Введение к работе
Актуальность темы. В работе предлагаются и исследуются специальные приемы оптимизации, ориентированные на использование итеративных методов в сложных в вычислительном отношении задачах.
Приемы основываются на ряде малоизученных свойств оптимизируемых параметров, характерных для механических систем, и позволяют ощутимо сокращать общее «омпьютер-ное Еремя решения задачи.
Созданные алгоритмы предназначены для задач оптимизации со значительными затратами времени на однократное вычисление минимизируемой величины и большим (несколько десятков и более) количеством оптимизируемых параметров. Стандартной причиной сложной вычислимости является необходимость применять метод конечных элементов или решать (в том числе неоднократно) системы дифференциальных уравнений. Именно такие задачи далее будем называть сложными.
В задачах этого типа проблемой является организация процесса оптимизации - от постановки задачи до программной реализации предложенного алгоритма. Сочетание большой размерности со значительным процессорным временем расчета при использовании стандартных методов нередко делает задачи оптимизации выходящими за пределы возможностей самых современных компьютеров.
Бели использовать модели, которые обеспечивают приемлемую на практике точность, то указанными характеристиками обладает значительное количество важных прикладных задач. Таковы оптимизация прочности конструкций; снижение вибрации; выполнение ограничений па деформации (вто, в частности, ударостойкость, работоспособность); оптимиза-
Ц5іи движения совокупности объектов и шюгое другое. Сложными в вычислительном отношении обычно будут н многокритериальные задачи после сведения их к однокритериальным. Все вместе вто означает, что существуют значительные практические потребности в создании алгоритмов оптимизации, специально нацеленных на работу в сложных задачах механики.
Существенными оказываются все аспекты оптимизации в сложных системах: анализ неведения шппшизируемой величины и исследование свойств оптимального решения; предложение принципов и подходов к созданию специализированных алгоритмов; теоретическое обоснование методов и их отдельных элементов; само "конструирование" алгоритмов и программ, их отладка в работе. Ясно, что здесь необходима ориентация на достаточно мощную вычислительную технику, на современные способы решения компьютерных задач, включающие создание баз данных, знаний, возможность диалогового режима, специальный сервис и др.
Из сказанного следует необходимость системного подхода к проблеме, принятие во внимание не только собственно задачи оптимизашш, но и ее окружения. Исследовашіе требует опоры на системный анализ; однако, эта научная дисциплина сама находится в стадии становления своих основных воложений, методов и даже понятийного аппарата. В втік условиях использование системного анализа переходит в развитие этой относительно новой ветви знания, в первую очередь таких его разделов как теория сложных систем, основы моделирования, теория принятия решений.
Возвращаясь к собственно оптимизации, укажем на известный принцип, человеческого мышления, который можно выразить словами: "Сначала думать, как сделать ато, потом думать как вто сделать лучше". Именно этот принцип указывает на то место, которое занимает оптимизация.
Цель роботи. Решение задачи нелинейного программирования большой размерности в механических системах ставит следующий набор взамосвязапных целей:
общий анализ проблемы оптимизации а сложных задачах механики;
выделение и исследование свойств механических систем, пригодных для использования при оптимизации;
предложение методических приемов оптимизации, ориентированных па экономию вычислительных ресурсов (и в первую очередь - на всемерное уменьшение количества вычислений минимизируемой величины);
теоретическое обоснование элементов методики;
разработка алгоритмов оптимизации па основе предложенной методики, их программное обеспечение, демонстрация решенных задач в области механики;
развитие системного подхода в условиях работы со сложными формализованными построениями.
Научная новизна. Исследование оптимизации в механических системах имеет обширную историю и значительные достижения. В нем выделяются два направления: задачи вариационного исчисления (включая оптимальное управление) и в виде задачи математического (как правило, нелинейного) программирования.
Данная работа посвящена второму из втях направлений. Предполагается, что проблема оптимизации сводится к задаче математического программирования:
F{*>) ~ min, (1)
х X
где F(x) - вычислимая в любой точке допустимого множества X, ограниченная снизу функция и
х = (хь «>, ...х») є X С Я*, F(x): Лп -* Л1;
FrXQX, 0 Из исследований, которые в значительной степени связаны с задачами иеханики, отметим работы Н.Н.Моисеева, Ю.Г.Евтушенко, И.М.Соболя, Р.Б.Статвикова, Д.И.Батшде-ва. Из зарубежных авторов выделим Д.Хюшельблау, Э.По-лака, а также написанные авторскими коллективами книги "Оптимизация в технике" (Г.Реклейтис и др.), "Практическая оптимизация" (П.Гилл и др.), "Прикладное оптимальное проектирование" (Э.Хогт и др.). Однако, вопросы оптимизации в системах с большим количеством варьируемых параметрами, а также в условиях значительных вычислительных затрат на однократное определение целевой функции, в литературе отражены крайне слабо. Отдельная информация и рекомендации разбросаны по различным источникам; специальные методы для таких задач не предлагаются, теоретические исследования их специфики отсутствуют. Указанную нишу и призвана заполнить данная работа. Не претендуя ыа всеобщность, автор предлагает подход к оптимизации в сложных задачах механики; при атом указывается класс задач, в которых подход применим; на модельных задачах исследуются и в вероятностном смысле обосновываются важнейшие компоненты методики; делается попытка дать количественную оценку эффективности предлагаемых приемов. Определенная новизна исследования состоит также в использовании апостериорной, т.е. получаемой в процессе решения задачи информации о свойствах целевой функции. Такая информация в механике часто обладает определенной независимостью от той точки или подобласти допустимого множества, к которой оиа относится. Процедуры, основанные на использовании апостериорной информации и ускоряющие итерационные шаги, названы адаптационными. С точки зрения алгоритмизации в работе приводится и обосновывается положение о том, что в сложных задачах оптимизации необходим не поиск какого-то одного аффективного метода, приема, а специальная организация процесса оптимизации. Ее общая направленность состоит в том, чтобы за счет усложпешш алгоритма собстиеняо оптимизации резко сократить количество вычислений минимизируемой величины. Постулируется, что подавляющий объем компьютерного времени при решении задачи расходуется именно на определение значений целевой функции. В этих условиях логическое усложнение алгоритма за счет дополнительных действий с уже найденными значениями не является обременительным, по позволяет существенно ускорять уменьшение значения функции Использованные подходи и методы позволили получить новые результаты в области разработки методов оптимизации в сложных механических системах. Ластоаерностъ полученных результатов обеспечивается строгой постановкой задач, связностью действий, системным подходом, соблюдением логики, обоснованным применением математического аппарата, совпадением в частных случаях с утверждениями и рекомендациями других авторов. Практическая ценность. Проведенные исследования и полученные результаты позволяют проводит оптимизащпо в задачах большой размерности со значительным сокращением количества вычислений минимизируемой велпчипы и, как следствие, резким уменьшением компьютерного времени. Разработанные алгоритмы представлены в виде достаточно детализированных схем процесса оптимизации. Ряд версий алгоритмов реализован программно. Три программных средства сдапы в Фонды алгоритмов и йрограмм, одно из них - во Всесоюзный фонд. На основе программной реализации предложенной методики репгеп целый ряд практических задач по снижению ви-броаитивиости сулормт еиергеттпм*чх установок и повьгоге- еиїо ударостойкости механических конструкций с нелинейной амортизацией. На методику снижения виброактивпости получен Акт о внедрении (ЦНИИ им.акад. А.Н.Крылова). Алгоритмическое нахождение улучшенного начального приближения в задаче спутниковой навигации, выполненное на основе специальных математических исследований, создавалось по заказу разработчиков аппаратуры потребителя системы спутниковой навигации и пригодно для непосредственного использования в программном блоке втоЙ аппаратуры. Большинство рассмотренных в работе вопросов возникло из потребностей практигаї, их исследование было связано с хоздоговорными работами и направлено на решение прикладных задач. Лпро5ацюг, Отдельные результаты работы докладывались на IV Всесоюз. акустической конференции (Москва, 1977); Всесоюз. конференции по вибрационной технике (Тбилиси, 1982); Семинаре-совещании "Проблемы оптимизации в маши-ностросшш (Харьков, 1982); Всесоюз. совещении по проблемах! виброизоляции машин и приборов (Москва-Звенигород, 1986); Всеросс. конференции с междунар. участием "Компьютерные методы небесной механики" (С.Петербург, 1993); Всеросс. конференции с международ, участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика" (С.Петербург, 1993); Комплексной конференции с международ, участием "Астероидная оиасность-93 (С.Петербург, 1993); Internut.Congr. on Computer Systems & Applied Math. (St.Peterflburg, 1993): Internat .Workshop on Math. Methods к Took in Computer Simulation, (St.Petersburg, 1994). В целом результаты работы докладывались на научных семинарах; по механике управляемого движения (рук.- проф., засл.деят.науки и техники, В.С.Новоселов, С.Петербургский гос.ун-т, 1994); по теоретической и прикладной механике (рук.-проф. П.Е.Тоистик, С.Петербургский гос.ун-т, 1994); по системному анализу и управлению (рук.- проф. В.А.Троицкий, С.Петербургскпй технич.уп-т, 1995), ' Структура и о5ием работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 1СЗ наименований; содержит 20 рисудков, 4 таблицы. Общий объем работы составляет 179 страниц.