Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Историко-аналитический обзор работ по плоским центральным конфигурациям и исследованиям их устойчивости 10
1.1. История открытия и определения центральных конфигураций 10
1.1.1. Терминология и определения 10
1.1.2. Период классический (1760-1880 гг.) 14
1.1.3. Период интенсивного развития теории центральных конфигураций (1881-1941 гг.) 15
1.1.4. Период современный (1942-2015 гг.) 20
1.2. Устойчивость плоских центральных конфигураций и положений относительного равновесия в обобщенных вариантах задачи N тел 24
1.2.1. Устойчивость плоских центральных конфигураций 24
1.2.2. Устойчивостьпо ЛЯПУНОВУ в строгом нелинейном смысле положения относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова 25
Глава 2. Обобщенные плоские центральные конфигурации в барицентрической системе координат 28
2.1. Классические и обобщенные плоские центральные конфигурации квадратной формы 28
2.1.1. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при п = 1 30
2.1.2. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при п = 2 34
2.1.3. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при п = 3 35
2.2. Классические и обобщенные плоские центральные конфигурации ромбовидной формы з
2.2.1. Центральная ромбовидная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при п = 1 37
2.2.2. Центральная ромбовидная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при ЇЇ = 2 39
2.3. Определение численных значений параметров обобщенных квадратной и ромбовидной центральных конфигураций 40
2.3.1. Центральное тело - шар 40
2.3.2. Центральное тело - эллипсоид вращения (с приближенным потенциалом) 41
2.3.3. Центральное тело - эллипсоид вращения (с полным потенциалом).. 42
2.3.4. Центральное тело - трехосный эллипсоид 46
Глава 3. Обобщенные плоские центральные конфигурации в гелиоцентрической системе координат 49
3.1. Уравнения движения тел в гелиоцентрической вращающейся системе координат 49
3.2. Условия существования плоских классических и обобщенных центральных конфигураций в гелиоцентрической вращающейся системе координат 51
3.2.1. Классические дельтовидные центральные конфигурации 56
3.2.2. Обобщенные дельтовидные центральные конфигурации 59
3.2.3. Трапецеидальные центральные конфигурации 64
Глава 4. Устойчивость классических и обобщенных плоских центральных конфигураций 71
4.1. Постановка задачи 71
4.2. Уравнения в вариациях и их расщепление 72
4.3. Анализ линейной устойчивости плоских центральных конфигураций, существующих в барицентрической системе координат
4.3.1. Квадратная центральная конфигурация 76
4.3.2. Ромбовидная центральная конфигурация 79
4.4. Анализ линейной устойчивости плоских центральных конфигураций, существующих в гелиоцентрической системе координат 81
4.4.1. Дельтовидная центральная конфигурация с центральным телом 81
4.4.2. Трапецеидальная центральная конфигурация с центральным телом 87
Глава 5. Исследования устойчивости по Ляпунову положений относительного равновесия в классическом и обобщенных вариантах задачи Ситникова 92
5.1. Постановка задачи 92
5.2. Нелинейный анализ устойчивости 95
5.3. Нормализация функции Гамильтона при отсутствии резонансов и вырождения 99
5.4. Устойчивость положения равновесия в классической задаче Ситникова 102
5.5. Устойчивость положения равновесия в обобщенной задаче Ситникова. Нормализация функции Гамильтона при наличии
резонансов четвертого порядка 103
5.6. Устойчивость положения относительного равновесия в обобщенных вариантах задачи Ситникова 105
Заключение 109
- Период классический (1760-1880 гг.)
- Центральная квадратная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при п = 2
- Условия существования плоских классических и обобщенных центральных конфигураций в гелиоцентрической вращающейся системе координат
- Анализ линейной устойчивости плоских центральных конфигураций, существующих в гелиоцентрической системе координат
Период классический (1760-1880 гг.)
Простейшие центральные конфигурации в задаче трех тел (рис. 1) были обнаружены Эйлером [7] (1760) и Лагранжем [16] (1772), хотя Лагранж, обнаруживший треугольные решения, не придал этому факту серьезного значения. Эти же самые решения (прямолинейные и треугольные) также называют лапласовыми, поскольку последний доказал их существования для произвольного закона притяжения и описал их в своем многотомном фундаментальном труде по небесной механике [17].
Изучение центральных конфигураций, как уже отмечалось, представляет интерес для многих разделов математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитической механики, небесной механики, звездной динамики и пр. по следующим причинам: 1) конфигурации, которые приходят к одновременному столкновению, являются асимптотическими по отношению к центральным конфигурациям, то есть центральные конфигурации помогают лучше понять динамику «разлета» и «столкновения» в задаче п тел; 2) плоские центральные конфигурации порождают семейства периодических решений, поиск которых является целью многих задач небесной механики и космодинамики; 3) множество уровней энергии, которые содержат центральные конфигурации, соответствует значениям энергии, для которых поверхности постоянной энергии и углового момента испытывают бифуркации, из чего следует, что центральные конфигурации играют ключевую роль в определении бифуркаций в топологическом описании; 4) центральные конфигурации являются специальными решениями задачи п тел, в которой известно лишь (6п - 10) первых интегралов. Таким образом, здесь центральные конфигурации могут использоваться в качестве стартовых точек (начальных условий) для решения задачи п тел; 5) центральные конфигурации являются одной из нерешенных проблем предыдущего и настоящего столетий, суть которой состоит в вопросе -является ли число центральных конфигураций конечным для заданных п тел с массами щ,т2,...,тп. Эта задача была сформулирована А.Винтнером [40, 53] еще в 1941 г. и относительно недавно повторена С.Смейлом [38]; 6) каждая центральная конфигурация, описывающая неограниченную задачу п тел, порождает новую ограниченную задачу (п+\) тел, в которой к п телам конечной массы добавляется материальная точка, в результате чего возникает большое число новых модельных задач находящих применение в космодинамике; 7) ньютоновский закон притяжения между телами, обратно пропорциональный квадрату расстояния (&\1г ), который рассматривался в большинстве случаев, является не единственным законом, действующим в природе, поэтому представляют интерес исследования центральных конфигураций, в которых действуют силы разной природы («1/т Д 2), в том числе силы радиационные, электромагнитные и др.
Таким образом, появляется возможность генерировать огромное количество новых модельных задач небесной механики, звездной динамики и космодинамики, представляющих интерес для исследований и их приложений.
Приведем несколько понятий, использующихся при описании центральных конфигураций.
Стандартное определение по А.Винтнеру [40, 53]: гомографическим движением (решением) называется такое движение тел (объектов, частиц, образующих систему), при котором их начальная конфигурация сохраняется при всех значениях времени. К специальному типу томографических движений (решений) относится случай, когда тела (частицы), образующие конфигурацию, ведут себя как вращающееся твердое тело, т.е. расстояния между всеми телами (частицами) остаются постоянными таким образом, что вращение всех тел происходит при постоянном масштабе расстояния. Такие томографические решения также называются положениями относительного равновесия. Именно таким решениям и посвящена настоящая проблема.
Другой экстремальный случай относится к движениям (решениям), которые допускают изменение масштаба расстояния при сохранении конфигурации, но не допускают произвольного вращения тел. В такой конфигурации вращающиеся тела обязаны располагаться на прямой, проходящей через центр масс системы тел. Такие решения называются гомотетическими решениями.
Центральная квадратная конфигурация в задаче (4и+1)-тел при п = 2
В рассмотренных ранних и современных работах было доказано существование многочисленных плоских (и не только) центральных конфигураций в виде квадратов, ромбов, дельтоидов и их некоторых комбинаций в задаче четырех, пяти и более тел, как при отсутствии, так и при наличии центрального тела.
Основные уравнения движения (N + 1) тел в барицентрической системе координат могут быть найдены в монографиях А.Винтнера [53] и Г.Н.Дубошина[59]:
На базе этих уравнений в работах Б.Эльмабсута [4-6] и Е.А.Гребеникова [54-57] выписаны в общем виде необходимые и достаточные условия существования плоских центральных конфигураций, как простейших в виде изолированного многоугольника с телами в его вершинах, так и сложных -«гнездовидных» или «каскадных» в виде вложенных один в другой многоугольников с телами в их вершинах.
Условия записаны для шарового центрального тела MQ. Ниже будет показано, как эти условия изменяются в случаях несферических центральных тел.
В недавно вышедшей монографии Е.А.Гребеникова [54] систематизированы и описаны найденные за последнее десятилетие плоские центральные конфигурации в задаче многих тел, притягивающихся по закону Ньютона. Во всех этих центральных конфигурациях тела рассматриваются исключительно как шары (или материальные точки), тогда, как известно, и множество небесных тел (планеты, кометы, астероиды и т.п.) и множество звезд и звездных скоплений имеют форму, отличную от шаровой. Планеты земной группы имеют заметные полярные сжатия, и главное светило Солнечной системы - Солнце, также имеет сжатие. В этой связи вполне естественным выглядит задача нахождения центральных конфигураций с центральным телом, не имеющим шаровую форму.
Также недавно было впервые доказано С.Г.Журавлевым, Дж.Джунусбековым [62], что плоская центральная конфигурация 5-тел со сферическим центральным телом может быть обобщена на случай плоской центральной конфигурации 5-тел с трехосным эллипсоидом в центре. В этом случае квадратная (при четырех равных массах в вершинах квадрата) плоская центральная конфигурация со сферическим центральным телом, превращается в плоскую ромбовидную центральную конфигурацию.
Рассмотрим одну из простейших перечисленных центральных конфигураций, имеющую форму квадрата с равными массами - центральную конфигурацию (4+1) тел (М0 - шар) (рис. 12).
Известное общее выражение для квадрата угловой скорости вращения правильного и-угольника с равными между собой массами в его вершинах и произвольной массой MQ В центре описанной вокруг него окружности радиуса QQ имеет вид [54]
В работе [62] было доказано существование конфигурации (рис. 13) в случае трехосного эллипсоида в центре и с другими соотношениями масс и расстояний (длин диагоналей).
Технически доказательство существования соответствующей конфигурации может быть сведено к вычислению квадрата угловой скорости вращения конфигурации и соотношений и величин масс, при заданных геометрических параметрах конфигурации и, в нашем случае, параметров, характеризующих фигуру центрального тела конфигурации.
В рассматриваемой задаче (4+1) тел с шаровым телом в центре силовая функция воздействия конфигурации на материальную точку Р(х, у, z), например, имеет вид
А если на место шара с массой Мо в этой конфигурации поместить трехосный эллипсоид с полуосями а Ь с, то гравитационный потенциал воздействия такой конфигурации на материальную точку Р(х, у, z) уже будет иметь вид U(x,y,z) = f л Ax + LIV +VZ 1 + + . м/ --2 2 --2 Л 1 2 1 ;=1 , j=l Aj (2.8) где выражение в круглых скобках представляет собой первый и второй члены в разложении потенциала трехосного эллипсоида в ряд по малым величинам А, /л, v. Последние определяются соотношениями А = (а2 -R2)/mR2, ju = (b2 -R2)/mR2,v = (с2 -R2)/mR2, в которых R - радиус сферы (шара) равного с трехосным эллипсоидом объема и т - параметр, равный т = 10/3 для однородного эллипсоида. Величины Я, ju, v удовлетворяют равенству А + ju + v=0 и характеризуют малые отклонения формы трехосного эллипсоида от шарообразной (детали можно найти в работе Ю.В. Батракова [51]).
Предположим, что вращающаяся система координат Oxyz выбрана так, что начало О совпадает с центром масс эллипсоида, а оси Ох, Оу направлены по большой и малой полуосям его экваториального сечения и в гравитационном поле трехосного эллипсоида движутся тела Р-х с массами /иг / = 1,4. Не теряя общности можно считать, что главные центральные оси эллипсоида инерции трехосного эллипсоида совпадают с его геометрическими осями.
Далее, пусть диагонали квадрата совпадают с главными центральными осями инерции эллипсоида, расположенными в экваториальной плоскости эллипсоида, и вся система вращается с постоянной угловой скоростью со, которая теперь, равно как и массы ти і = 1, ..., 4, находятся из системы уравнений
Условия существования плоских классических и обобщенных центральных конфигураций в гелиоцентрической вращающейся системе координат
Технически доказательство существования соответствующей конфигурации может быть сведено к вычислению квадрата угловой скорости вращения конфигурации и соотношений и величин масс, при заданных геометрических параметрах конфигурации и, в нашем случае, параметров, характеризующих фигуру центрального тела конфигурации.
В рассматриваемой задаче (4+1) тел с шаровым телом в центре силовая функция воздействия конфигурации на материальную точку Р(х, у, z), например, имеет вид U(x,y,z) = f VA0 + /72 1 2 1 ГА :ҐД j J (2.6) где f- гравитационная постоянная, A0=ylx2+y2+z2 , Ak=J(x-xkY +(y-ykY +(z-zk)2 , к = 1,2 (2.7) А если на место шара с массой Мо в этой конфигурации поместить трехосный эллипсоид с полуосями а Ь с, то гравитационный потенциал воздействия такой конфигурации на материальную точку Р(х, у, z) уже будет иметь вид где выражение в круглых скобках представляет собой первый и второй члены в разложении потенциала трехосного эллипсоида в ряд по малым величинам А, /л, v. Последние определяются соотношениями А = (а2 -R2)/mR2, ju = (b2 -R2)/mR2,v = (с2 -R2)/mR2, в которых R - радиус сферы (шара) равного с трехосным эллипсоидом объема и т - параметр, равный т = 10/3 для однородного эллипсоида. Величины Я, ju, v удовлетворяют равенству А + ju + v=0 и характеризуют малые отклонения формы трехосного эллипсоида от шарообразной (детали можно найти в работе Ю.В. Батракова [51]).
Предположим, что вращающаяся система координат Oxyz выбрана так, что начало О совпадает с центром масс эллипсоида, а оси Ох, Оу направлены по большой и малой полуосям его экваториального сечения и в гравитационном поле трехосного эллипсоида движутся тела Р-х с массами /иг / = 1,4. Не теряя общности можно считать, что главные центральные оси эллипсоида инерции трехосного эллипсоида совпадают с его геометрическими осями.
Далее, пусть диагонали квадрата совпадают с главными центральными осями инерции эллипсоида, расположенными в экваториальной плоскости эллипсоида, и вся система вращается с постоянной угловой скоростью со, которая теперь, равно как и массы ти і = 1, ..., 4, находятся из системы уравнений в которых многоточие представляет члены более высокого порядка малости относительно малых величин Я, /л.
Таким образом, для сохранения центральной конфигурации в форме квадрата, в вершинах которого находятся четыре тела Р\, ..., РА, С массами должны выбираться из приведенных выражений (2.12) попарно равными (рис. 12). Приведенные соотношения для масс и квадрата угловой скорости вращения являются, по меньшей мере, достаточными условиями существования обсуждаемой конфигурации. 2.1.2. Центральная квадратная конфигурация в задаче (4я+1)-тел при я=2
Покажем, что рассмотренный подход позволяет получить обобщение центральных конфигураций типа «два квадрата», исследованных ранее с шаровым центральным телом, на случай трехосного центрального тела, подобно тому, как это было сделано выше.
Рассмотрим вначале геометрический вид обсуждаемых конфигураций, представленных на рис. 7. Ранее были выписаны необходимые и достаточные условия существования (2.2) для классических плоских центральных конфигураций с шаровым центральным телом.
При замене центрального тела Ро с массой М0 в форме шара, для которого и справедливы приведенные уравнения (2.1), на трехосный эллипсоид, например, слагаемые
Технически в этой задаче необходимо приравнять правые части уравнений вида (2.11), положить, например, MQ = 1 И, считая две массы заданными, найти оставшиеся две массы и затем угловую скорость со.
Рассмотрим конфигурацию, приведенную ранее на рис. 11 («с тремя кольцами»), при значении масс входящих в нее тел: М0 - масса центрального шарового тела, далее т1 = т2 = т3 = т4 = fnl и т5 =т6=т7 =т%=т2 и т9 =тю=ти= ти =т3 и а, Р - геометрические параметры конфигурации. Для квадратов угловых скоростей запишем «компактные» выражения Подобно квадратной плоской центральной конфигурации, ромбовидная плоская центральная конфигурация также может быть обобщена на случай плоской центральной конфигурации 5-тел с трехосным эллипсоидом в центре [62]. В этом случае эта конфигурация, имеющая две попарно равные массы на концах диагоналей ромба и сферическое центральное тело, превращается в плоскую ромбовидную центральную конфигурацию с измененными расстояниями до тел, которые имели место с шаровым центральным телом.
Анализ линейной устойчивости плоских центральных конфигураций, существующих в гелиоцентрической системе координат
В большинстве задач, связанных с доказательством существования плоских центральных конфигураций, последние, как правило, рассматриваются в барицентрических системах координат. Со времен Эйлера, Лагранжа, Лиувилля и Лапласа обнаружено множество конфигураций такого типа (см. А.Винтнер [40, 53], Y.Hagihara [10]). Многие такие конфигурации также приведены в работах Б. Эльмабсута [4-6] и монографиях Е.А. Гребеникова [54, 57].
Однако в таких системах координат не удавалось найти центральные конфигурации даже в некоторых чрезвычайно простых геометрических структурах, таких как дельтовидная или трапецеидальная, что отмечено в работе [57]. Тем не менее, на возможность существования таких конфигураций указывалось в работах классиков О. Dziobek [3], Н. Andoyer [1] и W.R. Longley [24], причем в работе О.Dziobek приведен конкретный числовой пример дельтовидной конфигурации, а в работах Н. Andoyer и W.R.Longley выписаны аналитические условия существования конфигураций этого типа, связывающие их геометрические и динамические характеристики. Оказалось, что для существования плоских центральных конфигураций дельтовидной и трапецеидальной форм с центральным телом или без него необходимо, во-первых, чтобы диагонали фигуры были взаимно перпендикулярны, а, во-вторых, движение всех тел необходимо рассматривать в относительной вращающейся гелиоцентрической системе координат, начало которой расположено на пересечении диагоналей [61], а не в центре масс конфигурации, как это имело место в квадратных или ромбовидных конфигурациях. Примечательно, что в нескольких работах рассматривались вопросы существования и устойчивости отдельных центральных конфигураций в ньютоновой задаче четырех тел, в том числе и дельтовидных центральных конфигураций. Однако ни в одной из них не указывалось, что центральные конфигурации в форме дельтоида существуют лишь в гелиоцентрической системе координат, которая фактически и использовалась в работах.
Все это со всей очевидностью указывает на необходимость использовать для получения условий существования плоских центральных конфигураций упомянутого типа (дельтовидных, трапецеидальных) вывода новых систем уравнений в относительных вращающихся гелиоцентрических системах координат.
Рассмотрим движение MQ, М\, ... , Мп тел (материальных точек), взаимно притягивающихся по закону Ньютона. Поместим начало системы координат в одну из точек, например, М0(х0, уо, ZQ) причем не обязательно большую по массе. В небесной механике такие системы координат принято называть по имени планеты, в центр которой переносится начало новой системы координат. Известны и используются гелиоцентрическая, геоцентрическая, селеноцентрическая и другие системы координат.
Запишем уравнения движения п материальных точек в относительной правой системе координат Moxyz с началом в точке M0(x0j .уо, z0), т.е. в рамках задачи (п + 1)-тел [58]
Именно система уравнений (3.7) и ее упрощенный вид представляет собой необходимые и достаточные условия существования плоских центральных конфигураций, являющихся по существу положениями относительного равновесия системы или ее стационарными решениями.
Если использовать обозначение координат, как это принято в работах [4] и [54] а именно положить q = (хк, Ук) - координаты тела А4, к = 1, ..., п, тогда соотношения (3.5) примут вид ] к Теперь рассмотрим, как изменятся условия существования центральных конфигураций, если в их центре будет находиться эллипсоид вращения или трехосный эллипсоид. В этих случаях в системах уравнений (3.3)-(3.4) и других слагаемые, содержащие множитель М0, т.е. М0х./г. 5 М0_у./г. 5 M0z./г. 5 должны быть заменены на другие с учетом формы центрального тела. Для сжатого эллипсоида вращения имеет место известное разложение потенциала (силовой функции) по полиномам Лежандра [59] обозначают слагаемые более высокого порядка малости по степеням vc/r. Воспользуемся приближенным выражением U(x,y,z) =
Тогда вместо необходимых и достаточных условий существования (3.7) (для шарового центрального тела) в плоском случае движения с эллипсоидом вращения в центре получим где Я, ju, v - малые величины, характеризующие отклонения трехосного эллипсоида от некоторой сферы сравнения, равного с ним объема и средней плотности (детали см. в главе 2); а, /3, с - полуоси трехосного эллипсоида, R -радиус сферы сравнения, т - некоторый параметр, зависящий от плотности эллипсоида и равный т = 10/3 для однородного эллипсоида. Частные производные имеют вид dU _ М0х соответственно. Тогда необходимые и достаточные условия существования плоской обобщенной центральной конфигурации (гравитационная постоянная f принята равной единице) (3.7) примут вид
Перейдем к доказательству существования как классических (только шаровые тела), так и обобщенных (несферические центральные тела) дельтовидных и трапецеидальных центральных конфигураций. 3.2.1. Классические дельтовидные центральные конфигурации