Введение к работе
Актуальность темы. Проблема отыскания положений равновесия (абсолютных или относительных) и стационарных движений консервативных механических систем, как известно, сводится к задаче анализа критических точек исходной или измененной потенциальной энергии соответственно. Как правило эта задача сводится к исследованию системы нелинейных алгебраических уравнений. Поэтому тема настоящей работы, посвященной разработке методики определения равновесных решений консервативных механических систем, представляется актуальной.
Целью работы является изучение положений равновесия (абсолютных пли относительных) и стационарных движений консервативных механических систем с симметричным потенциалом, а также равновесных ориентации твердого тела в центральном гравитационном поле.
Основные результаты и их научная новизна
I. Указана методика последовательного определения нетривиальных положеній равновесия (стационарных движений) в порядке возрастания их сложности. Эга методика опирается на свойства симметрии механической системы и свойства второй вариации потенциальной энергии, вычисленной для положения равновесия (стационарного движения) предыдущего уровня сложности, начиная с тривиального:
1) тривиальные равновесные решения разыскиваются как
неподвижные точки преобразований переменных, сохраняющих
потенциал.
2) нетривиальные равновесные решения 1-го уровня
сложности разыскиваются в окрестности точек смены устойчивости
тривиальных равновесных решений в том нлн ином специальном виде.
3) нетривиальные равновесные решения 2-го н последующих уровней сложности разыскиваются в окрестности точек смены устойчивости нетривиальных равновесных решений предыдущего уровня сложности в соответствующем специальном виде.
II. В задаче о движении однородного параллелепипеда, закрепленного в центре масс и находящегося в центральном ньютоновском иоле сил найдены все положения равновесия тела, близкого к кубу, исследованы их ветвление и устойчивость в зависимости от таких физических параметров, как отклонение параллелепипеда от куба:
1) найдено, что решение, отвечающее случаю, когда вдоль
радиус-вектора направлено самое короткое ребро - неустойчиво в
вековом смысле ( степень неустойчивости равна 2) при любых
значениях физических параметров. Решение, при котором вдоль
радиус-вектора направлено среднее ебро - неустойчиво, причем при
одних значениях физических параметров степень неустойчивости
равна 1, а при других 2. Решение, при котором вдоль радиус-
вектора направлено самое длинное ребро мо?кет быть устойчиво
(степень неустойчивости 0) и неустойчиво (степень неустойчивости
1 или 2) в зависимости от физических параметров.
2) показано, что существуют нетривиальные равновесные
ориентации двух типов:
а) одна из главных осей инерции перпендикулярна радиус-
вектору цент/» масс, а две другие повернуты относителыю него на
тот или иной угол;
б) ни одна из главных осей инерции тела не перпендикулярна
радиус-вектору.
Решения типа (а) либо всегда неустойчивы (степень неустойчивости 1), если радиус-вектору перпендикулярно самое длинное или среднее ребро, либо могут быть как неустойчивы (степень неустойчивости 1), так и устойчивы (степень
неустойчивости 0), если радиус-вектору перпендикулярно самое короткое ребро.
Решения типа (б) всегда устойчивы.
III. В задаче о вращательном движении однородного параллелепипеда, центр масс которого движется по круговой кеплеропой орбите в центральном ньютоновском поле сил, методом, аналогичным приведенному во второй главе
1) найдены относительные равновесия тела четырех типов:
а) тривиальные, отвечающие таким ориентациям тела, при
которых одна нз его главных центральных осей инерции направлена
вдоль радиус-вектора центра масс, вторая - по нормали к
плоскости орбиты, в третья - но касательной к орбите,
б) нетривиальные, отвечающие таким ориентациям тела, при
которых одна из его главных центральных осей инерции направлена
вдоль касательной к орбите и тело повернуто вокруг касательной к
орбите,
в) нетривиальные, отвечающие таким ориентациям тела, при
которых одна из его главных центральных осей инерции направлена
вдоль нормали к плоскости орбиты и тело повернуто вокруг
нормали к плоскости орбиты,
г) нетривиальные, при которых ни одна из центральных осей
инерции тела не совпадает с ни с радігус-вектором, ни с
касательной к орбите, ни с нормалью к плоскости орбиты.
2) Исследованы устойчігаость и ветвление всех относительных
равновесзш. Результаты исследования представлены в виде
бифуркационных диаграмм.
Обоснованность. Все результаты работы получены с помощью теории устойчивости движения и теории бифуркации и строго обоснованы.
Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении положений равновесия,
относительных равновесий и стационарных движений консервативных систем.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международной конференции "Устойчивость, управление н динамика твердого тела", (Донецк, 2-6 сентября 1996 г.) и на семинарах Ml "У им.М.В.Ломоносова:
-
по аналитической механике под руководством академика В.В.Румянцева и проф. А.В.Карапетяна (1996)
-
по механике относительного движения под руководством проф. В.В.Белецкого, проф. Ю.Ф.Голубева, доц. С.И.Трушина, доп. К.Е.Якнмовон (1996)
3) по классической механике иод руководством проф.
В.В.Козлова и д.ф.м.н. Д.В.Трещева (1996)
Основные результаты опубликованы в 3-х статьях и тезисах доклада на международной конференции (работы [1-4]).
Объем и струкрура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 83 страницах, содержит 33 рисунка, список литературы из 33 наименований.