Введение к работе
Актуальность работы. Как известно, многие из представляющих практический интерес динамических систем не могут быть удовлетворительно описаны в рамках строго детерминированных моделей. Системы часто подвержены влиянию различных неопределенных факторов: внешним возмущающим силам, неконтролируемым вариациям параметров, погрешностям в определении начальных условий. Внешне другое, но математически аналогичное положение вещей возникает при определении возможностей управления детерминированной системой. Роль неопределенного фактора здесь играет управление, и представляется важным определить множество возможных движений системы при заданных ограничениях на управление. Эти проблемы могут быть сведены к оцениванию возможных фазовых состояний динамических систем. Во всех случаях ключевым является моделирование реального недетерминированного процесса некоторым математическим методом.
Основными подходами к описанию неопределенных величин являются вероятностный и гарантированный. Вероятностный (стохастический) подход сопоставляет каждому неопределенному вектору некоторое распределение вероятностей с заданной плотностью. Соответствующим этому подходу математическим аппаратом является теория случайных процессов. Отметим, что вероятностный подход требует знания статистических характеристик исходных неопределенных факторов, что далеко не всегда доступно на практике. Кроме того, неопределенные факторы могут носить характер направленного противодействия.
Гарантированный (минимаксный) подход оперирует с множествами, в которых лежат неопределенные векторы. При этом предполага-
ется, что неизвестные помехи локализованы в известных множествах, а в остальном произвольны. При гарантированном подходе требуется осуществлять сложные операции с множествами, что приводит к катастрофическому росту необходимых вычислительных ресурсов с ростом размерности. Поэтому целесообразно применять оценки множеств, фигурирующих в данном подходе. В частности, такие оценки предоставляет метод эллипсоидов, развитый в [2], [7]. В диссертации используются глобально оптимальные эллипсоидальные оценки, предложенные
в [6], [1].
Во многих практических задачах с неопределенными параметрами возникает проблема управления всей совокупностью возможных реализаций, т. е. требуется управлять всем ансамблем траекторий. Задача управления ансамблем траекторий при гарантированном подходе к описанию неопределенности рассматривается в данной диссертации. Другой важной проблемой, исследуемой в работе, является задача фильтрации (обработки данных наблюдений) для динамической системы при ограниченных погрешностях измерений.
Актуальность исследуемых задач обусловлена тем, что гарантированный подход обладает рядом важных достоинств, и его развитие позволит применить построенные алгоритмы к проблемам управления и наблюдения для летательных аппаратов, роботов и других динамических объектов.
Цель работы. Постановка, исследование частных случаев и конкретных примеров задачи управления ансамблем траекторий с помощью гарантированных эллипсоидальных оценок сверху множеств достижимости динамических систем при наличии зависимости от ограниченного неопределенного параметра; численное исследование возможности гарантированного различения движений таких систем в задаче гарантированной фильтрации методом эллипсоидов.
Методы исследования. В диссертации использовались методы
теории оптимального управления, теории возмущений и компьютерное моделирование.
Научная новизна. Использованы эллипсоидальные оценки для постановки задачи оптимального управления ансамблем траекторий. Рассмотрен случай неточной реализации управления, решена модельная задача. Указан способ построения приближенного управления ансамблем траекторий при наличии слабой зависимости матрицы системы от управления, приведен пример. Численно показана возможность гарантированного разделения движений при фильтрации методом эллипсоидов данных наблюдений за механическими системами при наличии ограниченной недетерминированной помехи в канале данных и воздействия такого же типа в наблюдаемой системе.
Практическая ценность работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при постановке и решении задач управления ансамблями динамических систем с целью уменьшения меры множеств достижимости в конечный момент времени за счет выбора управления при любой реализации помехи. Созданное программное обеспечение может применяться при гарантированной фильтрации данных наблюдений за механическими системами, а также для дальнейшего исследования и развития самого метода эллипсоидальной фильтрации.
Достоверность полученных результатов. Полученные результаты основываются на корректности постановок исследуемых задач, строгом использовании математических методов, наглядности решений модельных задач, а также на сравнении результатов компьютерного моделирования с теоретическими выводами.
Публикации. Имеется 4 публикации [3, 4, 5, 8].
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на V Всероссийской школе-семинаре "Математические методы навигации и управления движущимися объектами" (Таруса, сентябрь
1994 г.), на семинаре ИПМех РАН "Теория управления и динамика систем" (руководитель семинара — академик Ф. Л. Черноусько), на научной конференции МФТИ (1991 г.),
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит 74 страницы машинописного текста, 14 иллюстраций.