Введение к работе
Диссертационная работа посвящена развитию классического первого метода Ляпунова исследования устойчивости движения. Обобщается разработанная Ляпуновым схема построения частных решений систем обыкновенных диффе-ренциальных уравнений в виде рядов, приводится обзор полученных ранее результатов по устойчивости в критических случаях на основе разработанного обобщенного метода, а также исследуются некоторые новые критические случаи. Полученные теоретические результаты применяются к исследованию клас-' сической проблемы обращения теоремы Лагранжа а Рауса об устойчивости равновесий и стационарных движений, а также к исследованию смежных задач. В диссертации получены также достаточные условия неинтегрируемости общих систем дифференциальных уравнений, основанные на свойствах частных решений с неэкспоненциальной асимптотикой.
Актуальность темы. Первый метод Ляпунова является эффективным методом как исследования устойчивости движения механических систем, так и по-, строения семейств решений уравнений движения этих систем с заданными асимптотическими свойствами. Проблема применения этого метода к системам, топологический тип фазового портрета которых в окрестности некоторого стационара не определяется лишь линейными членами, достаточно мало изучена. Существование траекторий, стремящихся к стационарному движению при неограниченном убывании времени, сигнализирует о неустойчивости этого стационара, что позволяет применять данный метод для анализа весьма трудных критических случаев.
Первые результаты по исследованию устойчивости в критических случаях принадлежат основоположнику общей теории устойчивости движения -А.МЛяпунову. После Ляпунова этой проблематикой занимались многие исследователи, среди которых следует выделить Г.В.Каменкова, В.И.Зубова, А.М.Молчанова, Л.Г.Хазина, Э.Э.Шноля и многих других. Особо следует отметить работы авторов, занимавшихся анализом критических случаев в гамильто-новых системах: В.И.Арнольда, Ю.Мозера (J.Moser), А.Д.Брюно, А.П.Маркеева, А.Г.Сокольского. Обнаружение явления неустойчивости в критических случаях является половиной работы, необходимой для полного исследования. Применение обобщенного первого метода Ляпунова позволяет унифицировать доказательство неустойчивости практически во всех критических случаях.
Проблема обращения теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия занимала исследователей с конца прошлого века. Первые серьезные результаты в этом направлении были получены А.МЛяпуновым. Далее целому ряду исследователей (Н.Г.Четаев, П.Хагедорн (P.Hagedorn), МЛалуа (M.Laloy), К.Пайффер (K.Peiffer), В.В.Козлов и др.) удалось получить частные случаи обращения этой теоремы. В целом же проблема казалась почти неразрешимой, пока в 1992 г. В.П.Паламодов не получил окончательное решение этой задачи для аналитиче-
ского случая. Проблема же обращения родственной теоремы об устойчивости -теоремы Рауса об устойчивости стационарных движений несмотря на ряд частных результатов (В.В.Румянцев, Ван Чжаолин, П.Хагедорн (P.Hagedorn), А.В.Карапетян, В.В.Козлов, С.В.Болотин, П.Негрини (P.Negrini)) пока еще весьма далека от полного разрешения. Явление гироскопической стабилизации неустойчивого положения равновесия, на возможность которого указал Н.Г.Четаев, свидетельствует о том, что полное обращение этой теоремы невозможно.
В последнее время внимание исследователей привлекла задача получения условий интегрируемости и неинтегрируемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных" на арифметических свойствах так называемых'показателей Ковалевской,' Являющихся по сути дела характеристическими корнями линеаризации некоторой укороченной системы в окрестности первого члена асимптотического разложения (получаемого при помощи обобщенной процедуры первого метода Ляпунова) некоторого . частного решения. Пионерские работы в этом направлении были выполнены японским математиком и астрономом Х.Иошидой (H.Yoshida). Однако, полученные им критерии оказались неточными. Эти неточности устранены в настоящей диссертации. ;-,...
Вес вышесказанное позволяет і сделать заключение об актуальности;темы
диссертации. "./'і-., - -... -;:,-
Цель работы состоит в разработке некоторого общего алгоритма, позволяющего конструктивно строить частные решения уравнений движения механических систем в виде рядов, первый член которых имеет заданную асимптотику и является частным решением некоторой более простой, "укороченной" системы.
Методы исследования. В диссертации используются методы аналитиче
ской и качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. При
исследовании сходимости асимптотических разложений исследуемых частных
решений систем уравнений движения используются элементы функционального,
анализа. Методы общей теории устойчивости и аналитической механики ис
пользуются при анализе конкретных задач. ,,. г
Научная новизна. В диссертации впервые дается общая теория существования и построения так называемых асимптотических траекторий механических систем, порядок стремления по времени которых к некоторому стационарному движению не является экспоненциальным. Приведены достаточно простые алгоритмы построения решений уравнений движения, соответствующих этим траекториям, в виде некоторых рядов, коэффициенты которых могут быть найдены рекуррентно. Впервые обсуждается проблема существования и построения траекторий, асимптотических к инвариантным торам, в случае, когда эти торы нейтральны в первом приближении. Дается новая, теоретико-групповая интерпретация первого метода Ляпунова: предъявлены условия, достаточные для су-
шествования траекторий, стремящихся к орбите некоторой группы преобразований фазового или расширенного фазового пространства, являющейся в известном смысле "почти" группой симметрии исходной системы. Показывается, что разработанньй диссертантом метод применим не только к исследованию поведения траекторий в окрестности некоторого стационарного, периодического или квазипериодического движения: процедура ляпуновского типа впервые применяется для построения решений типа траекторий столкновения в небесной механике. Также показано, что для достаточно большого класса задач процедура, аналогичная ляпуновской, может приводить к расходящимся рядам, хотя на основании результатов, полученных Ляпуновым, можно было бы ожидать сходимости. Полученные результаты применяются диссертантом для исследования проблемы обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости и ряда смежных задач. В этом направлении получен ряд новых и интересных результатов. Впервые рассмотрена задача об устойчивости положений равновесия систем с дискретными и распределенными запаздываниями, линейное приближение которых тривиально. Диссертантом предложен также новый критерий неинтегрируемости общих систем обыкновенных дифференциальных уравнений, осно-: ванный на анализе поведения этих систем в окрестности некоторого частного решения с неэкспоненциалыюй асимптотикой.
Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием с известными результатами, полученными ранее в частных случаях.
. Теоретическая и практическая ценность. В диссертации дается общий , алгоритм построения асимптотических к стационарным, периодическим или квазипераодическим движениям решений, в том случае, когда линейный анализ не дает представления о поведении системы в окрестности этих движений. Используемый подход позволил упорядочить результаты, полученные ранее в этом направлении. При помощи разработанных методов можно достаточно просто и эффективно строить семейства решений уравнений движения конкретных практически важных нелинейных систем в окрестности некоторого известного движения. Упомянутые алгоритмы могут быть использованы также при аналитическом построении траекторий типа траекторий столкновения в небесной механике. Выполненная диссертантом работа дает также наглядное представление о том, какие асимптотики решений относительно времени нелинейных систем принципиально возможны. Получено существенное продвижение в одной классической задаче теории устойчивости: проблеме обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем. Положено начато исследованию критических случаев устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений в ситуации, когда первое приближение тривиально. Дан простой и легко проверяемый критерий неинтегрируемости общих систем дифференциальных уравнений, позволяющий доста-
точно эффективно делать заключения о неинтегрируемости ряда систем уравнений, используемых в математической физике.
Большинство результатов диссертации может быть включено в руководства по теории устойчивости и теории нелинейных колебаний.
Апробация работы. Отдельные части диссертации были доложены на XVIH Всемирном конгрессе по теоретической и прикладной механике в 1992 г. в г. Хайфе, Израиль (совм. с проф. В.В.Козловым), на международной конференции "Dynamics Days - 94" в 1994 г. в г. Будапеште, Венгрия, на Всемирном конгрессе математиков в г. Цюрихе, Швейцария, в 1994 г. Часть материала диссертации основана на специальном курсе "Методы аналитической и небесной механики в динамике космических объектов", подготовленном автором совместно с доцентом П.С.Красильниковым и прочитанном на факультете прикладной математики и физики Московского авиационного института. Значительная часть работы составила также основу мини-курсов лекций, прочитанных диссертантом в Католическом университете города Лува-ла-Нев (Бельгия) в 1994 г. и в университете города Тренто (Италия) в 1995 г. Диссертация проходила также апробацию на различных научных семинарах, как в России: на семинаре по динамическим системам в механике под руководством проф. В.В.Козлова и доц. С.В.Болотина в 1990, 1994 и 1995 гг., на семинаре по классической механике под руководством проф., академика РАН В.В.Румянцева и д.ф.-м.н. А.В.Карапетяна в 1995 и 1996 гг., так и за рубежом: на семинаре института механики в Высшей технической школе г. Дармштадт, Германия (руководитель -проф. П.Хагедорн (P.Hagedorn)) в 1992 г., на семинаре института математики университета г. Утрехт, Нидерланды (руководитель - проф. Ф.Ферхюльст (F.Verhulst)) в 1994 г.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы. Первые три главы составляют, в основном, теоретические положения работы, четвертая глава посвящена приложениям к проблеме обращения теорем Лагранжа и Рауса об устойчивости равновесий и стационарных движений механических систем. Работа изложена на 248 страницах, содержит 2 рисунка, список литературы, содержит 193 наименования.