Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы.'в связи с резким усложнением
конструкций различных технических систем . весьма
актуальной становится проблема обеспечения -их устойчивого
функционирования. Последнее , означает, .' что малому .изменению
собственных параметров системы, а также малому внешнему
воздействию, изменяющему условия, ее функционирования, должны
соответствовать и малые флуктуации ее выходных характеристик.
Например, все современные транспортные, строительные, инженерные,
объекты. ряд объектов космической техники военного . и
Исследовательского назначения, приборы, оборудование и так далее, .
имеют в конструкциях большое число систем балочных элементов,
Разнообразные внешние воздействия, на эти объекты (ветер, волнение,
ударные Нагрузки, вибрационные воздействия) возбуждают колебания в
системах балочных элементов, что в определённых условиях приводит к
нарушению нормального функционирования объектов и вредному
воздействию на обслуживающий персонал, а в критических ситуациях
мажет привести к ' разрушению конструкции. Наиболее опасная ситуация
возникает в случае резонанса, то есть при близости частот внешних
воздействий к некоторым характерным ("собственным") частотам
колебаний балочных конструкций, в результате чего даже небольшие по
амплитуде внешне воздействия, могут привести, в конечном итоге, к
катастрофическим последствиям, Аналогичная ситуация имеет место и в
оболочечнкх конструкциях, когда критическая нагрузка, под которой'
понимается наименьшая нагрузка При которой начальная форма
равновесия перестает . быть устойчивой, может оказаться весьма
чувствительной к малым неравномернсстям нагружения и малым
несовершенствам начальной формы оболочки. -
Проблема обеспечения устойчивого функционирования различных систем является весьма общей, поскольку к ней сводится большое число конкретных и практически важных 'задач естествознания и техники. Если основные, представления указанного научного направления первоначально схладквались под воздействием задач устойчивости упругих систем, то в настоящее время весьма актуальной становится проблема их распространения на системы, в
оснобє функционирования которых лежат волновые процессы, в том
числе и на сложные оптико-акустические системы.
Объект исследования. Диссертационная работа посвящена разработке
математических методов исследования указанных вьет резонансных
задач механики. Возникавшие здесь проблемы являются весьма сложными
и, как следствие этого, для широкого класса, практически интересных
случаев, известные классические методы не всегда дают ответы на
поставленные вопросы. Так анализ уравнений разветвлени" не всегда
осуществим на основе техники диаграмм Ньютона, поскольку
получавшиеся в результате редукции исходной задачи уравнения
разветвления далеко не всегда содержат малый параметр, а действующие возмущения являются аналитическими. -При этом возникает ряд существенных трудностей, связанных, в частности, с возможность» применения классической теоремы о неявной функции и построением конкретных оценок для входных параметров исходной задачи, обеспечивающих ее разрешимость. Кроме того, чем конструктивно сложнее исходная техническая система, тем соответственно более сложными получаются указанные уравнения разветвления, что очень часто в конечном итоге делает эту задачу На основе метода диаграмм Ньютона практически неразрешимой, В этой связи было бы весьма Желательным, в случае достаточно общих предположений, получить строгие результаты относительно разрешимости уравнений разветвления, в терминах исходного операторного уравнения, порожденного рассматриваемой физической задачей,
Указанные операторные уравнения для широкого класса задач,
встречающихся 8-~ приложениях,.... в.. ___.том. числе при исследовании
возникновения поперечных колебаний балки, вызванных эффектом параметрического резонанса, и устойчивости тонких оболочек под действием неоднородных нагрузок, могут быть записаны следующим образом1
2.4 « XjHx. (0.1)
їх * *,Нх + Fx (0.2)
где t - оператор Фредгольыа с нетривиальным ядром, н
Нумерация формул, утверждений и обозначения автореферата и ДЕСсертацин полностью совпадает.
произвольный линейный ограниченный оператор, f - . нелинейный
оператор, по) = о, х с к. Ставится задача od условиях
существования нетривиальных решений операторных уравнений
(0.1),(0.2), при этом в линейном случае, ссответствувцему уравнению'
(0.1), ицутся решения, отвечающие значению спектрального параметра
х * о. Особый интерес при это1.1 представляет, собой вопрос о
качественном и количественном характере распределения
соответствующих значений спектрального параметра х для уравнения вида (0.2). Как показано в главе \, пункте' 4.э, диссертации, поставленные таким образом задачи могут быть сведены к проблеме существования произвольных решений операторной системы следующего вида
и = Г'пи.ї) (03)
< D.(u,P) ,4>j > = 0 , j = 1 n
относительно неизвестных элементов и є Е, 5 є Еп ; "' : Е-> Е -
ЛИНеЙНЫЙ Ограниченный оператор ; F : ЕхК"-> Е Я D : ЕхК" -> Ej -
нелинейные операторы ; у - функционалы, в обцем случае не обязательно линейные ; е, е" и ej - произвольные банаховы пространства. Проблема разрешимости системы уравнений разветвления (0.3), в том числе и содержащей малый параметр с,
u = fK, F(u,«) (0#4)
< D . ( u , 5 ) , 1С > = 0 , j = l,...,n
составляет один из основных объектов исследования диссертации. При этом частным случаем операторной системы (0.3) является хорошо известная система уравнении разветвления Ляпунова-Шмидта
u = *;V(u + z vJ 5
і а 1
< F (u + 5 . 1. ] , ц>. > = 0 , j = 1, . . . , n .
Кроме того, при построении математических моделей конкретных физических явлений возникают краевые задачи как для линейных так И для нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах вырожденные в том смысле, что их невозмуценная линейная часть соответствует необратимому оператору. Такие задачи называют резонансными краевыми задачами. Однсй из таких задач является, например, проблема существования периодических решений для конечных
и счетных -систем обыкновенных дифференциальных уравнений содержащих
малый параметр в правой части. Конкретнее модели физических явлений
приводящие к резонансна краев»! задачам для дифференциальных
уравнений в частных производных широко встречается в- приложениях,, в
том числе н при исследовании критических режимов функционирования
высоковольтных даний передач,1 При этом, в случае, когда ядро
соответствующего линейного оператора является конечномерным,
указанная задача сводятся к проблеме разрешимости, операторной
системы .вида іо.з), а в случае, когда ядро соответствующего
линейного оператора является . счетнемерным, а действующие
. возмущения носят характер малых, подобные задачи обычно сводятся к рассмотрению специального класса операторных с'нстем со счетным числом линейных равномерно ограниченных пс . і функционалов vt следудцего вида,
и * eFtu.oc) ,(.0іЄ)
< Djfu.et) ,?( > = О г і 1,2,..1 0ТНОСИТЄЛЬНО НеИЗЕвСТНЫХ и Є Et, а є Е, ГДЄ F і Е *Е -» Е И D, :
е,х е-* е, - ограниченные операторы ; к , Е - банаховы пространства с нормами || . |[ , || . ||Е соответственно , с -
счетноуерное банахово пространство с оазисом fa > , в^
d',0,0,...}, е * (0,1,0,...),... И HOpMOfl || a |f « sup |а |,
а z \ а.е . Наряду с операторными системами (о.з),(о,4), проблема
разрешимости операторной системы ю.б) также является одним из основных объектов исследования диссертации. Здесь необходимо отметить, что сама по себе проблема разрешимости различных систем . уравнении, -^содержащих -счетное'., число...неизвестных,... давно . привлекает внимание исследователей, , поскольку к указанным задачам . сводится широкий класс математических кодэлей, списывающих реальные процессы в физике, технике, биологии; вкодслш и учитывающих счетное число
van Horssan -. W.t, An Asymptotic Theory for a Class of Initial-Boundary Value Prebleme tor ffe-afcly Nonlinear Wave Equation* with an Application to a Model of the Galloping Oscillations of Overhead Transmission Lines. H SlAM J.Api1.Math, 48, 1988, pp. 1227-1243,
воздействующих факторов., Кроме того, редукция ряда задач математической физики в конечном итоге приводит к расомОтрениэ счетных систем алгебраических уравнений. Одним из актуальных здесь является также вопрос о. разреіш.;остл задачи Кои для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на заданной промежутка для независимого аргумента поскольку к указанной проблеме сводится большое количество задач нелинейной механики. Хорога известны, например, к-етодь: исследования широкого класса нерезснаксных краевых задач математической физики путем их сведения к соответствующим с чет ню.: . системам алгебраических., дифференциальных , уравнений я интегральных уравнения Фредгольма второго рода.. Б этом смысле изучение разрешимости резонансных краевых задач математической физики на основе операторной системы (о.б) является логическим продолжением указанных выше исследований. При этом особенно важную роль для приложений играет возможность не только предсказывать существование точных решений систем со счетным числом неизвестных, но и указывать алгоритмы, обеспечивающие построение приближенный решений, аппроксимирующих точное в определенной метрике со сколь угодной большой степенью точности. Ранее подобные вопросы подробно рассматривались., например, применительно к задаче Хеши для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, на этом пути имеется ряд существенных затруднений. Так., при построении решений счетных систем нелинейных алгебраических уравнений, возникйвдих, например, как показано во второй главе диссертации, при псоледовании разрешимости операторных систем вида (о.6), может быть непользехая, при выполнении определенных условий, итерационный процесс Ньютона, обобщенный Л.В.Канторовичем на с луча1*! произвольных банаховых пространств. Однако, вследствие счетномерности исходной системы уравнений, практическая его реализация не представляется возможной. Именно поэтому принципиальным становится ответ нз вопрос о возможности построения существующего точного решения, с любой наперед заданной точностью, на основе редукции исходной задачи к некоторой, надлежащим образом подобранной "укороченной" системе, позволяющей строить аппроксимирующую. последовательность исходя уже из рассмотрения конечномерных систем нелинейных алгебраических уравнений. По' этой причине проблема ''укорочения" и, в частности, задача об "укороченії;'" счетной системы нелинейных алгебраических
уравнений, -также находятся в центре внимания диссертационной работы. Б этой части результаты диссертационной работы, с одной стороны, позволяют получать новые признаки разрешимости соответствующих задач, содержания счетное число неизвестных, дают конструктивные алгоритмы построения приближенных решении, а с другой стороны позволяет отвечать на вопрос о суцественнссти влияния тех или иных из счетного числа воздействующих факторов, на поведение рассматриваемой системы в целом.
Наконец, к операторным системам вида ю.з) сводится и ряд других актуальных задач механики, в том числе и основная задача внешней баллистики, которая также является объекте:.; исследования диссертационной работ-.!.
Цель раОотн, Основная задача диссертации- заключается в том,
чтобы на базе современных математических методов создать достаточно
обцни її, в тоже время, эффективный и гибкий аппарат решения
различного рода резонансных задач, продемонстрировав его применение
на ряде трудных и, как следствие, мало изученных проблем механики,
представляючих значительный интерес для приложений. К указанным
проб ема:.; следует отнести . строгий математический анализ
возникновения резонансных колебаний в системах, описываемых уравнениями телеграфного типа, а также в балках, расположенных на упругом основании; выяснение условий возбуждения поперечных колебаний балки, вследствие эффекта параметрического резонанса, при заданном законе продольных смешении еэ концов, количественный и качес 'венный анализ характера распределения соответствующего данной задаче спектрального параметра; установление критерия потери устойчивости' тонкой цилиндрической оболочки с учетом неоднородного
характера .нагруження - ее - торцов — на основе строгих- математических -
методов. Решения поставленных задач, данные в диссертации на основе разработанного математического аппарата, являются новыми к полезными не только с точки зрения строгости обоснования, но и с точки зрения приложений, поскольку даът возможность вычислять амплитуды резонансных колебаний и формулировать критерии потери устойчивости на основе сценок соответствующих областей для сходных параметров каждой конкретней задачи .
При ртом автор не ставил перед собой задачи подробно рассмотреть б диссертации максимально возможнее число как потенциальных
приложении, так и ухе исследованиях указанными методами прикладных задач1, поскольку в своей методологической основе решения многих 'из них аналогичны рассмотренным в диссертационной работе. Например, решение задачи о влиянии несовершенств оболочки на величину Критической нагрузки, в ее реализации, с математической течки зрения представленной ^ в диссертации, будет идентичным "решение рассмотренной в шестой главе, на основе обцего топологического метода, задачи оо , устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном нагруженнн их торцов. Вместе с тем следует отметить, что рассмотрение ряда конкретных задач, как например связанной с исследованием резонансных и околорезонансных колебаний в уравнении Рэлея1, требует преодоления подчас весьма серьезных 'технических трудностей и привлечения дополнительного аппарата современного анализа, в том числе теории полугрупп.
Методы исследования. Для исследования резонансных задач
механики, допуска.їцнх их сведение к проблеме разрешимости операторных систем вида (0.3),(0.4),(о.6), в диссертации разработаны и используются два метода : метод сравнения и топологический метод, позволяющие развить единый, обций математический подход к анализу широкого класса разнообразных физических ситуаций. В этом смысле метод сравнения и топологический метод, представленные в первых четырех главах диссертации, делают их основой всего дальнейшего изложения, включая и приложения к конкретным задачам механики. Метод сравнения позволяет судить о разрешимости уравнения Т(у) = о, где оператор т действует из банахова пространства е в банахово пространство е , исходя из разрешимости "близксго':' операторного уравнения т(у) = о, f : е -»Е , на основе сценок нормы разности указанных операторов ||т - т|| и их производных
Фреше || т - f || в некотором шаре с центром соответствующем решению вспомогательного уравнения. При этом, в случае1. когда пространства Е и Е2 являются конечномерными, исходная задача в конечной
Vavilov S.A., Blom C.J. Resonance and Near-Resonance for a
Nonlinear Wave Equation. II Report 92-92 of the 'Faculty of
Technical Mathematics and Informatics, Delft University of
Technology. The Netherlands), 1992. 32 p.
итоге, сводится к проблеме разрешимости некоторой задачи Коїш для конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнении на заданном промежутке для независимого аргумента, что позволяет применять для решения поставленной задачи, например, классическую теорему Пеано. Идея , такого подхода основана на методе продолжения по параметру и восходит еце к Х.Адамару, Для реализации метода сравнения в случае бесконечномерных пространств к и е., используется ньютоновский итерационный процесс, сбоеценный Л.В.Канторовичем на случай произвольных банаховых пространств. Применение метода сравнения позволяет строить реленпя исходного уравнения на основе итерационной схемы, что делает его весьма удобным в плане численной реализации. Теологический метод базируется на теории индекса векторного 'Поля, введенного в рассмотрение для случая произвольных вполне непрерывных векторных полей Ж.Лере и Ю.Яаудером, и получившей глубокое развитие в фундаментальных работах М.А.Красносельского и Я.Мавена. Индекс векторного поля является важной топологической характеристикой, 'Поскольку позволяет. судить о разрешимости соответствующего нел: іеішого оператернего уравнения, а его вычисление базируется на теории гомотошііі. Применимость топологического метода, связанная с проверкой выполнения условий некоторых теорем существования, одновременно является и обоснованием для построения решений исходного операторного уравнения на основе галеркпнеких аппроксимаций, что дает возможность также говорить об указанном подкс\е как о конструктивном.
Кг базе метода сравнения и топологического метода, в диссертации
проведен подробный анализ, посвяценный выяснений условий
разрешимости операторных систем ендэ (0.3), (0.4),(0.6) и разработаны алгоритмы, - обеспечивающие построение приближенных решений. Строгие математические методы исследования операторных систем вида ;и.л),(0,4),(0.6) представлены соответственно в главах 4,1,2. Математический аппарат, изложенный в первых четырех главах диссертации, .сопровождается определенным количеством примеров, иссяцих как иллюстративный характер и деменстрирусцпх проверку тех или иных условий абстрактных теорем, так и представляючих значительный интерес для различных разделов механики и реализующих обцкн .математический подход при решении кенкретных задач. К таким
содержательном примерам в первую очередь следует отнести исследование разрешимости и 'обоснование редукции счетных систем нелинейных алгебраических уравнений к соответствующим конечномерном
системам; выяснение условий разрешимости периодической краевой
задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
содержащих маль:й параметр, и обоснование процедуры "укорочения" при
ее решении; получение эффективных признаков нелокальней
разрешимости задачи Коши для счетных систем обыкновенных
дифференциальных уравнении, не содержащих малый параметр, и
обоснование алгоритма "укорочения" при отыскании приближенного
решения; построение решений краевых задач как для линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами так и для нелинейных уравнений в .условиях резонанса
и так называемом трудном случае кратных корней; анализ разрешимости
некоторых задач теории управления, допускающих редукдо к
операторным системам вида (О.З), Особую роль в этом плаке играют
пятая и шестая главы диссертации, целиком посвященные
математическому моделировании резонансных явлении в актуальных
проблемах волновой динамики 'и теории упругости, а так хе седьмая и
восьмая, в которых на базе разработанных математических методов
исследуются соответственно резонансные колебательные процессы в
системах с конечным числом степеней свободы И основная задача
внешней баллистики.
Науная новизна. Ка защиту выносятся следующие положения,
определяющие научную новизну результатов диссертационной работы :
- разработаны и обоснованы топологический метод и метод сравнения
для исследования разрешимости операторных систем вида
(О,:! ),(0.4),(0,5),(0.8).
на основе разработанных методов . сформулированы условия
разрешимости операторных счете!.: вида (о.3),(0,4),(0,5),(0.6) и обоснованы алгоритмы построения их решений.
- в связи с исследованием разрешимости операторных систем вида
(О.б) сформулирована и доказана теорема об "укорочении" для
счетных систем нелинейных алгебраических уравненийt
на основе общей теории разрешимости операторных систем вида (0,6) сформулирована- и доказана теорема о .разрешимости резонансной периодической задачи для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнении, содержащих малый параметр, а на базе теоремы об "укорочении" для счетных систем нелинейных алгебраических уравнений, сформулирована; условия, обеспечивающие возможность построения ее приближенных р...:еш:й.
на основе осцей теории разрешимости операторных систем вида (0.6) исследована разрешимость и построены приближенные решения резонансної! периодической задачи для дифференциальных уравнении в частных производных гиперболического типа, содержащих малый параметр.
на основе метода сравнения, в условиях повышенной гладкости правей части счетной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, сфор-'.улирована теорема об "укорочении" для
зотЕетотвувцеп задачи . Коши, дополняющая известные классические результаты.
на основе теории меры кекомпактнеоти и уплотняющих операторов получены достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Кони для счетных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в.- условиях непрерывной, но не дифференцируемой правей части ( аналог классической теоремы Пеано ).
на основе общей теорий разрешимости операторных систем вида (0.3) сформулированы условия существования нетривиальных решений операторных уравнений вида (0.1),(0.2), а также исследована структура распределения соответствующих значений спектрального параметра.
- сформулированы достаточные условия при выполнении которых
определенные значения спектрального параметра х ,
обеспечивагцие нетривиальную разрешимость соответствующего ю.2)
линеаризованного операторного уравнения, исходя из
--13-.
топологической теоремы 4.:.1, одновременно являются точками бифуркации исходной нелинейной задачи,
сформулированы условия оазреішмости резонансної! периодической задачи для квазилинейного телеграфного уравнения, выяснены условия, при которых порядки действующие малых внешних возмуцений и амплитуды колебаний системы совпадают.
- в рамках нелинейной модели исследованы резонансные периодические
колебания балки на упругом основании под действием малой
распределенной внешней нагрузки, сформулироганы- условия
возникновения свободных колебаний, получены. полезные для
инженерных приложений сценки на максимально возможную амплитуду
колебаний и величину .максимальных нормальных напряжений в балке.
исследованы условия возникновения поперечных периодических
колебаний балки в рамках как линейной, та" и нелинейной модели, под действием периодических продольных смещений ее КОНЦСВ; на основе общей теории нетривиальной разрешимости операторных уравнений вида (и.2) предложены новые методы исследования возбуждения поперечных колебаний балки на основе эффекта параметрического резонанса.
- на основе общей теории нетривиальной разрешимости операторных
уравнений вида і о.2) получена сценка на величину постоянной
составлявшей критической нагрузки при наперед заданной
неоднородной компоненте нагружения шарнирно опертой тонкой
цилиндрической оболочки.
на основе топологического ./.етода сформулированы условия
разрешимости резонансной периодической задачи для квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, накладывающие существенно менее жесткие ограничения по сравнение с классическими результатами, базирующимися на теореме о неявной функции.
- на основе метода сравнения получены условия разрешимости
резонансной периодической задачи для квазилинейных неавтономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в так называемом Трудном случае кратных корней у порождающего уравнения.
- сформулированы теоремы о разрешимости периодической задачи для
квазилинейных автономных систем обыкновенных диф%еренциальиых
уравнений в резонансной ситуации, при наличии различных условий
гладкости, накладываемых на праву» часть возмущенное системы, и
без априори 'іі оценки относительно неизвестного возмущенного
периода; рассмотрены две принципиально различные ситуации,
когда производная от денотвуюцего возмущения удовлетворяет
'соответственно условиям Липшица и Ге.. »,,>>ра, разработаны
алгоритмы построения искомого решения в обоих-случаях.
- на основе сбаеи теории разрешимости операторных систем вида
(0,3) получены достаточные .условия разрешимости основной задачи
внешней баллистики и предложены различные итерационные схемы
построения искомы'', решении.
Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Полученные в ней результаты позволяет развить новые конструктиьные методы анализа широкого класса актуальных задач механики.
Практическая значимость работы определяется широким кругом
возможных приложении, полученных в ней результатов, при решении
вопроса об обеспечении устойчивого функционирования различных
-технических систем
aiipcvддяя -раотятг, основные результаты, диссертации докладывались
ч обсуждались .
- на if см всеееизном семанаре по линейным ускорителям заряженных
частиц, г. Харьков, 1985 г., Г
- на всесоюзной научно - технической конференции "Актуальные
проблемы моделирования и управления системами с- распределенными
параметрами", г, Одесса, '1-98* ?:-.'
. - 1." -
- на 10,11,12 международных конференциях по нелинейны:.! колебаниям,
- на э ем международном коллоквиуме по качественной теории
дифференциальных уравнений, г. Сегед, Венгрия, 1988 г.
на вснсоюзнс-п конференции по качественной теории
дифференциальных уравнений, г, Рига, 1989 г,
на международных конференциях по дифференциальным уравнения:.', и их приложениям в Болгарин и Чехословакии, 1989 г,
на і ой европейской международной конференции по нелинейным колебаниям, г. Гамбург,', гээз г.
- на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их
ПрИЛОЖеНПЯ!.!, Г. Firenze, ИтаЛИЯ, 1993 г.
- на республиканском семинаре по дифференциальным уравнениям под
руководством проф. Э.И. Грудо, г. Минск, 1Э89 г,
- на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений
механике - математического факультета МГУ им, М.В. Ломоносова
под руководством проф. B.V. Миллпснцикова, 1990 г.
на семинарах академика Э.А. Митропольского В институте математики Украинской Академии Каук, г. Киев.
на семинарах проф. К,В. Азбелева ' по функционально дифференциальна::,', уравнениям, г. Пермь.
на семинаре кафедра теоретической кибернетики
Санкт - Петербургского Университета по руководством проф. В.А. Якубовича, 1992 г.
на семинарах кафедры теоретической и прикладной .^етсанитга Санкт - Петербургского Университета под руководством проф. П.Е, Товстика.
-іє-
на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством
Проф. К. Мавена В КаТОЛИЧеСКОМ университете Г. Louvene-le-Xeuvc, БеЛЬГИЯ, 19В2 г.
на семинаре кафедры теории упругости Санкт - Пь?ербургского Университета под руководством проф, К.Ф. Морозова, юаз г.
на семинарах группу прикладного анализа факультета технической математики и информатики университета г, Делфта, Нидерланды.
- на семинаре академика- И.11. Боровича в научно .- исследовательском
институте механики и прикладной математики при РГУ, г.
Ростов-на-Дону, 1993 г.
- на ряде региональных и респуйликанскпх конференций, в других
организациях и вузах,
Пуб'шкг.нии Содержание диссертации опубликовано в зі работах,
при ьтом список основных публикации автора по теме диссертации Приведен в конце автореферата 11 - 18].
Структура и объем рабстк, Диссертация состоит из введения,
восьми глав и списка литературу, включающего 177 наименований, Общий объем работы составляет 252 страницы машинописного текста.