Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию условий существования прецессионных движений системы двух связанных твердых тел. Рассмотрены вырожденные классы прецессионных движений, когда одно тело из связки равномерно вращается относительно вертикали. Изучены прецессии системы двух связанных твердых тел в поле силы тяжести в предположении, что одно из тел совершает регулярную прецессию типа Гриоли, а другое полурегулярную прецессию типа Гесса. Рассмотрены маятниковые и асимптотически равномерные движения системы двух тел, соединенных универсальным шарниром, уравнения движения которой выведены А.Я.Савченко.
Актуальность темы. Поставленная более двух столетий назад, задача о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой до сих пор привлекает внимание исследователей, особенно в рамках различных приложений. Это объясняется не только широким применением абсолютно твердого тела (гиростата) в моделировании движений реальных объектов современной техники, но и большими аналитіїческими трудностями, требующими применения новых подходов в решении задач динамики твердого тела. Общую постановку задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой дал Л.Эйлер. Он ввел основные динамические и кинематические характеристики, получил дифференциальные уравнения движения. Многочисленные результаты в динамике твердого тела найдены ЖЛ. Лагранжем, С.Пуассонбм, Л.Пуансо, А-Пуанкаре, В.Гсссом, Д.Гриоли и многими другими. Большой вклад внесли отечественные ученые -С.В.Ковалевская, Н.Е.Жуковский, А.М.Ляпунов, С.А. Чаплыгин, Д.Н.Горячев, Г.Г.Аилельрот и другие.
В настоящее время сформировались направления и школы по изучению задач динамики и их приложений. В России эти школы связаны с именами А.Ю.Ишлинского, В.В.Румянцева, Д.Е.Охоцимского, В.И.Козлова, А.П.Маркеева, В.М.Матросова, А.С.Галиуллина, А.Г.Сокольского, на Украине - П.В.Харламова, А.А.Мартынюка, А-Я.Савченко и других.
Развитие динамики твердого тела в последние несколько десятилетий связаны с исследованиями П.В.Харламова и его школы. Принципиальными результатами П.В.Харламова являются: развитие метода инвариантных соотношений для отыскания частных решений уравнений динамики, разработка метода годографов прямого кинематического истолкования, получение новых форм уравнений движения системы связанных твердых тел.
Начало систематическому изучению условий существования прецессий в различных задачах динамики положили Г.ГАплельрот , Д.Гриоли и другие. Г.Г.Аппельрот показал, что прецессия относительно вертикали гироскопов, эллипсоид инерции которых является эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится в экваториальной плоскости эллипсоида, динамически невозможны, если угол прецессии отличен от прямого. Наиболее существенные результаты Д.Гриоли относятся к построению нового решения и кинематическим условиям существования различных типов прецессий, в том числе и обобщенных.
В настоящее время разработкой данной тематики широко занимался Г.В.Горр и его ученики. Им предложен новый подход в отыскании решений, в основе которого лежит не аналитическая структура (или вид инвариантных соотношений), а тип движений.
Исследование движения систем связанных твердых тел является более сложной задачей. В 1966 году О.Фишером были выписаны уравнения движения системы связанных твердых тел в скалярной форме . Следует отметить работы А.ИЛурье, П.В.Харламова, в которых построены уравнения движения связанных твердых тел, удобные для построения точных решений .
Используя эти уравнения и их первые интегралы А.Я.Савченко методом Четаева установил достаточные условия устойчивости равномерных вращений двух гироскопов Лагранжа.
Частным случаем движения системы двух связанных абсолютно твердых тел является движение твердого тела, подвешенного на струне, которую в режиме растяжения можно рассматривать как невесомый, абсолютно твердый стержень. Здесь необходимо отметить цикл работ группы авторов, возглавляемой А.Ю.Ишлинским. Полурегулярные относительно вертикали и регулярные относительно наклонной оси
прецессии в задаче о теле, подвешенном па струне, изучены Г.В.Горром и Г.А.Кононыхнным.
Существенные результаты достигнуты в изучении
асимптотических движений. А.Кнезер установил наличие траекторий, асимптотически стремящихся к положению равновесия. Е.Меттлер рассматривал асимптотически равномерные движения в классической задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Г.В.Горр, основываясь на первом методе Ляпунова, развил методику изучения окрестности известных частных решений и построения асимптотических движений.
Результаты А.Кнезера были обобщены С.В.Болотнным, В.В.Козловым, В.П.Паламодовым.
А.П.Маркеев изучал асимптотические траектории и устойчивость периодических движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.
Интенсивность изучения динамических свойств систем связанных твердых тел и асимптотических движений свидетельствует об актуальности тематики диссертации. Широкий спектр результатов, полученных в динамике твердого тела, открывает перспективы дальнейших исследований динамики систем связанных твердых тел.
Цель работы заключается в исследовании прецессионных, маятниковых и асимптотически равномерных движений (широко изученных в задаче одного тела) для системы двух связанных твердых тел, получении условий их существования или доказательстве их динамической невозможности.
Метод исследования . Для решения поставленных задач применены метод инвариантных соотношений обыкновенных дифференциальных уравнений и первый метод Ляпунова.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:
- методика исследования прецессий, разработанная Г.В. Горром для одного твердого тела, перенесена на случай системы двух связанных твердых тел;
-получены условия существования прецессионных движений для вырожденных режимов движения связки, когда одно из тел совершает прецессию, а другое равномерное вращение;
- показано, что регулярная прецессия связки дпух тяжелых твердых тел
относительно вертикали возможна лишь в случае, когда оба тела
гироскопы Лагранжа, получены условия существования такого
движения;
доказана динамическая невозможность регулярной прецессии гироскопа Лагранжа и регулярной прецессии второго тела относительно наклонной оси;
исследованы случаи полурегулярной прецессии в сочетании с регулярной прецессией, найдены условия их существования,
получены уравнения маятниковых движений системы двух твердых тел в поле силы тяжести и проведен их анализ;
установлены условия существования маятниковых движений в случае системы тел, связанных универсальным шарниром;
- найдены условия существования асимптотически равномерных
движений для системы тел, связанных универсальным шарниром.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. На практике они могут быть использованы в классификации возможных типов движения системы связанных твердых тел.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах отдела прикладной механики Института прикладной математики и механики НАН Украины, Донецкого госуниверситета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.
Структура И объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, заключения, списка литературы (77 наименований) и содержит 125 страниц машинописного текста. Количество рисунков - 2.