Ац + 2і[і0д (гр(г гр) (2.18) Ток в (2.18) содержит кроме стандартного члена проводимости, диамагнитный ток и ток поляризации Паули. Как следует из уравнения (2.17), при отрицательном значении постоянной е0 1-2 До имеет место парамагнитное поведение материала. Замечание:
8-спинорная киральная модель содержит все предыдущие результаты скалярной модели, а также позволяет описать взаимодействие графена с электромагнитным полем в плоскости графена, выявить очевидный диамагнитный эффект: ослабление магнитного поля в образце графена.
Взаимодействие монослойного графена с ортогональным магнитным полем
В этом случае мы использовали киральную модель графена для исследования этого эффекта, изложенного ранее в нашем введении. Начнем со случая, когда магнитное поле В_0 ориентировано вдоль оси z. Используя цилиндрические координаты г, ф, z, введем векторный потенциал А_ф = А, причем напряженность магнитного поля равна Bz = дг{тА)/т ,Br = -dzA При этом накладывается естественное граничное условие на бесконечности: A(z - оо) = В0г/2. Рассматриваемая модель допускает очевидную симметрию \/і = \/г и у0-инвариантность \/= у0 \/, которая позволяет ввести 2-спинор ф, полагая ф1=ф2 = colicp - р), р = col(w,u). Для упрощения расчетов предположим малость радиального магнитного поля: Вг « Bz дискрет —? U , CL В этом приближении имеет место новая дискретная симметрия 2,3 = —а2,3, Это позволяет ввести киральный угол: :,,, CL — = sinQ
Рассмотрим аксиально-симметричную конфигурацию и = В результате новая плотность лагранжиана из принимает вид: Х = -8/ Д2(д±0)2 + (д±Д)2 + e$RzAzsinzQ 8[ioRsin20-dr(rA) -(dr(rA)) + (dzA)2 (3.1) Введем теперь новые переменные: R = и и 1 означает дифференцирование по г и z. Уравнения движения, соответствующие (3.1), имеют вид: ;dr(rdrR) -dr(rdrR) + d2R - 4R(d±Q)2 - 4e2RA2sin2Q Mo dr \rA) }dr{rR4rQ) + 2dz(R2dz9) - e A sinZe] Mo "r \rA) 2sm20 [l??R (3.2) Rsinie [l2R (3.3) An ±dr(rdrA) + d2 - ] = 16lelR2Asin2Q + S i0dr(Rsin2e) (3.4) Теперь давайте искать решение уравнений (3.2), (3.3) и (3.4) в асимптотической области z — оо, где 0 - 0; R = 1/4 + С ( - 0; Л = B0r/2a а - 0. Таким образом, уравнение для 0 принимает вид: / -dr(rdrQ) + д26 -\e%Blr2Q 0(А2 - 4д0Я0), ,_:,;, Его решение может быть найдено путем разделения переменных: 0 = const, (3.5) Со следующими постоянными параметрами: v = е0В0/4; Ik2 = В0(е01 — 4д0) + Я2 (3.6) Подставляя уравнения (3.6) в (3.2) и (3.4), получим неоднородные уравнения для - и а: -dr(rdrQ + д2 = (д±)2 + -е$В2г2& + -(Х2 — 2[і0В0) 02 (3.7) -дг(гдга) + д2а —- = 2ле0В0(е0І — 4до)г02 = SrQ2 (3. 8) t = Q20 exp(-2vr2 - 2kz)N(r); а = SQ20exp(-2vr2 - 2kz)K(r) (3.9) В тех случаях, когда радиальные функции N (г) и К (г) удовлетворяют следующим уравнениям: N" + N (r 8vr) + N [2В0 (е0 - 8 ) + 4у + e$B2r2] = \e%Blr2 + е0В0 + - (Я2 - 3[i0B0), (3.10) к" + я" (; - 8vr) + к (4fc2 - 8vr2 - ) = г (зл!) оценим теперь магнитную напряженность: Bz = B0 + Bz,bz =-dr(ra),Br = br = -dza
Учитывая, что из-за (3.11) ЛГ « (e figr)-1 при г - оо, из уравнения (3.8) получаем: bz = —2л(е01 — 4до)0о ехр{—2vr2 — 2kz) (3.12) br = = (е0/ — 4до)0о ехр{—2vr2 — 2kz) (3.13) e0B0r Однако при малых г 0 из (3.11) следует, что Kr 3/8, поэтому напряженность магнитного поля равна: bz = ле0В0(е01 — 4до)0оГ2 ехр{—2vr2 — 2kz) (3.14) br = —e0B0(e0I — 4до)0оГ3ехр(—2vr2 — 2kz) (3.15) Как видно из уравнений (3.14), (3.15), в зависимости от знака множителя е_0 1-4 д_0 наш графеновый материал обнаруживает диамагнитное или парамагнитное поведение. Поэтому было бы интересно получить численные оценки параметров модели. В связи с принятым определением е eh Eexch е0 = — , ju0 = , 1 = . Ш he 2теса а В тех случаях, когда обменная энергия обычно принимается равной Eexch = 2.9eV и параметр решетки а = 3.56. 10 "8 см, где е - абсолютная величина заряда электрона, имеем следующие числовые значения: е01 — 2.10 Gauss, и0 Это означает, что параметр е0 I-4fi0 положителен и в соответствии с (3.12), (3.33) и (3.44) предсказано ослабление магнитного поля внутри графена при больших г и его усиление при малых г в соответствии с( 3.14)и(3.15). 3.3. Поведение Магнитного поля в центральной области
Ввиду важности последнего вывода было бы желательно исследовать поведение магнитного поля в центральной области графенового материала, т. е. при малых г, но произвольных z. С этой целью мы рассмотрим экстраполяцию конфигурации (3.5) на решение типа доменной стенки: в = 2arctan[exp (-2vr2 - 2kz)] (3.16) Позже будет показано, что это приближение справедливо в пределе малого поля. Для начала введем уравнение (3.16) в уравнение (3.3). - „ 4vrexp vr fe і oru = = —2vr 1 + e 2vr 2kz cosh(vr + kz) 2kexp w kz і со = = —k 1 + e 2w 2kz cosh(vr + kz) sin = 1 cosh(vr2 + kz) sin2 в = 2 1 cosh(vr2 + kz) 4vrtanh(vr2 + kz) д sin2 9 = cosh(vr +kz) Это сводится к следующим уравнениям: — В"(z) = \6e20R2 -В sin2 6 + S i0Rdr (sin2 в) (3.17) 8л- — Іе0 В0 sin б - е0«0 2//0 sin б tann(vr + kz) — е0В0 sin2 6(е0І - 4ju0 tanh(vr2 + kz)) 1 ГДЄ A = —B0r + a Аж 1\ідт(тЄта)+д\а- г г z 2 Г Г - Ie20 B0r sin2 в+ 2ju0dr (sin2 в) dr(rdra) + d2za — = 2лге0В0 sin2 6 \e0I -4ju0 tanh(vr2 + kz)\= lnrj (3.18)
Личный вклад автора
Материалы, в которых может индуцироваться состояние намагниченности, называются магнитными материалами. Такие материалы при намагничивании создают магнитное поле в окружающем пространстве. Было отмечено (Раджпут, 2014), что все материалы обладают магнитными свойствами в большей или меньшей степени, и они определяются тем, что: 1) магнитное поле вызывает силы и крутящие моменты в телах; 2) тело, помещенное в магнитное поле, искажает общее поле. Магнитные свойства материала зависят главным образом от электронов: их движение и вызывает магнитные моменты (Margherita, 2012а). В качестве иллюстрации рассмотрим взаимодействие графенового моноатомного слоя z = 0 со статическим однородным магнитным полем В0, ориентированным вдоль оси х. Вводя векторный потенциал Ау = A (z), найдем, что напряженность магнитного поля равна с естественным граничным условием на бесконечности: А —-В0 z. Модель, о которой идет речь, допускает очевидную симметрию а также дискретную симметрию:
Фі "ФЪ а2,3 = а23 Это позволяет ввести реальный 2-спинор p(z) = col(u, -и), гр± = гр2 = В результате плотность Лагранжа принимает вид: A2\(p\4sin26 L = і(-16/М4Є2 - 16е02A2sin2в\ср\4) - 16\(р \2\(р\2- 4д0 +т1 -Л,2/(8тг) (2.4) Мы можем привести лагранжиан к виду: L = -8I\q \4 (Є 2 + e2A2sin2Q + і і.) - 8Х2\(р\4зіп2в + А (р+ті(р А /(8тт) (2.5) 8A2\(p\4sin26 = 8I\(p\46 2 - 8I(p\4e2A2sin26 - 8I\(p\4 - 8X2\(p\4sin26 + Аіі0А (р+тг(р - А 2/(8л) (2.6) 8X2\(p\4sin29 = 8І\(р\4в 2 - 8I(p\4e2A2sin2e - 8I\(p\4\(p \2 - 8X2\(p\4sin29 + А А ср+ ср - A 2/(8n) (2.7) Из уравнения (2.5) видно, что модель допускает симметрию: ф= -т_1 ф, что является следствием противоположного магнитного ПОЛЯ и спиновой ориентации. Этот факт позволяет положить ф: = -ф2 = и. Введем новую переменную: U = \ср\2 = 2и2, учитывая, что;2 = 16U2 —— I = -2W 2 - 8/[/2(9 2 + e2A2sin2e) - AUsin2e(2X2U + д0Л ) -2IU 2 - 8/[/2(Є 2 + e2A2sin2e) - AUsin2e(2X2U + i0A ) - A 2/(8n) (2.8) Можно ввести граничное условие на бесконечности: y2(oo) = 1,Є(оо) = 0, A () = -B0 Имеет место следующий «энергетический» интеграл: Е = Ре& + Рии + РАА - L 0 д dU -16IU 9 }и д dU -4IU д 2А А -уд/ Н-0 р Наш интеграл энергии будет приведен к виду: Е = (-16/[/20 )Э + {-AW )W + (-4д0[/ -2- )А - (2.9) Подставим теперь наш лагранжиан из (2.8) в уравнение (2.9) Е = (-16/[/20 )Э + (-4IU )U + (-4д0[/ )Л - -2IU 2 8/[/2(9 2 + e2A2sin2e) - 4Usin2e(2A2U + [і0А ) - А 2/(8л) (2.10) = (-16/f/20 )0 + {-4W )U + (-4д0[/ )Л + 2IU 2 + 8/[/2(9 2 + el A2 sin2 в) + 4Usin26(2A2U + n0A ) + А 2/(8л) (2.11) E = _2Ш 2 - 8Ш2(Є 2 - e2A2sin20) - 4Usin29(2A2U + ц0А ) (871) — (2.12) (8Tt) Это означает, что уравнение Гамильтона-Якоби для «действия» S имеет вид: - (—)2 + - ( )2 + 2п(- + 4ii0Usin2e)2 = - + SU2sin2e(A2 + 81 \dUj 32IU2 \дв) \дА J 8тг v Іе2А2) (2.13) Здесь используются следующие определения импульсов Якоби = -4IU ; = -16Ш2в ; = -4fi0U - — (2.14) dU дв ЗА 4тг Изучим поведение решения уравнения (2.13) в асимптотической области z — оо, где А -В_0 z. В первом приближении имеем -8е, ЇІЗЧіпЧу (2.15) Подставляя уравнение (2.15) в (2.14), мы приводим дифференциальное уравнение к виду We tanO - 4 U = С очевидным интегралом 4U = cos "4 0, отвечающим граничному условию U (оо) = 1/4. В силу уравнения (2.14) оно позволяет получить уравнение для 0 (z): 26» = e0A « — e0B0z sinie С решением вида: tand = tan60exp(-e0B0z2) (2.16) где 0о означает константу интегрирования. И, наконец, комбинируя уравнения (2.16) и (2.14), можно найти напряженность магнитного поля в асимптотической области z — оо: В = А « В0 - 2тг(е0/ - 2[i0)tan2e0exp(i-e0B0z2) (2.17)
Как видно из (2.17), эффект ослабления магнитного поля проявляется при положительном значении константы е01-2до. Этот эффект аналогичен эффекту лондоновского «экранирования», вызванного вторым членом электромагнитного тока Уд = е0Пт(фРГедцф) - ellj2{al + а%)Ац + 2і[і0д (гр(г гр) (2.18) Ток в (2.18) содержит кроме стандартного члена проводимости, диамагнитный ток и ток поляризации Паули. Как следует из уравнения (2.17), при отрицательном значении постоянной е0 1-2 До имеет место парамагнитное поведение материала. Замечание: 8-спинорная киральная модель содержит все предыдущие результаты скалярной модели, а также позволяет описать взаимодействие графена с электромагнитным полем в плоскости графена, выявить очевидный диамагнитный эффект: ослабление магнитного поля в образце графена.