Введение к работе
Диссертация посвящена1 применению теории особенностей лагранжевых и лежандровых отображений к некоторым задачам гамильтоновой механики.
Актуальность темы. Теория лагранжевых и лежандровых особенностей - активно развивающаяся область математики, начало которой было положено в работах Р.Тома, В.И.Арнольда, Дж.Мазера, А.Вейнстейна, Дж.Дуистермаата и др. Лагранжевы и лежандровы многообразия и отображения естественно возникают в теоретической механике и в теории управления, в дифференциальной геометрии и в вариационном исчислении. Основным мотивом, побуждающим к их изучению, является возможность представления некоторых особых подмногообразий конфигурационных пространств в виде образа гладких лагранжевых (лежандровых) подмногообразий фазовых (расширенных фазовых) пространств. Возникающие при этом вырождения исследуются методами теории особенностей дифференцируемых отображений.
В механике лагранжевы и лежандровы многообразия естественно возникают как обобщенные решения уравнений Гамильто-на-Якоби. Особенности их проекций на конфигурационное пространство ответственны за появление особенностей у функции действия.
Аппарат теории лагранжевых и лежандровых особенностей отлично приспособлен для исследования разрывных гамильтоно-вых систем, систематическое изучение геометрии которых берет СБое начало в работах Р.Мельроза, В.И.Арнольда, А.Б.Гивента-
ля, 0.П.Щербака, М.Э.Казаряна и др., существенно продвинувших эту теорию. При этом здесь остается множество нерешенных пока задач, некоторым из которых и посвящена данная работа.
Цель работы. Целью работы является применение теории особенностей лагранжевых и лежандровых отображений к некоторым задачам теоретической механики - исследованию обобщенных решений разрывных уравнений Гамильтона-Якоби; обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби, при наличии в системе го-лономной неудерживающей связи; обобщенных решений укороченного уравнения Гамильтона-Якоби
h(q,6a/dq) = Е (=conat), где h = Т + V - гамильтониан, равный сумме кинетической и потенциальной энергии, в точках границы области возможных движений - области конфигурационного пространства, задаваемой неравенством U < Е.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность.
В диссертационной работе получены следующие результаты :
-
Расклассифицированы типичные обобщенные решения разрывных уравнений Гамильтона-Якоби натуральных систем классической механики в точках полного отражения для случаев, когда размерность конфигурационного пространства не превышает четырех.
-
Указаны нормальные формы особых лагранжевых многообразий, состоящих из лежащих на границе препятствия экстремалей функционала действия, при наличии в конфигурационном
пространстве гамильтоновой системы препятствия, описывающего неудерживавдую голономную связь.
-
Исследованы особенности проекций на конфигурационное пространство типичных обобщенных решений уравнений Гамильто-на-Якоби натуральных систем классической механики в точках границы области возможных движений. Исследованы типичные особенности, возникапцие в однопараметрических семействах таких отображений.
-
Найдены нормальные формы, с точностью до лежандровой эквивалентности, ростков типичных пар (I, F) .где Ъ - ле-жандрово подмногообразие пространства лежандрова расслоения a F - гладкая функция на Ь, в точках х Ъ таких, что F(x) = 0 и производная проектирования Ъ на базу расслоения имеет одномерное ядро.
Полученные результаты могут быть использованы в задачах теории особенностей, квантовой механики, геометрической оптики.
Апробация работы и публикации. По теме работы опубликованы статьи [1-3], основные результаты докладывались на Международном Симпозиуме по Теории Особенностей и Дифференциальным Уравнениям (Варшава, октябрь 1993 г.), на семинаре по теории особенностей МТУ (руководитель - академик В.И.Арнольд, апрель 1994 г.), на семинаре по теории особенностей в Варшавском политехническом университете (руководитель -проф. С.Янечко, январь 1993 г.), семинаре* кафедры теоретической механики МАИ (руководитель - проф. В.Г.Веретенников, апрель 1994 г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем работы - 92 страницы, работа содеркит 21 рисунок, 2 таблицы, одну диаграмму. Библиография содержит 13 названий.