Введение к работе
Задача трех тел—знаменитая проблема классической механи-, над которой работали исследователи многих поколений. Рас-іатривается движение системы трех тел, взаимно притягиваю-нхся по закону Ньютона. Аналитическое исследование движения ждого тела в этой задаче, несмотря на очень простую структуру мой системы, связано с большими математическими трудпостя-I, эта задача не может быть проинтегрирована в квадратурах в мкнутом виде. Ввиду этого усилия ученых были направлены в орону изучения ее вырожденных и частных случаев, построения риодических и условно периодических решений, исследования ізличньїх качественных свойств решений (устойчивости по Ла-анжу, Ляпунову и т. п.).
Ограниченная задача трех тел — один из предельных вариан-в задачи трех тел, в котором предполагается, что одно из тел іходится под действием сил притяжения к двум другим телам, но мо влияния на их движение не оказывает; при этом активно авитирующие тела движутся по софокусным кеплеровским ор-ітам вокруг их общего центра масс. В зависимости от типа этих (бит ограниченная задача трех тел разделяется на круговую, эл-штическую, параболическую и гиперболическую задачу трех тел.
Наиболее полно изучена круговая задача трех тел, история ис-іедования которой берет свое начало от работ Л. Эйлера и Ж. Л. агранжа. Ее изучение было продолжено К. Г. Якоби и значи-лыю позднее Э. Хиллом, А. Пуанкаре, Т. Леви-Чивита и Дж. гіркгофом.
Большой и исключительно важный вклад в ограниченную за-ічу трех тел сделал Ш. Делоне, который при построении движе-ія Луны развил аппарат интегрирования дифференциальных іавнений движения, основанный на гамильтоновом формализме, гот метод вошел в аналитическую механику как метод канони-:ских переменных «действие— угол».
Известно, что ограниченная задача трех тел имеет пять рав-)весных решений, два из которых называются треугольными, а ш остальных — коллинеарными точками либрации.
Интерес к точкам либрации сильно возрос в связи с практи-:скими потребностями космических исследований. Хорошо из-:стна классическая проблема устойчивости треугольных точек ібрации в ограниченной задаче трех тел, которая получила окон-ітельное решение лишь в наше время, да и то лишь для плоско-
го случая. С этой целью были привлечены новейшие методы исследования— теория Колмогорова — Арнольда — Мозера. Астрономические обсерватории, запущенные в треугольные точки либрации системы «Земля — Луна», в случае устойчивости их орбит будут «вечными» в отличие от спутниковых орбит в ближайшей окрестности Земли. Одной из наиболее важных задач о точках либрации является проблема существования и построения периодических орбит в их окрестности.
Для ограниченной круговой задачи она рассматривалась обстоятельно и неоднократно во многих работах Е. П. Аксенова Ю. А. Рябоиа, В. Г. Демина, А. Депри, В. Себехея и т. д. Дл? ограниченной эллиптической задачи трех тел эти вопросы на ос нове линеаризованных уравнений достаточно полно изучены А. П Маркеевым. В работах В. П. Евтеева эта проблема решалась і рамках плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел, гді после введения специальной подвижной системы координат уран нения движения пассивно гравитирующего тела были сведены і одному дифференциальному уравнению относительно некотороі комплексной переменной как функции эксцентрической аномалии Далее, для решения проблемы существования и построения пе риоднческих решений этого уравнения привлекался метод малоп параметра. Были рассмотрены вопросы о существовании и пост роении 2я(/-периодических решений (q^l, q— целое) в окрестно сти каждой коллинеарной точки либрации на основе уравпени: первого приближения для отдельных значений параметра масс і целого числа д. Для треугольных точек либрации было доказані только существование таких решений и построены некоторые се мейства периодических решений первых пяти уравнений последо вательных приближений периода 4я и 6я. В работе Т. М. Поле новой были построены этим же методом другие семейства 4л-пе риодических решений в окрестности треугольных точек либрациг, Следует подчеркнуть, что построение таких решений было связа но с громоздкими аналитическими преобразованиями и потребе вало огромной прямой вычислительной работы. В целом, однакс указанная проблема для ограниченной задачи трех тел остаетс открытой.
Цель работы. В плоской ограниченной эллиптической задач трех тел методом малого параметра рассмотреть вопросы сущест вования и построения периодических решений как функций истш-ной аномалии любого периода 2nq {q — целое, <7^2) в окрестне сти каждой треугольной точки либрации, разработать «машиь ный» вариант алгоритма существования и построения таких pt шений и реализовать его на персональном компьютере в систем программирования «TURBO —PASCAL».
Методы исследования. Использованы методы теории ветвлени решений Ляпунова — Шмидта, метод малого параметра Пуанкарі а также общие методы функционального анализа. Благодаря дг алогу с компьютером, удалось получить важные закономерності
«эторые впоследствии были обоснованы аналитически, компбю-ерные вычисления подтвердили также правильность многих формул, полученных после громоздких аналитических преобразований. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, [вух глав и списка цитируемой литературы из 54 наименований.