Введение к работе
Актуальность темы
Данная диссертационная работа посвящена, в соответствии со своим названием, исследованию областей достижимости управляемых систем и смежным вопросам.
Понятие области (множества) достижимости управляемой динамической системы является одним из основных понятий теории управления. Поэтому фактически в большинстве работ по теории управления развиваются или используются вопросы, связанные с областями достижимости. Это понятие предоставляет удобный язык, на котором могут быть описаны различные конкретные задачи теории управления.
Например, если нам известны области достижимости, то можно легко оценить возможности управления. Скажем, для ответа на вопрос: "Возможно ли перевести систему в некоторое предписанное состояние х в предписанный момент Т?" достаточно проверить, принадлежит ли вектор х соответствующей области достижимости.
Если объединение областей достижимости для всех моментов времени совпадает со всем пространством состояний системы, то такая система называется вполне управляемой. Выяснение того, управляема ли данная динамическая система, является классической задачей геории управления. Для линейных систем без ограничений на управления необходимые и достаточные условия управляемости получены Калманом и Красовским, что открыто путь к изучению управляемо-:ти управляемости линейных систем с ограничениями на управления а нелинейных систем ь работах очень мьоі'их шторой. Упомянем и этой связи имена Р. Браммера, В. И. Коробова, А. П. Маринича, Е. і. Подольского, А. М. Формальского, А. Кренера, Г. Хермеса, К. ІТобри, Г. Зуссмана, Дж. Хейнса.
Области достижимости имеют важные приложения к дифференциальным играм, указанные, прежде всего, Н. Н. Красовским в его мето-іе экстремального прицеливания. С помощью областей достижимости
можно также получать двусторонние оценки цены дифференциальной игры.
Широко развитые к настоящему времени методы гарантированного оценивания состояния динамических систем также опираются на использование областей достижимости и их обобщений — информационных множеств.
Фундаментальные результаты в этой области получены многими авторами, начиная с работ М. Л. Лядова и Н. Н. Красовского 60-х годов. В этой связи упомянем представителей свердловской школы А. Б. Куржанского, И. Я. Каца, Б. И. Ананьева, М. И. Гусева.
Существенное место в теории гарантированного оценивания занимает "метод эллипсоидов", затрагиваемый и в настоящей работе. Теория оптимального эллипсоидального оценивания инициирована и продвинута работами Ф. Л. Черноусько.
Важное направление метода эллипсоидов, связанное с внешними эллипсоидальными оценками, развивается в работах А. Б. Куржанского, его учеников и сотрудников.
Важнейшее значение в теории управление имеет метод динамического программирования и его основное орудие — уравнение Беллмана. Для изучения областей достижимости полезным оказывается "двойственное уравнение Беллмана", впервые выписанное для общей ситуации А. И. Панасюком. В настоящей работе установлена для общего случая связь между двойственным уравнением Беллмана и наилучшими оценками областей достижимости.
Затронутый в диссертации вопрос о гладкости границ областей достижимости исследовался ранее А. М. Формальским и оказался связанным с теорией наблюдаемости Р. Калмана.
Цель работы
Целью работы является изучение комплекса вопросов теории управления, группирующихся вокруг понятия области достижимости управляемой динамической системы, в том числе вопросов аппроксимации
ібластей достижимости и некоторых задач о качественном поведении тих областей и их аппроксимаций.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты и методы диссертационной работы могут быть исполь-ованы для дальнейшего развития затронутых в ней вопросов теории правления, а также смежных вопросов: например, о построении ал-оритмов гарантированного оценивания. Кроме того, полученные ре-ультаты позволяют решать и вполне конкретные задачи управления: кажем, задачу о гашении колебаний сложных механических систем.
Достоверность результатов работы
Достоверность результатов работы обусловлена применением стро-ого математического подхода.
Научная новизна
-
С помощью техники областей достижимости получено обобщение еоремы Ли-Янга из теории фазовых переходов в ферромагнетиках.
-
Найдено конструктивное решение задачи о полной управляемо-ти линейной системы с ограниченными управлениями, которое сво-,ит построение соответствующих управлений к решению системы ли-ейных уравнений. В качестве приложения получена оценка времени спокоения для системы многих маятников на управляемой тележке.
-
Получено новое необходимое условие полной управляемости ти-а Калмана для аналитических управляемых систем.
-
Введено новое понятие теории оценивания областей достижимо-ги — понятие области супердостижимости (а также области субдости-:имости). Установлено взаимно-однозначное соответствие между вяз-ими решениями некоторого нелинейного уравнения в частных произ-одных первого порядка, называемого двойственным уравнением Белл-:ана, и минимальными выпуклыми областями супердостижимости. В екоторых случаях установлено соответствие между решениями диф-«ренциальных неравенств и выпуклыми областями супердостижимо-ги.
5) Построены явные дифференциальные уравнения для параметров
оптимальных в смысле разнообразных критериев качества эллипсои
дов суб- и супердостижимости линейных управляемых систем.
-
Изучен вопрос о предельном поведении некоторых локально оптимальных эллипсоидов супердостижимости для устойчивых линейных управляемых систем.
-
Построена асимптотика при времени движения, стремящемся к бесконечности, для некоторых глобально оптимальных эллипсоидов супердостижимости линейных автономных управляемых систем.
-
Найдена асимптотика областей достижимости при времени движения, стремящемся к бесконечности. Показано, что предельные формы областей достижимости распадаются в произведение трех тел, связанных с тремя "подсистемами" исходной системы, соответствующим строго устойчивому, строго неустойчивому и нейтральному подпространству матрицы системы.
-
Изучены особенности границ областей достижимости линейных автономных управляемых систем и на этой основе получено обобщение теории двойственности управления и наблюдения. Сформулированы задачи о проективной и сферической наблюдаемости, и показано, что если эти задачи разрешимы, то отсюда вытекает гладкость границ областей достижимости за определенный интервал времени. Получен аналог рангового критерия управляемости для задачи о гладкости границы областей достижимости за любой интервал времени и/или о проективной наблюдаемости.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались ряде конференций, в том числе на конференции IFAC Вильнюс 1986, "Понтрягин-ские чтения" Кемерово 1990, "Modeling, Estimation and Filtering of Systems with Uncertainty" Sopron, Hungary, 1990, "Symposium on optimal control of mechanical systems" IUTAM Москва 1992, "Modeling Technics for uncertain Systems" Sopron, Hungary, 1992, "Математические методы
авигации и управления движущимися об-ъектами" Таруса 1994, "Non-near and game theoretic control synthesis" Институт Эйлера, Санкт-'етербург 1995, на международном семинаре "Устойчивость и коле-шия нелинейных систем управления" Москва 1996, на научных се-инарах Института проблем механики РАН, Московского института тектронного машиностроения, Математического института им. Сте-аова, МГУ.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 —
Структура и объем диссертации