Содержание к диссертации
Введение
Некоторые вопросы неголономной механики
1. Несвободное движение материальной точки
2. Касательное пространство. Векторное уравнение движения механической системы общего вида
3. Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два ортогональных подпространства. Идеальность связей
Применение методов неголономной механики со связями высокого порядка для решения одной из центральных задач теории управления
- Несвободное движение материальной точки
- Касательное пространство. Векторное уравнение движения механической системы общего вида
- Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два ортогональных подпространства. Идеальность связей
Введение к работе
Актуальность работы и ее цель. Предлагаемая работа посвящена созданию теории расчета гашения колебаний механических систем путем нахождения оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированное время из одного фазового состояния в другое. Особенность работы состоит в том, что для решения этой важнейшей задачи теории управления используется аппарат теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. В результате удается получить выражение управляющей силы в виде полинома от времени, благодаря чему получается более плавное движение системы, чем движение, полученное на основе классических методов теории управления. Помимо этого, удается построить управление, не имеющее скачков в начале и в конце движения, что обычно наблюдалось при использовании методов теории управления. Подобные исследования в области теории управления, использующие аппарат неголономной механики со связями высокого порядка, можно считать вполне актуальными и заслуживающими внимания.
Научная новизна. Тем самым в диссертации устанавливается взаимосвязь двух важнейших и разнородных областей механики — теории неголономных систем и теории управления, что является само по себе достаточно новым. Для создания законченной математической модели гашения колебаний механических систем с помощью применения методов неголономной механики со связями высокого порядка требовалось изложение основ этой научной дисциплины. В работе дается методическая разработка основных положений теории движения неголономных систем со связями высокого порядка в свете подхода к этому вопросу, изложенного в монографии С.А.Зегжды, Ш.Х. Солтаханова, М.П.Юшкова "Неголономная механика. Теория и приложения"(М.: Наука. 2009. 344 с). При этом большое внимание уделяется вопросам изложения и применения обобщенного принципа Гаусса, свойственного этой теории.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением к решению поставленной задачи классических методов аналитической механики, в первую очередь, теории движения неголономных систем со связями высокого порядка, теории математического анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии. Результаты, относящиеся к решению конкретных задач, согласуются с выводами других авторов.
Теоретическое и практическое значение. Сформулировано окончательное изложение использования теории движения неголономных систем со связями высокого порядка применительно к одной из важнейших задач теории управления о нахождении оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему за фиксированный промежуток времени из заданного начального фазового состояния системы в заданное конечное фазовое состояние системы. Центральным здесь является применение обобщенного принципа Гаусса, позволяющего найти управление в виде полинома от времени. В результате этого получается более плавное движение системы, чем при решении этой же задачи классическими методами теории управления. Помимо этого, предложенная теория позволяет найти управляющую силу без скачков в начале и в конце движения, которые свойственны решениям, полученным при использовании стандартных методов теории управления.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на междуна-3
родных научных конференциях "Шестые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2012г.), "Седьмые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург, 2015г.), "XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики" (Казань, 2015г.), "12. Magdeburger Maschinenbau-Tage" (Магдебург, 2015г.), XIII международная конференция "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (Конференция Пятницкого)" (Москва, 2016г.), на заседании секции теоретической механики им. Н.Н. Поляхова Санкт-Петербургского Дома ученых РАН (Санкт-Петербург, 2015 г.), на заседании кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2016 г.).
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 научных работах автора, из которых 3 опубликованы в журнале, рекомендованном ВАК’ом (одна из них находится в печати).
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из краткой характеристики работы, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Число рисунков равно 34. Общий объем работы составляет 115 страниц.
Несвободное движение материальной точки
Заметный резонанс вызвала в свое время, особенно в западной литературе, статья Кейна [117]. На основании этой методики было решено большое количество практических задач. М.Лессер дает геометрическую иллюстрацию этих уравнений [121], позже была показана прямая связь уравнений Кейна с уравнениями Аппеля и Маджи [98], [121], [134].
Большое внимание исследователи уделяли и развитию вариационных принципов неголо-номной механики. Принцип, опирающийся на понятие возможных скоростей, в 1908-1909гг. предложил Ф.Журден [114]. Но почти на десять лет ранее, пользуясь другой терминологией, его сформулировал в своем учебнике и Г.К. Суслов [72], [55]. Интересно, что другие ученые пытались применить для неголономных систем принцип Даламбера–Лагранжа, строго справедливый лишь для голономных систем. Для этого надо было распространить поня-5 тие возможного перемещения на неголономные системы. Вот, что пишет по этому поводу В.И. Киргетов [33], 1959 г., с.666: "Понятие "возможного перемещения" системы, без сомнения, является основным в аналитической механике. Это не просто одно из понятий аналитической механики, но понятие, на котором построено все здание аналитической механики, понятие, полностью обусловливающее характер аналитической механики, степень ее общности, границы ее приложения. Аналитическая механика распространяется только на те материальные системы, для которых установлено понятие "возможного перемещения" системы или, другими словами, указано определение "возможных перемещений" системы." Одним из первых это для случая нелинейных неголономных связей блестяще сделал Н.Г. Четаев [81], с. 68, который стремился "...ввести для нелинейных связей понятие возможного перемещения так, чтобы одновременно сохранить и принцип Даламбера, и принцип Гаусса ...". Для этого он постулятивно подчинил возможные перемещения неголономной системы условиям, которые, как оказалось, совпадают с условиями, накладываемыми нелинейными неголономными связями на возможные скорости. Связи, для которых выполняются указанные условия на возможные перемещения, получили название связей типа Четаева. Надо отметить, что этот тонкий вопрос неголономной механики параллельно обсуждался многими учеными, поэтому Дж.Папаставридис [130] называет этот постулат определением Маурера–Аппеля–Четаева– Гамеля. Принцип Даламбера–Лагранжа, распространенный для неголономных систем в случае наложения связей типа Четаева, получил название обобщенного принципа Даламбера– Лагранжа. Исследовались и другие принципы механики [48], [63]. Полезно отметить, что основные вопросы неголономной механики подробно и часто приоритетно обсуждались в работах норвежского ученого Л.Юнсена [113].
Одновременное применение в неголономной механике принципа Суслова–Журдена и обобщенного принципа Даламбера–Лагранжа потребовало выяснения взаимосвязи этих принципов. В Советском Союзе яркими представителями первой точки зрения был Н.Н. Поляхов [53], а второй — В.В. Румянцев [62]. Н.Н. Поляхов считал, что принципы Суслова-Журдена и Гаусса формулируются независимо от принципа Даламбера–Лагранжа, причем с точки зрения иерархии этих принципов каждый предыдущий являлся следствием последующего. В отличие от этого В.В.Румянцев утверждал, что принципы Суслова-Журдена и Гаусса являются следствием принципа Даламбера–Лагранжа. Интересно, что в своих работах Н.Н.Поляхов впервые, опираясь на бесконечно-малый промежуток времени по Гауссу, приводит возможную трактовку возможного перемещения при нелинейных него-лономных связях как перемещение за этот промежуток времени при постоянной возможной скорости, а при наличии линейных неголономных связей второго порядка — при постоянном возможном ускорении. Но при этом он подчеркивает, что введенные подобные возможные перемещения являются условными и не имеют ничего общего с возможными перемещениями, введенными Лагранжем. Как показано в работе [46], оба подхода оказались справедливыми, в определенном смысле эквивалентными и плодотворными, при этом удачно дополняющими друг друга. Очень важным в работах Н.Н.Поляхова [53] было введение обобщенного оператора Гамильтона, формируемого своими ковариантными компонентами как частные производные от уравнений связей по обобщенным скоростям. Частным случаем его при наложении голоном-ных связей оказался классический оператор Гамильтона. С помощью этого нового оператора формируется реакция идеальной нелинейной неголономной связи. Существенно, что он имеет конкретное векторное представление, вычисляемое в данный момент в данном положении системы при имеющихся обобщенных скоростях. Очевидно, что в случае неголономных связей он не имеет ничего общего с классическим оператором Гамильтона (оператором набла), поэтому понятно, в чем скрывалась ошибка Е.Линделёфа и других.
В работе [54], 1981г. было показано, что ускорение системы уравнениями нелинейных неголономных связей разбивается на две ортогональных составляющих, одна из которых полностью задается идеальными связями. Через два года это было повторено в учебнике для университетов [58], 1985г. Опираясь на этот результат, авторам впервые удалось найти выражения для множителей Лагранжа в виде функций времени и обобщенных координат и скоростей (Отметим, что аналогичный результат при наложении голономных связей в начале двадцатого века был получен так же представителями Петербургского университета А.М.Ляпуновым и Г.К.Сусловым). Примерно через десять лет аналогичные результаты, опираясь в основном на матричное исчисление, были получены в статьях [9], [96], [98], [100], [103], [138], [140]. В этих работах были выведены уравнения, позволявшие находить движение и реакции голономных и неголономных связей для системы сочлененных тел. Разработанный здесь проективный метод является фактически своеобразной формой уравнений Маджи и оказывается приспособленным для использования компьютеров.
Определенные трудности вызывало исследование устойчивости неголономных систем. Одна из первых работ, правильно объяснявшая влияние неголономности на устойчивость механической системы, принадлежала О. Боттема [99]. В дальнейшем этими сложными вопросами занимались такие известные ученые, как М.А.Айзерман, В.И.Калёнова, В.М.Морозов, А.В. Карапетян, В.В. Козлов, В.В. Румянцев, В.Н., Тхай и другие [92], [30], [31], [34], [61], [74].
Касательное пространство. Векторное уравнение движения механической системы общего вида
Векторное уравнение движения свободной механической системы общего вида. Пусть движение свободной механической системы описывается в системе криволинейных координат q = (q1, ... , qs). Ее движение характеризуют уравнения Лагранжа второго рода ddT_dT = a = Y s_ (2.1) dtdqa dqa Здесь Т — кинетическая энергия, а Qa — обобщенная сила, соответствующая координате qa. В общем случае кинетическая энергия имеет вид (см. [58]) т = Т + т« + г , где T = fg V, T = Mgaaf, T() = fg00, a, T = M , a = ( s, q = t, q = 1. Здесь M — масса всей системы и для удобства записи наряду с обычными криволинейными координатами qa, а = 1, s, введена дополнительная условная координата q, под которой подразумевается время t.
Обсудим, каким образом систему скалярных уравнений (2.1) можно записать в виде векторного уравнения, характеризующего движение рассматриваемой механической системы общего вида в касательном пространстве. Перейдем к обсуждению понятия касательного пространства.
Введем в рассмотрение дифференцируемое абстрактное многообразие всех положений механической системы, которые она может иметь в данный момент времени t. Зафиксируем некоторую точку qa, а = этого многообразия. Наряду с изучением движения механи ческой системы в системе координат q = (ql,... ,qs) будем изучать ее движение и в системе координат q = (ql,... , ql). В этой новой системе координат уравнения Лагранжа будут иметь вид d дТ дТ М , .а ,в dtd% дя ч 2 g«/ (22) Пусть координаты этих двух систем связаны прямым и обратным преобразованиями и —— (t,q), qa = qa(t,Q ), p,a=l,s. (2.3) Конечные преобразования (2.3) можно переписать в дифференциальной форме (время t считается параметром) 5qa , 5qa = д д aqa oq K = ;Sqa, $qa = K, p,a=l,s. (2.4) Важно, что если величины 5q% и 5qa связаны между собой соотношениями (2.4), то их можно рассматривать как контравариантные компоненты некоторого вектора 5у [17], а все множество этих векторов у = Stfet, = 5q le p (2.5) образует касательное пространство к введенному выше дифференцируемому многообразию в выделенной точке q = (ql, ...,qs) (или q, = (ql, ... , )) [17].
Этот вектор можно рассматривать как вектор возможного перемещения системы. Опираясь на инвариантность положительно определенной квадратичной формы, равной квадрату длины введенного вектора (2.5) (у)2 = gaJqa$qT = g a r K qT , можно в касательном пространстве ввести евклидову структуру, задаваемую при использовании первой системы координат матрицей (g), а при второй — матрицей (g). Элементы этих матриц задаются коэффициентами положительно определенных квадратичных форм соответственно. Задание этих матриц позволяет вычислять скалярное произведение любых двух векторов а = ааеа = afe a Ъ = Ьтет = Ь?е . , пользуясь формулой а b = gaTaabT = g a Tt aa bT\ a, r, a , r = M Таким образом, опираясь на выражение кинетической энергии и на инвариантность длины вектора возможного перемещения системы, нам удалось построить касательное пространство с основным метрическим тензором (gcrr) (или (g r )) и с основным базисом {еі, ... ,es} (или {е ,
Перейдем теперь к использованию еще одного инварианта относительно выбора системы координат — к величине возможной элементарной работы.
Пусть на рассматриваемую механическую систему в точках с декартовыми координатами Х\, Х2, Хз, х±, Хь, XQ, XJ, х$, Хд и т.д. действуют силы с проекциями Х\, Х2, Х3, Х4, Х5, Хб, X-j, Xg, Хд и т. д. Тогда элементарную работу можно представить в виде (/і учитывает все координаты точек приложения всех сил) 6 А = Х х . В то же время элементарную работу можно записать в виде 5 А = QJqa = Q p8 . (2.6) В результате, учитывая взаимосвязь между вариациями координат, можно записать цепочку равенств 5А = xj 6qa = Х Ръ bqi = Qa -в 5 = Ql - 5qa . (2.7) dqa м dq dq% pdqa Сравнивая записи (2.6) и (2.7), получаем формулы пересчета обобщенных сил при переходе от одной криволинейной системы координат к другой: РЩЪ Q=WQ r Q o = pQ r Qv = Q P, T,P=1,S. (2.8) Но формулы (2.8) соответствуют пересчету ковариантных компонент вектора [17], поэтому можно говорить о ковариантном векторе Y с этими компонентами Y = Qaep = Q pe? . Таким образом, в касательном пространстве вводятся и взаимные базисы {е1, ... ,es} и {е , ... ,e l}. Поэтому элементарную работу можно записать в виде 6A =Y 6у. Теперь при описании движения в системе координат q = (ql,...,qs) уравнения движения (2.1) можно представить в касательном пространстве одним векторным уравнением MW = Y, (2.9) где в касательном пространстве вводится понятие вектора ускорения механической системы общего типа w = т, {iw - Эе = (g-«т + г""3 г /) е = г + Ъ? ) (210) Здесь Г(г ар и Г являются символами Кристоффеля первого и второго рода и аналогичными им величинами в случае движения нестационарной системы. Если изучается движение в системе координат д = (QI, ,Q l), описываемое дифференциальными уравнениями (2.2), то им сопоставляется то же векторное уравнение (2.9), но теперь в формулах (2.10) появятся ”звездочки”, то есть, например, вместо gaT будут стоять Векторное уравнение движения несвободной системы общего вида. Если на движение системы наложены связи, то, как и при изучении движения одной точки, рассмотренного в 1, вместо уравнения (2.9) будем иметь векторное уравнение MW = Y + R, (2.11) где R является вектором касательного пространства, который характеризует влияние наложенных связей. Исследованию структуры этого вектора посвящен следующий параграф.
Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два ортогональных подпространства. Идеальность связей
Формула (6.2) показывает, что вектор реакции идеальных голономных связей может быть разложен по векторам е1+я = V /0 , я = Т/к, базиса Х-пространства (при голономных связях это пространство можно назвать "подпространством реакций"). Уравнениями голономных связей в касательном пространстве задается /-мерная поверхность V(t,q), на которой должна в данный момент времени t находиться точка, соответствующая положению системы. Криволинейной системе координат q = (ql, q{) соответствует базис е , ... , е , расположенный в плоскости T(q,V), касательной к поверхности V(t,q). В этой плоскости лежат векторы 5у возможных перемещений системы (при голономных связях это пространство можно назвать "подпространством возможных перемещений"). Таким образом, принцип Даламбера-Лагранжа в форме (6.1) утверждает, что для идеальных голономных связей подпространство реакций (Х-пространство) ортогонально подпространству возможных перемещений (L-пространству).
Приведенные рассуждения поясняются на примере движения одной материальной точки. В данный момент t она находится на поверхности, задаваемой уравнением голономной связи $(г,уъу2,уз) = 0, в точке М, имеющей радиус-вектор у. На рис. I.6.1 изображена касательная плоскость, проведенная к этой поверхности в точке М (сама поверхность на рисунке не указана, она является аналогом двумерной поверхности V(t,q), а касательная плоскость соответствует плоскости T(q,V)). В нашем примере декартовые координанаты точки у = (уі,уї,уз) играют роль исходной криволинейной системы координат q = (q1, q2, q3). Так как декартовая система координат ортонормированная с ортами ia, о = 1, 3, то имеем еа = еа = іа, о = ЇД Переходя от исходной системы координат q = (ql,q2,q3) к новой криволинейной системе координат q = (ql,q2,ql) по формулам І q$(t,q), А =1,2, ql = fo(t,y1,y2,ya), (6.3) где функции q (t,q) задаются исследователем, получим разбиение имеющегося трехмерного пространства на прямую сумму одномерного Х-пространства с вектором е и двумерного L-пространства с основным базисом {е ,е }. Последние два вектора зависят от выбора исследователем функций q (t, q), А = 1, 2, и определяются из обратного к (6.3) преобразования qa = qa(t,Q ), т = Т73, по формулам t dqa Л Єл = тг е Л =1,2, а =1,3. Эти векторы лежат в плоскости, касательной к поверхности /о(,Уі,У2,2/з) = О в точке М, и на рис. I.6.1 не изображены. Согласно рис. I.6.1 материальная точка, находясь в положении М, может, не нарушая связи, получить возможное перемещение 5у и переместиться в положение М, характеризуемое радиусом-вектором у. Ортогональность подпространств К и L из рисунка очевидна. Принцип Суслова-Журдена. Так как MW = Y + R, то принцип Суслова-Журдена (5.25), справедливый при задании идеальных неголономных связей (4.13), можно переписать в виде R 8 V = 0 . (6.4) С другой стороны, из формулы (5.28) при учете выражения (5.20) имеем Л„У7Г- ГУ = 0. (6.5) Из сравнения формул (6.4) и (6.5) получаем, что при идеальных неголономных связях их реакция имеет вид К = Л„У /Г- (6.6) Уравнениями связей s-мерное касательное пространство разбивается на прямую сумму двух подпространств К и L размерностей киї. Эти пространства имеют базисы {є1+1, ... , є8} и {є\, ... ,є{\. Формула (6.5) показывает, что реакция идеальных неголономных связей находится в Х-пространстве.
Уравнениям связей (4.13) в пространстве скоростей соответствует /-мерная поверхность V(t, q, q), для которой t и q являются заданными параметрами. В зависимости от действующих сил и начальных условий при рассматриваемых t и q система может иметь различные скорости V, но концы этих векторов для выполнения связей (4.13) должны находиться на поверхности V(t,q,q). Обозначим точку, соответствующую имеющемуся вектору V, через М. Проведем в этой точке плоскость T(t,q,q), касательную к поверхности V(t,q,q). В этой плоскости расположены базисные векторы {є\, ... , Єї}. По ним согласно формуле (5.20) разлагается вектор вариации скорости. При этом принцип (5.10) утверждает равенство нулю скалярного произведения сил (MW — Y ) на вариацию скорости 8 Y, а утверждение (6.4) Рис. I.6.2. Скорости точки при наличии неголономной связи показывает ортогональность реакции R = Ая V /Г идеальных неголономных связей (4.13) к этой вариации скорости. дает геометрическую иллюстрацию сказанному на примере движения одной материальной точки при наличии одной идеальной неголономной связи fl(t,q,q) = 0. Как и в предыдущем пункте, роль исходной криволинейной системы координат q = {ql,q2,q:i) играет декартовая система Оу\у2Уз. В данный момент времени t точка, находясь в положении {ч11 Я2-, Q3) = (Уъ?/2, Уз), имеет скорость, вектор которой V оканчивается в точке М, находящейся на поверхности, задаваемой в пространстве скоростей ОухуъУъ уравнением неголономной связи f\ = 0 (эта поверхность, обозначенная выше как V(t, q, q), на рис. I.6.2 не указана; t и q считаются фиксированными параметрами). На рисунке изображена плоскость, являющаяся касательной плоскостью к рассматриваемой поверхности в точке М. В общем случае она обозначалась как T(t,q,q). В этой плоскости лежат векторы Є\, є2 (на рисунке они не указаны) основного базиса L-пространства, по которым согласно формуле (5.13) разлагается вектор вариации скорости 5 Y. Перпендикулярно к этой плоскости нарисован вектор Є3 = V /i, являющийся вектором взаимного базиса Х-пространства, вдоль этого вектора направлена реакция идеальной неголономной связи. Поэтому очевидна ортогональность пространств К и L, и, тем самым, наглядным становится выражение принципа Суслова-Журдена, записанного в виде (6.4).
Составляющая скорости VK задается выражением неголономной связи fl(t, q, q) = 0 и по модулю равна расстоянию от начала координат до касательной плоскости. Она не участвует в вариировании, поэтому возможная скорость V является суммой V+ V и равна вектору ОМ, удовлетворяющему с точностью до малых выше первого уравнению неголономной связи.
Если конфигурацию векторов перенести в конец вектора у, то наглядным становится определение Четаева для "возможного перемещения" неголономной системы, когда принимается, что 5qa = To5 qa, где То является бесконечно-малым промежутком времени, введенным Гауссом.
Принцип Гаусса. Похожим образом обсуждается и геометрическая интерпретация прин ципа Гаусса. Теперь уравнения линейных неголономных связей второго порядка (4.22) разбивают касательное пространство на два ортогональных подпространства К и L с базисами {є1+1, ... ,6s} и {Єї, ... ,Єі}. Сами связи в пространстве ускорений задают /-мерную плоскость T(t, q, q, q), для которой t, q и q являются заданными параметрами. На этой плоскости должны находиться концы векторов ускорения W механической системы. В ней же находятся векторы Є\, А = 1,1, по которым согласно формуле (5.35) раскладывается вектор вариации ускорения #"W. Из формул (5.37) и (5.38) легко получить, что реакция идеальных неголономных связей второго порядка равна R = Ая V"/ = Аяє1+Я, то есть принадлежит пространству К.