Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Этапы становления и развития теории построения множества управляемых систем по заданным программным связям 22
1.1. Постановка первоочередных задач и разработка некоторых фундаментальных методов их решения 23
1.2. Построение семейства функций Ляпунова путём введения квазискоростей взамен традиционных обобщённых скоростей и его применения . 42
1.3. Разработка методов разрывного управления для безударной стабилизации программных связей в условиях неопределённости и их приложения к решению прикладных задач 45
Глава 2. Приложения методов безударной стабилизации программных связей к решению прикладных задач управления механическими системами .48
1.1. Посадка тела на подвижную платформу без удара 48
1.2. Управление безударной стыковкой двух подвижных объектов 57
1.3. Управление процессом безударной стыковки множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени 65
1.4. Управление процессом безударного захвата непредсказуемо
движущегося объекта мобильным манипуляционным роботом 73
Глава 3. Безударная стабилизация программного движения обобщённо-механических систем 90
3.1. Метод решения задачи 90
3.2. Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики производственного предприятия в состояние эталонной модели развитой экономики 91
Литература .
- Построение семейства функций Ляпунова путём введения квазискоростей взамен традиционных обобщённых скоростей и его применения .
- Разработка методов разрывного управления для безударной стабилизации программных связей в условиях неопределённости и их приложения к решению прикладных задач
- Управление процессом безударной стыковки множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени
- Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики производственного предприятия в состояние эталонной модели развитой экономики
Построение семейства функций Ляпунова путём введения квазискоростей взамен традиционных обобщённых скоростей и его применения .
Для движения системы по заданной программе необходимо, чтобы условия (0.3) в начальный момент времени точно выполнялись. Однако это условие не всегда соблюдается. Поэтому при построении программного движения следует иметь в виду ещё и требование устойчивости программы.
Этому вопросу посвящены последующие работы [77, 78, 92, 93, 96], в которых предлагаются методы, позволяющие выделить из всего множества дифференциальных уравнений, построенных выше, такие, для которых программное многообразие обладает свойством устойчивости. Для этого вводятся определения устойчивости, равномерной устойчивости, асимптотической и абсолютной устойчивости программного многообразия по отношению к некоторым заданным функциям. Показано, что эти понятия являются естественным обобщением понятия устойчивости невозмущённого движения путём распространения известного понятия устойчивости по отношению к заданным функциям, сформулированного А.М. Ляпуновым, на случай, когда невозмущённым состоянием системы является программное многообразие.
Приведём некоторые из этих определений [93]. Для этого вводится -мерная непрерывная вектор-функция Q(x,t), которая при х Є H(t) тождественно обращается в нуль или, в общем случае, принимает вполне определённые значения, которые представимы в виде -мерной вектор-функции q(t). Здесь под fl(t) понимается (п - 5)-мерное программное многообразие (0.3) построенной системы x = f(x,t). (1.1.4)
В пространстве состояний системы (1.1.4) выделяется область G(H): \\Y(x,t)\\ Н (Н = const оо), где \\Y\\ - евклидова норма вектора Y = Q — q. Определение 1. Многообразие fl(t) называется устойчивым по отношению к вектор-функции Q(x,t), если для любого 0 можно указать такое S(t0, є) 0, что при (x0,t0) S выполняется условие Г(ХД) при всех t t0. Если наряду с выполнением условий Определения 1 имеет место limt Jr(x,t) =0, (1.1.5) то H(t) называется асимптотически устойчивым по отношению к вектор-функции Q(x,t). Вводятся также понятия равномерной и равномерно асимптотической устойчивости многообразия fl(t). Определение 2. Многообразие fl(t) называется асимптотически устойчивым в целом, если условие (1.1.5) выполняется при любых Г(х0, t0) , как бы велики они не были. Заметим, что если уравнение (1.1.4) является уравнением возмущённого движения в смысле А.М. Ляпунова, то, выбирая за Qt координаты xt (і = 1,2, ...,к; к гі), приходим к известной задаче об устойчивости по части переменных в смысле В.В. Румянцева [146].
Для установления условий устойчивости многообразия fl(t) предлагается метод векторных функций V(y,x, t), аналогичных векторным функциям А.М. Ляпунова. Доказаны теоремы об устойчивости, равномерной устойчивости и о неустойчивости программного многообразия по отношению к заданным функциям.
Приведём некоторые из этих теорем. Для этого необходимо привести несколько определений. Рассмотрим некоторую определённую, непрерывную и непрерывно дифференцируемую при всех t t0 и xEG(H) /-мерную вектор-функцию V(y, х, t), удовлетворяющую условию К(0, X, t) = 0.
Определение 3. Вектор-функция V(y,x,t) с неотрицательными компонентами называется знакоопределённой положительной, если существует функция а(г), обладающая свойством (Р), которая при всех t t0, х Є G(H) удовлетворяет условию \\V(y,x,t)\\ а(у).
В этом определении под функцией а(г), обладающей свойством (Р), понимается непрерывная скалярная строго возрастающая функция, для которой имеет место а(0) = 0.
Определение 4. Вектор-функция V(y,x,t) называется функцией, допускающей бесконечно малый высший предел по у, если существует функция Ь(г), обладающая свойством (Р), которая при всех t t0, х Є G (Я) удовлетворяет условию \\V(y,x,t)\\ Ь(у). (1.1.6) Определение 5. Если вектор-функция V(y,x,t) удовлетворяет условию (1.1.6) при t t0 и всех х Є G(H), то будем говорить, что она допускает бесконечно малый высший предел по у при t0.
Теорема 1. Если найдутся знакоопределённая положительная /-мерная (/ 1) вектор-функция V(y,x,t), допускающая бесконечно малый высший предел по у при t0, и /-мерная вектор-функция Z(z,t), обладающая свойством (D), такие, что тривиальное решение z = О уравнения z = Z{z,t) (1.1.7) устойчиво (асимптотически устойчиво), и при всех t 0, xEG(H) имеет место V Z(V,t), как бы мало не было Н 0, то многообразие fl(t) устойчиво (асимптотически устойчиво). Здесь под функцией Z(z, t), обладающей свойством (D), понимается /-мерная вектор-функция, непрерывная по всем переменным, удовлетворяющая условию Z(0, t) = 0 и неубывающая по внедиагональным переменным, то есть Zi(z,t) не убывает по всем Zs (5 і) в некоторой области Z Я, t 0. Если в условиях Теоремы 1 потребовать, чтобы функция V(y,x,i) допускала бесконечно малый высший предел при всех t t0, а тривиальное решение уравнения (1.1.7) было равномерно устойчивым, то многообразие fl(t) будет равномерно устойчивым.
Разработка методов разрывного управления для безударной стабилизации программных связей в условиях неопределённости и их приложения к решению прикладных задач
Универсальность построенных здесь алгоритмов достигается во многом благодаря тому, что матрица квадратичной формы, зависящая от обобщённых и квазиобобщённых скоростей, является определенно положительной по этим скоростям во всех механических системах. Эта особенность механических систем была использована еще на заре зарождения теории устойчивости движения в 1788 году Лагранжем при установлении устойчивости равновесия в теореме, носящей его имя. Эта теорема является первым применением подхода с использованием так называемой функции Ляпунова в виде вышеупомянутой квадратичной формы, который в современной теории устойчивости движения называется вторым методом Ляпунова. Исследования в этом направлении, описанные в работе [99], начинаются с построения семейства функций Ляпунова, позволяющего развить идеи Лагранжа с целью исследования влияния непотенциальных сил, не затронутых в теореме Лагранжа, на устойчивость не только равновесия, но и нестационарного движения механических систем. Полученный здесь результат позволяет получить целое семейство критериев устойчивости невозмущенного движения, пользуясь лишь обобщённым критерием Сильвестра [70]. В [81,95] этот подход распространяется на обобщённые системы при построении систем управления, обеспечивающих устойчивость возмущённого движения не только по первому приближению, но и с учетом членов более высокого порядка при больших начальных возмущениях. Приводятся примеры использования предложенного алгоритма для стабилизации плоских движений спутника на эллиптической орбите, программного движения математического маятника с подвижной точкой подвеса и гиромаятника на подвижном основании, при стабилизации заданной траектории движения точки переменной массы в ньютоновом поле тяготения и при управлении сближением со спутником при больших начальных отклонениях от заданного движения по эллиптической орбите.
Работа [100] посвящается построению обобщённых систем с асимптотически устойчивыми программными связями. Приводятся примеры использования предложенной процедуры для стабилизации программного многообразия манипулятора на подвижном основании и программной ориентации преследующего тела по кривой погони [57]. Другой важной прикладной задаче применения результатов работы [100] посвящена работа [84] о стабилизации цилиндрической прецессии спутника на эллиптической орбите. С работы [91] начинается изложение проблем, связанных с разработкой алгоритмов построения систем с инвариантными и квазиинвариантными к постоянно действующим возмущениям программными многообразиями. Работа [86] посвящена построению систем с инвариантными многообразиями. Одному из важных приложений результатов этой работы посвящена работа [91] о стабилизации программной ориентации преследующего тела с заданным оптимальным качеством переходного процесса, где приведен алгоритм построения вектора распределения случайных возмущений между каналами управления, при котором заданное программное многообразие и качество стабилизации этого многообразия являются инвариантными к этим возмущениям. Приложению результатов работы [86] посвящена также работа [85], где строится вектор оптимального управления путем определения матрицы распределения возмущений между каналами управления, при котором программное многообразие ориентации преследующего манипулятора расположенного на подвижном основании и качество стабилизации этого многообразия являются инвариантными к этим возмущениям.
В работе [79] предлагается процедура построения множества дифференциальных уравнений регуляторов, обеспечивающих квазиинвариантную стабилизацию программного многообразия при произвольных значениях случайных параметров, входящих в выражения возмущающих функций из заданного класса. К приложениям результатов работы [79] относятся работы [97,98].
В работе [90] строится множество уравнений регуляторов без использования информации о части переменных, в работе [97] – множество уравнений регуляторов для стабилизации ориентации преследующего тела, а в работе [98] – множество уравнений регуляторов преследующего манипулятора при движении его по принципу пропорциональной навигации.
Управление процессом безударной стыковки множества подвижных объектов в заданные упорядоченные моменты времени
Рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных тел с центрами масс Cv(y = 1,2, ...,п). Задача заключается в построении аналитических выражений главных векторов управляющих сил, обеспечивающих их преследующее движение за непредсказуемо движущимся объектом с целью встречи с ним без удара в заданные упорядоченные моменты времени
Определение главных векторов управляющих сил В работе [108] была построена сила Fv, обеспечивающая преследующее движение одной точки Cv за другой точкой О по принципу пропорциональной навигации [57] в виде Fv = тщЬ(Шу,х Ц), (2.3.1) где mv,Vv- масса и абсолютная скорость точки Cv, a)v - абсолютная угловая скорость линии визирования CvO, Ъ - положительный коэффициент пропорциональности.
При решении поставленной здесь задачи за точку О примем центр масс преследуемого точками Cv объекта. В [108] предполагалась возможность измерения a)v. Если такой возможности не имеется, то можно выражать этот вектор через абсолютные скорости V0 и Vv точек О и Cv в виде
При этом предполагается выполнение условий (sv-sv) 0, \VV\ \V0\, (2.3.3) где sv = 0CV. Заметим, что sv является законом относительного движения точки Cv в подвижной системе координат с началом в точке О, одна ось которой направлена по вектору CvO. Приведение преследующих точек в исходное положение
Теперь определим другие составляющие Rv сил управления, обеспечивающие безударное приведение точек Cv в точку О в заданные упорядоченные моменты времени Tv. Заметим, что для решения этой задачи прежде всего необходимо обеспечить выполнение условий (2.3.3). Это связано с тем, что в начальный момент времени tv = О первое из условий (2.3.3) может оказаться невыполненным. В этом случае точку Cv необходимо привести за конечное время в исходное положение, где это условие имеет место. Покажем, что в качестве множества исходных точек можно использовать любую точку прямой sv+livsv = 0 (2.3.4) в фазовой плоскости (sv, sv), где sv и sv являются проекциями векторов sv и sv на ось С О, iiy = const 0. Заметим, что из (2.3.4) следует, что выполнение условия (2.3.3) гарантирует выбор ду в виде ду = -5v(0)/sv(0).
Для гарантированного обеспечения выполнения (2.3.4) при t = 0 потребуем, чтобы при sv(0) + [ivsv(0) 0 значение Vv = sv{t) + iiySv{t) (2.3.5) обращалось в нуль за конечный промежуток времени. Эту задачу можно решить следующим образом [106]. Используем основной закон динамики для описания относительного движения точки Cv в проекции на ось CvO: rriySy = RV + R v. (2.3.6) где Rv - проекции сил управления, R v - проекции неуправляющих сил, в том числе переносной и кориолисовой сил инерции. Выберем Rv в виде Rv = -Д signVv. (2.3.7) где Ry - положительная кусочно-постоянная ступенчатая функция, выбор которой осуществляется по принципу обратной связи по квазиускорению, изложенному в п.2 работы [106], следующим образом. После замены в (2.3.6) sv через Vv, определяемую в виде (2.3.5), уравнение (2.3.6) принимает вид: тщЦ, = RV + R v, (2.3.8) где R v = R v + ILySy. Уравнения (2.3.8) представим в векторной форме MV = R + R , (2.3.9) где М - диагональная матрица с элементами пц, йи R - векторы с элементами #v и R v (у = 1,2,..., п). Вектор управляющих сил R ищем в виде R = -(signV)(R0+AR), (2.3.10) где sign V - диагональная матрица с элементами signVv. Если при t = 0 имеет место VTV 0, то для определения постоянной составляющей R0 в (2.3.10), без использования информации об элементах матрицы М, сообщим системе (2.3.9) при t = 0 управление R = -(signV)?Lt, (2.3.11) где Я - и-мерный вектор с достаточно большими положительными элементами.
Момент времени обращения V в нуль обозначим через t0. Заметим, что при t = t0 имеет место R = -\signV(0)]xt0. Теперь потребуем, чтобы при t = t0 + At, At О имело место VTV = -S\V\, 8 = const 0. (2.3.12) Для этого при t = t0 сообщим системе управление R = -(sign V)(At0 + А), (2.3.13) где Л - вектор с элементами Av 0, при которых соблюдается неравенство в (2.3.12). Измерение или вычисление V и V продолжим до тех пор, пока не наступит равенство VTV = S0\V\, (2.3.14) где 80 = у 8, 1 у 0. Заметим, что в том случае, когда при t = 0 имеет место (2.3.14), принимается t0 = 0. В момент времени t± t0 наступления равенства (2.3.14) к правой части (2.3.13) дополнительно добавим Д. Тогда (2.3.13) принимает вид R = -(signV)[At0+A(i + 1)], (2.3.15) где і =1 есть первый момент наступления равенства (2.3.14). При продолжении измерения или вычисления V и V возможен второй момент времени t2 наступления равенства (2.3.14). В этом случае значение і в (2.3.15) удваивается. Таким образом, процедура определения очередных значений і продолжается до тех пор, пока не наступит время обращения V в нуль. Следовательно, искомые векторы Д0 и AR в (2.3.10) имеют следующий вид: д0 = (At0 + A)sign [(F(O)K(O) + 50) + кт(0)К(0) + S0\], (2.3.16) AR = Ai (і = 1,2,...). С момента времени t обращения в нуль значения V процесс управления точками Cv производится в «режиме торможения» для обеспечения безударной встречи точек Cv с преследуемой точкой О по следующей схеме [57]. Начиная с момента Ї, организуем процесс скользящего движения точек Cv по другим, отличным от (2.3.4), линиям разрыва
Управление процессом приведения динамики слаборазвитой экономики производственного предприятия в состояние эталонной модели развитой экономики
Заметим, что отсчёт времени t ведётся, начиная с момента 12. Из уравнения (2.4.28) определяется время t± = 2S0/V0, при котором S и V одновременно обращаются в нуль. Таким образом, при управлении U, движение изображающей точки N в фазовой плоскости (S, V) происходит по кривой So S= {V- V2) (2.4.29) Vr от начальной точки N0(S0, V0) до начала координат 5 = 0, V = 0. Заметим, что эта кривая (2.4.29) следует из теоремы об изменении кинетической энергии точки в конечной форме и является ветвью параболы.
Теперь обоснуем необходимость введения в управление кусочно-постоянной составляющей U2 и определим её выражение. При ае 0, R Ф 0 в правой части уравнения (2.4.27) появляются слагаемые, при котором правая часть уравнения (2.4.28) не будет равняться нулю. Поэтому, с целью наделения решений уравнения (2.4.25) свойствами (2.4.28) и (2.4.29), предлагается следующая процедура.
При этом правая часть (2.4.32) становится определённо отрицательной. В этом случае значение V обращается в нуль за конечный промежуток времени [142]. Управление манипулятором при захвате цели
Конструктивные особенности манипулятора. В момент времени t2 после приведения точки О0 в точку О начинается управление манипулятором для безударного захвата цели Ц. Прежде чем приступить к решению этой задачи кратко опишем основные конструктивные особенности манипулятора [114].
Пусть манипулятор состоит из цепочки п пар тел Ту и Ту (у = 1,2, ...,п), в которой Ту вращается относительно тела Tv_t предыдущей пары вокруг цилиндрического шарнира Ov_±, а Ту перемещается относительно Ту по заданной направляющей. Начало отсчёта перемещения Sv тела Ту относительно Ту обозначим через Dv. Введём также обозначения: Iv = Оу [Щ, Sv = Dy Ov, РУ - углы поворотов звеньев друг относительно друга вокруг шарниров.
Будем считать, что вращения тел Ту вокруг шарниров Ov_±, также как и перемещения Ту относительно Ту, осуществляются электрическими двигателями, помещёнными со своими редукторами в точках Ov_1 и Dv. Следовательно, управление манипулятором осуществляется 2п двигателями.
Программа движения схвата. В качестве программы движения схвата манипулятора примем закон движения центра схвата, помещённого в точку Оп на продолжении конца последнего звена манипулятора:
Уравнения движения манипулятора. Принимая углы (pv и перемещения Sv в качестве обобщённых координат в поступательно движущейся системе координат по закону движения точки Ц преследуемого объекта, движение манипулятора в целом можно представить системой 2п уравнений Лагранжа второго рода: где Тс - кинетическая энергия манипулятора относительно подвижной системы координат Cxyz с ортами klt k2, кз Q v, Qv - обобщённые неуправляющие силы, в том числе переносные силы инерции и силы тяжести элементов манипулятора, С Су - коэффициенты сопротивления на валу двигателей, Ку, Ку - передаточные числа редукторов, Оу, а!у - коэффициенты пропорциональности между управляющими моментами двигателей и управляющими сигналами Uv, Uv . Кинетическая энергия манипулятора имеет вид: Тс = -фтА((р)ф, (2.4.38) где А(ср) - симметричная определённо положительная матрица (2п X In), ф - 2п-мерный вектор обобщённых координат pv, Sv (v = 1,2,..., п). Систему уравнений (2.4.37) можно привести к виду: Ay = f(y,$,t) + BU, (2.4.39) где В - матрица (2п X к) распределения -мерного вектора управления U между 2п уравнениями системы (37), к 2п, / - вектор неуправляющих сил, в том числе возмущающих сил и сил инерции.
Потребуем, чтобы проекции вектора L на оси с ортами кг и 2 были равны нулю: а проекция на ось с ортом к3 изменялась по закону где S0 - расстояние между точками О и Ц в начальный момент времени t2, V0 - начальное значение скорости сближения точки Оп с точкой
Заметим, что отсчёт времени t ведётся, начиная с момента t2, то есть t t2, где t2 - момент времени совпадения точек О0 иО. Следовательно, к условиям (2.4.45) присоединяется условие
Наша задача заключается в построении вектора управления манипулятором так, чтобы центр Оп схвата манипулятора, начиная движение с начальной скоростью V0 от точки О, пришёл в точку Ц с нулевой скоростью относительно точки Ц, то есть в момент совпадения точек Оп и Ц абсолютные скорости этих точек должны быть одинаковы. При этом встреча точек Оп и Ц произойдет без удара. Для этого вектор управления U в (2.4.39) необходимо построить так, чтобы вектор а в (2.4.50) обратился в нуль за конечный промежуток времени при любых непрерывных и ограниченных значениях неуправляющих сил f((p,(p,t) в (2.4.39).