Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию ряда многопараметрических задач механики с использованием символьных вычислений.
Актуальность темы. Точные аналитические решения дифференциальных уравнений всегда играли и продолжают играть большую роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. (Численные решения многопараметрических задач нередко приводят к значительным сложностям в интерпретации результатов.)
Задачи механики описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, коэффициенты которых часто зависят от многих параметров. Поиск точных решений в этих задачах связан с большим объемом алгебраических преобразований и выкладок, которые существенным образом ограничивают возможности исследователя. В этих случаях целесообразно использовать методы компьютерной алгебры, которые нередко позволяют преодолевать указанные сложности.
Многие задачи нелинейной механики описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Как правило, точное аналитическое решение задачи получить не удается. Поэтому систему упрощают (например, линеаризуют), чтобы установить ее локальные свойства. Методы анализа линейных систем хорошо известны. Наиболее актуально исследование нелинейных систем, поскольку их поведение зачастую качественно отличается от поведения соответствующих линеаризованных систем. Значительный интерес представляют точные аналитические решения, которые позволяют лучше понять поведение нелинейных систем "в целом". (Точные решения, даже если они не имеют ясного физического смысла, можно использовать для оценки погрешности различных численных, асимптотических и приближенных методов.)
Актуальность проблем гидродинамического обтекания пористых тел обусловлена практикой (например, это относится к проблемам расчета пористых катализаторов, пневмотранспорту). В прикладных исследованиях обычно ограничиваются поступательным или враща-
тельным потоком. Однако реальные течения зачастую имеют более сложную структуру. Рассмотрение сдвигового потока, структура которого задается рядом свободных параметров, позволяет точнее моделировать возникающие на практике течения. Решение для деформационной составляющей сдвигового потока можно рассматривать независимо от поступательной и вращательной составляющих. Суперпозицией решений для отдельных составляющих можно получить решение для" течения сложной структуры.
Изучение процессов адсорбции, проблем повышения нефтеотдачи при разработке газонефтяных месторождений и многих других явлений приводит к задаче о поршневом вытеснении одной фазы другой в пористой среде. Интерес представляет построение точных, приближенных и асимптотических решений, соответствующих уравнений в неравновесном случае.
Цель работы. Диссертация направлена на аналитическое исследование ряда многопараметрических задач механики: построение точных, асимптотических и приближенных решений методами компьютерной алгебры ввиду большой сложности и практической невозможности исследования рассматриваемых задач вручную. При этом основное внимание уделено:
разработке алгебраического метода поиска точных аналитических решений нелинейных динамических систем второго порядка с полиномиальными правыми частями и его применение к нахождению таких решений;
поиску нелинейных многопараметрических преобразований динамических систем второго порядка, приводящих рассматриваемые системы к интегрируемому виду;
исследованию обтекания пористой сферической частицы и пористого кругового цилиндра линейным сдвиговым потоком вязкой несжимаемой жидкости в стоксовом приближении;
анализу процессов неравновесной двухфазной фильтрации в пористой среде;
разработке программ символьных вычислений для решения и исследования рассматриваемых в работе проблем.
Работа выполнена при поддержке Международного Научного Фонда согласно гранту R6I0OO (проект "Creation of new methods of mathematical physics, search for exact solutions and first integrals of nonlinear differential equations").
Методы исследования. Построение точных аналитических, приближенных и асимптотических решений, а также их анализ осуществлялся методами компьютерной алгебры с использованием систем символьных вычислений Reduce и Maple. Для построения точных решений динамических систем второго порядка предложен новый метод и реализованы следующие основные алгоритмы символьных вычислений: формирование линейной алгебраической системы (размерностью ^ 7) с нелинейными многопараметрическими коэффициентами для неизвестных коэффициентов уравнения, решение полученной системы, приведение громоздких выражений к удобному для восприятия и анализа виду, выявление положений равновесия соответствующей динамической системы и установление их типа. Для сравнительного анализа использовался метод построения асимптотических решений. В трехмерной задаче об обтекании пористой сферической частицы сдвиговым потоком для поиска точного решения использовался метод неопределенных коэффициентов. В задачах механики дисперсных сред применен метод сращиваемых асимптотических разложений, а также предложен итерационный метод построения приближенного решения.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
разработан алгебраический метод поиска точных аналитических решений нелинейных динамических систем второго порядка с полиномиальными правыми частями;
получены точные (общие) аналитические решения ряда многопараметрических нелинейных динамических систем второго порядка с квадратичными и кубическими правыми частями; показано, что предложенным методом можно построить решения для систем с полиномиальными правыми частями и более высокого порядка;
найдены нелинейные многопараметрические преобразования динамических систем второго порядка с квадратичными правыми
частями (отличные от указанных выше), приводящие эти системы к интегрируемому виду;
получены точные решения осесимметричной и трехмерной задач об обтекании пористой сферической частицы линейным сдвиговым потоком вязкой несжимаемой жидкости в стоксовом приближении; определено количество жидкости, просачивающейся внутрь частицы в единицу времени; получено решение плоской задачи об обтекании пористого кругового цилиндра произвольным линейным сдвиговым стоксовым потоком;
получены точные и асимптотические решения уравнений механики дисперсных систем, описывающих процессы двухфазной фильтрации в пористой среде с учетом капиллярных сил и неравновесности;
предложена итерационная процедура построения особых траекторий динамических систем, проходящих через особые точки (обеспечивающая точные результаты в предельных случаях при малых и больших значениях характерного параметра задачи); эта процедура использована для решения некоторых задач механики дисперсных систем;
разработан комплекс программ символьных вычислений на языках Reduce и Maple для решения и исследования рассматриваемых в работе проблем.
Практическое значение. Полученные точные решения многопараметрических динамических систем второго порядка могут быть использованы для оценки погрешности различных численных, асимптотических и приближенных методов.
Результаты по обтеканию пористых тел линейным сдвиговым потоком позволяют сделать важный для практики вывод: для реальных значений коэффициента проницаемости пористых тел внешнее гидродинамическое течение можно приближенно считать таким же, как и течение для соответствующего непроницаемого тела. Полученная формула для количества жидкости, просачивающейся внутрь пористой сферической частицы, важна в химической технологии при расчете пористых катализаторов с внутренней химической реакцией. Указанные результаты могут быть использованы и в проблемах пневмотранспорта.
/
/
Предложенная итерационная процедура позволяет построить приближенное решение задачи о двухфазном поршневом вытеснении в пористой среде с учетом капиллярных явлений и неравновесностіг (аналогичными уравнениями описываются и задачи адсорбции). При этом получаемая приближенная формула оказывается весьма простой и точной с практической точки зрения во всем диапазоне изменения характерного параметра задачи. Это имеет значение при описании процессов адсорбции в химической технологии, а также для повышения нефтеотдачи при разработке газонефтяных месторождений.
Достоверность результатов. Полученные результаты проверяемы, например, путем прямой подстановки решения в исходные уравнения. Кроме этого достоверность полученных результатов подтверждается соответствием найденных решений в предельных случаях решениям, полученным другими авторами.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре при Научном Совете РАН по механике систем и Научном Совете РАН по пробле.мам управления движением и навигации под руководством академика А. Ю. Ишлинского и академика Д. М. Климова в Институте проблем механики РАН (Москва, июнь 1995 г.), на ежегодных Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И. Герцена на Секции по дифференциальным уравнениям (С.-Петербург, апрель 1994 г.), на семинаре под руководством д.т.н. П. Г. Бедриковецкого в Государственной академии нефти и газа им. И.М. Губкина (Москва, октябрь 1994 г.), на международной конференции "SPE Middle East Oil Technical Conference and Exibition" (Бахрейн, март 1995 г.) и на семинаре Лаборатории термогазодинамики под руководством д.ф.-м.н. В. М. Гремячкина и д.ф.-м.н. Ю. А. Сергеева в ИПМ РАН (Москва, июнь 1995 г.).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в шести статьях и одном препринте.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Изложена на 134 страницах, содержит 20 рисунков, 7 таблиц и список цитированной литературы из 85 наименований.