Введение к работе
з .
Актуальность темы. Бурное развитие авиа-ционно-ракетной техники во второй половине нашего века инициировало распространение приложений теории автоматического управления и теории оптимизации в этой новой области, что, в свою очередь, привело к дальнейшему развитию этих наук. В связи С тем, что в последующие годы требования к эффективности авиационно-космических систем неуклонно возрастали, вопросы, связанные с оптимизацией параметров этих систем приобрели важнейшее- значение.
Уже в первые годы исследований по оптимизации траекторий движения летательных аппаратов выяснилось, что имеется определенный класс задач, для решения которых традиционные методы теории оптимального управления не всегда оказываются эффективными . Задачи этого класса получили название вырожденных задач оптимального управления, или задач с особыми управлениями. Актуальность исследования таких задач обусловлена следующими обстоятельствами:
I). Известные методы теории оптимизации (в том числе принцип максимума Л.С.Понтрягина ) оказываются малоэффективными при исследовании такого рода задач.
2). Рассматриваемый класс оптимальных задач охватывает обширное множество интересных и важных для приложений проблем астродинамики, управления движением и проблем теории автоматического регулирования.
Изложим эти обстоятельства более подробно.
Принцип максимума Л.С.Понтрягина по многих случаях оказывается мощным средством решения ' задач оптимального управления. Оптимальная задача при этом сводится к краевой
задаче для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди решений этой краевой задачи находится и оптимальная траектория ( разумеется, если оптимальное управление существует ). Процедура сведения оптимальной задачи к краевой реализуема, если максимум функции Понтрягина Н по управлению достигается в единственной точке. Может, однако, случиться, что этот максимум достигается в нескольких точках (в множестве допустимых управлений и есть подмножество ы, состоящее не менее чем из двух элементов, удовлетворяющих уравнению зн/эи = о на некотором интервале времени т с [о,т]) или же функция Понтрягина не зависит от параметров управления явным образом на некотором интервале времени. Такие ситуации называют особыми, а управления u(t), им соответствующие - особыми (вырожденными) управлениями (в терминологии, принятой за рубежом, - сингулярными управлениями ).
Успех принципа максимума и многочисленные примеры его использования в сравнительно несложных ситуациях создали впечатление, что оптимальное управление, как правило, принимает предельные значения, а случаи особого управления являются исключительными. Может быть поэтому долгое время после введения Л.И.Розоноэром особых управлений, последние почти не изучались. Тем не менее, постепенно накапливались задачи, в которых особые управления оказывались неизбежными или, по-крайней мере, типичными. В первую очередь это относится к задачам оптимального управления объектами, динамика которых описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с линейно входящими управлениями, а также к задачам, гамильтониан которых не обладает свойством выпуклости по управлению. Большинство приложений таких задач исторически было связано с механикой космического полета, ракетодинамикой, оптимизацией траєкторного
движения в атмосфере. Пионерскими исследованиями здесь явились работы Д.Е.Охоцимского, В.А.Егорова, В.И.Гурмана, А.Миеле и других.
Особые участки, содержащиеся в оптимальной траектории, были впоследствии обнаружены в задачах оптимального управления линейными системами с вырожденным квадратичным функционалом, в задачах оптимизации робототехнических систем, в задачах управления экономическими системами, в игровых задачах управления и других. Можно ожидать, что по мере расширения области применения методов оптимального управления будет расширяться и класс задач с особыми участками.
В настоящее время особые управления достаточно тщательно исследованы с качественной точки зрения. Однако приходится констатировать, что этот раздел теории оптимального управления практически не повлиял на структуру численных методов решения задач оптимизации. Известно, что для задач, оптимальные траектории которых не содержат особых участков, были разработаны и апробированы многочисленные итерационные методы приближенного решения на ЭВМ, для некоторых из этих методов были доказаны теоремы сходимости. Вместе с тем, попытки применить эти методы к задачам с особыми управлениями натолкнулись на существенные трудности, такие, как нерегулярное поведение последовательных приближений, появление участков с нарастающей частотой переключений неособого управления и другие. Попытки же создания численного метода решения оптимальных задач, учитывающего возможность наличия особого участка в оптимальной траектории, носят фрагментарный характер.
Шансы на сходимость упомянутых численных методов могут значительно возрасти, если известна структура оптимальной траектории и характер сопряжения особых и неособых участков.
В задачах со свободным временем окончания процесса для динамической системы невысокого (не выше третьего) порядка структуру оптимальной траектории иногда удается определить с помощью метода А.Миеле, основанного на использовании теоремы Грина для минимизации криволинейных интегралов. В других задачах вопрос о структуре оптимальной траектории остается, как правило, открытым. Известен "практический" подход, когда при решении конкретных задач авторы волевым решением задают структуру оптимальной траектории, а затем проверяют полученное приближенное решение на оптимальность. В ряде случаев, когда структура оптимальной траектории "угадана" верно, этот подход дает хорошие результаты, как, например, в работах В.Т.Злацкого и Б.Н.Кифоренко, Ф.Грейга и др. В общем случае, разумеется, упомянутый подход непригоден.
Таким образом, специальное исследование вопроса о структуре оптимальной траектории и характере сопряжения особых и неособых дуг представляется оправданным.
Цель работы. Целью настоящей работы является исследование структуры оптимальной траектории и характера сопряжения особых и неособых дуг для определенных классов задач оптимального управления, а также приложение результатов этого исследования для решения конкретных задач оптимизации движения твердого тела в сопротивляющейся среде.
Научная новизна работы. В настоящей работе для определенного класса динамических систем предложен нетрадиционный подход к исследованию оптимальных задач с особыми управлениями.
В задаче Лагранжа для динамической системы второго' порядка определен характер сопряжения особых и неособых участков. Показано, что сопряжение носит, как правило, разрывный характер.
В задаче Лагранжа для редуцируемой динамической системы
второго порядка в случае свободного правого конца траектории и фиксированного времени окончания процесса. конструктивно определено множество особых дуг, примыкающих к правому концу траектории.
В задаче о полете на максимальную дальность осесимметричного вращающегося твердого тела, управляемого посредством реактивного момента определена точная верхняя оценка максимальной дальности полета. Для широкого множества значений ограничений на управление определена структура оптимальной траектории движения рассматриваемого тела. Выделено множество начальных- условий, при которых оптимальная траектория состоит ровно из одной неособой и, возможно, одной особой дуги.
В задаче о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту численно определено множество значений ограничений на силу тяги, при которых известное решение этой задачи не является оптимальным. Показано, что повторное включение режима максимальной тяги (после участка "промежуточной" тяги) позволяет увеличить высоту подъема ракеты.
Практическая ценность. Результаты работы могут применяться при исследовании задач оптимального управления движением летательных аппаратов и других сложных управляемых объектов различного назначения.
На этапе проектирования управляемых систем имеет практическое значение возможность определения целесообразности использования "промежуточных" значений управления (например, силы тяги или моментов электродвигателя, отклонения заслонок и т.д.) для достижения различных целей, а также построение точных' оценок значений избранного функционала качества.
Апробация работы. Диссертационная работа обсуждалась и была одобрена на заседании кафедры прикладной
механики и управления механико-математического факультета МГУ.
Основные положения и разделы работы были доложены на четырех научных конференциях, в том числе*:
на iv республиканском совещании по проблемам динамики твердого тела, Донецк, апрель 1984;
на Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложения", Москва, апрель 1987 г,-
на vi всесоюзной конференции по управлению в механических системах, Львов, апрель 1988г;
на Всесоюзной конференции "Современные проблемы механики и технология машиностроения", Москва, апрель 1989 г.
Материалы диссертации докладывались также на научно -исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ и Нии Механики МГУ.
Публикации. По результатам выполненной диссертационной работы опубликовано семь печатных работ.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы ( 83 наименования) и изложена на 126 страницах машинописного текста, содержит 31 рисунок и 3 таблицы.